Limiti e continuità Teorema di unicità del ite Teorema di permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei iti 2 2006 Politecnico di Torino 1
Se f(x) =` ` è unico Per assurdo, siano ` 6= `0 con f(x) =` e f(x) =`0 `, `0 R Consideriamo solo il caso in cui 4 2006 Politecnico di Torino 2
Se f(x) =` ` è unico Osserviamo che esistono I(`) e I(`0) tali che I(`) I(`0) =. ` ε 1 ` `0 2 Gli intorni di e `0 di raggio sono disgiunti 5 Se f(x) =` ` I(`), Considerato segue che esiste Considerato segue che esiste I(c) dall ipotesi tale che x dom f, x I(c) \{c} I(`0), dall ipotesi I 0 (c) è unico tale che f(x) =` f(x) I(`) f(x) =`0 x dom f, x I 0 (c) \{c} f(x) I(`0) 6 2006 Politecnico di Torino 3
Se f(x) =` I(c) I 0 (c) Ma è ancora un intorno di che contiene infiniti elementi del dominio di Pertanto, se e si avrà x 6= c x f cioè i due intorni e non sono disgiunti ` x dom f, f( x) I(`) I(`0) I(`) I(`0) x I(c) I 0 (c) 7 2006 Politecnico di Torino 4
Teorema di permanenza del segno Supponiamo che ammetta ite (finito o infinito) per tendente a f `>0 ` =+ Se oppure esiste un intorno I(c) di c tale che f è strettamente positiva in x I(c) \{c} Se esiste f(x) =`>0 allora I(c) tale che x I(c) \{c} f(x) > 0 ` c 9 Supponiamo che (finito o infinito) per Se Teorema di permanenza del segno f ammetta ite `<0 oppure ` = I(c) tendente a esiste un intorno di tale che è x strettamente negativa in I(c) Se esiste tale che ` c c f I(c) \{c} allora f(x) =`<0 x I(c) \{c} f(x) < 0 10 2006 Politecnico di Torino 5
Teorema di permanenza del segno 11 Consideriamo solo il caso in cui ` R e `>0 I ε (`) ` Sia di l intorno di raggio ε = `/2 > 0 I(c) Esiste un intorno di tale che c x dom f, x I(c) \{c} f(x) I ε (`) 12 2006 Politecnico di Torino 6
Poiché I ε (`) = ` 2, 3` 2 (0, + ) concludiamo che 0 < ` 2 <f(x) < 3` 2 13 Supponiamo che (finito o infinito) per ammetta ite tendente a Se esiste un intorno di tale che f(x) 0 ` 0 in f oppure x I(c) c I(c) \{c} ` =+ Corollario ` c Se esiste I(c) tale che f(x) 0 x I(c) \{c} ` 0 oppure ` =+ 14 2006 Politecnico di Torino 7
Corollario Supponiamo che (finito o infinito) per ammetta ite tendente a Se esiste un intorno di tale che f(x) 0 ` 0 in f I(c) c I(c) \{c} ` = oppure x ` c Se esiste I(c) tale che f(x) 0 x I(c) \{c} ` 0 oppure ` = 15 Consideriamo il caso Per assurdo, se fosse in oppure per il Teorema di permanenza del segno si avrebbe Allora f(x) 0 ` = `<0 I 0 (c) tale che f(x) < 0, x I 0 (c) \{c} x I(c) I 0 (c) \{c} f(x) 0 e f(x) < 0 I(c) \{c} si avrebbe 16 2006 Politecnico di Torino 8
Osservazione Notiamo che anche facendo l ipotesi più forte f(x) > 0 in I(c) \{c} non potremmo escludere che sia nullo. ` Infatti, se ad esempio consideriamo la funzione f(x) = x2 se x 6= 0, 1 se x =0, f(x) > 0 f(x) =0 x 0 abbiamo eppure in ogni intorno dell origine, 17 2006 Politecnico di Torino 9
