1 EQUAZIONI DI MAXWELL

1 EQUAZIONI DI MAXWELL Il campo elettromagnetico è un campo i forze. Può essere utile utilizzare una efinizione oparativa i campo: iciamo che in unazona ello spazio è presente un campo seèutile associare a ogni punto i tale zona il valore i una o più granezze fisiche 1. In particolare il campo è un campo i forze se la granezza fisica è una forza, o una granezza associata a una forza. Il cao tipico è il campo gravitazionale: a ogni punto ello spazio attorno alla Terra, associamo un vettore, che è la accelerazione gravitazionale, che mi consente i calcolare la forza agente su un oggetto nel punto conosceno solo il valore i tale accelerazione. Caratteristica ei campi i forze è che gli oggetti che subiscono l azione ella forza sono anche quelli che proucono il campo. Esempio tipico è il campo elettrostatico. Tale campo è prootto a cariche elettriche, e solo cariche elettriche poste in un campo elettrostatico subiscono una forza a causa el campo. Il campo elettromagnetico agisce su cariche e correnti, e pertanto viene prootto a cariche e correnti. Le leggi che regolano tale campo, e che lo collegano alle sorgenti, sono state viste nei corsi i Fisica e sono legge i Faraay; legge i Ampère (generalizzata); legge i Gauss; legge i Gauss magnetica, ovvero assenza i cariche magnetiche libere. Le equazioni i Maxwell sono la formulazione matematica i tali leggi, e qui sono ate come postulati nella forma seguente: = ce l b t = I + ch l t (1) b = 0 = Q ove e è il vettore campo elettrico e si misura in [ V / m ], b è il vettore inuzione magnetica [ Wb /m 2 ], h è il vettore intensità magnetica [ A / m ], e è il vettore inuzione elettrica [ C /m 2 ]. Tutte queste granezze sono ei campi. Pertanto esse sono funzioni ella posizione r e el tempo t in cui sono calcolate. Le sorgenti el campo sono costituite alla corrente elettrica I, che si misura in [A], e alla carica elettrica Q che si misura in [C]. Notiamo esplicitamente che le equazioni (1) sono equazioni macroscopichee quini concettualmente iverse alle equazioni i Maxwell microscopiche, che legano campi nel vuoto e cariche elementari. Le ifferenze ci sono sia nei campi, sia nelle sorgenti, ma sono più visibili in queste ultime, e quini le ifferenze verranno iscusse apprima per la carica Q, in ettaglio, e poi, più brevemente, per le altre granezze. 1 A esempio, parleremo i campo i velocità ell acqua i un canale se siamo interessati al valore i tale velocità punto per punto 1

Fig. 1: uperficie e contorno La carica Q V contenuta in un volume V è la somma elle cariche elementari (elettroni o ioni) contenute entro il volume. Naturalmente la carica Q V varia sia se cambia la forma, o la imensionei V, siaseil volume V cambia posizione. Tuttavia, seil numeroi cariche contenute è grane, la variazione i carica totale per una variazione piccola i V è percentualmente piccola. e invece in V sono contenute poche cariche, allora la variazione i Q V può essere nulla (la variazione i V lascia le cariche contenute inalterate) o grane. e vogliamo escrivere come è istribuita nello spazio la carica Q, possiamo iviere lo spazio stesso in tanti volumetti V e consierare la carica contenuta in ciascuno i questi volumi come rappresentativa ella istribuzione spaziale ella carica. Più formalmente, possiamo efinire una ensità i carica ρ(r, t) come ρ(r,t) = Q V(t) V ove V è centrato in r. A questo punto sarebbe intuitivo passare, nella (2), al limite per V 0. Tuttavia, se il numero i cariche contenute è grane, la variazione i carica totale per una variazione piccola i V è percentualmente piccola. e invece in V sono contenute poche cariche, allora la variazione i Q V può essere nulla (la variazione i V lascia le cariche contenute inalterate) ograne. Pertanto, col riursii V, ilrapportonella(2)apprimateneaunvalore costante e poi, quano V è iventato troppo piccolo, allora varia in moo impulsivo. Ne segue che nella (2) non è possibile prenere il limite, ma solo consierare volumi V sufficientemente grani a contenere molte cariche. Naturalmente, affinchè la (2) fornisca una escrizione utile ella variazione spaziale ella carica, si richiee che V sia più piccolo ella scala i variazione ella carica, ovvero ella minima istanza su cui la carica varia in maniera significativa. Le equazioni (1) sono equazioni macroscopiche se i volumi consierati sono abbastanza grani a contenere molte cariche, e, allo stesso tempo, sufficientemente piccoli rispetto alla sscala i variazione elle granezze elettriche. Ne segue anche che le equazioni macroscopiche sono valie, e quini possono essere usate, solo se esistono volumi i questo tipo. Poichè la scala i variazione spaziale el campo ipene alla frequenza, le equazioni macroscopiche sono utilizzabili per one raio, microone e infrarossi, e anche, quasi sempre, per le one luminose e il vicino ultravioletto. Non possono, invece, essere usate per il lontano ultravioletto (se non in casi particolari), nè per i raggi X e γ. i noti che la istinzione tra equazioni macroscopiche e microscopiche ipene alla (2) 2

