Rappresentazione dei dati Ideogrammi: uso di una figura stilizzata che rappresenti un fissato numero di individui della popolazione considerata Quantità di olio prodotta dai maggiori Paesi Europei nel 1984 Grafici per punti e per spezzate: in un sistema di assi cartesiani si rappresentano le coppie di dati tra di loro correlati Diagrammi a barre e istogrammi: si disegnano dei segmenti di lunghezza proporzionale alle diverse misure della variabile considerata. Nel caso di una grandezza continua, si discretizza in un numero finito di intervalli e associando ad ogni intervallo la corrispondente frequenza (numero di eventi che cadono in quell intervallo) morti per SC Una bottiglia: 500 migliaia di quintali.70e+05.65e+05.60e+05.55e+05.50e+05.45e+05.40e+05.35e+05 1981 198 1983 1984 1985 1986 1987 3.00E+05.50E+05.00E+05 1.50E+05 1.00E+05 5.00E+04 0.00E+00 anno cause di morte nel 1985 1 3 4 5 1
Es.Cause di morte in Italia dal 198 al 1986 Anno Sist. Tumori App. App. Altre TOTALE circol. resp. diger. cause 198 51811 17333 34335 3061 90835 534935 1983 66885 131499 40010 31955 93381 564330 1984 43396 130143 34658 313 87046 56565 1985 45690 134384 36878 31693 957 54117 1986 4167 135477 38315 3089 9105 537453 Quali informazioni si possono ottenere da una determinata riga Quali informazioni si possono ottenere da una determinata colonna Fissate di volta in volta uno dei due parametri in gioco e rappresentate i dati della corrispondente riga o colonna mediante un ideogramma. Quanti ideogrammi distinti si vengono così a disegnare? Traducete in grafici per punti i dati numerici di ciascuna riga e di ciascuna colonna. Avrebbe senso usare grafici per spezzate?
Successioni: Il tempo è una grandezza continua anche se fenomeni naturali possono essere osservati ad intervalli prefissati Es: aumento di stipendio con uno scatto annuale pari al 1.5% dello stipendio base S(1)=S(0)+1.5/100 S(0) S()=S(0)+ 1.5/100 S(0)=S(1)+d S(n)=S(0)+n 1.5/100 S(0)= S(n-1)+d Una corrispondenza che ad ogni valore intero di una variabile n>0 detta variabile indipendente viene associato un valore S(n) di un altra variabile dipendente si chiama SUCCESSIONE Nel caso osservato possiamo scrivere S(n)=S(0)+nd succ. Aritmetica dove d=s(n)-s(n-1)=1.5/100 S(0) è detta ragione della progressione, S(n) termine generale e S(0) termine iniziale 3
Aumento di stipendio con un aumento del 1.5% dello stipendio dell anno precedente C(0) stipendio iniziale C(1) = C(0)+1.5/100 C(0) C() = C(1)+1.5/100 C(1) = C(1)(1+ 1.5/100 ) = C(0)(1+1.5/100) C(n) = C(n-1)+ 1.5/100 C(n-1) = C(n-1)(1+ 1.5/100) = C(0)(1+1.5/100) n q= 1+1.5/100 Successione o progressione geometrica C(n) = C(0)q n C(0) è il termine iniziale C(n) il termine generale e la costante q=c(n)/c(n-1) ragione della progressione geometrica Es:crescita di un capitale investito ad un tasso fisso di interesse annuo n varia nell insieme dei numeri naturali 4
S(n) = S(n 1) + d n 1 S(i) = ns(0) + i = 0 C(n) = C(n 1)q n 1 i = 0 C(i) = C(0) 1 q n n(n 1) 1 q d Forma ricorsiva della Succ. Aritm. Forma ricorsiva della Succ. Geom. Altre successioni: in alcuni casi non è facile trovare una semplice formula che ci permetta di calcolare direttamente il termine generale nota la ragione e il termine iniziale; 5
Esercizi sia t l intervallo di tempo necessario ad una cellula per suddividersi dando origine a due nuove cellule (dicotomia delle cellule): - schematizzare in forma matematica tale processo - se t=giorni, partendo da una sola cellula iniziale, quante cellule avremo dopo 0giorni? Alcuni nuclei non sono stabili nel tempo e decadono trasformandosi in altre sostanze. La velocità di decadimento si misura mediante il cosidetto tempo di dimezzamento che è il tempo necessario affinché la metà del numero di atomi iniziali della sostanza radioattiva si trasformi (il numero di atomi della sostanza