Moto di Oscillatori Pietro Pantano Dipartimento di Matematica Università della Calabria Slides 1 di 27
Slides 2 di 27 1 Oscillatore semplice 5 2 Equazione caratteristica 6 3 Radici complesse 7 4 Integrale generale 8 5 Forza Peso 9 6 Sostituzioni 10 7 Integrale generale 11 8 Termini viscosi 12 9 Equazione caratteristica 13 10 Casi 14
11 Primo caso 15 Slides 3 di 27 12 Moti smorzati 16 13 Secondo caso 17 14 Terzo caso 18 15 Forza Peso 19 16 Termine forzante 20 17 Integrale particolare 21 18 Integrale generale 22 19 Termini viscosi 23 20 Integrale particolare/1 24 21 Integrale particolare/2 25
22 Forma polare 26 23 Integrale generale 27 Slides 4 di 27
1. Oscillatore semplice Slides 5 di 27 Il moto di un oscillatore semplice sarà regolato dall equazione differenziale mẍ + kx = 0 dove lo spostamento dalla posizione di equilibrio x = x(t) è la variabile dipendente, t è la variabile indipendente e rappresenta il tempo, m è la massa del corpo e k è la costante elastica della molla. Questa è una equazione differenziale omogenea a coefficienti costanti.
2. Equazione caratteristica L equazione caratteristica associata é la seguente: mλ 2 + k = 0 Da cui λ 1,2 = ± k m Slides 6 di 27
3. Radici complesse Slides 7 di 27 Le radici sono complesse, senza alcuna parte reale; pertanto l integrale si scriverà come dove x = Ā cos ωt + B sin ωt ω = k m e Ā e B sono costanti arbitrarie.
4. Integrale generale Slides 8 di 27 Alcune volte conviene scrivere la soluzione sotto la seguente forma x = A cos(ωt + φ) dove A e φ sono pur esse costanti arbitrarie. Il collegamento tra Ā, B, e A, φ può essere visto nel modo seguente A cos(ωt + φ) = A cos ωt cos φ A sin ωt sin φ da cui A cos φ = Ā e a sin φ = B e tan φ = B Ā
5. Forza Peso Consideriamo ora il caso di un corpo soggetto all azione di una molla e della forza peso. In questo caso l equazione del moto sarà mẍ + kx = mg Come abbiamo già visto l integrale generale si ottiene sommando l integrale dell equazione omogenea associata e un integrale particolare x p Slides 9 di 27
6. Sostituzioni Slides 10 di 27 Per trovare x p poniamo Allora sostituendo avremo da cui x p = c = cost. kc = mg c = mg k
7. Integrale generale Slides 11 di 27 Pertanto l integrale generale si scriverà come x = Ā cos ωt + B sin ωt + mg k mg = A cos(ωt + φ) + k In questo caso il diagramma (x, t) si modifica: il moto continua ad essere periodico attorno alla posizione x p = mg k
8. Termini viscosi Consideriamo ora il caso in cui il corpo è soggetto, oltre ad una forza elastica, anche ad una forza viscosa. Tale forza viscosa si schematizza introducendo nell equazione differenziale un termine proporzionale a ẋ dove v è una costante. mẍ + vẋ + kx = 0 Slides 12 di 27
9. Equazione caratteristica Scriviamo l equazione caratteristica mλ 2 + vλ + k = 0 da cui le radici si scriveranno come λ 1,2 = v ± v 2 4km 2m Slides 13 di 27
10. Casi A questo punto si possono presentare vari casi radici complesse km > v2 4 radici reali km < v2 4 radici coincidenti km = v2 4 Slides 14 di 27
11. Primo caso Slides 15 di 27 Caso km > v2 4 Come abbiamo già visto l integrale generale è dato da x = Ae v 2m t cos(ωt + φ) dove k ω = m v2 4m 2 ed A e φ sono costanti arbitrarie. Il moto è oscillatorio con ampiezza decrescente. L ampiezza decresce tanto più lentamente quanto più è piccolo v.
