ESERCIZI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ PARTE II Rccardo Borgon Elna Colcno Pro Quao Sara Sala INDICE. Varabl casual connu rasformazon d varabl casual....3. La varabl casual normal... 4 3. Funzon gnrarc d momn pr varabl casual connu dscr.... 4. Varabl casual bvara convrgnz d succsson d varabl casual... 34
ELENCO DELLE ABBREVIAZIONI E DELLE NOTAZIONI n! : faoral d n n ( ): coffcn bnomal D n : dsposzon smplc d n lmn a a C n : combnazon smplc d n lmn a a r D n : dsposzon con rpzon d n lmn a a P(A): probablà dll vno A A : vno complmnar d A v.c: varabl casual fd: funzon d dnsà FR: funzon d rparzon fgm: funzon gnrarc d momn G (): fgm d..d.: ndpndn dncamn dsrbu ~ϕ(): la v.c. ha dsrbuzon ϕ() E(): valor aso d Var(): varanza d
. Varabl casual connu rasformazon d varabl casual. Una varabl casual è da assoluamn connua s lo è la sua FR F() ovvro s ss una funzon f() al ch F ( ) f ( ) d. La funzon f() è da funzon d dnsà (fd). La fd d una v.c. connua dfna sul supporo S è una funzon f() al ch:. f() > S. f ( ) d S Ossrvazon Tra la fd la FR val la rlazon: F ( ) f ( ) d df( ) qund pr l orma fondamnal dl calcolo ngral s ha: f ( ) (a mno d un d nsm al pù numrabl d pun). Il sgnfcao gomrco d al rlazon è smplfcao dalla fgura sgun: f()..5..5..5 la fd prm d calcolar la probablà d vn dl po A{: a b} ssndo P ( A) P( a b) F( b) F( a) f ( ) d. ssndo P() qund P ( a b) P( a < b) P( a < b) P( a < < b) b a Il valor aso d una v.c. con fd f() è dfno com E ( ) f ( ) d poso ch f ( ) d < Il momno d ordn r rspo all orgn d una v.c. con fd. f() è dfno com r E( ) f ( ) d poso ch r f ( ) d < r La varanza d una v.c. con fd f() è dfna com [( E( )) ] ( E( )) Var ( ) E f ( ) d poso ch l ngral ssa fno Var ( ) è dnomnaa dvazon sandard. Val nolr la sgun proprà: Var()E( )E() 3
In gnral l valor aso d una rasformazon g() d una v.c. con fd f(): E ( g( )) g( ) f ( ) d. Il quanl d ordn p d una v. c. connua con FR F() è l valor p al ch F( p )p. Alcun proprà Il valor aso è un opraor lnar E(ab) ae()be() con a b cosan qualsas non null (poso ch E() E() ssano) Var(a)a Var() s Var() ss fna Dsuguaglanza d Tchbchv Sa una v.c. qualunqu con E() Var() > allora s ha ch P( < ε) (/ε) o quvalnmn o P( ε) < (/ε) o P( ) < (poso ε) 4
Esrczo. (funzon d dnsà valor aso varanza) Pr cascuna dll sgun funzon s dcda s s raa d funzon d dnsà n caso d rsposa affrmava s calcol valor aso varanza dlla corrspondn v.c. f()/ 4 (/3) /3 f() << 3 f() > 4 f()6() << Soluzon d / 33 4 E() (9) /3 / V()(3) /3 (9) /3 / () d E() () d/3 V()4/6/9 3 ( ) d E()( ()) ( ) V() ( ( )) ( ) 4 ( ) 6() d E()/ V()/ ngrando pr par ngrando pr par du vol Esrczo. (funzon d dnsà funzon d rparzon) Daa la funzon: (/) < f() alrmn S drmn l valor d ch asscura ch f() rapprsna una funzon d dnsà. S ndvdu la corrspondn funzon d rparzon F() ram qusa la mdana dlla v.c. dscra dalla dnsà f(). Soluzon Dv valr [) (/) d. Rsolvndo l ngral s ongono du valor d 4. < qund non va bn mnr > è l valor ch savamo crcando. Sccom val f()f () allora s avrà ch 5
F() d < < 4 4 La mdana s on mponndo F()/ qund ( /4)/. L quazon possd du radc () / () / l unca radc valda com valor mdano è n quano comprso ra 4. Esrczo 3. (funzon d dnsà funzon d rparzon rasformazon). Sa una varabl alaora al ch - < f () alrmn. Drmnar l valor d.. S 5 drmnar l valor d P( < 4) Soluzon. Dv valr d. Rsolvndo l ngral s on 3/ 4.5. P( < 4) P(.5 < < 4.5) 3/ d.4375.5 Esrczo 4. (funzon d dnsà funzon d rparzon rasformazon). Sa una varabl alaora al ch (3/4) < f () alrmn. S drmn l valor d al ch f() sa una funzon d dnsà d probablà.. S scrva l sprsson analca dlla funzon d rparzon d s n racc l grafco. 3. Calcolar P(. < <.7). Soluzon. Dv valr [) (3/4) d. Rsolvndo l ngral s on 7/3 qund log (7/3). Pr dfnzon F() P( ) qund s on: 6
F() (3/ 4) d (3/ 4)( ) 3. S ossrv ch.7 < log(7/3). Prano: < < log(7 / 3) log(7 / 3) P( < < 7) F (.7) F (.) (3/4)( 7 ) (3/4)( ).68 Esrczo 5. (funzon d dnsà funzon d rparzon rasformazon). S rov l valor dlla cosan pr cu la funzon f() - (<<) rapprsna la funzon d dnsà d una v.c. undmnsonal s n drmn la funzon d rparzon.. S drmno mda mdana dlla v.c.. 3. S drmn la funzon d rparzon dlla v.c. s calcol valor aso d. Soluzon. Dall condzon sgun s rsc a ndvduar l valor d :. d 58 F () 58 d 58( ) < <. Qund la mda è E[ ] 58 d 48 Mdana s on rsolvndo rspo ad : F() 5 3798 3. Ψ () P( ) P( ) P F 58 ( ) < < 3 [ ] E[ ] 836 E Esrczo 6. (funzon d dnsà funzon d rparzon). S rov l valor dlla cosan pr cu la funzon φ() -/ (<<) rapprsna la funzon d dnsà d una v.c. undmnsonal s n drmn la funzon d rparzon.. S drmn la funzon d dnsà dlla v.c. / s calcol la varanza d. 3. S calcol Cov (). Soluzon 7
Sa ϕ() / (<<).. ϕ()d /; Φ() P( ) / pr << Φ() pr Φ() pr.. La v.c. / ha f.d. daa da ψ() (<<) varanza par a /. 3. Cov() E() E()E() / ssndo E() E( 3 ) 3 ψ()d /4 E() E( ) ψ()d /3 E() ψ()d /. Esrczo 7. (v.c. unform connua). Sa una v.c. unform ~U(3).. S calcol la funzon d rparzon F ().. S calcolno mda varanza. 3. S calcol P(>5). Soluzon. In quso caso F () [] f T () d [] (/3) d(/3). Qund: < F () < 3 3 3. E()(ba)/5 V() (ba) /9/ 3. P(>5) [53] (/3) d5/6 oppur F(3)F(5)(/6)5/6 Esrczo 8. (v.c. unform rasformazon). Sa una v.c. Unform sull nrvallo () s dfnsca log().. S drmnno la funzon d rparzon la funzon d dnsà dlla v.c... S calcolno la mdana la mda d. Soluzon ~U () log().. Ψ () P( ) P(log() ) P( ) Φ ( ) ssndo Φ ( ) Ψ ( ) < dψ() ψ () < d 8
. La mdana d s on rsolvndo l quazon Ψ ( ) 5 log.69 l valor aso: E[ ] ψ () d Esrczo 9. (v.c. sponnzal). Il mpo d duraa d prs concss ad una socà sgu la lgg sponnzal. Il mpo mdo d un prso è d du ann mzzo.. S scrva la funzon d dnsà dlla v.c. ch dscrv la duraa d prs s fornsca la varanza.. S calcol la probablà ch un prso abba duraa comprsa ra du r ann. Soluzon ~p(θ) > E()/θ 5 > θ4. Qund f ()4-4 con >. V()/θ 65. P(<<3) [3] f () d48 Esrczo. (v.c. posson-v.c. sponnzal). Il numro d auomobl ch aravrsano un parcolar ncroco sradal n un ora è mdamn par a 3. Ulzzando un opporuna lgg d probablà:. Drmnar la probablà ch n un nrvallo d mpo d cnqu mnu nssuna auomobl aravrs l ncroco n quson.. Qual è la probablà ch n dc mnu almno du auomobl passno lungo qul rao d srada? 3. Qual è la probablà ch ra l passaggo d un auo d qulla succssva rascorra pù d un mnuo? Soluzon. Sa numro d auovcol ch passano lungo l ncroco n cnqu mnu. Dall nformazon forn dall srczo s dduc ch l numro mdo d auomobl ch aravrsano l ncroco n cnqu mnu è par a 3/.5. Qund E[ ].5 ~ Posson(.5). P[ ] (.5 (.5) )/!.8.. S numro d auovcol ch passano lungo l ncroco n dc mnu allora ~Posson(5). D consgunza: P[ ] P[ < ] { P[ ]P[ ]}.9595. 9
