ALGEBRA I MODULO PROF. VERARDI - ESERCIZI Sezioe 1 NUMERI NATURALI E INTERI 2 1.1. Si dimostri per iduzioe la formula: N, k 2 "1( * " 3 ) " 3k +1(. 3 1.2. A) Si dimostri che per ogi a,b N +, N +, se a < b allora a < b. B) Si dimostri la disuguagliaza: N, 3,!< 1.3. A) Si dimostri che per ogi a,b N +, N, ( a " b) a " b. B) Si verifichi che el gruppo simmetrico S 3, scelte opportuamete due permutazioi α, β, o è vero che risulti N, " ". 1.4. Si calcolio MCD ed mcm dei due umeri 4183 e 2047. Si usi questa iformazioe per scomporre i due umeri i fattori primi. 1.5. Si trovi il umero dei divisori di 900 che siao multipli di 15. 1.6. Si tracci il diagramma di Hasse dei divisori di 30 ordiato mediate la divisibilità, e quello dei sottoisiemi di X { 1,2,3 } ordiato mediate l iclusioe. Che cosa si può otare? 1.7. Si trovi u umero aturale che abbia esattamete 15 divisori. Esiste? Quati ce e soo? 1.8. Si dimostri che il prodotto di quattro umeri N + cosecutivi è multiplo di 4!. 1.9 Si trovio d MCD(728,442) e due iteri u, v tali che 728u+442v d 1.10 Esistoo due iteri u, v tali che 500u+755v 3? 1.11 Si trovi u umero itero x tale che 250x 1 sia multiplo di 133 1.12 Si trovi u umero itero x tale che 272x 1 sia multiplo di 212 1
SOLUZIONI DELLA SEZIONE 1. 0 S1.1. Per 0, el primo membro si ha k 2 * " 3k +1( 0 2 " 3 ) 0 +1 1, metre el 0 2 "1 ( 0 " 3) secodo si ottiee 1, quidi per 0 l uguagliaza è vera. 3 2 Sia ora u umero per cui è vera, ossia tale che k 2 "1( * ( " 3) ) " 3k +1(. Per il 3 successivo +1 si ha allora, al primo membro si ha: +1 k 2 ) " 3k +1( k 2 ) " 3k +1( + +1 2 " 3( +1) +1 2 "1( * " 3 ( + 2 + 2 +1 " 3 " 3 +1( ' 3 ' 3 " 3 2 " " 3 3 + 2 " "1 ( 3 " 4 ' 3 Nel secodo membro, per +1 al posto di si ha: ( +1) 2 "1 +1 3 ( " 3) 2 + 2 " 2 3 3 " 4, uguale al risultato del primo membro. Duque, l isieme dei umeri aturali per 3 cui l uguagliaza è vera cotiee 0 e il successivo di ogi suo elemeto, quidi per il pricipio d iduzioe è tutto N. S1.2. Per 1 si ha a 1 a < b b 1, quidi a 1 < b 1. Sia u umero 1 per il quale la disuguagliaza è vera, a < b. Teiamo ora coto della compatibilità tra disuguagliaza e prodotto i N + per la quale se a < b allora per ogi c N + si ha a c < b c; per il successivo +1 si ha: a +1 a " a < b " a < b " b b +1. Duque, l isieme dei umeri aturali per cui l uguagliaza è vera cotiee 1 e il successivo di ogi suo elemeto, quidi è tutto N +. B) Per 3 si ha 3! 6 e 3 3 27, quidi la disuguagliaza è vera per 3. Sia u umero 3 per cui è vera, ossia risulti!<. Allora, teuto coto di A), per il successivo +1 si ha: ( +1)!!" ( +1) < " ( +1) < ( +1) " ( +1) ( +1) +1, Duque, l isieme dei umeri aturali per cui l uguagliaza è vera cotiee 3 e il successivo di ogi suo elemeto, quidi è tutto l isieme degli N, 3. 2
