DIDATTICA DELLA MATEMATICA 9 Lezione
RELAZIONI, DATI E PREVISIONI (MODULO 4)
Obiettivi di apprendimento al termine della classe terza della scuola primaria Classificare numeri, figure, oggetti in base a una o più proprietà, utilizzando rappresentazioni opportune, a seconda dei contesti e dei fini. Argomentare sui criteri che sono stati usati per realizzare classificazioni e ordinamenti assegnati. Leggere e rappresentare relazioni e dati con diagrammi, schemi e tabelle. Misurare grandezze (lunghezze, tempo, ecc.) utilizzando sia unità arbitrarie sia unità e strumenti convenzionali (metro, orologio, ecc.).
Obiettivi di apprendimento al termine della classe quinta della scuola primaria Rappresentare relazioni e dati e, in situazioni significative, utilizzare le rappresentazioni per ricavare informazioni, formulare giudizi e prendere decisioni. Usare le nozioni di frequenza, di moda e di media aritmetica, se adeguata alla tipologia dei dati a disposizione. Rappresentare problemi con tabelle e grafici che ne esprimono la struttura. Utilizzare le principali unità di misura per lunghezze, angoli, aree, volumi/capacità, intervalli temporali, masse, pesi per effettuare misure e stime. Passare da un unità di misura a un altra, limitatamente alle unità di uso più comune, anche nel contesto del sistema monetario. In situazioni concrete, di una coppia di eventi intuire e cominciare ad argomentare qual è il più probabile, dando una prima quantificazione nei casi più semplici, oppure riconoscere se si tratta di eventi ugualmente probabili. Riconoscere e descrivere regolarità in una sequenza di numeri o di figure.
Leggendo gli obiettivi si può avere l impressione di un insieme di argomenti eterogenei. Andando un po più a fondo, però, si può riconoscere un legame ragionevole: si tratta di strumenti concettuali che presentano una molteplicità di elementi che possono essere legati da un qualche tipo di relazione; si vuole cioè offrire ai bambini un insieme di strumenti efficaci per leggere la realtà che incontrano, diventandone protagonisti. Entriamo nel dettaglio.
A) Obiettivi relativi alla misura Classe terza Misurare grandezze (lunghezze, tempo, ecc.) utilizzando sia unità arbitrarie sia unità e strumenti convenzionali (metro, orologio, ecc.). Classe quinta Utilizzare le principali unità di misura per lunghezze, angoli, aree, volumi/capacità, intervalli temporali, masse, pesi per effettuare misure e stime. Passare da un unità di misura a un altra, limitatamente alle unità di uso più comune, anche nel contesto del sistema monetario.
LA MISURA Entriamo in dettaglio
Le grandezze fondamentali del sistema internazionale
Prefissi del Sistema Internazionale
Multipli e sottomultipli del metro
Multipli e sottomultipli del metro quadrato Multipli km 2 1000.000 m 2 10 4 m 2 hm 2 10.000 m 2 10 4 m 2 dam 2 100 m 2 10 2 m 2 Unità m 2 1 m 2 10 0 m 2 Sottomultipli dm 2 0,01 m 2 10 2 m 2 cm 2 0,0001m 2 10 4 m 2 mm 2 0,0000001m 2 10 6 m 2 Come possiamo notare una qualsiasi unità di Area è uguale: alla CENTESIMA PARTE di quella dell'ordine immediatamente SUPERIORE; a CENTO VOLTE quella dell'ordine immediatamente INFERIORE.
Misure di capacità Metro cubo (m 3 ) Litro (l) Relazione tra essi: 1l = 1dm 3
Misure di massa N.B. : nella vita quotidiana usiamo la parola peso, al posto del termine più corretto di massa.
SISTEMI DI MISURA NON DECIMALI Sistema sessagesimale Sistema misto Angoli (grado) Intervalli di tempo (secondo)
IL GRADO SESSAGESIMALE Sottomultipli del grado sono: -il PRIMO: (simbolo ') che è la sessantesima parte del grado (cioè un grado corrisponde a 60 primi) -il SECONDO (simbolo '') che è la sessantesima parte del primo (cioè un primo sono 60 secondi e un grado corrisponde a 3600 secondi) Un angolo scritto in forma NORMALE si esprime in questo modo ad esempio: 27 12 43 dove i primi e i secondi sono sempre numeri minori di 60.
Proviamo a fare le operazioni: 1) α = 34 39 35 ; β = 89 37 28 Calcolare α + β e β α 2) L angolo α misura 15 più 1 di grado; l angolo 5 β misura i 2 di α; quanto vale la misura di α + β? 3 3) Sono le sette di sera; fra 15000 secondi è domani? 4) Fra 4 giorni 19 ore 27 minuti e 49 secondi in che giorno della settimana ci troviamo? Che ora è?
