Aalisi combiatoria CAPITOLO 1 1.1 INTRODUZIONE Quello che segue è u tipico problema pratico che coivolge le probabilità. U sistema di comuicazioe cosiste di atee apparetemete idetiche che vegoo allieate i ordie. Il sistema otteuto sarà i grado di ricevere tutti i segali che arrivao e i tal caso esso sarà detto fuzioate se o vi soo due atee difettose cosecutive. Sapedo che esattamete m delle atee soo difettose, qual è la probabilità che il sistema sia fuzioate? Per esempio, el caso i cui = 4 e m = 2 soo possibili le sei cofigurazioi del sistema che seguoo, 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 dove 1 idica che l atea fuzioa e 0 che è difettosa. Dato che il sistema risulta fuzioate ei primi tre casi e o fuzioate egli ultimi tre, appare sesato attribuire 3 il valore 6 = 1 2 alla probabilità richiesta. Nel caso di e m arbitrari, potremmo calcolare i modo simile la probabilità che il sistema sia fuzioate. Potremmo cioè cotare il umero di cofigurazioi elle quali il sistema è fuzioate e poi dividere per il umero di tutte le cofigurazioi possibili. Da quato precede vediamo che sarebbe utile possedere u metodo per cotare il umero di modi i cui avvegoo certi feomei. Di fatto, molti problemi del calcolo delle probabilità si risolvoo semplicemete calcolado il umero di modi i cui avviee u dato eveto; sarà questo l argometo dell aalisi combiatoria. 1.2 IL PRINCIPIO FONDAMENTALE DEL CALCOLO COMBINATORIO Il pricipio che segue sarà spesso utilizzato i seguito. I parole povere, esso afferma che se u esperimeto ha m esiti possibili e se u altro esperimeto ha esiti possibili, allora i due esperimeti hao m esiti possibili.
2 Capitolo 1 Aalisi combiatoria Il pricipio fodametale del calcolo combiatorio Si realizzio due esperimeti. Si suppoga che il primo esperimeto abbia m esiti possibili, che per oguo di questi il secodo esperimeto abbia esiti possibili. Allora, se sequeze distite di esiti dei due esperimeti producoo esiti fiali distiti 1,i due esperimeti hao i tutto m esiti possibili. Dimostrazioe del pricipio fodametale: due esperimeti come segue: possiamo elecare tutti gli esiti dei 11, 12, 11, 22, p, 11, 2 12, 12, 12, 22, p, 12, 2 o 1m, 12, 1m, 22, p, 1m, 2 dove diciamo che l esito fiale è 1i, j2 se il primo esperimeto ha prodotto l esito i e il secodo esperimeto ha prodotto l esito j. L isieme degli esiti possibile cosiste quidi di m righe, ogua delle quali cotiee elemeti. Esempio 2a. Ua piccola comuità cosiste di 10 doe, ogua delle quali ha 3 bambii. Si vuole eleggere ua di queste mamme e u suo bambio come mamma e bimbo dell ao; quate soo le scelte possibili? Soluzioe Si può vedere la scelta della mamma come l esito del primo esperimeto e la scelta successiva di uo dei suoi bambii come l esito del secodo esperimeto; per il pricipio fodametale vi soo 10 * 3 = 30 scelte possibili. Il pricipio fodametale si geeralizza facilmete el caso di più esperimeti. Il pricipio fodametale (geeralizzato) del calcolo combiatorio Si realizzio r esperimeti. Si suppoga che il primo esperimeto abbia 1 esiti possibili, che per oguo di questi il secodo esperimeto abbia 2 esiti possibili, che per oguo degli esiti dei due primi esperimeti il terzo esperimeto abbia 3 esiti possibili ecc. Allora, se sequeze distite di esiti degli r esperimeti producoo esiti fiali distiti allora gli r esperimeti hao i tutto 1 2 p r esisti possibili. 