NOTA. A lezioe, posto a! a è stato proposto di calcolare lim +1 : " a ( +1) +1 a lim +1 ( +1)! ( +1) +1! lim " a " lim " ( +1)!! +1' lim ) lim 1 + 1 ' ) e, umero di Nepero. " ( " ( lim " ( +1) +1 +1 1 lim " ( +1) S1.3 A) Per 0 si ha ( a " b) 0 1 a 0 " b 0. Sia ora N, per il quale l uguagliaza è vera, ossia ( a " b) a " b. Per il successivo +1 si ha: ( a " b) +1 ( a " b) " ( a " b) a " b " ( a " b) a " a ' ( " b " b ( a +1 " b +1 ' Duque, l isieme dei umeri aturali per cui l uguagliaza è vera cotiee 0 e il successivo di ogi suo elemeto, quidi per il pricipio d iduzioe è tutto N. B) Nel gruppo simmetrico S 3 la proprietà commutativa o vale. Siao " 123 allora per 3 si ha " 3 o 3 id. Ivece, (" o ) 3 ( 13) 3 ( 13)., " ( 12 ) ; S1.4 Per calcolare MCD ed mcm dei due umeri 4183 e 2047 usiamo il procedimeto euclideo delle divisioi successive: dividedo divisore quoziete resto 4183 2047 2 89 2047 89 23 0 Pertato, MCD( 4183,2047) 89, perché è l ultimo resto o ullo. Allora: 4183 "2047 mcm( 4183, 2047) 4183 "23 89 96209. A questo puto, siccome 89 e 23 soo primi, allora 2047 23 "89. Dato poi che 89 divide ache 4183 e il quoto è 47, primo a sua volta, risulta 4183 47 "89 S1.5. Iazi tutto, 15 divide 900, altrimeti il problema avrebbe risposta essuo. Si ha 900 : 15 60 2 2 "3 "5. Ogi divisore di 900 che sia multiplo di 15 si ottiee moltiplicado per 15 u divisore di 60. Poiché 60 ha 2 +1 12 umeri multipli di 15 e divisori di 900. " ( 1 +1) " ( 1 +1) 3 "2 "2 12 divisori, allora ci soo 3
S1.6. Il umero 30 2 "3 "5 ha ( 1 +1) " ( 1 +1) " ( 1 +1) 8 divisori, precisamete 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Ache " ( X ) ha 2 3 8 sottoisiemi, ossia ", { 1}, { 2}, { 3}, { 1,2 }, { 1,3 }, { 2,3 }, { 1,2,3 }. Qui sotto riportiamo i due diagrammi di Hasse: si oti che soo isomorfi: 30 {1,2,3} 6 10 15 {1,2} {1,3} {2,3} 2 3 5 {1} {2} {3} 1 ø S1.7. Per ogi primo p, il umero p 14 ha per divisori i umeri p k, 0 " k " 14. Oppure, si osservi che 15 3 "5 ( 2 +1) " ( 4 +1) ; pertato, ogi umero del tipo p2 " q 4, co p, q primi distiti, ha 15 divisori. Per esempio, per p 3 e q 2 si ha 9 "16 144. S1.8. Sia m " ( +1) " ( + 2) " ( + 3) il prodotto di quattro umeri N+ cosecutivi. Itato, se dividiamo per 3, troviamo 3q+r, co r 0, 1 o 2. Nel primo caso, è multiplo di 3; el secodo, + 2 3q +1 + 2 3(q +1) è multiplo di 3; el terzo caso, +1 3q + 2 +1 3(q +1) è multiplo di 3. Allora il prodotto " +1 " ( + 2) è multiplo di 3 e quidi lo è ache m. Dividiamo ora per 4: 4q+r, co r 0, 1, 2 o 3. Nel primo caso, è multiplo di 4 e + 2 4q + 2 2(2q +1) è multiplo di 2, quidi m è multiplo di 8. Nel secodo caso, 4q +1, allora +1 4q + 2 2(2q +1) è multiplo di 2 e + 3 4q + 4 4(2q +1) è multiplo di 4, quidi m è multiplo di 8. Aalogamete, se 4q + 2, è pari e + 2 