MEDIE ALGEBRICHE E DI POSIZIONE 0 Itroduzioe Tra le elaborazioi matematiche effettuate sui dati statistici rivestoo particolare importaza quelle che hao il compito di esprimere i diversi valori delle itesità di u feomeo, mediate u solo umero che esprima siteticamete quella successioe Ad esempio, per cooscere l aumeto del costo di certo prodotto ell arco di u ao, più che la coosceza dell aumeto mese per mese è utile cooscere l aumeto medio, cioè quell aumeto capace di sitetizzare tutti quelli che si soo verificati ei sigoli mesi U umero capace di esprimere siteticamete ua distribuzioe di itesità di u feomeo collettivo viee detto valore medio I geerale si defiisce valore medio di u isieme di dati statistici quatitativi qualuque valore compreso fra il miimo ed il massimo di quelli dati I valori medi, aturalmete, soo ifiiti e ciascuo di essi può coicidere o o co u dato della successioe Fra questi ifiiti valori medi assumoo particolare importaza le cosiddette medie algebriche e le medie di posizioe che ora adremo ad esamiare i dettaglio Media aritmetica La media aritmetica viee applicata ei cofroti di variabili che rappresetao gradezze aveti carattere additivo quali, ad esempio, redditi, cosumi, produzioi, ecc ed idica l itesità che avrebbe ciascua uità statistica el caso i cui quella totale fosse ugualmete ripartita fra tutte le uità (reddito medio idividuale, cosumo medio idividuale di u certo prodotto, ecc) Si chiama media aritmetica semplice di umeri,,, aveti carattere quatitativo il umero M a che si ottiee dividedo la loro somma per il umero, cioè si ha: 39
+ + + M a = o, i forma compatta: = M a = o M a = = Osserviamo che la media aritmetica può essere determiata ache quado o si cooscoo i vari termii,,, della successioe: basta cooscere la loro somma ed il loro umero Ad esempio si può calcolare il cosumo medio auale del gas per uso domestico di ua famiglia seza cooscere il cosumo i ciascu mese dell ao: basta dividere il cosumo totale ell itero ao e dividerlo per Cosideriamo, isieme alla successioe,,, la somma degli termii M a + M a + +M a Dalla defiizioe di media aritmetica si trae che: + + + = M a Ricordado che i umeri,,, rappresetao le itesità delle modalità di quel carattere quatitativo, possiamo affermare che il umero M a rappreseta il valore costate che dovrebbe avere ciascuo dei umeri,,, perché la somma complessiva dei loro valori resti ivariata Possiamo verificare che M a è effettivamete u valore medio compreso fra il miimo ed il massimo dei valori,,, Per fare ciò dispoiamo i valori idicati i ordie o decrescete, cioè sia: Ovviamete vale la relazioe: da cui: + + + + + + + + + volte volte M a M a 40
L aggettivo aritmetica è giustificato dal fatto che la media aritmetica di u umero dispari di valori che soo i progressioe aritmetica è proprio il umero che occupa la posizioe cetrale Se, ad esempio, si cosiderao i umeri ; 3; 5; 7; 9; ; 3 si vede che essi costituiscoo ua progressioe aritmetica di ragioe e la media aritmetica di questi umeri è: M a = + 3 + 5 + 7 + 9 + + 3 = 49 = 7 7 7 che coicide proprio co il termie cetrale Può capitare che i ua distribuzioe di frequeze ciascuo dei dati etri el calcolo u umero diverso di volte: si ha i tal caso la media aritmetica poderata Suppoiamo che il valore compaia co ua frequeza f, valore co frequeza f ed ifie il valore co frequeza f Si hao così, complessivamete: f + f + + f = umeri la cui media aritmetica è data dalla: f volte f volte f volte ( M a = + + + ) + ( + + + ) + + ( + + + ) f + f + + f che possiamo scrivere più semplicemete come: M a = f + f + + f + f + + f f o, i forma sitetica: M a = = f M a = f = A queste espressioi si dà il ome di media aritmetica poderata di,,, ed i umeri f, f,, f si dicoo pesi o frequeze 4