presenza i mezzi materiali. Quini tale istinzione cae nel caso el vuoto, ove le (1) possono sempre essere usate. Dalla (2) segue Q V (t) = V ρ(r, t) V (3) Il iscorso su I è simile. La corrente attraverso una superfice ipene alla normale i n alla superfice stessa. La corrente quini può variare non solo se cambia posizione, imensione o forma, ma anche se varia la normale. i trova che il rapporto tra la corrente, scelta positiva in irezione i i n, e varia con i n come la componente i un vettore, e si può quini efinire una ensità i corrente J come J i n = I (t) purchè la superfice sia macroscopica. egue allora I (t) = J(r,t) i n = (4) J(r,t) (5) Le ensità i carica e i corrente si misurano rispettivamente in [ C /m 3 ] e [ A /m 2 ]. i noti che una corrente è un moto i cariche. Pertanto tra J e ρ vale la relazione J(r,t) = ρ(r,t)v(r,t) esseno v il campo i velocità elle cariche in moto che costituiscono la corrente. Per quanto riguara i campi macroscopici, infine, questi possono essere semplicemente efiniti come il valor meio el corrisponente campo microscopico, fatto su un volume piccolo ma macroscopico. Tornano alle (1), notiamo che a variazione el flusso el campo magnetico Φ b/t nella legge i Faraay inica che un campo elettrico si genera se Φ b varia, qualunque sia la causa: variazione temporale elle sorgenti, moto elle sorgenti o i c, eformazione o rotazione i c. e c e sono fissate allora b = t t b Nelle ultime ue equazioni è una superficie qualunque che si appoggia su c. Consieriamo allora ue superfici 1, 2 generiche. i ha ovviamente b = b b (6) t 1 t 2 t ove è la unione i 1, 2 ( ma ora con la normale rovesciata). Quini il flusso i b, e costante. La terza elle equazioni (1) è quini essenzialmente una conizione iniziale. Invece + J = + J (7) t 1 1 t 2 2 a cui ricaviamo l equazione i continuità 3

Fig. 2: Unione 1 e 2 = J = ρv (8) t t V Quini l equazione i continuità ella carica non è una equazione inipenente, ma una conseguenza ella legge i Gauss macroscopica. Ciò implica che, nello scegliere i postulati iniziali, è equivalente introurre la legge i Gauss o l equazione i continuità. Notiamo infine che a (1,8) si ottiene (J+ ) = 0 (9) t ovvero che è nullo il flusso i J+ t, mentre nel caso statico è nullo il flusso solo i J. Questo giustifica il nome i corrente i spostamento ato a t, mentre J+ t può essere consierata una sorta i corrente totale (cariche in moto più corrente i spostamento). 2 FORZA DI LORENTZ Per completare la escrizione el campo elettromagnetico, occorre l espressione ella forza che questo esercita sulle sorgenti el campo, che nel caso macroscopico sono J e ρ. Dalla fisica e noto che una particella puntiforme immersa in un campo elettromagnetico subisce una forza, ata alla espressione ella forza i Lorentz, che coinvolge i campi microscopici. Tale relazione eve essere però riscritta nel caso i problemi macroscopici, in cui non siamo interessati alla forza su una carica puntiforme, ma alla forza che viene esercitata a un campo macroscopico su una istribuzione i cariche e i correnti. Tale relazione, che chiameremo ancora forza i Lorentz, e che iamo anch essa come postulato, è f = ρe+j b 7 4

ove f è la ensitá i forza (ovvero f V è la forza che agisce sul volume elementare macroscopico V. Nota f si può ottenere risultante e momento risultante i tutte le forze. Teneno conto che la corrente è costituita a cariche in moto : J = ρv si ha f = ρe+ρv b 8 Per una carica ρ = qδ[r r 0 (t)], esseno r 0 (t) la traiettoria el moto, risulta f = f p δ[r r 0 (t)] con f p = qe+qv b la risultante elle forze sulla carica, ovverol espressione usata nel caso microscopico ( mentre il momento risultante è nullo). 3 CONTINUITÀ DEI CAMPI Fig. 3: uperficie i separazione tra ue mezzi 1 e 2 Consieriamo un volume i base. i ha 2 i n 1 i n = h ρ (10) L ultimo integrale, per h 0, è nullo a meno che non vi siano ensità superficiale ρ s (cariche istribuite solo alla superficie). i ha e all equazione i continuità, ( 2 1 ) i n = ρ s (b 2 b 1 ) i n = 0 (11) (J 2 J 1 ) i n = t ρ s 5

Fig. 4: uperficie i separazione tra ue mezzi 1 e 2 Consieriamo una superficie i separazione tra ue mezzi. Dalla secona equazione i Maxwell ( se l e h sono piccoli) si ha, fissato un i b sulla superficie (generico) e un conseguente i t D B h 2 i t l h i n h 1 i t l+ h i n = l C A J i b + l t i b (12) L ultimo integrale è limitato a lmax t i n h e quini tene a zero con h. Analogamente gli integrali su AB e CD. Resta allora l(h 2 h 1 ) i t = lim J i b h 0 In assenza i correnti superficiali l ultimo termine è nullo. i ice corrente superficiale una J = J s δ(s). Fisicamente equivale a un flusso i particelle concentrato in un volume i spessore paragonabile al raggio elle particelle stesse ( e quini consierabile nullo). In presenza i tali correnti si ha (h 2 h 1 ) i t = J s i b (l integrale 1 / l per la corrente che fluisce attraverso la linea A D ). Ma i b è arbitrario, mentre i t = i b i n e quini per qualsiasi i b. egue J s i b = (h 2 h 1 ) i b i n = i n (h 2 h 1 ) i b Analogamente i n (h 2 h 1 ) = J s i n (e 2 e 1 ) = 0 [Ovviamente se necessario si possono consierare ue versori tangenti sulla superficie i u,i v (ortogonali i v = i u i n ) otteneno (h 2 h 1 ) i u = J s i v, (h 2 h 1 ) i v = J s i u ]. 6