3. Sa T mpo (n mnu) rascorso ra l passaggo d un auo d qulla succssva. Dal momno ch l numro d auo ch crcolano nll ncroco è mdamn par a 3/6.5 s ha ch T~png(.5) ovvro T ha funzon d dnsà: f T ().5.5 f T () alrmn P[T > ] [) f T () d.665. Esrczo. (v.c. sponnzal rasformazon). Indcaa con la v.c. sponnzal con mda /θ.. S drmn la funzon d rparzon dlla v.c. () /.. S drmn la funzon d dnsà d s calcol l rlavo momno scondo. Soluzon ~p(θ) [ ] θ E qund ϕ () θ >. θ. Ψ () P( ) P( ) P( ) Φ ( ) con > Essndo Φ () ϕ ()d θ θ Ψ () Φ( ) > θ. ψ () Ψ '() θθ > E( ) E() /θ. Esrczo. (v.c. unform connua v.c. chquadro). Sa una v.c. rangolar cararzzaa dalla f.d. φ() (<<) sa log.. S drmn la dsrbuzon dlla v.c... Pr qual valor d g la v.c. ha dsrbuzon Ch-Quadro con g grad d lbrà 3. S calcolno la mda la varanza la mdana d Soluzon. La dsrbuzon d log() è un sponnzal ngava con f.r. f.d. da rspvamn da Ψ() P[ ] P[ p(-/)] Φ[ p(/)] p(/) ψ() ϕ[p(/)] p(/) / p(/) / (>).. Gamma(/) χ. 3. E() Var() 4
Mdana() log soluzon dll quazon Ψ() ½. Esrczo 3. S rov l valor dlla cosan pr cu la funzon f() 3() (<<) rapprsna la funzon d dnsà d una v.c. undmnsonal assumndo >. ) S drmn la funzon d rparzon dlla v.c.. ) S calcol l valor aso E(). Soluzon ) La funzon f() 3() (<<) rapprsna la funzon d dnsà d una v.c. undmnsonal pr ( 5 ) /.68. Infa dalla condzon (s vda lbro d s pag 7) 3 f ()d dscnd da cu ( 5 ) / ( 5 ) /. L unca soluzon accabl è qund ( 5 ) /. ) La funzon d rparzon dlla v.c. è daa da: F() pr 3 f u 3 pr << F() (u)du u F() pr. 3) E() ( 3 ) d.6985. Esrczo 4. Il mpo d va T sprsso n ann d un apparcchaura lronca s dsrbusc com una gamma d paramr θ. S calcol l mpo d va mdo dll apparcchaura. ) Qual è l mpo d va mdo s θ/ (dsrbuzon ch-quadro con grad d lbrà)? ) S dfnsc funzon d sopravvvnza la funzon S() P(T>). S calcol la sopravvvnza d una gnrca apparcchaura prodoa nl caso d una gamma d paramr θ. ϕ() 3) S dfnsc funzon d rscho la funzon λ () dov ϕ() è la f.d.d. d T. S dmosr ch S() la funzon d rscho è cosan nl caso d una varabl alaora d po gamma con paramr θ (v.a. sponnzal ngava).
4) S dmosr ch la funzon d rscho drmna unvocamn una varabl alaora assoluamn connua. Soluzon La funzon d dnsà d una v.a. gamma è daa da θ Γ( ) θ ϕ ( θ) > θ> ) Pr θ s ha ϕ () Γ() E(T) ϕ( θ)d d [ ] [ ] d d d [ ] d [ ] ( ) ( ) ) rcordando ch nl caso d una dsrbuzon gamma s ha E (T) pr θ/ s on θ / E (T) θ / S no ch pr θ/ s ha ϕ ( ) Γ π 3) pr s ha θ ϕ ( θ) θ > θ> θu θu θ Φ()P(T ) θ du [ ] S() θ ϕ() S() θ θ 4) λ( ) θ θ ϕ() S'() 5) λ ( ) ngrando nramb mmbr s ha S() S() S'() λ( )d d logs() S() da cu λ()d S () qund Φ () λ()d
Esrczo 5. È noo da sud condo su una parcolar famgla d corall ch l numro alaoro N d grupp d corall prsn su un ranso d lunghzza r ndvduao su un fondal carabco è una v.a. d Posson d paramro λr con λ>. Supponndo ch s sa nconrao sul ranso un gruppo corall qual è la dsrbuzon dlla v.a. T ch rapprsna la lunghzza dlla porzon d ranso fno al prossmo avvsamno? Soluzon L vno { T > } s vrfca solo s nssun gruppo d corall è prsn sul sgmno d lunghzza ovvro: { T } P(N() ) P > Da cu λ valor dlla Posson calcolao n. λ ( P{ T > } ) d( ) λ df() d ϕ () λ. d d d La dsrbuzon dlla dsanza dall avvsamno succssvo è qund un sponnzal ngava 3
. La varabl casual normal Esrczo. Sa una v.c. Normal con.. Dsgnar la funzon d dnsà d.. Evdnzar sul grafco la sgun probablà P(> ) 3. Evdnzar sul grafco la sgun probablà P( ) Soluzon. ~N(). P(> ) 3. P( ) 4
Esrczo. Sa una v.c. Normal con mda par a 5 varanza par a 3. Calcolar :. P(>6). P(4<<7) 3. Il valor d pr cu P(>c)3 4. E(5) 5. V(5) Soluzon ~N(53). P(>6)P(Z>58)P(Z 58)Φ(58)8 dov Z è la normal sandard.. Sandardzzando com fao sopra: P(4<<7) 5939 3. P(>c)3 >P(Z>((c5)/(3) / ))3 > Φ((c5)/(3) / ))7 z(c5)/ (3) / )5 >c59 4. E(5)E() -55 5. V(5)4V() Esrczo 3. Un mpano nsrsc auomacamn zucchro nll busn s l pso dllo zucchro nll busn può consdrars una normal con 3 l 5% dll busn psa d pù d 3g qual è l pso mdo dll busna? Soluzon pso busn n g. ~N( 3 ) P(>3)5 sandardzzando s on P(Z>( 3)/3)5 da cu s rcava l valor d 8 5
Esrczo 4. S consdr una varabl casual normal con mda varanza 5. Calcolar:. la probablà ch sa maggor d ;. la probablà ch sa mnor d 95; 3. la probablà ch sa comprsa ra 95 ; 4. la probablà ch sa comprsa ra 5 ; 5. la probablà ch sa comprsa ra 85 95; Soluzon N(5). P(>)P(Z>()/5 ½ )P(Z>)P(Z )9775. P(<95)P(Z>(95)/5 ½ )P(Z<)P(Z>) -P(Z )-8434 3. P(95<<)P((95)/5 ½ )<Z<()/5 ½ ))P(<Z<)P(Z<) P(Z<) 9775 [P(Z )] 9775 [8434] 4. P(5<<)P((5)/5 ½ )<Z<()/5 ½ ))P(<Z<)P(Z<) P(Z<) 97758434 5. P(85<<95)P((85)/5 ½ )<Z<(95)/5 ½ ))P(3<<)P(<Z<3)P(Z<3) P(Z<) 998658434 Esrczo 5. Supposo ch la duraa dl volo Roma Fumcno Parg Orl sgua una dsrbuzon normal con mda par a mnu varanza par a 49 mnu calcolar:. La probablà ch l volo n parnza doman durrà mno d 5 mnu;. La probablà ch l volo n parnza doman durrà ra 7 8 mnu; Soluzon N(49). P(<5)P(Z>(5)/49 ½ ) P(Z>7) P(Z 7)765. P(7<<8)P((7)/49 ½ )<Z<(8)/49 ½ ))P(86<Z<8) P(8<Z<86)P(Z<86) P(Z<8) 9685666 Esrczo 6. Pr l ran allo sao naural la lunghzza dlla va è dsrbua normalmn con mda d ann dvazon sandard d 3 ann.. Qual prcnual d ran vv olr 4 ann?. Calcolar l valor dl quno prcnl Soluzon N(9) 6