Possiamo perciò dare la seguete defiizioe: Si chiama media aritmetica poderata di più umeri il quoziete che si ottiee dividedo la somma dei prodotti dei sigoli dati per le rispettive frequeze per la somma di tutte le frequeze Esempio Si voglia determiare il salario medio mesile di u gruppo di lavoratori così composto: 5 co u salario mesile di 00 0 co u salario mesile di 500 5 co u salario mesile di 000 È evidete che la determiazioe o può essere effettuata attraverso la media semplice dei tre valori perché ciascuo di essi si preseta co frequeza diversa Si tratta quidi di ua media poderata ed abbiamo: M a = 00 5 + 500 0 + 000 5 = 400 5+ 0+ 5 cifra che rappreseta il salario medio per quel gruppo di lavoratori Quado si deve calcolare ua media aritmetica poderata su ua distribuzioe di frequeze di u carattere quatitativo i cui valori siao ripartiti i classi di itesità, bisoga servirsi di particolari criteri Si costruisce ua tabella el modo seguete: Classi Frequeze ( i ) Valori cetrali ( i ) i i c 0 c c c c - c Totale N c0 + c dove i valori cetrali soo dati da c + c,, Esempio Per la distribuzioe dell altezza di u collettivo di 50 persoe si ha: j= j j 4
Altezza Frequeza ( i ) Valori cetrali ( i ) i i 50-60 55 55 60-70 0 65 650 70-80 35 75 65 80-00 4 90 760 Totale 50 8690 e quidi per l altezza media si ha: M a = 8690 73,8 50 = Scarti e proprietà della media aritmetica Dati umeri,,, ed idicato co M a il loro valore medio, si chiamao scarti (o scostameti) dei umeri dati dal suo valore medio M a, le differeze (positive, ulle o egative) fra ciascuo dei dati umeri ed il loro valore medio M a Gli scarti, pertato, soo dati da: M a, M a,, M a Prima proprietà La somma algebrica degli scarti dalla media aritmetica è ulla Ifatti si ha: ( M a ) + ( M a ) + + ( M a ) = + + + M a = = + + + + = + + = + + + ( + + + ) = 0 Questa proprietà vale ache el caso della media aritmetica poderata ed i tal caso risulta ( i Ma) fi i = = 0 Ifatti si ha: ( M a ) f + ( M a ) f + + ( M a ) f = = f + f + + f (f + f + +f ) M a = 43
f + + f = f + + f (f + f + +f ) f + f + + f = = f + f + + f ( f + f + + f ) = 0 Secoda proprietà La somma dei quadrati degli scarti è miima quado gli scarti soo calcolati dalla media aritmetica M a Ciò vuol dire che se si calcolao gli scarti aziché dalla media aritmetica M a da u altro umero qualuque α, la somma dei quadrati di tali scarti risulta maggiore rispetto a quella degli scarti dalla media aritmetica Cosideriamo gli scarti dalla media aritmetica M a e gli scarti da u umero qualsiasi α e suppoiamo che sia α = M a δ Possiamo scrivere: α = (M a δ) = ( M a ) + δ α = (M a δ) = ( M a ) + δ α = (M a δ) = ( M a ) + δ La somma dei quadrati degli scarti è: ( α) + ( α) + + ( α) = = [( M a ) + δ] + [( M a ) + δ] + + [( M a ) + δ] = = [( M a ) + δ( M a ) + δ ] + + [( M a ) + δ( M a ) + δ ]= = [( M a ) + ( M a ) + + ( M a ) ] + + δ[( M a ) + + ( M a )] + δ La quatità detro la secoda paretesi quadra essedo la somma degli scarti da M a vale zero e quidi si ha: ( α) + ( α) + + ( α) = = [( M a ) + ( M a ) + + ( M a ) ] + δ Essedo δ sicuramete positivo risulta evidete che: ( α) + + ( α) > ( M a ) + ( M a ) + + ( M a ) La proprietà vale ache el caso della media poderata, cioè risulta ( Ma) f < ( α ) f = = 44
3 Media geometrica e sue proprietà La media geometrica viee usata quado si ha a che fare co valori il cui prodotto ha u sigificato logico poiché la media geometrica è quel umero che sostituito a ciascuo dei valori dati e coserva ialterato il prodotto Essa viee applicata, ad esempio, ei problemi di capitalizzazioe i cui si tratta di sostituire ad ua serie di tassi variabili el tempo u tasso uico costate equivalete Si chiama media geometrica semplice, e si idica co G, di umeri,,, la radice -esima del loro prodotto, cioè: G = I particolare la media geometrica di due umeri, α e β, è la radice quadrata del loro prodotto, cioè: G = α β Quado i dati che compogoo la successioe hao ua diversa frequeza, si ha la media geometrica poderata che si può scrivere ella forma: f+ f+ + f f f f G = il cui calcolo è possibile co l uso dei logaritmi La media geometrica o può essere determiata se qualcuo dei termii è uguale a zero perché i tal caso si aulla il prodotto coteuto el radicado Passiamo ora ad esamiare le proprietà della media geometrica Prima proprietà Il umero G rappreseta il valore che dovrebbe possedere ciascuo degli umeri,,, affiché il prodotto rimaga immutato Ifatti, voledo che sia: dovrà essere: G G G = volte G = G = f f f 45