Primo teorema del confronto Supponiamo che f(x) =` e g(x) =m Se esiste un intorno di tale che f(x) g(x) Se esiste in I(c) x I(c) \{c} I(c) c I(c) \{c} tale che allora ` m f(x) g(x) ` m 19 ` = Se oppure non c è niente da dimostrare Negli altri casi, consideriamo la funzione ausiliaria Per ipotesi, si ha Inoltre, vedremo che m =+ h(x) =g(x) f(x) h(x) 0 x I(c) \{c} h(x) =g(x) f(x) =m ` 20 2006 Politecnico di Torino 10
Applicando il Corollario precedente alla funzione h, otteniamo m ` 0 m ` 21 Secondo teorema del confronto - caso finito f, g h Siano ed tali che f(x) =h(x) =` R I(c) Se esiste un intorno di tale che f(x) g(x) h(x), x I(c) \{c} c g(x) =` 22 2006 Politecnico di Torino 11
Secondo teorema del confronto - caso finito Il secondo Teorema del confronto 23 Fissiamo un intorno Dall ipotesi I ε (`) f(x) =` di si ha I 0 (c) tale che x dom f, x I 0 (c) \{c} ` f(x) I ε (`) ovvero f(x) I ε (`) f(x) ` < ε ` ε <f(x) <`+ ε 24 2006 Politecnico di Torino 12
Dall ipotesi h(x) =` si ha I 00 (c) tale che x dom h, x I 00 (c) \{c} ` ε <h(x) <`+ ε 25 Sia I 000 (c) =I(c) I 0 (c) I 00 (c) Allora x I 000 (c) \{c} ` ε <f(x) g(x) h(x) <`+ ε, cioè g(x) I ε (`) 26 2006 Politecnico di Torino 13
Sia cioè Sia f I(c), C >0 tali che f(x) C, x I(c) \{c} g una funzione itata in un intorno di una funzione tale che Corollario c g(x) =0 f(x)g(x) =0 27 Dalla definizione di ite, si ha g(x) =0 Quindi x I(c) \{c} g(x) =0 0 f(x)g(x) = f(x) g(x) C g(x) e concludiamo per il Secondo teorema del confronto 28 2006 Politecnico di Torino 14
Secondo teorema del confronto - caso infinito f g I(c) Siano e tali che di per cui f(x) g(x) x I(c) \{c} c Se f(x) =+ g(x) =+ 29 Secondo teorema del confronto caso infinito f g I(c) Siano e tali che di per cui f(x) g(x) x I(c) \{c} c Analogamente, se g(x) = f(x) = 30 2006 Politecnico di Torino 15
Esempio 1 Dimostriamo il ite fondamentale La funzione x 0 y = sin x x sin x x =1 è pari, dunque sin x x 0 + x = x 0 sin x x = x 0 sin x x 31 Esempio 1 Dimostriamo il ite fondamentale x 0 sin x x =1 Calcoliamo il ite destro Per ogni si ha cioè x>0 sin x<x, sin x x < 1 32 2006 Politecnico di Torino 16
Esempio 1 Sia x< π 2, consideriamo i punti A =(1, 0), P =(cosx, sin x) Q =(1, tan x). 33 Esempio 1 Si ha area OAP < area OAQ area OAP = OA _ AP 2 = x 2 area OAQ = OA AQ 2 = tan x 2 34 2006 Politecnico di Torino 17
Esempio 1 Dunque, per ogni cioè x< sin x cos x 0 <x< π 2 da cui si ha x 2 cos x< sin x x < tan x 2 35 Riassumendo, per ogni 0 <x< π 2, cos x< sin x x < 1 Esempio 1 abbiamo Poiché cos x = 1=1 dal secondo x 0 + x 0 + teorema del confronto otteniamo la tesi 36 2006 Politecnico di Torino 18
Esempio 2 Vogliamo calcolare x + sin x x 37 Esempio 2 Posto si ha f(x) 1 f(x) =sinx e e g(x) = 1 x g(x) = x + Dal corollario del secondo teorema del confronto, abbiamo x + sin x x =0 x + 1 x =0 38 2006 Politecnico di Torino 19
Esempio 3 Calcoliamo il (x +sinx) x + Usando la disuguaglianza 1 sin x si ha x 1 x +sinx, x R 39 Esempio 3 Posto f(x) =x 1, risulta f(x) =+ x + Dal secondo teorema del confronto - caso infinito - con si ha g(x) =x +sinx (x +sinx) =+ x + 40 2006 Politecnico di Torino 20
