Ruggero Caravita, Giacomo Guarnieri, Roberta Lanfranco Gruppo Me7 1 Relazione sperimentale Lo scopo dell esperienza è quello di indagare i fenomeni di interferenza e diffrazione di un raggio di luce monocromatico misurando la lunghezza d onda della luce incidente, il passo di reticoli di varia natura e l ampiezza di differenti fenditure. Le ultime due grandezze (passo dei reticoli e ampiezza delle fenditure) saranno indagate anche in contemporanea, esaminando reticoli d interferenza le cui fenditure abbiano ampiezza non trascurabile. Apparato sperimentale L apparato di misura è atto alla riuscita dell esperienza è composto da: un laser, ossia un fascio molto coerente e ben collimato, di luce monocromatica verde; un supporto per i diaframmi con i reticoli e le fenditure; una lente divergente, posta tra il laser e il support; una fotocellula con micrometro, posta su un carrello dotato di grado di libertà lungo la direzione ortogonale alla direzione di propagazione del raggio; uno schermo per raccogliere la figura di interferenza/diffrazione; un software collegato alla fotocellula, atto alla raccolta di tutti i dati di campionamento che la fotocellula rileva durante la traslazione e memoria dei valori di intensità relative. Presupposti teorici Misura dei massimi di interferenza e dei minimi di diffrazione I fenomeni di interferenza e diffrazione di un onda elettromagnetica hanno luogo ogniqualvolta viene posto un ostacolo sul suo cammino ed evidenziano l insufficienza dell utilizzo del solo modello geometrico di descrizione della luce, a favore di uno misto ad un modello anche ondulatorio. Il fenomeno di interferenza più in particolare ha luogo quando due onde elettromagnetiche sono emesse da sorgenti coerenti, sincrone e polarizzate nello stesso piano, mentre il fenomeno di diffrazione si verifica quando la presenza di diaframmi limita parzialmente il percorso:o ogni punto del nuovo fronte d onda secondario può essere interpretato secondo il modello di Huyghens-Fresnel come origine di una successiva onda sferica (o circolare) infinitesima. Sfruttando il principio di sovrapposizione, è possibile studiare i due fenomeni indipendentemente l uno dall altro sulla stessa figura. Le tipologie di diffrazione sono sostanzialmente due: quella di Fraunhofer e quella di Fresnel, che differiscono per il fatto che nel primo caso la sorgente è considerata posta a distanza infinita dal diaframma, mentre nel secondo caso a distanza finita. L utilizzo della lente e il posizionamento della sorgente nel suo fuoco permettono di ritenere soddisfatte le ipotesi di Fraunhofer, e in questo esperimento ci si limiterà a studiare fenomeni di questo tipo. E noto in letteratura che la figura di interferenza generata da un reticolo incide sull intensità secondo la legge Pagina 1 di 6
Ruggero Caravita, Giacomo Guarnieri, Roberta Lanfranco Gruppo Me7 2 dove d è la distanza fra le fenditure (nota anche come passo del reticolo), λ la lunghezza d onda della luce monocromatica incidente, θ l angolo del raggio considerato a partire dal centro di una qualunque delle frange (θ è costante per tutti solo nel caso della diffrazione di Fraunhofer), presentando dei massimi in coincidenza di mentre il fenomeno di diffrazione interviene sempre sulla stessa con un fattore pari a presentando dei minimi in corrispondenza di Si può dimostrare che la diffrazione è il fenomeno modulante dell intensità (ovvero fornisce la forma della figura), la quale è inframezzata dall andamento sinusoidale dell interferenza che agisce da portante. Ciò è coerente con il fenomeno di interferenza