. Z(4)/333 P(va>4)P(z>33)98. P(z<?)5 z64 64()/3 3 6458 Esrczo 7. S assuma ch ra non dabc l lvllo d glucoso nl sangu a dguno sa dsrbuo n manra approssmavamn normal con una mda d 5mg/ml d una dvazon sandard d 9mg/ml.. Qual prcnual d dabc hanno lvll comprs ra 9 5mg/ml?. Qual lvllo lasca l % d non dabc nlla coda snsra? 3. Qual lvll comprndono l 95% d non dabc? Soluzon N(58). Z()/ z(95)/967 z(55)/9 P(>9)P(z>67)95 P(>5)P(z>)3 P(9>>5) 953939. P(?) P(z 8) z(5)/98 935 3. P(??)95 P(96 96) z(5)/996 874 z(5)/996 6 Esrczo 8. Un aznda produc componn lronc d du p: componn d po A rapprsnano l 45% dlla produzon mnr l rso dlla produzon è cosuo da componn d po B. Il mpo d va T (n ann) d componn prodo ha dsrbuzon sponnzal ngava con mda 9 pr l po A mnr pr l po B ha dsrbuzon Normal con la sssa mda la sssa varanza dlla sudda sponnzal. Esrao a caso un componn dalla produzon s consdr l vno la duraa dl componn non supra un anno ndcao con D.. S calcol la probablà ch l componn srao sa d po B.. S calcol la probablà dll vno D dao ch l componn è d po A. 3. S calcol la probablà dll vno D dao ch l componn è d po B. 4. S calcol la probablà dll vno D. 5. S calcol la probablà ch l componn sa d po B dao ch la sua duraa non supra l anno. 7
Soluzon. P(B) P(A).45 55.. La probablà va calcolaa con la lgg sponnzal P(D A) Ep(.87).668. 3. La probablà s calcola mpgando la dnsà d una v.c. Normal con mda varanza par a 9 9 qund P(D B) Φ(.87).5359. 4. P(D) P(D A) P(A) P(D B) P(B).983.947.593. 5. P(B D) P(D B) P(B) / P(D).947 /.593.497. Esrczo 9. Sa una varabl casual con funzon d dnsà φ(). S dfnsc nropa d la sgun quanà: H E(-log(φ()). S calcol l nropa nl caso n cu abba dsrbuzon normal d mda varanza. S commn l rsulao onuo dscundo n parcolar l nrprazon d H. Soluzon H E(-log(φ()) φ()log(φ ()) d log d π π φ () log π d log π φ() d φ() d. ssndo φ() d φ() d E( ) poché E() (n alrnava l ngral può ssr rsolo pr par assumndo d com faor dffrnzal rcordando ch s on pr ±) H log Inolr H π log log π log π log π log log π log log L nropa è qund una rasformazon monoona dlla varanza qund ssa sssa può ssr nrpraa com una msura dlla varablà dlla varabl alaora. Tuava H > s >. 6 : poché una msura d varablà d una varabl casual dv π ssr posva al funzon non è complamn soddsfacn da quso puno d vsa. π. 8
Esrczo. La duraa n gorn d una gravdanza è dsrbua com una normal d mda 7 gorn dvazon sandard gorn. Una sgnora un po dsraa crca d capr ch sa l padr d suo fglo. Un suo parnr è sao all sro dal 9 al 4-smo gorno ancdn la nasca dl bambno. S qus uomo è vramn l padr dl bambno qual è la probablà ch la sgnora abba avuo una gravdanza così cora o così lunga? Soluzon Sa duraa dll gravdanza A (>9) (<4) P(A) P (( 9) ( < 4) ) P( > 9) P( < 4) > 7 9 7 7 4 7 7 7 P > P < P > P < 3 7 7 P P < 3 Φ() Φ(3) Φ() Φ(3).4 ch rapprsna la probablà rcrcaa. Esrczo. Sa Z una varabl casual normal d mda varanza.. S drmn la funzon d dnsà dlla varabl casual Z s n calcol la mda (dsrbuzon ch-quadrao con grado d lbrà). S calcol l quanl d ordn.5.95 d Soluzon. Sano Φ ( z) φ(z) rspvamn la funzon d rparzon d dnsà d una v.a. normal sandard. Z mplca > (supporo d ) F() P( ) P(Z ) P( Z ) Φ ( ) Φ( ) Φ( ) f () df() d d(φ d Calcolo dlla mda ( ) ) φ( ) ( ) π π E() E(Z ) z φ(z)dz. Rcorrndo all avol s on (momno scondo dlla normal sandard) χ. 5. χ. 95 5.99 9
Esrczo. Sa Z una varabl casual normal d mda varanza. S drmn la funzon d dnsà dlla varabl casual (dsrbuzon log-normal). Soluzon Z mplca > (supporo d ) F() P( ) P( Z ) Z s n calcol la mda la varanza la mdana log log P Z Φ log dφ log df() log f () φ >. d d π Calcolo dlla mda ( ) z z z z z Z z E() E( ) dz dz dz π π π ( z z ) ( z) dz dz. π π Calcolo dlla varanza Z Z ( ) ) ( ) z ( ) z z 4z Z E( ) E dz dz dz π π π ( z 4z 4 ) ( z ) dz dz ( ). π π Var() E( ) E() ( ) S no anch ch Var() ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( E() ) ( ). Calcolo dlla mdana: Z.5 P(<<.5 ) P(< <.5 ) P( < Z < log.5 ) P( < Z < log. 5 Qund S no ch. 5 <E(). log.5. 5 log.5 ).
3. Funzon gnrarc d momn pr varabl casual connu dscr. Daa la v.a. con FR F() s dfnsc funzon gnrarc d momn (fgm) d la funzon G ()E( ) () ogn qual vola al valor aso ss fno n un norno d (ovvro pr ogn al ch h<<h pr un opporuno h>). S è una v.c. dscra con funzon d probablà ϕ() s on: G ( ) ϕ( ). S è una v.a. connua con funzon d dnsà ϕ() s on G ) ϕ( ) ( d. La fgm è noa anch con l nom d rasformaa d Laplac. Rlazon fra la fgm momn d una v.a. Dallo svluppo n sr McLaurn dlla funzon sponnzal s on: n n! () n Sosundo n () ad la () ponndo s ha G ()E( 3 3 ) E L! 3! n n ' n n! ' n con E( ) (3) dov s è pozzao ch ssano fn u momn rspo all orgn d. Il momno d ordn n d è allora l coffcn dl rmn n /n! dlla sr prcdn. N dscnd ch r d G ( ) r d ' ' ' r r r r( r )( r ) L r! ( r ) r( r ) L ( r )! n ( r )( r ) rl3 ( r )! ssndo null prm r rmn dlla sr n (3) pr ffo dll r drvazon succssv. Da cu r d G ( ) r d ' r S ossrv ch nl rcavar la (3) s è assuna la scambablà dll opraor valor aso (qund dlla sr o dll ngral ch lo dfnsc nl caso rspvamn d v.c. dscr o connu) con la sr scambablà garana da opporun proprà dll sr d ponz. La (4) po dscnd dal fao ch una sr d ponz può ssr drvaa rmn a rmn. S no ch la fgm può non ssr. Essndo la funzon ngranda o rmn dlla sr ch la dfnscono posv può accadr nfa ch l ngral o la sr sano dvrgn. L (4)
S ssa ss fna prò ssono fn u momn dlla v.a. la fgm è drvabl con connuà nll orgn d è possbl calcolar momn dlla v.a. n bas alla (4). S no nfn ch pr por ssr ulzzabl pr l calcolo d momn s rchd solo l ssnza dlla fgm n un norno dll orgn non su uo l ass ral. In parcolar s avrà: G' () E( ) '' () E( ) G' ' () G' (). G da cu Var() ( ) Valgono nfn l sgun proprà. Proprà S ha fgm G () allora poso a b s ha G () a G (b). Proprà S l v.a. m sono ndpndn hanno fgm anch la v.c. S m amm funzon gnrarc d momn s ha G ( ) G ( ) LG ( ). L ssnza dll fgm () m mplca ch cascuna fgm è fna n un norno dll orgn G qund è fno l loro prodoo nll nrszon d al norn. S m Uso dlla fgm. La fgm com suggrsc l suo nom quano sopra sposo (ogn qual vola ssa ssa) è ulzzaa pr calcolar momn d una v.a. Un scondo mporan aspo è lgao al sgun orma. Torma Sano du v.a. con FR rspvamn F () F (). Sano G () G () l corrspondn fgm al ch G () G () pr ogn n un norno dll orgn. Allora d. Il prcdn orma affrma ch ad una FR corrspond una una sola fgm (s qusa ss). La fgm allora dnfca n modo unvoco la v.c. al par dlla FR. Quso orma s rvla parcolarmn ul nll ndvduar la dsrbuzon d una varabl alaora dfna a parr da una rasformazon d un alra varabl alaora con dsrbuzon noa. In alr rmn sa una v.c. con dsrbuzon F () noa g() dov g() è una rasformazon noa d. S rsula possbl dnfcar la fgm G () d com qulla assocaa ad una v.a. con FR noa dcamo F () allora s n porà concludr ch la rasformazon g() dfnsc una v.c. con qulla dsrbuzon.