Secoda proprietà La media geometrica G è u valore medio compreso fra il miimo ed il massimo valore della distribuzioe data Ifatti, supposto: si ha: 0 < da cui: volte volte G G Terza proprietà Il reciproco della media geometrica di più umeri è uguale alla media geometrica dei loro reciproci Ifatti, se ai umeri dati,,, si sostituiscoo i loro reciproci:,,, la media geometrica è: G = che è apputo il reciproco di G Quarta proprietà La media geometrica di più rapporti è uguale al rapporto tra la media geometrica dei umeratori e quella dei deomiatori Ifatti, dati i rapporti:, y y,, y la loro media geometrica è: 46
G = y y y che possiamo scrivere ella forma: G = y y y Quita proprietà Il logaritmo della media geometrica di umeri è uguale alla media aritmetica dei logaritmi dei umeri stessi Ifatti, essedo G =, passado ai logaritmi si ha: log G = (log + log + + log ) e el caso di media geometrica poderata G = f f f si ha: log G = ( f log + f log + + f log ) il cui secodo membro rappreseta la media aritmetica poderata dei logaritmi dei umeri dati co i rispettivi pesi La media ora esamiata si chiama geometrica perché, se calcolata per u umero dispari di termii i progressioe geometrica, essa è uguale al termie cetrale della progressioe stessa 4 Media quadratica e sue proprietà Si chiama media quadratica semplice, e si idica co M g, di umeri,,, la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati dei umeri dati, cioè: M q = + + + o, i forma compatta: 47
M q = = Ache la media quadratica può essere poderata, ed allora assume la forma: M q = f + f + + f + f + + f f Il valore di M q, i questo caso, prede il ome di media quadratica poderata dei umeri,,, co i pesi f, f,, f Prima proprietà Il umero M q rappreseta il valore comue che dovrebbe possedere ciascuo degli umeri,,, affiché resti immutata la somma dei loro quadrati Ifatti, si ha: M + M + q q + + M q = + + volte = + + + = M q M q + + + e quidi: M q = + + + Secoda proprietà La media quadratica è u valore medio della distribuzioe ed è compresa fra il miimo ed il massimo Ifatti, se si ha: 0 < allora valgoo le disuguagliaze: + + + + + + + + + volte volte 48
da cui: M q Dividedo tutti i termii delle disuguagliaze per ed estraedo la radice quadrata si ottiee apputi: M q Fra le medie cosiderate la media quadratica è quella che ha valore maggiore e quidi è più ifluezata dai valori molto piccoli o molto gradi della distribuzioe Essa è utilizzata per mettere i evideza l esisteza di valori che si scostao molto dai valori cetrali 5 Media armoica e sue proprietà Si chiama media armoica semplice, e si idica co H, di umeri,,, il reciproco della media aritmetica dei reciproci dei umeri dati, cioè: H = o ache, i forma compatta: + + + H = = I pratica risulta più semplice ricordare l espressioe: + + + = = H = cioè: l iverso della media armoica è la media aritmetica degli iversi dei umeri dati Quado i valori della distribuzioe,,, si presetao co le frequeze f, f,, f, rispettivamete, la media armoica si scrive sotto la forma: 49
H = f f + f + + e si chiama media armoica poderata Prima proprietà Il umero H rappreseta il valore comue che dovrebbe avere ciascuo degli umeri,,, affiché resti immutata la somma dei loro reciproci Ifatti: + + + H H H volte = + + + = + + + H da cui, passado ai reciproci: H = H = + + + + + + Secoda proprietà La media armoica H è u valore medio e quidi è compreso fra il miimo ed il massimo di quelli dati Ifatti, supposto che sia 0 <, si ha che: + + + volte + + + + + + volte H Dividedo per tutti e tre i membri delle disuguagliaze si ottiee ifie: 50