4q + 4 4(q +1) è multiplo di 4, duque 8 divide m. Ifie, se 4q + 3, allora +1 4q + 4 4(q +1) è multiplo di 4, metre + 3 4q + 6 2(2q + 3) è pari, duque 8 divide m. I defiitiva, sia 3 sia 8 dividoo m, ed allora ache 24 mcm 8,3 divide m. S1.9. Ricordiamo che dal procedimeto euclideo delle divisioi successive, posto r r "1 r q +1 + r +1 e "1 a u "1 + b v "1 segue: r a u + b v r +1 r "1 " r q +1 a ( u "1 " q +1 u ) + b ( v "1 " q +1 v ) 4
Perciò: u +1 u "1 " q +1 u. Si è posto v +1 v "1 " q +1 v u "1 1 ; v "1 0 u 0 0. Allora si può usare lo schema v "1 1 seguete: -1 0 1 2 3 4 5 r 728 442 286 156 130 26 0 a 728 e b 442: u 1 0 1-1 2-3 17 v 0 1-1 2-3 5-28 q +1 1 1 1 1 5 Allora d MCD(728,442) 26 728 (-3)+442 5. Si oti che 728 "17 + 442 " (28) 0. S1.10. No esistoo due iteri u, v tali che 500u+755v 3, perché 5 divide 500 e 755, perciò dovrebbe dividere ache 3 5 (100u+151v), assurdo. S1.11. Trovare u umero itero x tale che 250x 1 sia multiplo di 133 equivale a risolvere l equazioe 250x+133y 1, co x ed y iteri. Per il teorema di Bézout, è possibile se e solo se MCD(250,133) 1. Possiamo applicare lo schema precedete: -1 0 1 2 3 4 5 r 250 133 117 16 5 1 0 a 250 e b 133: u 1 0 1-1 8-25 133 v 0 1-1 2-15 47-250 q +1 1 1 7 3 5 Allora d MCD(250,133) 1 250 (-25)+133 47. Il umero cercato è allora x -25; ma ache 133-25 108 è ua soluzioe; ifatti, 250 "108 1 26999 133 "203. NOTA. I termii di cogrueze mod m, si cerca la classe di resti [ x] tale che 133 [ 250] " x 133 [ ] 1 133 [ ], ossia l iversa della classe 250 133 [ ] 117 133 [ ]. Esiste proprio perché 133 [ ] 133 " 250 e 133 soo primi fra loro (o coprimi). Allora 250 [ ] 133 ' (1 " 117 [ ] 133. ' (1 108 S1.12. Per quato detto ell esercizio precedete, poiché 272 e 212 soo pari, o soo coprimi, quidi o esiste u umero itero x tale che 272x 1 sia multiplo di 212. 5
Sezioe 2 COMBINATORIA E PERMUTAZIONI 2.1. - Si dimostri per iduzioe la formula: N, " k 3 " +1 ( 4. 2.2. - Si dimostri per iduzioe la formula: N, "" k 2 + k ' " +1 ( 3 + " +1 2. 2.3. Si trovi el gruppo simmetrico S 5 il umero totale di cicli. Le permutazioi che o soo cicli formao u sottogruppo i S 5? 2.4. Siao " ( 12348) o ( 34567) e " 1 2 3 4 5 6 7 8 simmetrico S 8. 3 4 8 7 2 6 5 ( due elemeti del gruppo 1' A) Si calcoli il prodotto " o o " 1 e si verifichi che ha lo stesso ordie di β. B) Qualcua tra le due permutazioi α o β appartiee al gruppo altero A 8? 2.5. - Nel gruppo simmetrico ( S 8,o) si cosideri il sottoisieme H degli elemeti che o soo cicli di lughezza 3 o soo prodotti di cicli di lughezza 3. A) L idetità appartiee ad H? B) H è u sottogruppo di ( S 8,o)? C) H cotiee permutazioi dispari? 2.6. - Nel gruppo simmetrico S 8 sia defiita la seguete relazioe: ", S 8, ~ '( S 8 1 o o ( A) Si dimostri che ~ è ua relazioe d equivaleza. B) Si dimostri per iduzioe che N, " 1 ( ' o o "* ) " 1 o o ". C) Si dimostri che permutazioi equivaleti hao lo stesso periodo. D) Le trasposizioi 12 e ( 23 ) soo equivaleti? 6
