isultati esame scitto Fisica 7//4 oali: 4 alle oe. pesso aula G8 gli studenti inteessati a visionae lo scitto sono pegati di pesentasi il giono dell'oale; Nuovo odinamento voto AMATO MATTIA CASLLA ALSSANDO 5 CIAVALLA MAIA nc COPPOLA MAUIZIO ammesso COPPOLTTA ANNA CISTOFAO AFFAL CUTLL' OBTA nc DAGON DONATLLA 4 SPOSITO FANCSCO ammesso GIACOBB SAAA 7 ammesso IANNI' GATANO ammesso NICOTA PASQUAL ammesso OLIVIO MATA PALLON FANCSCO ammesso PUCCIO LONZA nc SCICCITANO FANCSCO nc SCUMACI CISTINA nc non classiicato Pe gli studenti del N.O.: possono sostenee l'esame di Fisica solo gli studenti che hanno supeato l'esame di Fisica
same di Fisica Coso Inteateneo di Ing. Inomatica e Biomedica 7//4 Poblema Nel cicuito in igua sono note sia le esistenze.ω,.ω e.ω, che le oze elettomotici.v e.v. Si calcoli la coente cicolante nella esistenza ; si detemini inolte la dieenza di potenziale a i punti A e B (V A V B ). Poblema Sia dato un cicuito come quello in igua disposto nel piano veticale e costituito da due binai conduttoi paalleli, chiusi in alto da una baa conduttice igida e issa, e in basso da una baa mobile in gado di scoee sui binai senza attito. Nella baa in alto è inseito un geneatoe di potenziale, oientato come in igua, con oza elettomotice pai a. La distanza a i due binai è pai a l e la esistenza elettica totale del cicuito è pai a. Il cicuito è immeso in un campo magnetico uniome e costante nel tempo, di modulo B, pependicolae al cicuito stesso e con diezione uscente dal oglio in igua. La baa mobile ha massa m ed è soggetta anche alla oza peso. ) Deteminae la velocità limite, v lim, della baa mobile e la coispondente coente I cicolante nel cicuito (quando vv lim ) ) Deteminae pe quale valoe di la baa mobile ha una velocità inale pai a zeo. ) Pe un valoe di maggioe di quello deteminato al punto ), la baa mobile ha una velocità limite dietta veso l alto e compie lavoo conto la oza di gavità. In queste cicostanze si detemini il endimento meccanico del sistema, η, deinito come il appoto a potenza meccanica podotta (la baa mobile sale conto la oza di gavità) e potenza elettica onita dal geneatoe (pe vv lim ). [espimee i isultati in unzione dei paameti del poblema, m, B, l,, e dell acceleazione di gavità g] Poblema Sia dato un cilindo dielettico di lunghezza ininita e aggio, con densità di caica di volume uniome pai a (positiva). sso è all inteno di un guscio cilindico metallico (conduttoe) di aggio inteno e aggio esteno. Il tutto è contenuto all inteno di un ulteioe guscio cilindico di mateiale dielettico con aggio inteno e aggio esteno, dotato di una densità di caica di volume uniome pai a (negativa). Detta la distanza dall asse del cilindo, si detemini: ) il campo elettico pe < ; ) il campo elettico pe e le espessioni delle densità di caica supeiciali, e, che si hanno ispettivamente sulla accia intena ed estena del guscio metallico, sapendo che inizialmente il metallo è neuto; ) il campo elettico pe < e pe > ; 4) il valoe di ainché il campo elettico sia nullo pe qualsiasi valoe di >, supponendo che.cm e 4.cm [a pate il punto 4), espimee i isultati in unzione dei paameti del poblema,,,,, della vaiabile e di ]
Soluzione poblema Nel cicuito della igua sostituiamo al paallelo delle due esistenze e la esistenza equivalente eq : eq eq Il cicuito si iduce alloa a sole due maglie. Pe applicae il metodo delle maglie scegliamo la maglia costituita dal peimeto esteno del cicuito (cioè l insieme di ami che unisce, e, lasciando uoi il amo con eq ), e la maglia costituita invece da e eq. Scivendo le equazioni pe queste due maglie si ottiene che: I I eq Senza isolvee il sistema si vede subito, dalla seconda equazione, che la d.d.p. ai capi della esistenza equivalente eq è pai a. Questa è anche