H H la media armoica si usa quado si prede i esame u carattere che risulta essere additivo rispetto ai reciproci dei suoi valori e si vuole otteere ua distribuzioe uiforme che però o alteri la somma dei loro reciproci Per cocludere l argometo delle medie algebriche osserviamo che le diverse medie, i geerale, o soo uguali Si può dimostrare che se i dati o soo tutti uguali, valgoo le relazioi: H < G < M < M q 6 Moda Le medie descritte i precedeza vegoo dette medie algebriche perché si calcolao mediate operazioi algebriche I statistica si cosiderao ache altri valori medi che o provegoo da u calcolo algebrico ma dall esame delle posizioi dei dati ella distribuzioe cosiderata Si chiama moda (o ache orma o valore modale o valore ormale o valore di massima frequeza) di u isieme di umeri il valore, che idichiamo co M o, che si preseta co la frequeza più alta La moda è quidi u particolare valore medio che idica l itesità del feomeo che si verifica co maggiore frequeza Ad esempio, per ua data popolazioe la distribuzioe delle famiglie secodo il umero dei loro compoeti risulta come segue: famiglie co uità o 5834 famiglie co uità 0580 famiglie co 3 uità 0874 famiglie co 4 uità 03 famiglie co 5 uità 0000 famiglie co 6 uità 40003 famiglie co 7 uità 03 Si rileva subito che la moda è rappresetata dal dato umero 4 cui corrispode la frequeza più alta (03) Si può allora dire che la composizioe ormale delle famiglie di quella data popolazioe è di 4 persoe essedo le famiglie di quel tipo le più umerose Si può dire che la moda, sotto certi aspetti, risulta essere u valore più sigificativo rispetto agli altri valori medi perché, a differeza della 5
media aritmetica o di altre medie che foriscoo valori astratti e possoo o coicidere co alcuo dei dati empirici, questa riveste particolare importaza ei problemi statistici i cui occorre mettere i risalto la misura dei feomei che ha la maggiore probabilità di verificarsi Così, ad esempio, il salario modale dei dipedeti di ua azieda è più espressivo rispetto al salario medio aritmetico perché quest ultimo può essere ifluezato da retribuzioi molto alte di u piccolo umero di dirigeti dell azieda Nel caso di ua distribuzioe di frequeze co modalità raggruppate i classi, dapprima si defiisce la classe modale, cioè quella classe a cui compete la desità di frequeza più alta e successivamete si assume come moda il valore cetrale di tale classe Ad esempio, cosiderata la seguete distribuzioe di frequeze: Peso Nro idividui Desità di frequeza 50 53 6 53 59 59 60 3 3 Si ota che la classe modale è la (59 60) e moda è 59 + 60 = 59,5 Nel caso che ci sia ua sola moda, si dice che la distribuzioe è uimodale Qualora ci siao più mode si dice che la distribuzioe è plurimodale Nella realtà è difficile che ua distribuzioe sia pluroimodale; accade piuttosto che la distribuzioe preseti dei picchi 7 Mediaa Si chiama mediaa (o valore mediao o valore cetrale) di u isieme di umeri disposti i ordie o decrescete o o crescete, il valore M c che occupa il posto cetrale se questi soo i umero dispari oppure la semisomma dei due umeri cetrali se questi soo i umero pari Così, per esempio, i ua successioe ordiata di termii la mediaa sarà rappresetata dal sesto termie metre i ua successioe ordiata di 0 termii la mediaa risulterà dalla semisomma del decimo e dell udicesimo termie La mediaa, quidi, rappreseta il valore cetrale di ua distribuzioe di itesità di u carattere quatitativo (seriazioe) perché essa lascia il 50% dei dati alla sua siistra ed il rimaete 50% alla sua destra 5