Esrczo. Sa una varabl alaora con funzon d probablà P() /9 5/9 /9. S drmn la funzon gnrarc d momn s calcol ram ssa E() Var().. S drmn l sprsson d momn d ordn par d momn d ordn dspar d Soluzon 5. G () E( ) ( 5) G' G'' () () 9 9 9 9 ( ) da cu E() G' () ( ) 9. ( ) da cu E( ) G'' () ( ) 9 S on qund Var() E( ) E() 9 4. Momn d ordn par G (n) E( ( ) () drvaa d ordn n dlla fgm pr n 3 da cu 9 n ) G (n) () 9 Momn d ordn dspar G ( n ) ( () ) E( n ( ) 4 9 momno d ordn n (par) d pr n 3 drvaa d ordn n (dspar) dlla fgm pr n3 da cu 9 ) G n () 9 ( ) momno d ordn n (dspar) pr n 3 9 9 4 9. Esrczo. Sa una v.a. unform dscra d paramro. S drmn la funzon gnrarc d momn s calcol ram ssa E() Var(). Soluzon Funzon gnrarc d momn ( ) ( ) G() E L. Valor aso d ( ) G ' () L 3
E() G' s rcord ch Varanza d () ( ) ( ) L ( ) ( 4 ) G '' () L. E( ) G'' () ( 4 L ) ( 4 L ) ( )( ) ( )( ). 6 S rcord ch ( )( ) Var() E( ) E() ( )( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 3 3) 3 6. 6 4 6 Esrczo 3. Sa una v.a. d Brnoull d paramro θ.. S drmn la funzon gnrarc d momn s vrfch ram ssa ch E() θ var() θ(θ).. S drmn ram la funzon gnrarc d momn E() con /. Soluzon. funzon gnrarc d momn G ( ) ( θ) θ ( θ) θ θ( ) () E. Valor aso G' () Varanza G'' () θ da cu E () G' () θ θ θ da cu E ( ) G'' () θ θ S on qund Var() E( ) E() θθ θ(θ). S no n parcolar ch G (n) () n (n) θ da cu ( ) G () θ θ E n 4
G. ( ). ( ) ( / ) () E E E G θ( ) θ θ G ' E() () G' θ θ θ () θ θ Esrczo 4. Sa una v.a. Bnomal d paramr n >θ>. S drmn la funzon gnrarc d momn s vrfch ram ssa ch E() nθ var() nθ(θ). Soluzon Funzon gnrarc d momn G n n n n n n ( ) ( ) θ ( θ) ( )( θ ) ( θ) ( θ θ) () E dov l ulmo passaggo sgu dal orma bnomal. S no nolr ch s n allora G () θ θ ovvro la fgm d una Brnoull d paramro θ ch qund rapprsna una spcfcazon parcolar dlla Bnomal. Valor aso G' ( ) n θ θ da cu E() G' () nθ( θ θ) nθ () nθ Varanza n G' ' () n ( n )( ) n ( ) n θ θ θ θ θ θ Da cu E( nθ ) G'' () nθ n ( θ θ) [( θ ( n ) ) ( θ θ) ] n ( θ θ) [( θ( n ) ) ( θ θ) ] nθ( θ( n ) ) nθ( θn θ ) ( nθ) nθ θn S on qund Var() E( )E() ( nθ) nθ θn ( nθ) nθ( θ). n n. Esrczo 5. Sa una v.a. d Posson d paramro λ>. S drmn la funzon gnrarc d momn s vrfch ram ssa ch E() Var() λ. Soluzon 5
Funzon gnrarc d momn: G () E Valor aso: λ λ λ ( ) ( λ) λ ( λ). o! o! o! poso λξ s ha: G λ ξ ()! o λ ξ λξ λ λ λ( ) G' λ( ) () λ da cu E() λ. Varanza: G'' () λ ( ) ( ) ( ) ( λ λ λ λ ) λ ( λ ) da cu E( ) λλ Esrczo 6. S vrfch la sgun proprà: s ha fgm G () allora poso a b s ha G () a G (b) (proprà ) Soluzon G () E( ) E( (ab) ) a E( b ) a G (b) ssndo G (b)< n un norno dll orgn avndo assuno l ssnza d G () n dscnd ch E( ) a G (b) < pr n un norno d. Esrczo 7. (f.g.m. momn dlla v.c. gomrca). S drmn la funzon gnrarc d momn dlla v.c. Gomrca. S drmnno la mda la varanza dlla v.c. Gomrca sfruando la fgm. Soluzon p ()p(p) - 3... <p<. G (v) v p( p) (p/(-p)) [( p) v ] N.B.: q q q v v p [( p) ] p v v ( p) - [( p) ] - [( p) ] con -<v<-log(-p)> v p. G' (v) v [- ( p) ] v v p [ ( p) ] G'' (v) v 3 [- ( p) ] E() G' () p E( ) G'' () p p V() p. p p 6
Esrczo 8. Sa una v.a con la sgun funzon d dnsà d probablà: f (). π( ) Mosrar ch non possd fgm. Soluzon v> G (v) π( v v d ) π ( d ) π v d ( ) π ( v d ) π ( v d ) π ( d ) v G (v) π( v v d ) π ( d ) π v d ( ) π ( d ) L'nsm d v pr cu l'ngral ss fno con conn un norno complo dll'orgn qund non ss la f.g.m. Esrczo 9. Drmnar la f.g.m. d momn d una v.a. avn la sgun funzon d dnsà d probablà: 6( ) < < f(). alrmn Soluzon G (v) v 6(- )d 6 v d v d v v v v v 6 d - d 6 3 v v v v v v v con v. Esrczo. Sa una v.c. Rangolar sull nrvallo () s dfnsca log().. S drmnno la funzon d rparzon la funzon d dnsà dlla v.c... S calcolno la mdana la mda l 95-smo prcnl d. 7
3. S drmn la funzon gnrarc d momn dll varabl s calcol ram ssa l valor aso d 4. S calcol la funzon gnrarc d momn d s drmn var(). Soluzon Sa una v.c. Rangolar sull nrvallo () con f.r. F() f.d. f(). Sa nolr log(). S no ch s << allora << supporo dlla varabl alaora.. H() P( ) P(log ) P( p ) F(p ) p() pr < H() pr. La f.d. dlla v.c. rsula h() H () p() (<).. La mdana d s on rsolvndo l quazon H() p( ) ch ha com soluzon log.69. Il 95-smo quanl d s on rsolvndo l quazon H() p( ). 95 ch ha com soluzon log.95.5. E() h()d. (ngrazon pr par) 3. G () E( ) G' d pr ( ) () pr. G' () com dl rso G () non sono dfn pr. Esndamo allora al funzon pr connuà sullo ovvro ponamo G () lm lm G' () lm ( ) applcando la rgola dll Hopal lm lm Da cu s rcava E().5. 4. G () E( ) log d d applcando la rgola dll Hopal. 8
Alrnavamn G G' G'' () E ( ) ( ) d ( ) ( ) d () da cu E() G' () ( ) ( ) 4 ( ) 3 () da cu E( ) G'' () Var() Esrczo. Sa una v.a. con dsrbuzon gamma d paramr θ. S drmn. la funzon gnrarc d momn d. la funzon gnrarc d momn pr s drmn l valor aso dlla v.a. corrspondn (sponnzal ngava) 3. la funzon gnrarc d momn l valor aso la varanza nl caso θ/ g/ (ch quadrao con grad d lbrà) Soluzon La funzon d dnsà d una v.a. gamma è daa da θ Γ( ) θ ϕ ( θ) > θ> θ Γ( ) θ ( θ). G() E( ) d θ G () pr < θ θ θ Γ( ) d θ ( θ) (l ngral prcdn è qullo d una dnsà gamma d paramr θ ). Pr s on () G θ pr < θ. ( θ ) ( θ) ( θ ) Γ( ) (Vrfcar l rsulao calcolando la funzon gnrarc d momn a parr dramn dall sprsson dlla dnsà sponnzal ngava) G' θ () da cu θ ( ) 3. Pr g/ θ/ s on E() G' () θ d 9
G'' G g / () pr </ Calcolo dlla mda g / g g G ' () E() G' ( ) da cu ( ) g / g / () g Calcolo dlla varanza E( () d g ( ) g / d ( ) g( g ) g( g ) g g / ( ) ( ) g / g g ( ) g / g ( ) g g ) G'' () g Var()g g g g ( g ) g ( ) ( g )( ) ) g / Esrczo. Sano 3 v.c ndpndn dncamn dsrbu con lgg gaussana sandardzzaa. Mosrar ch la v.c. Z n ha lgg chquadro con n grad d lbrà. Soluzon G s<(/). (s) E( s ) - s (π) -/ (/ ) d - (π ) S s ffua l cambo d varabl s on ch: -/ ( ) d G (s) / s -/ ( s ) (π ) ( ) / π d -/ ( s/ ) d - / ( s ) -/ (π ) d < solo s ( s/ ) d è l nuclo dlla Gamma((/)-s;/). S on qund: -/ Γ(/ ) -/ π G (s) (π ) (π ) / / / ((/ ) s) (/ ) ( s) s Qund / G Z (s) n s / s n / ch è la fgm d una chquadro con n gdl. 3