la stessa d.d.p. ai capi della esistenza, da cui segue pe la legge di Ohm: I I.A dove l ultima espessione è la coente cicolante nella esistenza. La d.d.p. a i punti A e B del cicuito è pai alla d.d.p. ai capi del geneatoe, dato che i poli di tale geneatoe sono collegati diettamente ai punti A e B ispettivamente. Pe cui se ne deduce che: V V.V A B Soluzione poblema Punto ): Il lusso del campo magnetico Φ(B) attaveso il piano del cicuito è dato da: Φ ( B ) Bly( t) dove y è la distanza della baa mobile dalla baa issa in cima al cicuito (con l asse y oientato veso il basso, come in igua). Applichiamo la legge dell induzione di Faaday e otteniamo la oza elettomotice indotta, i : ( B) dy() t dφ i Bl dt dt Blv() t con v velocità istantanea della baa mobile. Dato che l asse y è oientato veso il basso, la velocità v è positiva quando è dietta veso il basso. In questa situazione (baa mobile che si muove veso il basso) si ha un aumento di Φ(B) attaveso il cicuito e petanto la coispondente i a giae la coente in senso oaio in igua. In questa situazione alloa i e sono concodi e i loo eetti si sommano ai ini della coente I cicolante nel cicuito (in senso oaio): i Blv I Vicevesa, se v è negativa (baa che si muove veso l alto) si ottiene una i che si oppone a nella pecedente omula (la omula imane invaiata peché è il segno meno della velocità negativa che espime questa discodanza di i e ). Dalla coente ci possiamo calcolae la oza meccanica di oigine magnetica, F M Il B (podotto vettoiale), che agisce sulla baetta mobile; dato che la coente nella baetta mobile è pependicolae al campo magnetico B, pe il modulo di F M abbiamo che: B l v Bl IlB F M La diezione di F M è veticale (paallelo all asse y); pe quanto iguada il veso (veso l alto o veso il basso) osseviamo come pima che nel caso di v positiva (dietta veso il basso) la coente I cicola in senso oaio in igua e F M è dietta veso l alto (si oppone cioè alla caduta della baa mobile). Se v è negativa, la coente I in senso oaio
diminuisce e anche la F M, ma come pima non è necessaio modiicae l ultima omula ottenuta (peché il segno meno della v tiene già conto di questo eetto). Tenuto conto che sulla baa mobile agiscono la oza peso veso il basso (diezione positiva dell asse y) e la F M appena tovata veso l alto (diezione negativa dell asse y), il II pincipio della dinamica si scive come segue: ma mg F M B l v Bl ma mg Bl B l v ma mg La velocità limite è quella velocità posseduta dalla baa mobile quando l acceleazione è pai a zeo. Imponendo a nell ultima omula si tova la velocità limite, v lim : Bl B l v mg mg vlim B l Bl lim La coispondente coente I cicolante nel cicuito la toviamo sostituendo l espessione tovata pe v lim alla velocità v nell espessione della coente deteminata più sopa: i Blv I Bl mg I B l Bl mg mg I Bl Bl Come vediamo quando vvlim, la coente I cicolante nel cicuito non dipende dalla d.d.p. del geneatoe e dalla esistenza. Punto ): Dato che la velocità limite è la velocità posseduta dalla baa mobile pe t, la baa mobile ha velocità inale pai a zeo quando la v lim deteminata al punto ) è pai a zeo: mg vlim B l Bl mg Bl Punto ): Se è maggioe del valoe ipotato nell ultima espessione, la velocità limite v lim è negativa (dietta veso l alto). In questo caso il cicuito unziona come un motoe elettico pe sollevae una massa m, quella della baa mobile. Alloa pate della potenza elettica eogata dal geneatoe viene convetita in potenza meccanica, conto la oza di gavità. La potenza meccanica, P MCC, sviluppata è pai a: P F v mg v MCC P lim mg m g PMCC Bl B l D alta pate la potenza elettica P LTT eogata è pai a: P I LTT lim mg PLTT Bl dove abbiamo sostituito alla coente I l espessione tovata al punto ), della coente cicolante quando vv lim.