1 La precisazioe che gli esiti siao distiti o appare ella versioe origiale del testo. Essa è tuttavia fodametale e la sua macata verifica è la maggior causa di errori i combiatoria: si voglia ad esempio costituire u comitato di due persoe, da u gruppo costituito da u uomo U e due doe A, B.Vi soo chiaramete solo 3 modi per formare il comitato: {U, A}, {U, B}, {A, B}. La realizzazioe del comitato si può evidetemete fare realizzado due esperimeti cosecutivi: si sceglie prima ua doa (2 scelte) e poi il secodo membro (2 scelte, chiuque sia la doa scelta prima); l applicazioe cieca del pricipio precedete, seza la precisazioe a esso apportata, codurrebbe quidi erroeamete a 4 modi possibili per formare il comitato! Il pricipio o si può qui applicare i quato la scelta di A el primo esperimeto e di B el secodo coduce allo stesso risultato {A, B} otteuto scegliedo B el primo esperimeto e A el secodo; è quidi violata la richiesta che sequeze distite di esiti degli esperimeti parziali producao esiti fiali distiti. Tuttavia, per evitare iutili appesatimeti, la verifica i que-
1.3 Permutazioi 3 Esempio 2b. U comitato uiversitario è composto da 3 studeti, 4 ricercatori, 5 professori e 2 ammiistrativi. I quati modi si può formare u sottocomitato di quattro persoe el quale vi sia u rappresetate di ogua delle categorie elecate sopra? Soluzioe Si può vedere la scelta del sottocomitato come il risultato di quattro esperimeti che cosistoo ella scelta di u sigolo rappresetate per ogi categoria. Segue dalla versioe geeralizzata del pricipio fodametale che vi soo 3 * 4 * 5 * 2 = 120 sottocomitati possibili. Esempio 2c. Quate soo le targhe formate da 7 caratteri, sapedo che i primi 3 soo delle lettere (scelte tra le 26 dell alfabeto aglosassoe) e gli ultimi 4 dei umeri? Soluzioe Per la versioe geeralizzata del pricipio fodametale vi soo 26 26 26 10 10 10 10 = 175 760 000 targhe possibili. Esempio 2d. Quate soo le fuzioi defiite su u isieme di elemeti che assumoo solo i valori 0 o 1? Soluzioe Idichiamo gli elemeti dell isieme co 1, 2, p,. Dato che f 1i2 è uguale a 0 o 1, vi soo 2 fuzioi siffatte. Esempio 2e. Nell Esempio 2c, quate targhe vi sarebbero escludedo le ripetizioi tra lettere o umeri? Soluzioe Vi sarebbero 26 25 24 10 9 8 7 = 78 624 000 targhe. 1.3 PERMUTAZIONI I quati modi si possoo ordiare le lettere a, b, e c? Elecado tutti i casi possibili abc, acb, bac, bca, cab, e cba si vede che ve e soo sei. Ciascuo di questi ordiameti prede il ome di permutazioe.vi soo pertato sei permutazioi di u isieme di tre oggetti. Si poteva ache dedurre questo risultato dal pricipio fodametale, dato che il primo oggetto della permutazioe è uo dei tre, il secodo è uo dei due rimaeti e il terzo è l ultimo che rimae. Vi soo pertato 3 # 2 # 1 = 6 permutazioi possibili. Suppoiamo ora di disporre di oggetti. Co u ragioameto simile a quello appea svolto si vede che vi soo permutazioi di oggetti. 121-22 p 3 2 1 =! Esempio 3a. I quati modi si possoo disporre 9 persoe i fila idiaa? Soluzioe Vi soo 9! = 362 880 modi per disporre 9 persoe i fila idiaa. Esempio 3b. U corso di probabilità è frequetato da 10 studeti: 6 uomii e 4 doe.