Smontiamo le operazioni (1) 34 39 35 + 89 37 28 = 123 76 63 123 77 3 124 7 3 N.B.: Il criterio utilizzato è lo stesso delle operazioni in base 10, la differenza è nel fatto che la base è 60
Smontiamo le operazioni (4) Nome giorno giorni ore minuti secondi operazione mercoledì 0 9 25 0 + 4 19 27 49 4 28 52 49 lunedì 5 4 52 49 N.B.: vale l osservazione precedente, ma in questo caso la modularità cambia: Per minuti e secondi operiamo in base 60, per le ore in base 24, per i giorni della settimana in base 7.
OSSERVAZIONE Nello svolgere le operazioni precedenti: da un punto di vista concettuale non c è cambiamento di metodo; da un punto di vista cognitivo le operazioni sono complesse, perché richiedono un cambiamento di base, un cambiamento multiplo nel caso dell es.4. Ciò significa che l automatismo acquisito nelle operazioni in base 10 deve riemergere come metodo, non necessariamente in modo esplicito. Esercizi di questo tipo sono dunque molto preziosi, soprattutto se graduati, proposti con situazioni concrete e utilizzati per conquistare insieme il metodo di lavoro
Proposta di lavoro: calcoliamo insieme la data della Pasqua dei prossimi anni
Regola principale: la Pasqua cade la prima domenica dopo la prima luna piena di primavera. PRIMO METODO: la regola dell epatta (Fonte: quadrimestrale Planck Da piccolo farò lo scienziato novembre 2013) Epatta: età della luna il primo gennaio di ogni anno, rispetto all ultimo novilunio cioè il primo gennaio contiamo il numero di giorni che sono passati dall ultimo novilunio.
Voglio calcolare la data della Pasqua 2016. I passi sono i seguenti: 1) Cerco la data dell ultimo novilunio del 2015 (11 dicembre) 2) Calcolo la differenza: 31 11 = 20 (epatta) 3) Sottraggo l epatta a 30, per ottenere il giorno che precede il novilunio che ci interessa: 30 20 = 10 4) Aggiungo 14 giorni per ottenere la data del primo plenilunio di primavera: 10 + 14 = 24 5) Calcolo in quale giorno della settimana cade il 24 marzo: - Oggi è il 25 novembre, quindi per arrivare al 24 marzo mancano: 5 + 31 + 31 + 29 + 24 = 120 - calcolo il resto della divisione per 7: 120 = 7 17 + 1 - Oggi è mercoledì, quindi il 24 marzo sarà giovedì. La Pasqua del 2016 cadrà il 27 marzo
Anno Ultimo novilunio dell anno precedente epatta Giorno prima del novilunio Primo plenilunio di primavera Giorno della settimana Pasqua 2017 29 dicembre 2018 18 dicembre 2019 7 dicembre 2020 26 dicembre Attenzione! 1. Se l epatta è 24 non si deve sottrarre a 30, ma a 29 2. Aggiungendo 14 si può ottenere un numero superiore a 31: in questo caso si scavalca il mese.
Secondo metodo: metodo aritmetico di Gauss N: anno di cui vogliamo sapere la data di Pasqua. x e y: definiti come segue periodo x y 1800-1899 23 4 1900-2099 24 5 2100-2199 24 6 2200-2299 25 7 a= resto della divisione di N con 19 b= resto della divisione di N con 4 c= resto della divisione di N con 7 d= resto della seguente divisione: (19a + x) : 30 e= resto della seguente divisione: (2b + 4c + 6d + y) : 7
Calcolare S = 22 + d + e Data Pasqua: S marzo Data Pasqua: 19 aprile si si S 31 no S-31=26 no Data Pasqua: 18 aprile si d=28 S 31 = 25 a > 10 no Data Pasqua: (S-31)aprile
PROVIAMO anno x y a b c d e S S-31 data 2017 24 5 3 1 1 21 4 47 16 16 aprile 1951 24 5 1890 23 4
DOMANDA Può valere la pena fare un attività del tipo di quelle proposte? Perché? Quali competenze si richiedono? Quali obiettivi concorre a raggiungere?
B) Obiettivi relativi alla rappresentazione Classe terza Classificare numeri, figure, oggetti in base a una o più proprietà, utilizzando rappresentazioni opportune, a seconda dei contesti e dei fini. Argomentare sui criteri che sono stati usati per realizzare classificazioni e ordinamenti assegnati. Leggere e rappresentare relazioni e dati con diagrammi, schemi e tabelle. Classe quinta Rappresentare relazioni e dati e, in situazioni significative, utilizzare le rappresentazioni per ricavare informazioni, formulare giudizi e prendere decisioni. Rappresentare problemi con tabelle e grafici che ne esprimono la struttura. Riconoscere e descrivere regolarità in una sequenza di numeri o di figure.
La Classificazione (dal testo Fare matematica) Condizioni per una corretta classificazione: Non devono rimanere elementi senza classe Ogni classe deve contenere tutti e solo gli elementi con una certa caratteristica Le classi dello stesso ordine devono essere disgiunte Stabilita una proprietà, si possono formare due classi complementari: una cui appartengono gli elementi con quella proprietà, l altra con tutti gli altri elementi che non godono della proprietà stabilita Si usa un solo criterio per distinguere classi dello stesso ordine Lo strumento matematico che garantisce l esistenza di tali condizioni è la relazione di equivalenza.