in quanto tale se considera costante il termine modulante della diffrazione. Nonostante la distanza della sorgente sia abbastanza maggiore della larghezza angolare della figura di interferenza, si è preferito non ricorrere all approssimazione di piccoli angoli, al fine di minimizzare eventuali errori sistematici. Procedimento sperimentale Misura della lunghezza d onda del laser Si inserisce sul supporto un reticolo di passo noto d = 617 frange/mm e, misurando la posizione di n massimi principali, si applica la (2). Al fine di ridurre gli errori di lettura, è stata usata l accortezza di misurare per ogni massimo registrato la coppia di posizioni simmetriche rispetto al massimo centrale, per poi mediare ogni posizione. In Tabella 1 sono riportate le misure della lunghezza d onda Dist. Schermo-Reticolo σ Dist. Max-Max σ Lunghezza d'onda λ σ λ 50,6 cm 0,3 35,7 cm 0,1 cm 539,2 nm 4,1 nm 39,7 cm 0,3 28,2 cm 0,1 cm 542,4 nm 5,2 nm 63,7 cm 0,3 44,9 cm 0,1 cm 538,7 nm 3,2 nm 79,4 cm 0,4 55,8 cm 0,1 cm 537,3 nm 3,3 nm 20,6 cm 0,2 14,5 cm 0,1 cm 538,1 nm 7,4 nm Media λ media 538,8 ± 1,8 nm Pagina 2 di 6
Lunghezza d'onda (nm) Ruggero Caravita, Giacomo Guarnieri, Roberta Lanfranco Gruppo Me7 3 550 545 540 535 530 525 Tabella 1: Misura della lunghezza d'onda del laser e confronto grafico dei valori per la compatibilità Poiché le misure risultano compatibili fra loro entro 1.98σ il valore finale della lunghezza d onda è la media pesata delle misure. Misura del passo del reticolo di diffrazione e dell ampiezza delle fenditure Dato che la fotocellula che verrà usata per acquisire i dati è in grado di rilevare solo intensità relative, la si deve prima di tutto calibrare sul valore minimo, assunto come zero. Si procende quindi all inserimento di vari diaframmi differenti sul supporto, con la rispettiva raccolta dati: la fotocellula, mossa dall albero di un micrometro lungo la guida ortogonale alla direzione di propagazione del fascio, rileva e invia al computer coppie di dati del tipo [posizione, intensità]. Per aumentare la mole di dati a nostra disposizione e ridurre quindi eventuali errori, si è ripetuto l iter di raccolta dati per ogni tipologia di reticolo facendo variare tre volte la distanza del reticolo dalla fotocellula (modificando quindi il parametro L delle formule per i massimi di interferenza e per i minimi di diffrazione). OSS: La vite micrometrica collegata alla fotocellula presenta ovviamente un po di gioco, per cui si è avuta l accortezza di farla sempre partire da un punto vicino ma non coincidente allo zero della stessa. Una volta completata l acquisizione di una serie di dati, si è immediatamente palesata all attenzione la difficoltà di individuare con una precisione sufficiente i minimi di diffrazione, molto disturbati dal rumore di fondo rappresentato dalla luminosità limitrofa (Grafico 1). Pagina 3 di 6
Variazione dell'intensità (W/(s*m 2 )) Intensità rilevata (W/m 2 ) Ruggero Caravita, Giacomo Guarnieri, Roberta Lanfranco Gruppo Me7 4 Intensità rilevata 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0-0,1 3 Derivata dell'intensità rispetto al tempo 2 1 0-1 -2-3 Grafico 1: Presa dati di prova e sua derivata rispetto al tempo calcolata con gli incrementi finiti Dall esame del grafico (soprattutto dal grafico della derivata a incrementi finiti calcolata come ) appare evidente che il rilevatore di intensità rilevi l intensità a scalini non trascurabili (stimati intorno a 0,010 W/m 2 ). Il problema dell estrazione dei massimi e dei minimi non è banale, poiché non è assolutamente evidente dove collocarli in modo rigoroso. Pagina 4 di 6