Esrczo 3. Sa Z la una v.a. con dsrbuzon normal sandard. S drmn:. la funzon gnrarc d momn d Z. la funzon gnrarc d momn d Z > R Soluzon Z. G () E( ) z ( z z) ( z z± ) z dz dz π π dz π Z π ( z z ) ( z ) dz dz π (ssndo l ngral prcdn qullo d una dnsà normal d mda ). G () G Z () ( ) ( ) Esrczo 4. S drmn la dsrbuzon dlla varabl casual v.a. ndpndn nl caso n cu:. m sono m v.a. d Brnoull con paramro θ. S m. m sono m v.a. con dsrbuzon Bnomal con paramr θ n m. dov m sono 3. m sono m v.a. con dsrbuzon d Posson d paramro rspvamn λ λ m. 4. m sono m v.a. con dsrbuzon Gamma d paramr θ m 5. S vrfch ch s m sono m v.a. ndpndn con dsrbuzon normal sandard allora m ha dsrbuzon ch-quadrao con m grad d lbrà 6. S drmn la dsrbuzon dlla varabl S nl caso n cu N( ) m fra loro ndpndn m Soluzon m m S G S ( ) E E( ) 3. () m E pr l ndpndnza d m θ( ) ( θ θ ) n 3
3 S noa com la fgm dlla somma d n Brnoull ndpndn d ugualmn dsrbu sa ugual alla fgm dlla Bnomal. Quso dmosra pr alra va la rlazon ssn fra la Bnomal la Brnoull. 4. ) ( G S ( ) ( ) m S m E E E pr l ndpndnza d m ( ) ( ) θ θ m N n ) ( ) ( con m n N S noa com qus ulma sa la fgm d una v.a. Bnomal d paramr θ N. Cò dmosra la proprà rproduva dlla v.a. Bnomal rspo al paramro rapprsnan l numro dll prov. 5. ) ( G S ( ) m S () G E pr l ndpndnza d m ( ) ( ) ( )Λ λ λ m m dov λ Λ m S noa ch qus ulma è la fgm d una Posson d paramro Λ dmosrando così la proprà rproduva dlla varabl casual rspo a quso paramro. 6. ) ( G S ( ) m S () G E pr l ndpndnza d m A m m θ θ θ θ θ θ dov m A Qus ulma è la fgm d una Gamma(θA) qund S Gamma(θA) La dsrbuzon gamma è qund rproduva rspo al paramro. 7. χ Gamma(//) m (ch quadro con un grado d lbrà) m Gamma(m//) (pr la rproduvà dlla gamma) m χ (pr df. d ch-quadro con m grad d lbrà) 8. ) ( G S ( ) ( ) ( ) m m m S m m m ) ( G E E E ( )
Qus ulma è la fgm d una normal d paramr m m ch qund rsula rproduva (pr m) rspo ad nramb paramr ma anch una famgla d dsrbuzon chusa rspo all combnazon lnar Esrczo 5. S vrfch la proprà : s l v.a. m sono ndpndn hanno fgm anch la v.a. S m amm funzon gnrarc d momn s ha G () G () LG (). m m S Soluzon G S () ( ) E E E( ) m G ( ) pr l ndpndnza d m S m 33
4. Varabl casual bvara convrgnz d succsson d varabl casual Esrczo. S consdr la funzon d probablà d una v.c. bdmnsonal dscra () dfna dalla sgun ablla...3. K. S drmn l valor d K ch rnd la prcdn una funzon d probablà bvaraa.. S drmnno l funzon d probablà dll v.c. margnal s n calcolno l varanz. 3. S drmnno l funzon d rparzon dll v.c. margnal l s rapprsn grafcamn. 4. S calcolno P( ) cov() 5. S sablsca s sono ndpndn movandon la rsposa. 6. S calcol la P(<5) Soluzon. K4 prché dv valr ( ) ϕ..3. K4. Margnal d : P() 4 P()P() 6 P()P() Var() θ( θ) 4 Margnal d : P() 3 P()P() 7 P()P() Var() θ( θ) 34
3. Sapndo ch val Σ φ() Σ φ() s rsc a calcolarl rapprsnarl grafcamn. 4. P( ) P( ) P( ) Cov() E [ ] E[ ] E[ ] 4 6*7 3 5. d non sono ndpndn n quano s fossro ndpndn COV() dovrbb ssr. 6. Pr calcolar la P(>.5) s cosrusc una nuova varabl somma d d P() P() 5 P()P() 4 P() Qund P( >.5) P( ) 4 Esrczo. La sgun ablla mosra la dsrbuzon d probablà conguna d du varabl casual dscr. \ 3 6 5 6 c. Drmnar l valor d c.. Calcolar la margnal l valor aso la varanza d 3. Calcolar la margnal l valor aso la varanza d 4. S calcol la Cov() Soluzon. Dv valr ϕ ( ) qund c8. \ 3 6 5 6 8 35
. Dsrbuzon margnal E()8 V()54 P().7.38 3.45 3. Dsrbuzon margnal E()8 V()7 P().8.6.8 4. Cov()E() E()E()76 Esrczo 3. S consdr la funzon d probablà d una v.c. bdmnsonal dscra () dfna dalla ablla sgun..5.5.5.5 3.35.5. S calcolno la mda la varanza d.. S drmn la funzon d rparzon d la s rapprsn grafcamn. 3. S calcolno P( ) P( <.3). 4. S calcolno E() Cov(). Soluzon L funzon d probablà dll v.c. margnal sono da rspvamn da: p(). p().4 p(3).4; q().55 q().45.. E(). Var().56; E().45 Var().475.. F () s < F ().55 s < F () s 36
3. P( ).5 P(<.3).35. 4. E().8 Cov().9. Esrczo 4.. S rov l valor dlla cosan al pr cu φ()( )/ (<< <<) rapprsna la funzon d dnsà d una v.c. bdmnsonal ().. S drmnno l funzon d dnsà dll v.c. margnal. 3. S sablsca s sono ndpndn Soluzon Sa φ()( )/ (<< <<). ( )dd ϕ 5/6. 6 3. La v.c. margnal ha f.d. ϕ () ϕ( )d (<<) 5 6 mnr la v.c. ha f.d. ϕ () ϕ( )d (<<) 5 3. L v.c. margnal non sono ndpndn prchè ϕ( ) ϕ () ϕ () Esrczo 5.. S rov l valor dlla cosan al pr cu la funzon φ() (<< <<) rapprsna la funzon d dnsà d una v.c. bdmnsonal ().. S drmno l funzon d dnsà dll v.c. margnal s sablsca s sono ndpndn. 3. S calcol la probablà ch nramb l v.c. margnal suprno.5. Soluzon Sa φ() (<< <<).. ( )dd ϕ ½.. La v.c. margnal ha f.d. ϕ () ϕ( )d (<<) mnr la v.c. ha f.d. ϕ () ϕ( )d (<<) 37
L v.c. margnal sono ndpndn nfa ϕ( ) ϕ () ϕ () 3. P(>.5>.5) P(>.5)P(>.5) (/)(3/4) 3/8.375. Esrczo 6.. S vrfch ch ( ) ( ) ϕ ( ral > ) 8π rapprsna la funzon d dnsà d una v.c. bdmnsonal ().. S drmnno l funzon d dnsà dll v.c. margnal. 3. S sablsca s l v.c. sono ndpndn /o dncamn dsrbu movando l rspos. 4. S drmnno E() Var( ) movando l rspos. 5. S calcolno P( > < ) P( < > ) movando l rspos. Soluzon. ϕ ( ) ( ) ϕ dd.. L funzon d dnsà dll v.c. margnal sono da da: φ ( ) ( ) - ϕ d ( ral) π ψ( ) ϕ ( ) d ( > ). 3. sono ndpndn ma non dncamn dsrbu. 4. E() E() E() Var( ) Var() Var() 4 5 pr l ndpndnza ra. 5. P(> <) P(>) Φ().843.587 P(< >) P(<) -.5.665.3935 pr l ndpndnza ra. Esrczo 7. S consdr la funzon d probablà d una v.c. bdmnsonal dscra () dfna dalla ablla sgun..5.5.5.5 38
3.35.5 Sano 3 v.c. ndpndn dsrbu com. S drmn la dsrbuzon dlla v.c. somma T 3 3 movando la rsposa. Soluzon s dsrbusc com una Brnoull (p45). La fgm d è qund: M ()(pp ). T 3 3 è qund somma d 3 Brnoull (45) ndpndn. La fgm d T 3 è qund: G T3 () G () G () G 3 () 3 G () 3 (pp )(pp )(pp )(pp ) (pp ) 3 Ch è propro la fgm dlla Bnomal(N3 p45). Esrczo 8. Sano varabl alaor..d. ch s dsrbuscono scondo una Posson(4) sa S.. Qual è la dnsà d S?. Quano val approssmavamn P(S 39)? 3. Quan varabl alaor ndpndn con dnsà d Posson d paramro 4 dobbamo sommar (almno) affnchè P( n >39) >.5? Soluzon. La somma d v.a. d Posson..d. S è ancora una Posson con paramro la somma d paramr coè S s dsrbusc com una Posson( 4) P(4). Infa la f.g.m. d una qualsas Posson (4) è p(4(p() )) d consgunza S avrà una f.g.m. daa da: G S () () G () G G G () () 4( -) p( 4 (p() ) 4(p()-) ch corrspond a una f.g.m. d una Posson ( 4 ) coè a una Posson (4).. Pr l orma cnral dl lm P(S 39) val approssmavamn P(S 39) P(S 39)Φ((394)/(4) / )Φ(.5) Φ (.5).695.385 3..5<P( n >39)P( n 39)Φ((394n)/(4n) / ) ss Φ((39-4n)/(4n) / )<.5 coè ss ((394n)/(4n) / )<q.5 ss 394n < ss n > 97.5 coè n 98. Esrczo 9. Il prmo d smbr d ogn anno un carolao prpara un ordn d bro gall con cu far fron all vnd dll nro anno (365 gorn). S sa ch l carolao vnd bro gall al 39