2.7. Sia G S 3 il gruppo simmetrico su tre oggetti. Sia H il sottogruppo { id, "}, dove " ( 12) è la trasposizioe che scambia 1 co 2 e lascia fisso il 3. Si trovio i laterali destri ed i laterali siistri di H i G. Il sottogruppo H è ormale i G? 2.8. - Si verifichi per ogi divisore k di 24, esiste u sottogruppo di S 4 di ordie k. 2.9. - Nel gruppo simmetrico S 9 si cosideri il sottoisieme H costituito dalle permutazioi α tali che α(6) 6. H è u sottogruppo di S 9? Quati elemeti ha? 2.10. Sia " ( 172) o ( 46) S 7. Si trovi ua permutazioe β tale che " 7. 2.11. Sia " ( 17542) o ( 346) o ( 275) S 7. Si calcoli l ordie di α e si dica se è pari o dispari. 2.12. Quati soo i cicli el gruppo altero A 5? 2.13. Quate soo le permutazioi di S 7 che hao ua scomposizioe i cicli disgiuti costituita da due trasposizioi? 2.14. Si trovi etro il gruppo S 7 u sottogruppo isomorfo al gruppo altero A 5. 2.15. Ua ed ua sola delle quattro tavole di moltiplicazioe su u isieme di sei elemeti corrispode ad u gruppo isomorfo al gruppo simmetrico S 4. Si idichi quale e si spieghi perché gli altri tre o vao bee. * 1 2 3 4 5 6 * 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 1 5 6 3 4 2 2 3 4 5 6 1 3 3 4 6 5 2 1 3 3 4 5 6 1 2 4 4 3 2 1 6 5 4 4 5 6 1 2 3 5 5 6 4 3 1 2 5 5 6 1 2 3 4 6 6 5 1 2 4 3 6 6 1 2 3 4 5 * 1 2 3 4 5 6 * 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 1 4 5 6 3 2 2 3 1 5 6 4 3 3 4 1 6 2 5 3 3 1 2 6 4 5 4 4 5 6 1 3 2 4 4 5 6 3 1 2 5 5 6 2 3 1 4 5 5 6 4 2 3 1 6 6 3 5 2 4 1 6 6 4 5 1 2 3 7
SOLUZIONI DELLA SEZIONE 2. " S2.1. Ricordiamo che se r >, allora k 0. Pertato l uguagliaza r " 3 " +1 ( 4 è vera per ogi 2, perché si ha 0 0. Sia u umero aturale per il quale è vera. Vediamo se è vera per il successivo +1. +1 +1" k 3 " k 3 + " +1 ( ' 3 " +1 4 + " +1 3 " + 2 " ( 4 +1 4 '. Pertato, per il pricipio d iduzioe è vera N. S2.2. - La formula "" k 2 + k ' " +1 ( 3 + " +1 2 per 0 diveta 0 0, quidi è vera. Sia u umero aturale per il quale è vera. Vediamo se è vera per il successivo +1: +1" " k " 2 + k ' " k " 2 + k ' + " +1 2 + ( +1 ) ' " +1 ( 3 + " +1 2 + " +1 2 + " +1 1 " + 2 ( 3 + " + 2 2 +1 " +1 3 +1 " ' + +1 2. Pertato, per il pricipio d iduzioe è vera N. ' S2.3. Nel gruppo simmetrico S 5 abbiamo cicli di lughezze 2, 3, 4, 5. La formula per i cicli di lughezza k è!. Allora il umero totale di cicli è: k " ( k)! k 2 k 3 k 4 k 5 totale 10 20 30 24 84 Restao allora 120-84 36 permutazioi che o soo cicli. Poiché 36 o divide 120, o possoo costituire u sottogruppo di S 5. S2.4. A) Si ha " ( 12348) o ( 34567) ( 1238) o ( 4567), di ordie 4. Si ha "1 ( 1832) o ( 4765). Poi, " ( 138) o ( 2475), d ordie 12. Allora, " o o "1 ( 128) o ( 3546), d ordie 12 come β. B) La permutazioe α è prodotto di due cicli di lughezza 4, quidi dispari, ed allora è pari, ossia appartiee al gruppo altero A 8. Ivece, β è prodotto di due cicli di parità diversa, quidi è dispari. 8
