Nazaio Magnaelli ELETTROMAGNETISMO WWW.MATEMATICAMENTE.IT Foto: Electomagnetic di jjjohn

N. Magnaelli Elettomagnetismo MATEMATICAMENTE.IT Ringazio l amico Pof. Calo Sintini pe i suoi utili consigli, pe i suggeimenti e la cua da lui posta nella scittua del testo e nell esecuzione delle figue. Il pesente libo è ilasciato nei temini della licenza Ceative Commons Attibuzione - Non opee deivate.5 Italia Pagina II

N. Magnaelli Elettomagnetismo MATEMATICAMENTE.IT A mia figlia Floa che mi ha sempe incoaggiato ad odinae e accogliee questi agomenti di Fisica. Pagina III

N. Magnaelli Elettomagnetismo MATEMATICAMENTE.IT PREFAZIONE In questo volume sull Elettomagnetismo abbiamo esposto i pincipali agomenti della disciplina dando una tattazione chiaa, esaustiva e di agevole consultazione degli stessi. I vai teoemi sono stati dimostati spiegando accuatamente i pocedimenti matematici di cui la Fisica si avvale. Ciò pemetteà al lettoe di intapendee lo studio dell Elettomagnetismo imuovendo subito dubbi e difficoltà iniziali, e gli consentià di appofondie la sua pepaazione su alti testi di Fisica. A paziale completamento del pesente lavoo, la popagazione delle onde elettomagnetiche nello spazio e lo studio delle leggi che Maxwell ha posto a base della coispondente teoia saanno tattati in un alto volume. Latina, Apile 003 Nazaio Magnaelli Pagina IV

N. Magnaelli Elettomagnetismo MATEMATICAMENTE.IT Pagina V

N. Magnaelli Elettomagnetismo MATEMATICAMENTE.IT BIBLIOGRAFIA 1) E. Peucca, Fisica geneale voll. I e II, UTET. ) E. Amaldi Fisica speimentale pate II Litogafia Maves - Roma 3) C. Mencuccini V. Silvestini, Fisica II, Liguoi Editoe - Napoli. 4) D. Sette, Lezioni di Fisica vol. III, Veschi Roma. 5) A. Rostagni, Fisica geneale, Vol. II pate 1 a UTET. 6) G. Cotini S. Sciuti, Appaecchi di Fisica Libeia Veschi, Roma. 7) A. Cafoio A. Feilli, Physica voll. II e III, Le Monnie. Pagina VI

N. Magnaelli Elettomagnetismo MATEMATICAMENTE.IT INDICE PREFAZIONE... IV BIBLIOGRAFIA... VI INDICE... 7 CAPITOLO 1: Eletticità... 9 1.1 Legge di Coulomb... 9 1. Concetto di campo elettico... 11 1.3 Lavoo del campo elettico geneato da una caica puntifome e potenziale del campo. 1 1.4 Caattee iotazionale del campo elettico... 15 1.5 Alcune consideazioni sul gadiente di una funzione scalae... 18 1.6 Potenziale di un punto di un campo elettico ed enegia potenziale.... 0 1.7 Dipolo elettico... 1.8 Azioni meccaniche sui dipoli elettici posti in un campo elettico esteno.... 8 1.9 Enegia di un campo elettostatico.... 30 1.10 Dimostazione elementae della fomula del lavoo elettico.... 3 1.11 Flusso del vettoe campo elettico E 0 attaveso una supeficie chiusa (Teoema di Gauss)... 34 1.1 Spostamento delle caiche elettiche in un campo elettico o in un conduttoe... 37 1.13 Supefici equipotenziali del campo elettico... 38 1.14 Alcune consideazioni sul significato di gadiente... 41 1.15 Campo elettico e potenziale di un conduttoe in equilibio elettostatico... 4 1.16 Potenziale e campo elettico di una sfea elettizzata... 43 1.17 Campo elettico geneato da un distibuzione supeficiale di caiche... 45 1.18 Gli integali nel calcolo dell intensità dei campi elettici... 47 1.19 Teoema di Coulomb... 50 1.0 Pessione elettostatica... 51 1.1 Potee dispesivo delle punte... 53 1. Capacità elettica di un conduttoe isolato... 54 Capacità di una sfea isolata... 55 1.3 Elementi da cui dipende la capacità di un conduttoe... 55 1.4 L elettoscopio come elettometo... 59 1.5 Condensatoi elettici... 61 1.6 Elettoscopio condensatoe di Volta... 63 1.7 Enegia di un condensatoe... 64 1.8 Enegia di un condensatoe; II metodo.... 65 1.9 Elettometi... 67 1.30 Pocedimento elementae pe la deteminazione dei potenziali... 71 1.31 Scaica di un condensatoe attaveso una esistenza.... 7 1.3 Caica di un condensatoe attaveso una esistenza.... 73 CORRENTE CONTINUA... Eoe. Il segnalibo non è definito. 1.33 Enegia di una coente continua ed effetto Joule... 74 Potenza di una coente continua... 74 1.34 Legge di Ohm pe un cicuito chiuso... 75 1.35 Leggi di Kichhoff... 76 Applicazione... 78 7