4 Capitolo 1 Aalisi combiatoria Alla fie dell esame viee stilata ua graduatoria dal voto più alto a quello più basso. Sapedo che tutti gli studeti hao otteuto dei puteggi diversi fra loro, dire (a) quate soo le possibili classifiche? (b) quate soo le possibili classifiche se gli uomii e le doe compaioo i liste separate? Soluzioe (a) A ogi classifica corrispode ua permutazioe dei omi delle 10 persoe, la risposta è pertato 10! = 3 628 800. (b) Vi soo 6! classifiche degli uomii e 4! classifiche delle doe; per il pricipio fodametale vi soo pertato 16!214!2 = 172021242 = 17 280 classifiche dei 10 studeti. Esempio 3c. Il Sig. Amadori deve sistemare 10 libri i u ripiao della scaffalatura. Quattro libri soo di matematica, tre soo di chimica, due soo di storia e uo è di grammatica. Amadori, che è u tipo ordiato, vuole fare i modo che i libri sullo stesso argometo siao vicii i libreria. I quati modi ciò si può realizzare? Soluzioe Vi soo 4! 3! 2! 1! possibilità di sistemare i libri i modo tale che, ell ordie, vi siao prima i testi di matematica, poi quelli di chimica, poi quelli di storia e ifie la grammatica. Aalogamete, qualuque sia l ordie degli argometi, vi soo 4! 3! 2! 1! possibilità di sistemare i libri i quell ordie. Dato che vi soo 4! modi per ordiare gli argometi, vi soo i tutto 4! 4! 3! 2! 1! = 6912 modi per sistemare i libri come voluto. Determieremo ora il umero di permutazioi di u isieme di oggetti, alcui dei quali soo idistiguibili fra loro. L esempio che segue è particolarmete istruttivo. Esempio 3d. Quati soo gli aagrammi di P EPPER? Soluzioe Se le lettere da permutare fossero distite e la parola fosse P 1 E 1 P 2 P 3 E 2 R vi sarebbero 6! permutazioi possibili. Tuttavia le lettere o soo distite: cosideriamo per esempio ua delle precedeti permutazioi per esempio P 1 P 2 E 1 P 3 E 2 R. Se permutiamo i P fra di loro e le E fra di loro, la parola è acora del tipo PPEPER. I altri termii, tutte le 3! 2! permutazioi P 1 P 2 E 1 P 3 E 2 R P 1 P 2 E 2 P 3 E 1 R P 1 P 3 E 1 P 2 E 2 R P 1 P 3 E 2 P 2 E 1 R P 2 P 1 E 1 P 3 E 2 R P 2 P 1 E 2 P 3 E 1 R P 2 P 3 E 1 P 1 E 2 R P 2 P 3 E 2 P 1 E 1 R P 3 P 1 E 1 P 2 E 2 R P 3 P 1 E 2 P 2 E 1 R P 3 P 2 E 1 P 1 E 2 R P 3 P 2 E 2 P 1 E 1 R soo del tipo PPEPER.Di cosegueza vi soo 6!>13! 2!2 = 60 aagrammi possibili delle lettere PEPPER.
1.4 Combiazioi 5 U ragioameto aalogo a quello svolto ell Esempio 3d prova che vi soo permutazioi distite di oggetti, dei quali soo idetici fra loro, 2 soo idetici fra loro e distiti dai precedeti, p, r soo idetici fra loro e distiti dai precedeti. Esempio 3e. I u toreo di scacchi vi soo 10 cocorreti: 4 russi, 3 statuitesi, 2 iglesi e 1 brasiliao. Se la classifica fiale idica soltato ell ordie la azioalità dei giocatori, quati soo gli esiti possibili? Soluzioe Vi soo esiti possibili. Esempio 3f. Quati segali distiti formati da 9 badiere appese i fila si possoo realizzare co 4 badiere biache, 3 badiere rosse e 2 badiere blu se le badiere dello stesso colore soo idistiguibili? Soluzioe Vi soo segali distiti.! 1! 2! p r! 10! 4! 3! 2! 1! 1 = 12 600 9! 4! 3! 2! = 1260 1.4 COMBINAZIONI Si vuole determiare il umero di isiemi che si possoo formare co r oggetti a partire da u isieme di oggetti. Per esempio, quati isiemi di 3 lettere si possoo formare co le 5 lettere A, B, C, D e E? Per rispodere si può ragioare come segue: la prima lettera può essere scelta i 5 modi, la secoda può essere scelta i 4 modi e la terza può essere scelta i 3 modi; vi soo quidi 5 # 4 # 3 modi per scegliere l isieme delle 3 lettere teedo coto dell ordie. Tuttavia ogi isieme di 3 lettere, per esempio A, B e C, viee i tal modo cotato 6 volte (quate soo le permutazioi ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA) e pertato il umero totale di isiemi di 3 lettere che si possoo formare è 5 4 3 3 2 1 = 10 I geerale, dato che 12 p 1 - r + 12 rappreseta il umero scelte di r oggetti tra, teedo coto dell ordie el quale questi vegoo selezioati, e dato che ogi isieme di r oggetti viee i tal modo cotato r! volte, si ha che il umero di sottoisiemi di r oggetti che si possoo formare da u isieme di oggetti è 12 p 1 - r + 12! = r! 1 - r2! r!