Oltre alla mediaa, talora, i statistica si usao altri valori medi di posizioe che ripartiscoo il umero dei dati della distribuzioe i u determiato umero di parti uguali Questi valori medi, a secoda che ripartiscoo i dati della seriazioe i 4, 5, 0 o 00 parti uguali, predoo il ome, rispettivamete, di quartili, quitili, decili e cetili Ci occuperemo qui solo di quartili e percetili Quartili I ua distribuzioe ordiata i modo crescete o decrescete, ci soo 3 quartili che la dividoo i quattro parti uguali Il primo quartile (che idichiamo co Q ) ha prima di sé il 5% dei casi; il secodo quartile (Q ) coicide co la mediaa ed ha prima di sé la metà dei casi; il terzo quartile (Q 3 ) ha prima di sé il 75% dei casi Esempio Cosideriamo la seguete distribuzioe: 3; 7; ; 8; 0; ; 3; 4; 6; 30 I termii di questa distribuzioe soo 0, quidi i umero pari Calcoliamo iazitutto la mediaa Q che è data dalla media aritmetica dei due termii cetrali che è 0,5 Per calcolare gli altri due quartili procediamo el modo seguete Il primo quartile Q è compreso tra i termii iferiori alla mediaa Q, cioè compreso fra 3, 7,, 8, 0 Q allora si ottiee calcolado la mediaa di questi termii Poiché il umero dei termii è 5 (dispari) la mediaa è data dal termie cetrale che è Quidi Q = Il terzo quartile è compreso tra i termii superiori alla mediaa, quidi fra, 3,4, 6, 30 Ache questi soo i umero dispari e la mediaa è 4, per cui il terzo quartile è Q 3 = 4 Percetili I percetili soo quelli che dividoo la distribuzioe i 00 parti uguali e quidi soo molto simili ai quartili Per dare u idea di come si collocao i percetili ella distribuzioe, osserviamo che il primo percetile (P ) supera /00 dei casi ed è superato dal rimaete 99/00; il secodo percetile (P ) supera i /00 dei casi ed è a sua volta superato dai restati 98/00 Così procededo otiamo che il 5 percetile (P 5 ) corrispode al primo quartile (Q ), il 50 percetile (P 50 ) corrispode al secodo quartile (Q ) ed alla mediaa, il 75 (P 75 ) corrispode al terzo quartile Q 3 53
8 La variabilità Le medie, come già detto, servoo a sitetizzare i u solo umero ua raccolta di dati a carattere quatitativo e cosetoo cofroti fra le misure di uo stesso feomeo i mometi e luoghi diversi o fra misure di feomei diversi Ad esempio può essere utile cofrotare il reddito medio degli italiai co quello medio degli abitati di altri Paesi, oppure fare il cofroto co i redditi medi i epoche passate dello stesso ostro Paese Le medie però o foriscoo alcua idicazioe circa la variabilità dei dati Ad esempio o mettoo i evideza che fra i diversi cittadii vi soo redditi tra loro molto differeti Se osserviamo le due successioi di dati: a) 8, 9, 0, 5, 8 b), 7, 0,, 30 si vede che le loro medie aritmetiche: M a 8+ 9+ 0+ 5+ 8 = = e 5 M b + 70 + + 30 = = 5 soo uguali come soo uguali pure le mediae, ma le due successioi soo molto diverse per la diversa variabilità: ella prima la distribuzioe varia da 8 a 8, ella secoda da a 30 Occorre quidi misurare questa variabilità; diamo allora la seguete defiizioe: Si chiama campo di variabilità di u isieme di valori la differeza fra il valore massimo ed il valore miimo Se idichiamo la variabilità co R (dall iglese rage) e co mi e ma rispettivamete il valore miimo ed il valore massimo, si ha: R = ma mi Allora le distribuzioi di valori a) e b) presetao, rispettivamete, i campi di variabilità: R a = 8 8 = 0 e R b = 30 = 9 54
9 Scarto semplice medio dalla media aritmetica Dato u isieme di valori di u carattere quatitativo,,, e detta M a la media aritmetica ed idicati co: M a, M a,, M a i valori assoluti degli scarti, si chiama scarto semplice medio dalla media aritmetica degli umeri dati, al media aritmetica dei valori assoluti degli scarti dalla loro media aritmetica I altre parole, detto lo scarto medio semplice, i base alla defiizioe si ha: S M a S M a = M + M a a + + M a o, i forma compatta: S M a = = M a Nel caso che i dati statistici siao distribuiti co le frequeze f, f,, f lo scarto medio assume la forma: S Mp = M p + M f + f p + + M + + f p dove M p rappreseta la media aritmetica poderata I forma compatta possiamo scrivere: S Mp = = M p f Vediamo alcue proprietà dello scarto semplice medio Prima proprietà Metre la somma degli scarti relativi dalla media aritmetica è ulla, la somma dei valori assoluti degli scarti è ulla se e solo se i dati soo tutti uguali tra loro 55