gorno dov è una varabl alaora d Posson d paramro λ 5 ch l numro d bro gall vndu n gorn dvrs sono ndpndn.. S ndca l numro oal d bro gall vndu n un anno qual è la dnsà d?. Quano val approssmavamn la probablà ch n un anno s vndano al pù 96 bro? 3. Quan bro gall dovrà approssmavamn ordnar l carolao affnchè la probablà d rmanrn sprovvso duran l anno sa nfror al 5%? Soluzon. La somma d v.a. d Posson..d. è ancora una Posson con paramro la somma d paramr coè Posson(365.5 95). Infa la f.g.m. d una qualsas Posson(5) è p(5(p()-)) d consgunza avrà una f.g.m. daa da: G ()G ()G () G 356 () 356 G () 356 5( -) 356 p( 5 (p() ) 95( -) ch corrspond a una f.g.m. d una 356 Posson ( 5 ) coè a una Posson (95).. Dobbamo calcolar approssmavamn P( 96) usando l orma cnral dl lm: P( 96)Φ(.57).948 3. Sa l numro d bro ch dv ordnar l carolao pr far fron all vnd d un anno. Dobbamo drmnar al ch P(>)<.5. Ulzzando l approssmazon gaussana dlla f.d.r dlla Posson dobbamo drmnar al ch: Φ((95)/(95) / ) <.5 o quvalnmn Φ((95)/(95) / ) >.95. Cò val ss ((95)/(95) / )> q.95 dov q.95 è l quanl d ordn.95 d Φ. Dall avol: q.95.645 >.645 (95) / 9.5 96.95. Qund l carolao dv ordnar almno 963 pnn gall. Esrczo. Sa una v.a. U().. S drmn mda varanza d.. Sano 47 47 v.a...d. con dsrbuzon U() S 47. Calcolar approssmavamn P(S<6) Soluzon Poso U U(). E()E(U)E(U)/ Var()Var(U)4Var(U)4//3 4
. S 47. In quano somma d v.a...d. assoluamn connu anch S è assoluamn connua da cu P(S<6) P(S 6) Inolr E(S)47 Var(S)47 (/3)49 Pr l Torma Cnral dl Lm la f.d.r. d (SE(S)/(Var(S)) / ) convrg alla f.d.r. N(). Qund P(S<6) Φ((647)/7) Φ().977. Esrczo. Sa una v.a. bnomal d paramro (np) Mosrar ch la succsson d varabl alaor {/n} n convrg n probablà a p pr n. Soluzon n è una v.a. bnomal (np) qund dov l sono bnomal(p)brnoullan(p) n ndpndn. (/n)( grand numr. /n) convrg quas cramn a E( )p pr n pr la lgg d Inolr la convrgnza quas cra mplca la convrgnza n probablà pr cu (/n)( convrg n probablà a E( )p pr n. n /n) Esrczo.. S drmn la cosan d proporzonalà ch rnd la sgun funzon una funzon d dnsà bvaraa ϕ( ) ( ) ( ral ) >. S drmn la funzon d dnsà margnal d s calcol E(). S dscua l vnual ncssà d mporr ulror rsrzon sullo spazo d paramr. 3. S drmn E() dscundo l rsulao onuo. (Suggrmno s lasc la funzon d dnsà margnal d n rmn d ngral). 4. Pr 3 s drmn la funzon d rparzon F() d s n dsgn l grafco. 5. Dfna Z F() s calcol la mda la varanza d WlogZ. 6. Sano Z Z n n varabl alaor ndpndn dsrbu com Z. Sa M n n n Z la loro mda gomrca. S drmn un approssmazon valda pr n grand dlla dsrbuzon d M n movando la rsposa forna.. S calcol la convrgnza n probablà dlla succsson dll md gomrch movando la rsposa. 4
Soluzon. ϕ( ) d d da cu ( ) ( ) d d d d d d ( ) ( ) d ( ) ( ) Da cu ( ) d d ( ) ( ) ( ) d ( ). ϕ() ϕ( ) d ϕ() d d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R E() ( ) ( ) ( ) ϕ() d d d ( ) ( ) ( ) d S consdr l prmo ngral (rsoluzon pr par) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) [ ( ) ] ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d assumndo > (la forma ndrmnaa rlava alla soluzon dl prmo ngral può ssr rsola ram l rgola d d l Hôpal) ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) d. S consdr l scondo ngral. Analogamn al caso prcdn s on ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) assumndo > d ( ) ( ) ( ) d ( ) d ( ) Da cu E() 4
Pr garanr l ssnza dl momno prmo occorr assumr >. Pr l momno prmo dvrg. 3. ϕ() ϕ( ) d ϕ() ( ) d R E() ϕ() d dd ( ) ( ) dd ( ) dd Il scondo ngral è l valor aso d un sponnzal ngava d paramro. ( ) d L ngral dvrg: la funzon ngranda posva su supporo d ngrazon llmao. 4. Poso 3 ϕ () R 3 ( ) F() ( d 3 ) Pr < F() Pr ( ) d ( ) ( ) 3 F() ( ) 3 d ( ) 3 d 5. La varabl Z ha dsrbuzon unform nll nrvallo (). La funzon gnrarc d momn d WlogZ è daa G W Da cu G' W () E( W ) log Z d Z Z d ( ) ( ) ( ) () da cu E(W) G' () W ( ) 43
G' ' W ( ) () da cu E(W ) G' () 4 3 W ( ) ( ) Var(W) I rsula prcdn possono ssr rcava quvalnmn dall dfnzon d mda varanza ossrvando ch: la funzon d rparzon d WlogZ è daa da w la funzon d dnsà d WlogZ è daa da ϕ (w). W w F w (w) P(W w) P(Z ) w 6. Essndo M n n Z n s ha logm n n n log Z. L varabl alaor logz logz n sono ndpndn ssndo al Z Z n ammono mda varanza fna (puno prcdn). Pr l orma cnral dl lm allora n n log log log M n n / n / n n log M n N n Qund n d N() M n è approssmavamn dsrbua com una log-normal d paramr - / n. Esrczo 3. S consdr la funzon d probablà d una v.c. bdmnsonal dscra () dfna dalla ablla sgun. 3. 4 4.5. S drmn l valor d ch rnd la prcdn una funzon d probablà bvaraa s drmnno l funzon d probablà dll v.c. margnal.. S rapprsnno grafcamn la funzon d rparzon margnal d. 3. S calcolno P( 4) P( 4 ). 4. S sablsca s sono ndpndn movando la rsposa. 5. S calcol Cov(). Soluzon 44
. Affnché la ablla dfnsca una funzon d probablà occorr ch ) p()> da cu > ) p () da cu.4.5 8.4 qund.5. Sosundo s on 3...5 4..5.5 L funzon d probablà dll v.a. margnal sono da rspvamn da: Poso P( ) p() s ha p()...5 ¼ p(4)..5.5 ¾; Poso P() q() s ha q().3 q().6 q(3)... Indcando con F()P( ) 4 s ha F()...4.6.8. -4-4 6 3. P( 4) P( 4) / P( 4).5 /.75 /3.667 P( 4 ) P( 4) / P( ).5 /.6 5/6.833. 4. non sono ndpndn. S lo fossro nfa s avrbb q( ) q() pr ogn ma nl caso n sam s ha P( 4) /3.667 P() q().6. 5. Essndo: E() p() 4 p(4) ¼ 4 ¾.5 E().3 E().9 s on Cov() E() E()E().5. 45