12. Moti smorzati Quando km >> v2 4 il moto è detto debolmente smorzato il moto è detto forte- Quando km differisce di poco da v2 4 mente smorzato Slides 16 di 27
13. Secondo caso Slides 17 di 27 Caso km < v2 4 In questo caso le radici saranno reali e l integrale generale si scriverà come x = Ae v+ v 2 4km 2m t + Be v+ v 2 4km t 2m Pertanto il moto non presenterà oscillazioni e il valore di x tenderà rapidamente a zero. Tale moto è detto ultrasmorzato.
14. Terzo caso Slides 18 di 27 Caso v2 4 = km In questo caso l integrale generale (essendo le due radici coincidenti) sarà dato da x = Ae v 2m t + Bte v 2m t dove A e B sono due costanti arbitrarie. Anche in questo caso il moto non presenterà oscillazioni. Il moto è detto, in questo caso, criticamente smorzato.
15. Forza Peso Se il corpo fosse soggetto anche ad una forza peso, l equazione differenziale del moto sarebbe del tipo mẍ + vẋ + kx = mg Slides 19 di 27
16. Termine forzante Supponiamo ora che sul corpo agisca una forza periodica del tipo f(t) = F 0 cos ω 0 t dove F 0 e ω 0 sono quantitá costanti. All equazione differenziale andrà ora aggiunto un termine forzante mẍ + kx = F 0 cos ω 0 Slides 20 di 27
17. Integrale particolare Slides 21 di 27 Come abbiamo visto in precedenza, anche in questo caso la ricerca dell integrale dell equazione differenziale, si riduce alla ricerca di un integrale particolare dell equazione stessa, in quanto conosciamo già la soluzione dell omogenea associata. Per trovare tale integrale particolare poniamo e sostituiamo. Allora Da cui dove x p = Ā cos ω 0t ( mω 2 0 + k)ā cos ω 0t = F 0 cos ω 0 t Ā = F 0 k mω 2 0 = F 0 m 1 ω 2 ω 2 0 ω 2 = k m
18. Integrale generale Slides 22 di 27 L integrale generale diventa allora x = A cos(ωt + φ) + F 0 m 1 cos ω ω 2 ω0 2 0 t dove A e φ sono costanti arbitrarie. Osserviamo che il moto risulta dalla sovrapposizione di due moti armonici. E interessante inoltre notare che, quando ω 0 ω l ampiezza del secondo termine tende ad, siamo in presenza di una risonanza. In realtà questo non è fisicamente accettabile in quanto a tali valori di ω 0 diventano cruciali i fenomeni viscosi trascurati nell equazione.
19. Termini viscosi Se consideriamo in più un termine viscoso mẍ + vẋ + kx = F 0 cos ω 0 t il problema è ancora quello di trovare un integrale particolare. Slides 23 di 27
20. Integrale particolare/1 Slides 24 di 27 Consideriamo l equazione per la funzione complessa z = x + iy, m z + vż + kz = F 0 e iω 0t la soluzione avrá per parte reale la soluzione dell equazione reale mẍ + vẋ + kx = F 0 cos ω 0 t. Se troviamo una soluzione particolare per l equazione complessa, la sua parte reale sará necessariamente soluzione particolare dell equazione reale. Ponendo avremo z p = z 0 e iω 0t (mω 2 0 + ivω 0 + k)z 0 e iω 0t = F o e iω 0t
21. Integrale particolare/2 Slides 25 di 27 da cui z 0 = F 0 1 m ω 2 ω0 2 + iω 0 v/m z 0 ovviamente avrà una parte reale ed una complessa. Esplicitando avremo z 0 = F 0 ω 2 ω0 2 iωv/m m [(ω 2 ω0) 2 2 + (ω 0 v/m) 2 ]
22. Forma polare Slides 26 di 27 In forma polare dove e R = z 0 z0 = F [ 0 m la soluzione completa sarà z 0 = Re iθ 1 (ω 2 ω 2 0) 2 + (ω 0 v m )2 ( v ) ω0 m θ = arctan ω0 2 ω 2 z p = Re iθ e iω 0t ] 1 2
23. Integrale generale Essendo x p la parte reale di z p, per costruzione avremo x p = R cos(ω 0 t + φ) Pertanto l integrale generale sarà: l integrale generale dell omogenea associata x G, più x p. x G = x G (t) + x p Slides 27 di 27