S2.5. - L idetità appartiee ad H, perché si ha id ( 123) 3. Poi, se ", H, soo etrambe prodotto di 3-cicli, ed allora ache " o è prodotto di 3-cicli. Ifie, dato che ( ijk) "1 ( ikj), ache " 1 è prodotto di 3-cicli, gli iversi di quelli di α i ordie cotrario. Pertato, H è u sottogruppo di ( S 8,o). Azi, è u sottogruppo del gruppo altero, perché i 3-cicli soo pari, e tali soo i loro prodotti ed iversi. Perciò H o cotiee permutazioi dispari. NOTA. I realtà si ha H A 8, e o è difficile provarlo. Se α è pari, è prodotto di u umero pari di trasposizioi. Ora, il prodotto di due trasposizioi è sempre u 3-ciclo o u prodotto di due 3-cicli: ( ij) o ( ik) ( ikj), metre ( ij) o ( kh) ( ij) o ( ik) o ( ki) o ( kh) ( ikj) o ( khi). Perciò ogi prodotto di u umero pari di trasposizioi è ache prodotto di 3-cicli. S2.6. A) Nel gruppo simmetrico S 8 la seguete relazioe: ", S 8, ~ '( S 8 1 o o ( è ua relazioe d equivaleza. Ifatti, " S 8, " " 1 o " o " α ~ α. Se poi " ~, allora " S 8 1 ) o o ' ( 1, 1 ) +. o ' o 1, +. ( β ~ α. Ifie, se ache β ~ γ, allora: * - * - " S 8 1 o o ' ( ' 1 + o ) 1. - o * o ) 0 o ( ' ) o, / 1 o * o () o ) e quidi la relazioe è riflessiva, simmetrica e trasitiva. B) Per 0 i due membri soo l idetità e soo uguali. Sia u umero aturale per il quale l uguagliaza è vera. Allora, per +1 si ha: " 1 ( +1 ' o o "* ) " 1 ( ' o o "* o " 1 ( ' o o " ) ) * ' " 1 o o " ( ) * o ' " 1 o o " ( * " 1 o o o " " 1 o +1 o " ) Perciò l isieme dei umeri aturali per i quali l uguagliaza è vera è chiuso rispetto a 0 e al successivo e quidi è vera per ogi umero aturale. C) Da A e B segue che se " ~, ossia se " S 8 1 o o ', allora per ogi N, " 1 ) ( o o + ' * 1 o o, ed allora " id 1 o o id. Aalogamete, " id 1 o o id. Perciò ". D) Le trasposizioi ( 12) e ( 23 ) e allora ( 123) o ( 12) o ( 132) ( 23). soo equivaleti; basta cosiderare la permutazioe " ( 132) 9
S2.7. Sia G S 3 il gruppo simmetrico su tre oggetti. Sia H il sottogruppo { id, "}, dove " ( 12). Troviamo i laterali destri di H i G. - Il primo di essi è H H o id, ma si ha ache H H o ", perché τ H. - Moltiplichiamo ora H per ua permutazioe diversa da id e da τ. Sia " 13 H" { id o ", o "} {", }, dove " o ( 12) o ( 13) ( 132). Si ha ache Hρ Hα. - U elemeto o acora trovato è " ( 23). Allora H" { id o ", o "} '", 1 (. Allora ) * +, essedo " o ( 12) o ( 23) ( 123) ( 132) 1 1. Abbiamo così trovato i tre laterali destri di H i G. Ripetiamo ora co i laterali