Esrczo 4. Un s a rsposa mulpla conss d qus. Ogn domanda ha 3 possbl rspos d cu solo una corra. Uno sudn rspond complamn a caso ad ogn quso.. Dr qual è la dsrbuzon dl numro d rspos corr.. Calcolar la mda varanza dl numro dll rspos corr. 3. Spcfcar la dsrbuzon d ( 3 ) dov è l numro d vol ch lo sudn fornsc la rsposa -sma 3. 4. Calcolar E( ) Var( ) cov( j ) corr( j ) 3 j. Soluzon. Sa Z la rsposa al quso smo è corra alrmn v.a. brnoullana d paramro θ con θ P(Z )/3.33 Avndo 3 s possbl d quprobabl d cu solo uno vro l sprmno può ssr vso com una prova a du s d cu un succsso (rsposa corra) d un nsuccsso (rsposa rraa) ch s vrfca con probablà doppa rspo al succsso. Poso Z : numro d rspos corr n qus è dsrbua com una Bn(.33). E()33 Var()33.66.8 3. ( ) è dsrbuo com una rnomal d paramr (.33.33) La suazon dscra nll srczo è nfa nrprabl com un sprmno ch conss d prov ndpndn con r possbl s (l r rspos a r qus) rapprsnan alran vn ncompabl avn probablà.33. 4. è dsrbuo com Bn(n θ ) qund è una v.a. Bn(.33) 3 da cu E( ) 33 Var( ).8. S ha nolr Cov( j ) n θ θ j.33.33 corr ( j ) /(.8).5 Esrczo 5. Sano 3 v.a. ndpndn con Posson(θ ). S drmn la dsrbuzon condzonaa d dao 3 n con n fssao. Soluzon P( 3 n) P( 3 n) /P( 3 n). 3 Posson(θ) con θ 3 j θ j pr la rproduvà dlla Posson; 46
n θ3 θ3 P( 3 n ) ( n Da cu ssndo n 3 s ha: P( 3 n)!! n! ( n ) θ! )! ( ) 3 θ θ θ θ θ! n θθ θ θ 3 3 n n! θ θ θ3!! ( n )! θ θ θ. Poso π θ / θ s on: n! P( 3 n)!! n ( ) π! Ovvro una dsrbuzon rnomal d paramr n π π. pr l ndpndnza dll 3. ( ) ( n ) π π π Esrczo 6. S consdr una varabl casual doppa () avn dsrbuzon unform dfna sul supporo ndvduao da pun nrn da la dl rangolo soscl cu vrc hanno coordna () () ().. S scrva la funzon d dnsà dlla v.a.. S drmnno l dsrbuzon margnal. 3. S calcol l valor aso dll dsrbuzon margnal. 4. S calcol la covaranza fra. 5. S dca s sono fra loro ndpndn. Soluzon. ϕ( ) alrmn S ndch con T l supporo dlla v.a. () (rapprsnao n fgura) - T - - 47
48 La fdd soddsfa ϕ T )dd ( ( ) ( ) ϕ T d d dd dd )dd ( Da cu. A quso s pova gungr anch con un smplc ragonamno gomrco ssndo l ara dl rangolo par a.. Dsrbuzon margnal d : d )d ( () T ϕ ϕ Pr conrollo s può ossrvar ch la funzon onua è ffvamn una fdd n quano - posva; nfa: pr >> ( ) () > ϕ pr >> ( ) () > ϕ - ngra sul supporo; nfa: ( ) ) ( d ( ) d da cu ( ) ( ) d d ()d ϕ. Dsrbuzon margnal d : [ ] ) ( d () ϕ Pr conrollo s può ossrvar ch la funzon onua è ffvamn una fdd n quano - posva; nfa ) ( ) ( > ϕ pr ogn.c. << - ngra sul supporo; nfa: [ ] ) ( ()d ϕ. 3. I valor as margnal sono ( ) ( ) ( ) ϕ d d d d d d d ()d E() d
3 E() ϕ ()d ( ) 3 3 4. Cov() E() E()E() E() T 3 3 ϕ( )dd d 3 3 d 3 3 da cu Cov(). 3 dd 3 d ( ) 3 d d d 5. la dnsà conguna d s ss fossro ndpndn è daa da ( )( ) ϕ ) ϕ () ( ssndo pr un gnrco puno () ϕ ( ) ϕ() ( )( ) ϕ( ) d 4 4 non sono socascamn ndpndn (pur ssndo fra loro ncorrla) ( ) d Esrczo 7.. S rov l valor dlla cosan pr cu f() ( ) / (<< <<) rapprsna la funzon d dnsà d una v.c. bdmnsonal ().. S drmnno l funzon d dnsà dll v.c. margnal. 3. S sablsca s sono ndpndn movando la rsposa. 4. S calcol P(<.5 <). 5. S calcol P(< <.5) s commn l rsulao. Soluzon. 3. Infa s ha dalla dfnzon d funzon d dnsà -) > (dovndo ssr f()> sul supporo) -) dd 49
5 3 d d d dd. L f.d. margnal sono da rspvamn da f() 3 d 3 ()/6 (<<) g() 3 d 3 ()/3 (<<). 3. non sono ndpndn nfa f() f()f() pr un gnrco () nl supporo 4. P(<.5 <) P(< <.5) / P(<) (/8) / (/3) 3/8.375. dov [ ] 3 6 d 6 ) P( < P(< <.5).5.5 8 d 4 6 d 3 dd 3 5. P(< <.5) P(< <.5) / P(<.5) P(<) /3. Essndo P(<.5) P(< <.5) P(<) Esrczo 8. Sa () una varabl casual normal bvaraa d paramr ρ. S drmn:. l dsrbuzon margnal d ;. la fdd condzonaa φ( ) φ( ); 3. la mda la varanza dlla v.a. mda armca Z()/ nl caso d ρ; 4. la mda la varanza dlla v.a. W()/ nl caso d ρ. 5. Qual è la dsrbuzon dlla varabl Z? Soluzon La funzon d dnsà d una normal bvaraa è daa da: ( ) ρ ρ ρ π ρ φ ) (. Dsrbuzon margnal d
5 ( ) ρ ρ ρ π ϕ d ) ( ( ) ( ) ρ ρ ρ ρ π π d ( ) ( ) ρ ρ ρ ρ ρ ρ π π d poso da cu d d s ha ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ π π ρ π π ρ π π ϕ d d d ) ( da cu ) ( ) ( φ π ϕ ssndo: ( ) ρ ρ ρ ρ φ ρ π d d. In modo analogo rpndo la sssa procdura nvrndo l ruolo d s ha: ) ( ) ( φ ϕ. la funzon d dnsà condzonaa è daa da ) ( ) ( ( φ ρ φ ρ ϕ pr dfnzon d dsrbuzon condzonaa.
5 ( ) ( ) ( ) ( ) ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ π ρ π π ρ π ρ ϕ ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ π ρ π ρ π ρ ϕ ( ) ( ) ρ ρ φ ϕ ) ( S no: la mda condzonaa è una funzon lnar dlla varabl condzonan. La pndnza dlla ra non dpnd solo dalla corrlazon ssn fra ma anch dalla loro varablà; la mda condzonaa non dpnd dalla varabl condzonan s ρ (condzon qus ulma ch mplca l ndpndnza nl caso dlla normal bvaraa) caso n cu s ha (l valor aso condzonao concd con qullo margnal); la varanza condzonaa non dpnd da valor d ; la varanza condzonaa è non supror a qulla margnal ssndo ρ. Ess concdono s ρ. In modo analogo rpndo la sssa procdura nvrndo l ruolo d s ha: ( ) ( ) ρ ρ φ ϕ ) (
3. E() E() E(Z) E S no ch s E()E() allora l valor aso dlla la mda armca dll du v.a. è par a Var() Var() Var(Z) Var 4 4 S no ch s d con varanza allora 4. E(W) (E(Z)) Var(Z). Var() Var() Cov() Var(W) Var 4 ρ 4 S no ch la varanza dlla v.a. mda armca nl caso d corrlazon ra l varabl è maggor (mnor) dlla varanza dlla v.a. mda armca nl caso d assnza d corrlazon s la corrlazon è posva (ngava). 5. Nl caso d ndpndnza fra U ha dsrbuzon normal con mda. varanza varanza. pr la proprà rproduva dlla normal rspo al valor aso alla F(z) P(Z z) P(U / z) P(U z) Φ(z ) ϕ(z) ϕ(z) df(z) dz φ ( z ) ( ) π ( )/ 4 π( ) π z / 4 z z ( )/ 4 ( ) φ z 4. Esrczo 9 S supponga ch l lvllo d colsrolo n una cra popolazon abba dsrbuzon Normal con mda dvazon sandard (n mg pr ml). Sapndo ch 6 36 ) s calcol la probablà ch l lvllo d colsrolo sa nfror a 36; ) s calcol la probablà ch l lvllo d colsrolo sa supror a 5; 3) s drmn l lvllo d colsrolo suprao dal 9% dlla popolazon. 53
S nolr s dspon d una sconda msura dl lvllo d colsrolo ndpndn da cararzzaa da una dsrbuzon Normal con mda 5 varanza 35 4) s drmn la dsrbuzon dlla mda armca d. Soluzon lvllo d colsrolo n una popolazon N( ) con 6 36 qund 6 ) P(<36) P(Z<5/3).955 dov Z N(); ) P(>5) 5675; 3) 83. è soluzon dll quazon 6 6 P(>) P z >.9 da cu. 8 6 6 4) S suppon d dsporr d una sconda msura dl lvllo d colsrolo ndpndn da cararzzaa da una dsrbuzon Normal con mda 5 varanza 35. W()/ ha dsrbuzon Normal con mda 55 varanza 775. Infa: G W ( ) ( ) W 4 () E( ) E E E Qu s ulma è la fgm d una normal d mda 4 ( ) 55 varanza 775 54