Secoda proprietà Tato più piccolo è lo scarto semplice medio tato più i valori si addesao attoro alla media aritmetica Terza proprietà Si defiisce ache lo scarto medio dalla mediaa poedo: S Me = M e + M e + + M e se i dati soo semplici; se soo poderati si avrà: S Me = M e f + M e f + + M e f Lo scarto semplice medio dalla mediaa gode dell importate proprietà di essere il più piccolo fra tutti gli scarti medi della variabile da qualsiasi valore medio Quarta proprietà Dividedo lo scarto medio per il valore medio rispetto al quale è stato calcolato, si ottiee u corrispodete idice relativo che viee detto scarto semplice relativo Lo scarto semplice relativo dalla media aritmetica è SM a metre quello relativo alla mediaa è M a SM e M e Esempio Cosideriamo la distribuzioe di dati: Si ha che: 3; 4; 5; 6; ; 3; 4 M a = 3 + 4 + 5 + 6 + + 3 + 4 = 8 7 metre è M e = 6 (essedo 6 il valore del termie cetrale) Calcoliamo gli scarti dalla media aritmetica: M a = 3 8 = 5; M a = 4 8 = 4; 3 M a = 5 8 = 3; 56
4 M a = 6 8 = ; 5 M a = 8 = 3; 6 M a = 3 8 = 5 7 M a = 4 8 = 6 5+ 4+ 3+ + 3+ 5+ 6 S M a = = 4 7 Lo scarto semplice relativo alla media aritmetica è quidi: SM a 4 = = = 0,5 M 8 a Calcoliamo ora gli scarti dalla mediaa: M e = 3 6 = 3; M e = 4 6 = ; 3 M e = 5 6 = ; 4 M e = 6 6 = 0; 5 M e = 6 = 5; 6 M e = 3 6 = 7; 7 M e = 4 6 = 8 S M e = 3+ + + 0+ 5+ 7+ 8 7 = 6 7 = 37 Lo scarto semplice relativo alla mediaa è quidi: S M Me e 37 = = 86 0,69 0 Variaza e scarto quadratico medio Dato u isieme di valori di u carattere quatitativo,,, si chiama variaza di tali umeri la media aritmetica dei quadrati degli scarti dei umeri stessi dalla media aritmetica Idicata co σ la variaza e co M a la media aritmetica dei umeri dati, i base alla defiizioe si ha: σ = ( Ma) + ( Ma) + + ( M a ) 57
Se i dati aziché essere semplici hao le frequeze, rispettivamete f, f,, f, la variaza è data dalla: σ = ( Ma) f + ( Ma) f + + ( Ma) f f + f + + f dove questa volta M a rappreseta la media aritmetica poderata dei valori dati Idicado co M a la media aritmetica dei quadrati dei dati, si può dimostrare che: σ = M a ( M a ) cioè la variaza è uguale alla differeza fra la media aritmetica dei quadrati dei dati ed il quadrato della media aritmetica dei dati stessi Si chiama scarto quadratico medio di valori,,, la radice quadrata aritmetica della variaza di tali valori Quidi, per defiizioe, detto σ lo scarto quadratico medio, si ha: σ = ( Ma) + ( Ma) + + ( M a ) se i dati soo semplici, se soo poderati si ha: σ = ( Ma) f+ ( Ma) f+ ( M ) f f + + f a Esempio Cosideriamo la distribuzioe: ; 3; 6; 7; 3 Si ha che: e gli scarti soo: M a + 3+ 6+ 7+ 3 = = 6 5 M a = 6 = 5; M a = 3 6 = 3; 3 M a = 6 6 = 0; 4 M a = 7 6 = ; 4 M a = 3 6 = 7 58
per cui è: Ma è ache: di cosegueza σ = 5 + 9 + 0 + + 49 = 6,8 5 M a = + 3 + 6 + 7 + 3 5 = 5,8 σ = 5,8 6 = 6,8 Differeze medie La variabilità si può misurare ache utilizzado le differeze di ciascu dato da tutti gli altri I questo caso si parla di differeze medie che si defiiscoo el modo seguete: Si chiama differeza media di ua distribuzioe di dati ua media calcolata sulle differeze fra ciascu dato e tutti gli altri Dati valori,,, calcoliamo tutte le differeze fra ogi termie e ciascuo degli termii (quidi compresa la differeza co se stesso) e riportiamoli i ua matrice el modo seguete: Si tratta di ua matrice i cui termii situati sulla diagoale pricipale soo tutti ulli Il umero totale delle differeze è ; poiché termii (quelli della diagoale pricipale) soo ulli, le differeze o ulle soo i umero di = ( ) Esempio Dati i valori, 3, 5, 8, calcolare tutte le differeze possibili e costruire la matrice delle differeze Si ha: 59