6 Capitolo 1 Aalisi combiatoria Notazioe e termiologia Defiiamo a per r, come r b, a r b =! 1 - r2! r! Diremo che a rappreseta il umero di combiazioi 2 di oggetti tra r. r b Pertato a è il umero di sottoisiemi di r oggetti che si possoo formare co u r b isieme di oggetti, seza teer coto dell ordie della selezioe. Esempio 4a. Si vuole formare u comitato di 3 persoe scelte tra 20 persoe. Quati soo i comitati possibili? Soluzioe Vi soo a 20 20 19 18 b = = 1140 comitati possibili. 3 3 2 1 Esempio 4b. Quati comitati composti da 2 doe e 3 uomii si possoo formare da u gruppo di 5 doe e 7 uomii? Quati soo i comitati se 2 uomii che hao litigato rifiutao di sedere isieme el comitato? Soluzioe Ci soo a5 possibili isiemi co 2 doe, e a 7 possibili isie- 2 b 3 b mi di 3 uomii; segue allora dal pricipio fodametale che vi soo a 5 2 ba7 3 b = a 5 4 comitati possibili formati da 2 doe e 3 uomii. 2 1 b 7 6 5 3 2 1 = 350 Se 2 uomii rifiutao di sedere isieme el comitato, allora, essedoci a 2 0 ba5 3 b a 2 1 ba5 2 b isiemi di 3 uomii che o cotegoo essuo dei due litigati e isiemi di 3 uomii che cotegoo esattamete uo solo dei litigati, vi soo a 2 0 ba5 3 b + a2 1 ba5 2 b = 30 gruppi di 3 uomii che o cotegoo 2 Per covezioe si defiisce 0! = 1. Pertato a Si poe ioltre a uguale a 0 se i 6 0 0 b = a b = 1. i b o i 7.
1.4 Combiazioi 7 etrambi i due litigati. Essedoci poi a 5 2 b modi per scegliere le 2 doe, i comitati possibili soo 30 a 5. 2 b = 300 Esempio 4c. Si cosiderao atee, m delle quali soo difettose e le altre - m soo fuzioati. Suppoedo che tutte le atee difettose e quelle fuzioati siao idistiguibili fra loro, i quati modi esse possoo essere allieate seza che due atee difettose siao cosecutive? Soluzioe Immagiiamo iazitutto di allieare le - m atee fuzioati. Ora, dato che due atee difettose o possoo essere cosecutive, gli spazi tra due atee fuzioati possoo coteere al più ua atea difettosa. Dobbiamo quidi selezioare, dagli - m + 1 spazi (rappresetati i Figura 1.1 da ) tra le - m atee fuzioati, m spazi ei quali sistemare le atee difettose. Vi soo quidi a - m + 1 b allieameti possibili ei quali c è almeo m u atea fuzioate tra due atee difettose. È spesso utile la seguete idetità combiatoria a (4.1) r b = a r - 1 b + a b 1 r r L uguagliaza (4.1) si può provare aaliticamete o tramite il ragioameto combiatorio che segue. Cosideriamo u isieme di oggetti e fissiamo l attezioe su uo di essi chiamiamolo oggetto 1. Ora, vi soo a sottoisiemi di r elemeti che cotegoo l oggetto 1 (dato che ogi tale isieme è formato scegliedo r - 1 oggetti tra i r - 1 b rimaeti oggetti). Vi soo ioltre a b sottoisiemi di r elemeti che o r cotegoo l oggetto 1. La (4.1) segue allora dal fatto che i sottoisiemi di r elemeti soo i tutto a. r b I umeri a soo oti ache come coefficieti biomiali, dato che essi iterve- r b goo ello sviluppo del biomio. ^ 1 ^ 1 ^ 1... ^ 1 ^ 1 ^ 1 = fuzioate ^ = posto per al più ua difettosa Figura 1.1
