Cei di topologia di R. Sottoisiemi dei umeri reali Studieremo le proprietà dei sottoisiemi dei umeri reali, R, che hao ad esempio la forma: = (, ) (,) 6 8 = [,] { ;6;8} { } = (, ) (,) [, + ) Defiizioe: Sia u sottoisieme di R, cioè R, allora diremo maggiorate di u qualuque umero M tale che x risulti x M. Defiizioe: Se esiste almeo u maggiorate di diremo che è limitato superiormete x M Defiizioe: Sia u sottoisieme di R, cioè R, allora diremo miorate di u qualuque umero m tale che x risulti x m. Defiizioe: Se esiste almeo u miorate di diremo che è limitato iferiormete m x Defiizioe: Sia u sottoisieme di R, cioè R, allora diremo che è limitato se è sia limitato superiormete che limitato iferiormete. Defiizioe: Sia u sottoisieme di R. Il più piccolo dei maggiorati di lo chiameremo massimo di se appartiee ad ; altrimeti lo chiameremo estremo superiore di
Massimo stremo superiore Defiizioe: Sia u sottoisieme di R. Il più grade dei miorati di lo chiameremo miimo di se appartiee ad ; altrimeti lo chiameremo estremo iferiore di miimo stremo iferiore sempio Trovare gli estremi iferiore e superiore degli isiemi: = { ;; } (;6), = ( ;) (;7], = ( ;] (; + ) e dire se ammettoo massimo o miimo. L isieme dei miorati di è ( ; ], l isieme dei maggiorati [6; + ) quidi: mi =, sup = 6, o ammette massimo l isieme dei miorati di è ( ; ], l isieme dei maggiorati [7; + ) quidi: metre è illimitato. if =, o ammette miimo max = 7 sempio Trovare gli estremi iferiore e superiore dell isieme { x } Riscriviamo la codizioe data risolvedo la disequazioe: = < e dire se ammette massimo o miimo. < x < < x< risulta quidi if( ) =, sup( ) =. L isieme o ammette é massimo é miimo. sempio Trovare gli estremi iferiore e superiore dell isieme { x, } Vediamo qualche elemeto: {,,,, } = = N e dire se ammette massimo o miimo. =. Riscriviamo la codizioe che defiisce x :
essedo itero positivo la quatità = = è sempre positiva e miore di, e la x diviee sempre più grade al crescere di, tededo ad seza raggiugerlo mai. Quidi si ha sup( ) =, e o ammette massimo, metre se = l isieme assume il suo valore più piccolo, mi( ) =. sempio + Trovare gli estremi iferiore e superiore dell isieme { x, } 7 Vediamo qualche elemeto: = {,,, }. Riscriviamo la codizioe: ssedo >, risulta sempre = = N e dire se ammette massimo o miimo. 6 9 + x= = + = + <, quidi x + = valore che viee assuto per = cui max =. Viceversa i umeri dell isieme si ottegoo sommado a la quatità positiva, che diveta aritrariamete piccola al crescere di. Si ha duque x>, valore che o viee mai assuto e quidi if( ) =. sempio + Studiare il sottoisieme dir: = x=, N. Possiamo riscrivere il geerico elemeto ella forma: + x= = + = + Come si vede risulta sempre x, ad esempio x = + =, x = + = ecc. Nel caso geerale è vero che + i quato se = si ha + =, metre se > l espressioe è pari ad u umero maggiore di sommata ad u altro addedo positivo. Se e deduce che mi( ) =. Per quato riguarda la ricerca dell evetuale massimo dell isieme osserviamo che comuque si scelga u umero k è sempre possiile trovare u x> k. Basta che si scelga = k ed avremo x= k+ > k. Ne cocludiamo k che risulta illimitato superiormete perché i suoi elemeti possoo essere gradi quato si desidera, da cui sup( ) =+ Studiare ReF p. -; es. p..,,
. Itoro e puto di accumulazioe Defiizioe: siao a R e R. Diremo itervallo aperto il sottoisieme ] a, [ di R tale chea< x< a Defiizioe: siaoa R e R. Diremo itervallo chiuso il sottoisieme [ a, ] di R tale chea x a Defiizioe: sia x R. Diremo itoro di x, I( x ) ogi itervallo aperto cotete x. + Seδ + R e δ R avremo pertato: Ix = ] x δ, x+ δ[ x δ x + δ x Ioltre se δ= δ δ l itoro si dirà sferico o ache simmetrico: Ix ={ x R: x x < δ} x δ x x+ δ Si defiiscoo ache l itoro destro: Ix = ] x, x+ δ[ ; l itoro siistroix = ] x δ, x[. Defiizioe: diciamo itoro di + u qualuque isieme della forma (, a+ ), itoro di qualuque isieme della forma (, ), itoro di qualuque isieme tipo (, a) (, + ). Defiizioe: Sia u sottoisieme di R. Si dice che x è puto di accumulazioe per se i ogi itoro di x cade almeo u elemeto di diverso da x. soo puti di accumulazioe o è puto di accumulazioe Si oti che i puti di frotiera di u itervallo soo puti di accumulazioe per esso, pertato diremo ache che u itervallo è chiuso se cotiee tutti i suoi puti di accumulazioe. Notare: ) se cade almeo u puto di i u itoro di u puto di accumulazioe allora ce e cadoo ifiiti ) o è detto che il puto di accumulazioe appartega ad. esempi e soo tutti gli itervalli aperti, l isieme dei reali pari ai aturali co N dove zero è u puto di accumulazioe ma o lo è essu umero dell isieme. ) Se esiste almeo u itoro del puto che o cotiee altri elemeti di il puto si dice isolato
sempio 6 Trovare i puti di accumulazioe dell isieme { x ; } se ammette massimo e miimo. Si tratta di u isieme dove tutti gli elemeti soo umeri razioali. = = + N, l estremo superiore e quello iferiore e dire = x= 6 = x= 6 = x= = x= 6 = x= Comuque si scelgao due elemeti di, ell itervallo fra di loro o soo compresi altri elemeti dell isieme quidi si può trovare sempre per ogi puto u itoro che o cotiee altri puti di. Ne cocludiamo che essu elemeto dell isieme è puto di accumulazioe. Ivece è puto di accumulazioe x= perché qualuque δ si scelga come raggio dell itervallo di cetro esiste sempre u valore di aastaza grade per cui risulti < δ. 6 6 6 Per lo stesso motivo si ha che if( ) =, l isieme o ammette miimo, ed ioltre max( ) = 6. sempio 7 Studiare il sottoisieme di R: { = x =, N }. Scriviamo prima qualche elemeto di : {,,,,, }. La frazioe ha sempre 9 6 6 deomiatore maggiore del umeratore quidi l isieme dato è limitato superiormete da. Dato che x= appartiee all isieme avremo max( ) =. Ioltre gli elemeti di soo sempre positivi, pertato if( ) =. Notare che x= o è miimo dell isieme dato che o vi appartiee. D altra parte x= è puto di accumulazioe per, dato che comuque si fissi u itoro cetrato i x=, al suo itero cadoo ifiiti altri puti dell isieme. Se ad esempio δ è il raggio di u qualuque itoro cetrato i x =, asterà idividuare quel valore < δ cioè per > (sigifica che isoga predere la parte δ itera del umero fra paretesi quadre) ed avremo che da quel umero i poi tutti gli altri elemeti cadrao etro l itoro di raggio δ. Da ultimo osserviamo che tutti gli altri elemeti di soo puti isolati. 6 6 9
sempio 8 + Studiare il sottoisieme di R: { x, } = = N. Riscriviamo il geerico elemeto: + = + = +. Dato che risulta sempre a causa del mior deomiatore, aiamo: 7 x = + + =. 7 7 7 Allora poiché ed x aiamo max( ) =. Viceversa i umeri dell isieme si ottegoo sommado a la quatità positiva, che diveta aritrariamete piccola al crescere di. Si ha duque x>, valore che o viee mai assuto e quidi if( ) =. Ioltre questo è l uico puto al quale ci si possa avviciare a piacimeto, cioè di accumulazioe: tutti gli altri elemeti dell isieme soo puti isolati. 7 7 7 7 Rappresetiamoe qualche elemeto per capire: = {,,,,,,... 8 8 8 } 7 7 7 8 8 sempio 9 Studiare il sottoisieme di R: = x=, N + Si tratta di u isieme limitato superiormete dato che il deomiatore è sempre maggiore del umeratore. Sommado e sottraedo al umeratore si ottiee: + = = + + +. Si vede ee che il geerico elemeto così riscritto cresce al crescere di, dato che si tratta di sottrarre ad la quatità sempre più piccola. Quidi è sempre x < e questo valore o viee mai raggiuto (lo si + avree se fosse zero, il che è approssimativamete vero per valori di ifiitamete gradi). Ioltre, il + fato che x cresca co comporta x x=. Ne segue mi( ) = e sup( ) =. I puti di soo tutti isolati metre l uico puto di accumulazioe risulta x= (o apparteete all isieme). 6 7 Rappresetiamoe qualche elemeto per capire: = {,,,,,,...} 6 7 8 6 (Re Fraschii pp.-, es. P..8, 9,) 6