0 4 7 0 5 4 0 3 7 5 3 0 Come si può facilmete osservare la matrice è scompoibile i: a) la diagoale pricipale coteete tutti elemeti ulli; b) due triagoli simmetrici rispetto a questa diagoale e coteeti differeze uguali i valore assoluto ma opposte el sego Da questa matrice si deducoo ache alcui idici di variabilità chiamati differeze medie che possoo essere così defiiti: ) Differeza media assoluta Si chiama differeza media assoluta la media aritmetica dei valori assoluti delle differeze Tale differeza si dice co ripetizioe se si cosiderao tutte le differeze (cioè comprese le ulle); seza ripetizioe se si cosiderao solo le ( ) differeze otteute escludedo i termii ulli della diagoale pricipale Idicado co r e co rispettivamete le differeze medie co ripetizioe e seza, si ha: + + + r = = + 3 + + ( ) Esempio Cosideriamo la distribuzioe: 8; ; 5; 9; 4 Le differeze co ripetizioe soo date da: D ', ' = che el ostro caso forisce il valore D 5, = 5 = 5 60
metre quelle seza ripetizioe soo: D, = ( ) che el ostro caso forisce il valore D 5, = 5(5 ) = 0 La matrice delle differeze è: 0 4 7 6 4 0 3 7 7 3 0 4 9 7 4 0 5 6 9 5 0 Sommado i termii di ciascua coloa si ottegoo i umeri: e la somma di tutte queste differeze è: per cui si ha: 38; 6; 3; 7; 4 38 + 6 + 3 + 7 + 4 = 56 56 r = 4 5 =6, 56 = 80 0 =7, ) Differeza media quadratica Si chiama differeza media quadratica co ripetizioe, la media quadratica di tutte le differeze (comprese quelle ulle) Si chiama differeza quadratica media seza ripetizioe la media quadratica delle differeze o ulle Se idichiamo co r e co rispettivamete la differeza media quadratica co ripetizioe e seza ripetizioe, i base alla defiizioe si ha: ( ) ( ) ( r = + + + ) 6
= ( ) + ( 3 ) + + ( ( ) ) e si può dimostrare che: r = σ = σ La cocetrazioe U altro aspetto importate di ua distribuzioe statistica è la cocetrazioe Cosideriamo la distribuzioe,,, di redditi relativi ad idividui di ua popolazioe ed idichiamo co: S = + + + Il reddito complessivo di tali idividui Può capitare che per u certo, co [,,,] valga la: 99 = S 00 allora vuol dire che la ricchezza è cocetrata quasi totalmete i u idividuo e quidi gli altri ( ) idividui posseggoo redditi trascurabili rispetto ad I questa situazioe si dice che la distribuzioe è fortemete cocetrata Può capitare ache che la ricchezza totale sia equamete distribuita, ossia che i redditi soo ripartiti i modo tale che ciascu idividuo ha u reddito pari ad S = M a, cioè è tale che = = = = M a I questo caso si dirà che la distribuzioe è uiforme (o ache che la cocetrazioe è ulla) Sostazialmete possiamo allora dire che u feomeo ha u alto grado di cocetrazioe se molta parte della sua itesità complessiva è attribuita a pochi casi i cui il feomeo si maifesta, ed essa è tato miore quato più la sua itesità complessiva è equamete distribuita Il 6
carattere della cocetrazioe viee idagato soprattutto ei cofroti di feomei ecoomici quali, ad esempio, i patrimoi, i redditi, le imposte, i salari, ecc Per misurare la cocetrazioe faremo riferimeto ad ua distribuzioe di ricchezza posseduta da ua popolazioe composta da idividui Suppoiamo, dapprima, che la ricchezza di quella popolazioe sia equidistribuita tra gli idividui oguo dei quali, quidi, possiede la quota S Per rappresetare graficamete la cocetrazioe fissiamo u sistema di assi cartesiai ortogoali (i ascisse riportiamo il umero degli idividui ed i ordiate la ricchezza) ed i esso riportiamo i puti: P, S, P, S,,, S P L ordiata di oguo di questi puti rappreseta la ricchezza posseduta da tati idividui quati e idica l ascissa del puto stesso Si ota facilmete che le ordiate soo proporzioali alle rispettive ascisse e che i puti dati si trovao tutti su ua stessa retta passate per l origie delle S coordiate e la sua equazioe è y= Ifatti si ha: e ache: S S y y S m = = = S S 3 y3 y S m = = = 3 3 63