Esrczo. S supponga ch l lvllo d una sosanza nqunan abba dsrbuzon Normal con mda dvazon sandard (n mcrogramm pr mro cubo). Sapndo ch 6 36. s calcol la probablà ch l lvllo dll nqunan sa nfror a 34;. s drmn l lvllo dll nqunan suprao con probablà.95. S nolr s dspon d una sconda msura dl lvllo dll nqunan ndpndn da con la mdsma dsrbuzon Normal 3. s drmn la dsrbuzon conguna d movando la rsposa; 4. s drmn la dsrbuzon dlla dffrnza ra movando la rsposa. 5. Il lvllo U d un alro nqunan ha dsrbuzon N( ). Sapndo ch la probablà ch l lvllo dll nqunan sa nfror a 8.3 è par a. la probablà ch al lvllo sa supror a 359 è par a.5 s drmnno la mda la dvazon sandard dlla dsrbuzon d U. Soluzon N( ) con 6 36. 6 34 6. P(<34) < 6 6 8 <.98; 6 P P Z P( Z <.33) 6. 6.6 è soluzon dll quazon P(>) Pz >.95. 6 6 Infa s ha. 64 qund 6.64 6 6.6. 6 3. La funzon d dnsà conguna è daa dal prodoo dll dnsà margnal pr l assunzon d ndpndnza ra. Dao ch d s ha φ ( 6 6 ρ ) π36 6 6 6 6 4. W ha dsrbuzon Normal con mda varanza 7. G W ( ) ( ) Infa: ( ) ( ) ( ) ( ) W () E E E E G ()G ( ) Qus ulma è la fgm d una normal d mda varanza 7 55
5. Sapndo ch la probablà ch l lvllo U sa nfror a 8.3 è par a. la probablà ch al lvllo sa supror a 359 è par a.5 U ha dsrbuzon Normal con mda 59.8 dvazon sandard 6.5. Al rsulao s gung rsolvndo pr l ssma P(U>359) P(Z < (359 )/).5 P(U < 8.3) P(Z < (8.3 )/). Esrczo. ) S rov l valor dlla cosan pr cu f() (>) rapprsna la funzon d dnsà d una v.c. bdmnsonal (). ) S drmnno l funzon d rparzon dll v.c. margnal. 3) S drmnno l funzon d dnsà dll v.c. margnal. 4) S sablsca s sono ndpndn movando la rsposa. 5) S sablsca s sono dncamn dsrbu movando la rsposa. Sano n v.a. ndpndn dsrbu com s consdr la v.c. somma S. 6) S drmn la dsrbuzon d S. 7) S sablsca s sono soddsfa l pos dl Torma Cnral dl Lm s drmn un approssmazon Normal pr S nl caso n cu n 5. Soluzon.. Infa: dd dd d d dd [ ] [ ] dd L ulmo ngral è llmao qualunqu sa l valor d. Pr la funzon ngra sul suo supporo d è su sso posva.. L funzon d rparzon dll v.c. margnal rsulano:. G() dd dd d (>) G() ( ); H() dd dd d (>) 56
H() ( ). 3. L funzon d dnsà dll v.c. margnal rsulano: g() h() dg() (>) (sponnzal ngava d paramro unaro); d dh() (>) (sponnzal ngava d paramro unaro); d 4. sono ndpndn ssndo g()h()f(). 5. sono dncamn dsrbu (sponnzal ngav con paramro unaro). Sano n v.c. ndpndn dsrbu com sa S. 6. S ha dsrbuzon Gamma(n). Il rsulao consgu dalla proprà rproduva dlla gamma ssndo l sponnzal ngava una gamma d paramr ( θ). In parcolar nl prsn srczo θ. 7. L pos dl Torma Cnral dl Lm sono soddsfa. Infa l n v.c. sono ndpndn dncamn dsrbu (ssndo u dsrbu com qund v.c. sponnzal ngav d paramro unaro) con mda varanza fn (par a ). Al dvrgr d n la succsson d v.c. { Z n } con Essndo n grand (n5) n Z n S E(S) è al ch Z d n N() Var(S). Z è approssmavamn dsrbua com una N () qund S è approssmabl con una Normal con mda varanza nramb par a 5 ssndo:. 5 5 E(S) E E( ) 5 5 5 Var(S) Var Var( ) 5 (s rcord ch l sono ndpndn). Alrnavamn s può ossrvar ch s S è una gamma(5) allora E(S)Var(S)5. Esrczo.. S rov l valor dlla cosan pr cu f ( ) > <<) rapprsna la funzon d dnsà d una v.c. bdmnsonal ().. S drmnno l funzon d dnsà dll v.c. margnal. 3. S sablsca s sono ndpndn dncamn dsrbu movando la rsposa. Sano n v.c. ndpndn dsrbu com s consdr la v.c. somma S. n n 57
4. S drmn la dsrbuzon d S n. 5. Dopo avr vrfcao ch l pos dl Torma Cnral dl Lm sono soddsfa s drmn un approssmazon Normal pr S n nl caso n cu n 4 sulla bas d qusa s calcol P(35<S n <45). 6. S sablsca l lm a cu convrg n probablà S n /n movando la rsposa forna. Soluzon. /. Infa s ha dd dd d d. L funzon d dnsà dll v.c. margnal rsulano: g() - (>) ssndo g() d [ ] h() (<<) ssndo () d [ ] h. [ ] [ ( ) ] 3. sono ndpndn ma non sono dncamn dsrbu ssndo pr un gnrco g() h() g() h() f(). 4. S n ha dsrbuzon Gamma(n). Il rsulao dscnd dall ossrvar ch ha dsrbuzon sponnzal d paramro ovvro è una v.a. Gamma(). n sono qund n v.c. gamma d paramro () Il rsulao consgu dalla proprà rproduva dlla gamma rspo al paramro d forma con rfrmno ad una paramrzzazon dl po θ Γ( ) θ ϕ ( θ) nl caso parcolar n cu θ (sponnzal ngava). 5. L pos dl Torma Cnral dl Lm sono soddsfa. Infa l n v.c. sono ndpndn dncamn dsrbu ssndo u dsrbu com qund v.c. sponnzal ngav d paramro unaro con mda varanza par a. Dunqu la succsson d v.c. { Z n } con Z n S E(S) è al ch Z d n N() Var(S). 58
Essndo n grand (n4) Z è approssmavamn dsrbua com una N () qund S n è n approssmabl con una Normal con mda varanza nramb par a 4. Pr l calcolo dlla mda dlla varanza s ossrv ch E() Var() da cu: 4 4 E(S n ) E E( ) 4 4 4 Var(S n ) Var Var( ) 4 (s rcord ch l sono ndpndn). Infn s ha 35 4 45 4 5 5 P(35<S<45) P < Z < P < Z <.9938 -.6.9876. Esrczo 3. S dfnsc nropa (d Shannon) dlla varabl casual dscra doppa con dsrbuzon conguna p( j )P( j ) I j J p( j )> l sgun valor aso: H ( ) E( log p( ) ). S dmosr ch nl caso n cu sano ndpndn s on H() H() H() dov H ( ) E( log p( )) (H() è dfna n modo analogo) Soluzon Esplcando valor as s on H ( ) E ( log p( )) I p( )log p( ( log p( ) ) H ( ) E p( )log p( ). In caso d ndpndnza s on H ( ) I J I J j p( ) p( )log j I J j p ) p( j )log p( ) j I ) j j I J [ p( ) p( j )] p( ) p( j )[ log p( ) log p( j )] J j j j ( p( ) p( )log p( ) j 59
I J I J p( )log p( ) p( j ) p( ) p( ) p( j )log p( j ) j j I p( )log p( ) p( )log p( ) H ( ) H ( ) J j j j Esrczo 4. Sa una v.c. d Brnoull con paramro.5 sa una v.c. al ch P( ). P( ).4 P(3 ).5 P( ).5 P( ).4 P(3 )... s drmnno l funzon d probablà d () d.. s calcolno la mda la varanza d. 3. s sablsca s sono ndpndn /o dncamn dsrbu movando l rspos. 4. s calcolno la covaranza l coffcn d corrlazon lnar fra. S consdr la succsson U n cosua da v.c. ndpndn dsrbu com la v.c. U /.. s drmnno la funzon d dnsà d rparzon d U l s rapprsnno grafcamn n. s drmn l lm a cu convrg n probablà U n Soluzon. La dsrbuzon conguna è rporaa nlla ablla sgun \ 3.5..5.5..5 movando la rsposa; La f.p. dlla v.c. è daa da: P().3 P().4 P(3).3.. E() Var() E( ) (E()) 4.6 4.6. 3. non sono ndpndn. Pr smpo P().3 P().5 da cu P() P().5 P().5; non sono dncamn dsrbu avndo prfno supporo dvrso. 4. Essndo E().8 s ha Cov(). ρ().564. 5. La funzon d probablà d U p(u)p(uu) è P(U).5 P(U.33).5 P(U.5). P(U).5. La funzon d rparzon è una funzon a gradn cadlag daa da: 6
F (u).75.55.5 u..5 u <.33 u <.5 u <.33 u < L du funzon sono rapprsna d sguo F(u).6 p(u) -.5.5.4.3.5....33.5 U.5.33.5 u 6. s ha E(U).367 pr la lgg d grand numr U / n convrg n probablà a E(U).367. 6