8 Capitolo 1 Aalisi combiatoria Il teorema del biomio 1x + y2 = a a k b x k y - k (4.2) Presetiamo due dimostrazioi del teorema del biomio; la prima si basa sull iduzioe, la secoda su u argometo combiatorio. Dimostrazioe per iduzioe del teorema del biomio: se = 1, l uguagliaza (4.2) si riduce Si suppoga che la formula (4.2) valga per. Si ha Posto i = k + 1 el primo membro e i = k el secodo membro dell ultima somma, si ottiee dove la peultima uguagliaza segue da (4.1). L asserto è quidi dimostrato. Dimostrazioe combiatoria del teorema del biomio: cosideriamo il prodotto Sviluppado si ottiee la somma di 2 termii, ciascuo dei quali è il prodotto di fattori. Ioltre, per ogi i = 1, 2, p,, ciascuo dei 2 termii cotiee come fattore x i o. Per esempio y i Ora, quati dei 2 termii della somma suddetta hao come fattori k termii del tipo e 1 - k2 termii del tipo? Dato che ogi termie costituito da k degli e x i 1x + y2 = a x + y = a 1 0 b x 0 y 1 + a 1 1 b x 1 y 0 = y + x 1x + y2 = 1x + y21x + y2 = 1x + y2 a = a i = 1 = x + a ca i - 1 b + a bd x i y - i + y i = x + a a i b x i y - i + y = a i = 0 a k b x k + 1 y - k + a a i - 1 b x i y - i + a a i b x i y - i Ax 1 + y 1 BAx 2 + y 2 B p Ax + y B 1x 1 + y 1 21x 2 + y 2 2 = x 1 x 2 + x 1 y 2 + y 1 x 2 + y 1 y 2 y i i = 1 i = 1 a k b x k y - k i = 0 a k b x k y - k a b x i y - i i x i
1 - k2 degli y i 1.4 Combiazioi 9 è idividuato dalla scelta di u sottoisieme di k elemeti tra gli elemeti 1, x 2, p, x, vi soo a k b termii siffatti. Pertato, posto x i = x, y i = y, i = 1, p,, si ha che 1x + y2 = a a k b x k y - k Esempio 4d. Sviluppare 1x + y2 3. Soluzioe 1x + y2 3 = a 3 0 b x 0 y 3 + a 3 1 b x 1 y 2 + a 3 2 b x 2 y + a 3 3 b x 3 y 0 = y 3 + 3xy 2 + 3x 2 y + x 3 Esempio 4e. Quati soo i sottoisiemi di u isieme di elemeti? Soluzioe Dato che vi soo a sottoisiemi co k elemeti, la risposta è k b a a k b = 11 + 12 = 2 Tale risultato si poteva otteere assegado a ogi elemeto dell isieme il valore 0 o il valore 1. A ogi assegazioe corrispode l uico sottoisieme i cui elemeti soo quelli co il valore uguale a 1. Si coclude allora dato che vi soo 2 assegazioi possibili. Si oti che abbiamo icluso ache il sottoisieme vuoto che ha 0 elemeti e quidi il umero di sottoisiemi o vuoti è 2. 1.5 COEFFICIENTI MULTINOMIALI r I questa sezioe esamiiamo il tipo di problemi che segue: si devoo distribuire oggetti distiti i r scatole distite, i modo tale che ciascua di esse cotega, ell ordie 1, 2, p, r oggetti, dove a i =. I quati modi si può effettuare questa i = 1 suddivisioe? Vi soo a b possibili scelte per gli oggetti della prima scatola; per ogi 1 tale scelta vi soo a - 1 b possibili scelte per gli oggetti della secoda scatola; per 2 ogi scelta effettuata elle prime due scatole vi soo a - 1-2 b scelte possibili 3