radioattiva risulti dimezzato) - schematizzare in forma matematica tale processo -dopo quanti tempi di dimezzamento lo Iodio 131 I (t=8.05 giorni) si riduce a meno del 5%, a meno del 1%, a meno del 0.1% della quantità iniziale Un individuo esposto a radiazioni ne assorbe una quantità Q ogni giorno, questa quantità si riduce il giorno successivo ad una quantità pq con 0<p<1 costante (p dipende dalla velocità di decadimento della radiazione in questione). Il fatto si ripete con le stesse modalità anche in tutti i giorni successivi. La quantità complessiva di radiazioni, accumulata nell organismo dopo 1,,3,. giorni dall istante iniziale risulta espressa da: Q(1)=pQ+Q Q()=pQ(1)+Q=p Q+pQ+Q Q(3)=p 3 Q+p Q+pQ+Q Esprimere l espressione di Q(n) Calcolare Q(n) dopo 5 giorni, un mese, un anno supponendo Q=1 e p=1/ 6
n Q(n) = Q p i = Q 1 pn +1 0 1 p n 1-p n+1 /1-p 1/1-p ΔQ/Q % 5 30 365 1.9687 1.9999 1.6 0.005 0.0000 7
Es: Diffusione di un epidemia Variabile indipendente t tempo (in termini di tempo del raddoppio: intervallo di tempo entro il quale, nella fase iniziale dell epidemia, il numero degli ammalati raddoppia) La diffusione dell epidemia ad un certo istante t sarà misurata da un certo numero 0<C(t)<1 (porzione di popolazione contagiata) C(0) (sarà piccolo, fase iniziale dell epidemia) per cui t=0 C(0)=Co t=1 C(1)=Co t=n+1 C(n+1)=C(n) Però per tanto piccolo possa essere Co può succedere che a lungo andare C(n) superi l unità Occorre considerare che t_t+1, C(t) contagi un eguale numero di individui ma che questi individui possono appartenere alla popolazione già contagiata all istante t 8
Si deve moltiplicare il numero C(t) per la frazione di popolazione non ancora contagiata all istante t per cui si ottiene C(0)=Co t=n+1 C(1)=Co+Co(1-Co)=Co(-Co) C(n+1)=C(n)+C(n)[1-C(n)]=C(n)[-C(n)] Usare le due formule a partire da Co=10-6 ed osservare le discrepanze che si ottengono per n da 0 a 30 Esempio: Successione di Fibonacci Una coppia di conigli adulti genera ogni mese una coppia di coniglietti e i nuovi nati si riproducono con le stesse modalità ad iniziare dal secondo mese dalla nascita. Partendo da una coppia di coniglietti quante coppie ci saranno dopo 1,, 3..mesi? Come non esistono solo successioni aritmetiche o geometriche così non è detto che la variabile indipendente sia solo di natura temporale. Le permutazioni su n oggetti 9
N Cn=Co n Cn+1=Cn(-Cn) 0,0000 1,0000e-06 1,0000e-06 1,0000,0000e-06,0000e-06,0000 4,0000e-06 4,0000e-06 3,0000 8,0000e-06 8,0000e-06 4,0000 1,6000e-05 1,6000e-05 5,0000 3,000e-05 3,000e-05 6,0000 6,4000e-05 6,3998e-05 7,0000 0,0001800 0,0001799 8,0000 0,0005600 0,0005597 9,0000 0,0005100 0,00051187 10,000 0,001040 0,001035 11,000 0,000480 0,000459 1,000 0,0040960 0,0040876 13,000 0,008190 0,0081585 14,000 0,016384 0,01651 15,000 0,03768 0,0337 16,000 0,065536 0,063435 17,000 0,13107 0,185 18,000 0,614 0,3060 19,000 0,549 0,4080 0,000 1,0486 0,64956 1,000,097 0,87719,000 4,1943 0,9849 3,000 8,3886 0,99977 4,000 16,777 1,00000 5,000 33,554 1,0000 6,000 67,109 1,0000 7,000 134, 1,0000 8,000 68,44 1,0000 9,000 536,87 1,0000 30,000 1073,7 1,0000 10
Pn il numero di permutazioni su n oggetti ossia il numero di modi distinti in cui possiamo disporre n oggetti tutti diversi in n caselle assegnate Il primo oggetto può essere sistemato in una qualsiasi delle n caselle e si hanno quindi n possibilità diverse per il secondo si hanno n-1 possibilità n- per il terzo e così via Pn=1**3*..*(n-1)*n=n! Schedine del totocalcio Calcoliamo il numero delle colonne tra loro diverse che si possono giocare al totocalcio n =13 numero delle partite Per ciascuna partita abbiamo 3 possibilità Sia T(n) il numero delle colonne tra loro diverse di lunghezza n T(1) =3 T()=3x3 T(3)=3x3x3 T(n)=3 n Per n=13 T(13)=159433 giocando tutte queste colonne si ha la certezza di vincere 11