siistri. - Il primo di essi è aturalmete H id o H " o H. - Sia " ( 13). Allora "H {" o id, " o } '", 1 H o è u sottogruppo ormale i G. - Sia " 23 (. Allora "H {" o id, " o } {", }. Si osservi che βh Hβ. ) *. Si osservi che αh Hα. Ne segue subito che + Abbiamo così le due partizioi di G determiate da H e costituite rispettivamete dai tre laterali destri e dai tre laterali siistri. Le due partizioi soo distite. S2.8. Verifichiamo che per ogi divisore k di 24, esiste u sottogruppo di S 4 di ordie k. NOTA. Il teorema di Lagrage dice che l ordie di ogi sottogruppo di u gruppo fiito G è divisore dell ordie del gruppo. I alcui gruppi G, per ogi divisore m dell ordie di G c è u sottogruppo di ordie m, e questi gruppi soo detti lagragiai. Nel ostro caso, il gruppo S 4 ha ordie 24. I divisori di 24 soo: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Cerchiamo u sottogruppo per ciascuo di questi divisori. I primi quattro soo immediati, perché S 4 ha cicli di quelle lughezze. Per il 6 3!, basta predere il sottogruppo formato dalle permutazioi che fissao u elemeto, p. es. il 4. Esso agisce sui restati tre oggetti, quidi è sostazialmete S 3, che ha 6 elemeti. Per l 8 occorre fatasia: il gruppo di isometrie D 4 che trasforma u quadrato i se stesso, come oto dal corso di Geometria, ha otto elemeti: quattro rotazioi e quattro simmetrie assiali; esso duque permuta i 4 vertici i 8 modi diversi. Se umeriamo i vertici da 1 a 4, abbiamo 8 permutazioi apparteeti ad S 4 e che formao u sottogruppo d ordie 8. 10
D ordie 12 c è il sottogruppo altero A 4, costituito dalle permutazioi pari. D ordie 24 c è S 4 stesso. Riassumedo: ordie 1 2 3 4 6 8 12 24 sottogruppo { id} ( 12) ( 123) ( 1234) S 3 D 4 A 4 S 4 S2.9. Ovviamete, id H. Se α, β H allora " o 6 " ( 6 ) " 6 6 " o H. Ifie, dato che S 9 è fiito, questo basta per dire che H è u sottogruppo, perché " 1 " " 1. Ogi elemeto di H fissa il 6, ma può permutare liberamete gli altri 8 oggetti diversi da 6. Perciò H ha 8! 40320 elemeti. NOTA. Il sottogruppo H è isomorfo al gruppo simmetrico S 8. Ifatti, cotiee tutte le permutazioi su u isieme X co 8 oggetti. S2.10. La permutazioe " ( 172) o ( 46) S 7 ha ordie mcm(2,3) 6, pertato " 6 id " 7 ". Pertato, basta predere ". S2.11. Sia " ( 17542) o ( 346) o ( 275) S 7. Per trovare l ordie occorre esprimere α come prodotto di cicli disgiuti; i realtà risulta " 1746325, quidi è u ciclo d ordie 7 e allora è " ( 15) o ( 12) o ( 13) o ( 16) o ( 14) o ( 17), pari. S2.12. I cicli el gruppo altero A 5 devoo avere lughezza dispari, per essere permutazioi pari, quidi 3 o 5. Ci soo lughezza 5. Totale: 44 cicli su 60 permutazioi. 5! 3 "2! 20 cicli di lughezza 3 e 5! 