Esercizi di classificazione e rappresentazione (1) Si portano in classe alcuni gruppi di oggetti( es. cartoline, foglie, bottoni) da distribuire ai bambini divisi in gruppi e si chiede ai bambini di suddividere gli oggetti in base ad un criterio che loro stessi devono stabilire. Il criterio può essere rappresentato da una singola caratteristica o da più caratteristiche. Si condividono e si discutono le scelte; l insegnante cura che i criteri scelti permettano delle classificazioni corrette. Ogni gruppo può poi rappresentare le classificazioni: è un esercizio utilissimo per imparare ad organizzare graficamente le proprie esperienze in modo che siano comunicabili. Si condividono le rappresentazioni chiedendo ai bambini di interpretare quelle fatte dai gruppi a cui loro non appartengono. N.B.: una attività di questo tipo contribuisce al conseguimento di tutti e tre gli obiettivi della classe terza.
Esercizi di classificazione e rappresentazione (2) Compito: costruire una tabella del tempo atmosferico Si possono dividere i bambini in gruppi e chiedere loro di: stabilire i simboli necessari. stabilire la durata del periodo di osservazione. preparare una tabella per la raccolta dei dati. Si mettono in comune e discutono le scelte e si sceglie una soluzione condivisa, curando che ogni bambino sia in grado sia di rappresentare che di leggere il tipo di grafico o tabella scelti. Si può costruire una unica rappresentazione, da esporre e compilare in classe, o decidere che ogni bambino curi la sua rappresentazione. N.B.: Per questa attività uno strumento ottimo è la tabella a doppia entrata
In relazione agli obiettivi per la classe quinta esaminiamo alcuni questi Invalsi
La lunghezza di una scarpa è espressa da un numero. Questo numero, a parità di lunghezza della scarpa, varia da nazione a nazione, come risulta dalla tabella che segue. Numeri scarpe ITALIA 38 39 40 41 42 43 44 45 USA 6 7 8 9 10 11 12 13 GIAPPONE 25 26 27 28 29 30 31 32 AUSTRALIA 5 6 7 8 9 10 11 12 a. Un giapponese che porta scarpe numero 28, quale numero dovrà chiedere se acquista scarpe in Italia? b. Un italiano che acquista scarpe negli USA quanto deve aggiungere al numero locale per sapere a quale numero italiano corrisponde? Si tratta di una relazione rappresentata da una tabella, da cui ricavare informazioni
Il seguente grafico riporta per gli anni dal 2003 al 2008 il numero di persone (in migliaia) di età superiore ai 6 anni che praticano sport con regolarità. Quale fra le seguenti affermazioni è corretta? A. Il numero di persone che praticano sport è sempre cresciuto di anno in anno B. Nel 2007 le persone che praticavano sport erano meno che nel 2005 C. Nel 2003 le persone che praticavano sport erano meno di 11 200 D. Dal 2007 al 2008 il numero di persone che praticavano sport è cresciuto di meno che dal 2006 al 2007 Si tratta di un insieme di dati, rappresentato da una diagramma a linee, da cui ricavare informazioni e formulare giudizi
In questo quesito la rappresentazione usata si può chiamare pittogramma, cioè un immagine creata dall uomo per comunicare in modo rapido e chiaro senza l uso della parola. Deve essere trovato un simbolo che in qualche modo sia facilmente associabile ad esso tramite l esperienza condivisa del target di riferimento; il contenuto del simbolo rappresentato deve essere chiaramente comprensibile, ma anche la sua rappresentazione grafica deve essere semplice, diretta abbastanza da rendere possibile una veloce e chiara identificazione. Di fatto, in questo caso, la faccia stilizzata corrisponde ad un bambino.
Obiettivo:.Utilizzare le rappresentazioni per ricavare informazioni, formulare giudizi Qual è lo strumento della rappresentazione?.. Quali abilità vengono richieste in questo quesito?.......
Obiettivo: Rappresentare relazioni e dati e.utilizzare le rappresentazioni per ricavare informazioni
Obiettivo:.Utilizzare le rappresentazioni per ricavare informazioni, formulare giudizi Qual è lo strumento della rappresentazione?.. Quali abilità vengono richieste in questo quesito?.......
Questo quesito ha un certo grado di difficoltà, perché richiede di operare con due tipi di rappresentazioni grafiche: l istogramma (più semplice) e il grafico a torta (più complesso)
Questo quesito è interessante perché presenta una situazione rintracciabile nella quotidianità.
Obiettivo Riconoscere e descrivere regolarità in una sequenza di numeri o di figure.
Ecco un quesito che richiede conoscenze relative alla misura e capacità di utilizzare tali conoscenze per esprimere valutazioni corrette. Obiettivo Utilizzare le principali unità di misura per lunghezze, angoli, aree, volumi/capacità, intervalli temporali, masse, pesi per effettuare misure e stime.