Variazione dell'intensità (W/(s*m 2 )) Intensità rilevata (W/m 2 ) Ruggero Caravita, Giacomo Guarnieri, Roberta Lanfranco Gruppo Me7 5 L unica soluzione che è praticabile per non commettere errori grossolani nella determinazione dei minimi è realizzare un software che applichi un filtro medio o filtro gaussiano ai dati (il filtro altera la posizione dei singoli punti sostituendo la media pesata di N punti pari a sinistra e destra di esso), quindi proceda ad estrarre i massimi e i minimi cercando gli zeri della funzione derivata e determinandoli eseguendo una regressione lineare nei punti di prossimità allo zero. In Grafico 2 è dimostrata l efficacia del filtro gaussiano sui dati prima mostrati per l identificazione di massimi e minimi; il grafico non è più normalizzato ne tanto meno si conservano le altezze dei picchi, ma questo è indifferente ai nostri scopi. 0,6 Intensità rilevata 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 2,50E-02 2,00E-02 Derivata dell'intensità rispetto al tempo 1,50E-02 1,00E-02 5,00E-03 0,00E+00-5,00E-03-1,00E-02-1,50E-02-2,00E-02-2,50E-02 Grafico 2: Serie di dati di esempio con applicato il filtro gaussiano per facilitare l estrazione dei massimi e dei minimi Pagina 5 di 6
Ruggero Caravita, Giacomo Guarnieri, Roberta Lanfranco Gruppo Me7 6 Il sensore resituisce, oltre al dato di tempo, un valore di posizione che è quello che è stato effettivamente impiegato per ottenere le distanze. Nelle seguenti Tabelle sono sintetizzati i risultati ottenuti valutando per ciascun set di dati massimi e minimi nel modo mostrato, divisi per tipologia del reticolo di diffrazione e della distanza. #Fend d teor a teor L (m) x-x σ x-x d sper σ d X-X σ X-X a sper σ a 1-0,040 1,379 36 1,0 - - - - 0,041 0,005 1-0,080 1,379 19 1,0 - - - - 0,078 0,002 2 0,125 0,040 1,379 38 1,0 0,139 0,006 10,7 0,2 0,039 0,005 2 0,250 0,040 1,379 37 1,0 0,266 0,021 5,6 0,2 0,040 0,005 2 0,500 0,040 1,379 34 1,0 0,496 0,074 3,0 0,2 0,044 0,006 1-0,040 1,584 40 1,0 - - - - 0,043 0,004 1-0,080 1,584 24 1,0 - - - - 0,071 0,010 2 0,125 0,040 1,584 43 1,0 0,136 0,004 12,6 0,2 0,040 0,003 2 0,250 0,040 1,584 42 1,0 0,250 0,012 6,8 0,2 0,041 0,003 2 0,500 0,040 1,584 40 1,0 0,551 0,060 3,1 0,2 0,043 0,004 1-0,040 2,000 53 1,0 - - - - 0,040 0,002 1-0,080 2,000 27 1,0 - - - - 0,080 0,006 2 0,125 0,040 2,000 55 1,0 0,136 0,002 15,9 0,2 0,039 0,002 2 0,250 0,040 2,000 55 1,0 0,263 0,007 8,2 0,2 0,040 0,002 2 0,500 0,040 2,000 55 1,0 0,540 0,029 4,0 0,2 0,039 0,002 Tabella 2: Tabella delle misure svolte, comprensiva di d teor e a teor teoriche, distanza L del laser, distanza x-x minimo minimo, distanza X-X massimo massimo, d sper e a sper sperimentali con relativi errori di misura. Conclusioni I valori ottenuti sono compatibili con la teoria e dimostrano la validità del metodo per estrarre i massimi e minimi. Tale strumento non è perfetto: non è in grado, per esempio, di dare una stima valida delle distanze minimo minimo e massimo massimo nel caso dei reticoli di diffrazione, in quanto una qualunque media sui dati altera significativamente il quadro dei massimi e dei minimi. Un eventuale miglioramento del software dovrebbe senz altro comprendere un sistema per stimare la lunghezza d onda del laser con maggiore precisione, ricorrendo alla grande quantità di dati presi con setup molto diversi fra loro; un metodo iterativo potrebbe essere una scelta, oppure una massimizzazione del grafo a più dimensioni di χ 2 intorno ai valori teorici per ottenere il miglior fit di tutte le variabili contemporaneamente. Pagina 6 di 6