Facendo il appoto P MCC / P LTT si ottiene il endimento η: PMCC mg m g Bl η P LTT Bl B l mg mg η Bl Soluzione poblema Data la simmetia cilindica delle distibuzioni di caica del poblema, il campo elettico in tutto lo spazio ispecchia tale simmetia cilindica e avà diezione adiale (cioè paallelo ai aggi che patono dall asse centale dei cilindi dati) mente saà uniome lungo l asse paallelo all asse dei cilindi. isolviamo il calcolo dei campi elettici col teoema di Gauss, consideando di volta in volta una supeicie cilindica gaussiana di aggio oppotuno, altezza geneica e concentico con i cilindi dati nel poblema. Punto ): Consideiamo una supeicie gaussiana cilindica di aggio < e applichiamo il teoema di Gauss, calcoliamo cioè il lusso del campo elettico attaveso la supeicie gaussiana. Dato che il campo ha diezione adiale (pependicolae quindi alla supeicie gaussiana punto pe punto), il lusso si iduce al podotto del modulo di pe la supeicie lateale del cilindo gaussiano: che è dietto veso l esteno peché il valoe ottenuto pe è positivo. Punto ): All inteno del metallo il campo elettico all equilibio è sempe pai a zeo, ovveo pe. Applicando il teoema di Gauss ad una supeicie cilindica con tale che, bisogna ottenee che la caica totale acchiusa all inteno della supeicie gasussiana sia pai a zeo, pe avee. Ma all inteno della supeicie gaussiana si ha la caica del cilindo dielettico di aggio e la densità di caica supeiciale sulla accia intena del guscio metallico, : che è negativa, ovveo sulla accia intena c è una densità di caica negativa. Dato che inizialmente il guscio metallico ea neuto, bisogna avee sulla accia estena (pe ) una caica uguale e contaia a quella che si ha sulla accia intena (pe ). Alloa pe la distibuzione di caica su,, toviamo la seguente espessione: che è una distibuzione di caica positiva. Punto ): Consideiamo una supeicie cilindica gaussiana di aggio con < <. Al suo inteno ci sono la distibuzione di caica del cilindo dielettico più inteno, le distibuzioni di caica supeiciali, e, appena calcolate, e pate della distibuzione di caica negativa del guscio cilindico dielettico più esteno. Vale la pena ossevae peò che la caica del cilindo dielettico più inteno () e quella della supeicie metallica più intena ( )
danno contibuti uguali ed opposti alla caica totale e si annullano. imangono petanto solo e la azione di caica negativa. Applicando il teoema di Gauss con tali consideazioni si ottiene che: Il campo elettico appena tovato è dietto veso l esteno pe < ( ) /, mente pe maggioe di tale valoe il campo elettico saà dietto veso l inteno. Va ossevato peò che può diventae maggioe di ( ) / solo se è maggioe di tale valoe. Pe > ipetiamo un agionamento analogo al pecedente, ma in questo caso va consideata tutta la distibuzione di caica e non solo una sua azione: La diezione di tale campo elettico, veso l esteno o l inteno, dipende dal valoe di ( ): se esso è maggioe di zeo alloa il campo elettico è dietto veso l esteno, altimenti esso è dietto veso l inteno. Punto 4): Dall ultima espessione tovata si vede che il campo elettico ovunque pe > se ( ). Con i valoi dati dal poblema pe e, si tova che: 5.cm