Algebra dei iti Estendiamo le operazioni aritmetiche considerando anche i simboli + e Poniamo per definizione: 42 2006 Politecnico di Torino 21
Algebra dei iti + + s =+ se s R oppure s =+ + s = ± s = ± se se s R oppure s>0 oppure s =+ ± s = se s<0 oppure s = ± s ± s = ± se s>0 = se s<0 s = 43 Algebra dei iti s 0 s = se s R \{0} oppure s = ± se ± =0 s R Non sono definite le espressioni ± +( ) ± 0 ± ± ± (± ) 0 0 44 2006 Politecnico di Torino 22
Teorema Supponiamo che esistano, finiti o infiniti f(x) =` e g(x) =m 45 Teorema Allora, ogniqualvolta l espressione a secondo membro è definita, si ha [f(x) ± g(x)] = ` ± m [f(x) g(x)] = `m, f(x) g(x) = ` m in questo ultimo caso supponiamo inoltre che g(x) 6= 0inI(c) \{c} 46 2006 Politecnico di Torino 23
f g x 0 R Siano e due funzioni continue in un punto Allora le funzioni f(x) ± g(x), f(x) g(x) e Corollario f(x) g(x) (quest ultima nel caso in cui sono continue in x 0 ) g(x 0 ) 6= 0 47 La continuità di e in equivale al fatto che f(x) =f(x 0 ) x x 0 f g x 0 e g(x) =g(x 0 ) x x 0 È sufficiente applicare il teorema precedente 48 2006 Politecnico di Torino 24
Corollario Ogni funzione razionale è continua in tutto il suo dominio In particolare, ogni funzione polinomiale è continua in tutto R 49 Abbiamo verificato che le funzioni y = a sono continue su tutto dunque, ogni funzione del tipo (con ) è continua su n N R. y = x R; y = ax n Conseguentemente, i polinomi sono continui su R; le funzioni razionali, essendo quozienti di polinomi, sono continue dove il loro denominatore non si annulla. e 50 2006 Politecnico di Torino 25
Esempio 1 Calcoliamo il x 0 Numeratore e denominatore sono ottenuti attraverso operazioni algebriche su funzioni continue. Inoltre, il denominatore non si annulla in Pertanto, sostituendo ad il valore, otteniamo ` = 3/5 2x 3cosx 5+x sin x = ` x 0 x =0 51 Esempio 2 Calcoliamo il Poiché x π 2 x π 2 sin x =sin π 2 =1 tan x e x π 2 cos x =cos π 2 =0, otteniamo dal teorema precedente x π 2 tan x = x π 2 sin x cos x = 1 0 = 52 2006 Politecnico di Torino 26
Esempio 2 Più precisamente, studiamo il segno della π funzione in un intorno di 2 π Si ha sin x>0 in tutto un intorno di 2 mentre cos x>0 (rispettivamente < 0 ) in π un intorno sinistro (rispettivamente destro) di 2 Pertanto, concludiamo che x π 2 + tan x = e x π 2 tan x =+ 53 Sia R(x) = P (x) Q(x) Osservazione una funzione razionale ridotta ai minimi termini x 0 R Q Q(x 0 )=0; P (x 0 ) 6= 0 Sia uno zero di cioè si ha certamente 54 2006 Politecnico di Torino 27
Osservazione Dunque R(x) = x x 0 Lo studio del segno di R(x) in un intorno di x 0 permette di essere più precisi. 55 Esempio 1 Ad esempio, la funzione y = x2 3x +1 x 2 x è positiva in un intorno sinistro di negativa in un intorno destro, dunque x 0 =1 e x 2 3x +1 x 1 ± x 2 x = 56 2006 Politecnico di Torino 28
Esempio 2 La funzione y = x 2 x 2 2x +1 è negativa in tutto un intorno di x 0 =1 57 2006 Politecnico di Torino 29