24 cicli di 5 " 0! S2.13. Scegliamo itato i quattro elemeti spostati da ua tale permutazioe: si può " 7 fare i modi diversi. Co questi quattro elemeti si possoo formare tre doppi 4 7! scambi. Pertato, i doppi scambi di S 7 soo i tutto 3" 4!"3! 7 " 6 "5 105. 2 S2.14. Per trovare etro il gruppo S 7 u sottogruppo isomorfo al gruppo altero A 5 si cosideri l isieme H delle permutazioi che fissao il 6 ed il 7: H cotiee tutte le permutazioi sui cique oggetti 1, 2, 3, 4, 5 e quidi è u gruppo isomorfo ad S 5. Allora H cotiee u sottogruppo A isomorfo ad A 5. 11
S 2.15. Esamiiamo ua per ua le quattro tavole. * 1 2 3 4 5 6 * 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 1 5 6 3 4 2 2 3 4 5 6 1 3 3 4 6 5 2 1 3 3 4 5 6 1 2 4 4 3 2 1 6 5 4 4 5 6 1 2 3 5 5 6 4 3 1 2 5 5 6 1 2 3 4 6 6 5 1 2 4 3 6 6 1 2 3 4 5 * 1 2 3 4 5 6 * 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 1 4 5 6 3 2 2 3 1 5 6 4 3 3 4 1 6 2 5 3 3 1 2 6 4 5 4 4 5 6 1 3 2 4 4 5 6 3 1 2 5 5 6 2 3 1 4 5 5 6 4 2 3 1 6 6 3 5 2 4 1 6 6 4 5 1 2 3 La prima operazioe possiede la legge di cacellazioe (ogi riga ed ogi coloa ha elemeti tutti distiti), ha l uità, 1, perché per ogi x, 1 x 6, si ha x*1 x 1*x; ogi elemeto ha l iverso, perché l iverso di 1 è se stesso; ache il 2, il 4 ed il 5 soo iversi di se stessi, metre 6 e 3 soo iversi l uo dell altro. No è commutativa, perché 3*2 4, metre 2*3 5. L associatività o è facilmete verificabile, perciò per il mometo lasciamola lì: potrebbe essere la tavola di moltiplicazioe di u gruppo o abeliao co sei elemeti, purché sia associativa. La secoda operazioe possiede la legge di cacellazioe, ha l uità, 1; ogi elemeto ha l iverso, perché l iverso di 1 è se stesso; ache il 4 è iverso di se stesso, metre 6 e 2 soo iversi l uo dell altro, e così pure 5 e 3. Però è commutativa, perché la matrice è simmetrica, quidi ache se fosse associativa, o è la tavola di u gruppo isomorfo ad S 3. La terza operazioe ha le proprietà come la secoda, commutatività compresa, quidi o è la tavola di S 3. L ultima operazioe possiede la legge di cacellazioe, ha l uità, 1, o è commutativa perché 6*5 2, 5*6 1, ma o è certamete la tavola di u gruppo, proprio perché da 5*6 1, dovrebbe seguire 6*5 1, ma o è così. Allora, 6 o ha l iverso, o meglio, ha iverso siistro 5 ed iverso destro 4, metre se ci fosse la proprietà associativa ciò o potrebbe accadere. Allora, poiché il testo postula che ua delle quattro sia la tavola di u gruppo isomorfo ad S 3, per esclusioe è la prima. NOTA. La secoda è la tavola del gruppo ciclico d ordie 6; la terza o è la tavola di u gruppo, perché o è associativa: (2*3)*4 4*4 1, metre 2*(3*4) 2*6 3. Ioltre, per u gruppo abeliao è facile dimostrare che per ogi divisore primo p dell ordie ci deve essere u elemeto di ordie p; ma qui o ci soo elemeti di ordie 3, perché ogi elemeto è iverso di se stesso. 12