Questa retta prede il ome di retta di equidistribuzioe perché geometricamete rappreseta la ricchezza della popolazioe i esame ripartita i parti uguali fra tutti i suoi compoeti Suppoiamo ora che i quella stessa collettività la ricchezza sia tutta cocetrata i u solo idividuo, cosicché tutti gli altri o e posseggoo affatto Dispoiamo allora gli idividui i modo che la ricchezza del primo valga zero; la ricchezza posseduta dai primi due isieme valga zero; e così via fio alla ricchezza posseduta dai primi ( ) idividui (isieme) sia ulla L ultimo idividuo possiede tutta la ricchezza globale S Si hao così i puti P (,0), P (,0),, P (, 0), P (, S) che adiamo a rappresetare graficamete: Si osserva facilmete che la liea che rappreseta tale feomeo coicide co l asse delle ascisse fio ad ( ) e si ialza fio a P per idicare che per tutti gli idividui essa è divetata S Se è sufficietemete grade, ( ) tede a cofodersi co ed allora l agolo tede ad essere retto ed il grafico che rappreseta la cocetrazioe è costituito dalla liea avete la forma dell agolo e si chiama spezzata di cocetrazioe massima I realtà la ricchezza di ua qualsiasi collettività o è mai equidistribuita é sarà mai cocetrata soltato su u sigolo idividuo Cosideriamo quidi il caso geerale Idichiamo co,,, le quote idividuali di ricchezza posseduta dagli idividui e dispoiamo tali quote i ordie o decrescete, cioè cosideriamo la successioe: OP P OP P 0 < 3 64
e rappresetiamo graficamete i puti: P (, ), P (, + ),, P (, + + + ) La spezzata OP P P si chiama spezzata di cocetrazioe relativa alla data distribuzioe (Osserviamo che l ordiata di ciascu puto P i rappreseta la ricchezza posseduta da tati idividui quati e idica l ascissa del puto stesso) Per sufficietemete grade il diagramma sarà rappresetato, aziché da ua spezzata, da ua curva crescete avete la cocavità rivolta verso l alto ed è chiamata curva di cocetrazioe Tra la retta della equidistribuzioe e la curva di cocetrazioe è compresa u area che viee detta area di cocetrazioe È ovvio che tato più la ricchezza è cocetrata, tato più la curva di cocetrazioe preseta u accetuata cocavità e tato più grade risulta l area di cocetrazioe Dopo quato detto appare chiaro che u efficace misura della cocetrazioe può essere espressa dal rapporto tra l area di cocetrazioe del suo diagramma ed il massimo che tale area potrebbe assumere Si dà quidi la seguete defiizioe: Se si divide l area C di cocetrazioe per l rea T del triagolo avete per lati la retta di equidistribuzioe e la spezzata di cocetrazioe massima, si ottiee u umero R chiamato rapporto di cocetrazioe della distribuzioe data e quidi si ha: 65
R = C T Se R=0 vuol dire che C=0 e quidi il feomeo è equidistribuito Se R= vuol dire che C=T, ossia la ricchezza appartiee ad u solo idividuo e quidi la cocetrazioe è massima Per determiare il valore del rapporto di cocetrazioe si deve calcolare l area di cocetrazioe, cioè l area di quella parte di piao racchiusa fra la curva di cocetrazioe e la retta di equidistribuzioe e quidi fare il rapporto fra queste e l area del triagolo avete per lati la retta di equidistribuzioe e la spezzata di cocetrazioe massima Questo procedimeto però risulta laborioso, ed allora si ricorre ad u altro procedimeto i quato si può dimostrare che il rapporto di cocetrazioe R è dato dal rapporto tra la differeza media assoluta seza ripetizioe ed il doppio della media aritmetica, cioè: R = M Esempio Studiare la cocetrazioe della distribuzioe Si ha che: =, 3, 5, 8 M a = + 3 + 5 + 8 7 = = 4,5 4 4 ( ) + 3 + 4 + 3 + 4 + 4 3 a ( ) ( + 4 + 7 + + 5+ 3) = = 3,8333 43 Cosideriamo i puti (,), (,4), (3,9) e (4,7), che adiamo a rappresetare graficamete: 66
Si ha che: la retta di equidistribuzioe è la OP 4 ; la spezzata di cocetrazioe massima è OEP 4 ; la spezzata della ostra distribuzioe è OP P P 3 P 4 L area T del triagolo OEP 4 di cocetrazioe massima risulta: T = 37 = 5,5 Troviamo ora l area di cocetrazioe Si ha: A = = = 0,5 (+ 4) 5 A = = =,5 (4 + 9) 3 A3 = = = 6,5 (9 + 7) A4 = = 3 A +A +A 3 +A 4 =,5 e quidi, ifie: A 0 = 47 = 34 C = 34,5 =,5 67
Quidi il rapporto di cocetrazioe è: R = C,5 0,45 T = 5,5 = oppure: R = 3,8333 0,45 4,5 = 68