N. Magnaelli Elettomagnetismo MATEMATICAMENTE.IT CAPITOLO : MAGNETISMO... 80.1 Campo magnetico di una calamita o di un cicuito elettico... 80. Vettoe induzione magnetica B 0... 81.3 Azioni meccaniche esecitate da un campo magnetico su una spia pecosa da coente... 83.4 Foza di Loentz... 85.5 Legge di Biot e Savat... 87.6 Pima fomula di Laplace... 88.7 Campo magnetico nel cento di una spia... 90.8 Campo magnetico sull asse di una spia... 91.9 Campo magnetico in un punto inteno ad un solenoide... 9.10 Sulla popietà fondamentale del campo di induzione magnetica... 94.11 Elettodinamometo assoluto... 95.1 Cicuitazione di un vettoe... 96.13 Teoema della cicuitazione di Ampèe (pima pate)... 98.14 Teoema della cicuitazione di Ampèe (seconda pate)... 99 Linea chiusa non concatenata... 100.15 Espessione diffeenziale del teoema della cicuitazione di Ampèe... 101.16 Il campo di induzione magnetica ento un solenoide... 10.17 Momento magnetico di un magnete... 104.18 Campo magnetico di un dipolo... 105.19 Teoema dell equivalenza di Ampèe... 106.0 Coenti indotte: leggi di Faaday e di Lenz... 108.1 Induzione elettomagnetica e legge di Faaday-Neumann.... 110. Coente indotta e pincipio di consevazione dell enegia.... 114.3 Foma diffeenziale della legge di Faaday-Neumann-Lenz... 116.4 Autoinduzione... 117.5 Dinamo e altenatoe... 119 Altenatoe monofase... 119 Coente altenata... 10.6 La coente elettica in un cicuito oscillante RLC... 13.7 Oscillazioni fozate in un cicuito RLC... 15.8 Potenza di una coente altenata... 19.9 Enegia del campo magnetico geneato da una coente... 19.30 Enegia del campo magnetico geneato da una coente elettica (alta dimostazione)... 131 CAPITOLO 3: IL GALVANOMETRO BALISTICO... 135 3.1 Elementi costuttivi di un galvanometo balistico... 135 3. Moto dell equipaggio di un galvanometo... 137 3.3 Uso del galvanometo balistico nella misua della coente di scaica di un condensatoe.... 144 3.4 Misua della costante dielettica o del vuoto pe mezzo dell elettometo assoluto151 8

N. Magnaelli Elettomagnetismo MATEMATICAMENTE.IT 1.1 Legge di Coulomb CAPITOLO 1: Eletticità Due caiche elettiche Q 0,q paticamente puntifomi si attaggono o si espingono con una foza che è diettamente popozionale alle caiche e invesamente popozionale al quadato della loo distanza; cioè Qq 0 (1) F k Si ha epulsione se le due caiche hanno lo stesso segno, si ha attazione in caso contaio. Pe il pincipio di azione e eazione, se F è la foza che Q 0 esecita su q, caica q esecita su Q 0 (fig. 1-1) F è la foza che la Supponiamo che la caica Q 0 sia positiva e sia fissa in un punto O e sia una semietta oientata di oigine O. Indichiamo con u ves il vesoe della semietta e poniamo in un punto P di essa una caica q. Alloa su di essa agisce la foza (fig. 1-) Qq 0 () F k ves, ove OP Geometicamente si vede che questa foza è epulsiva se q>0, è attattiva se q<0; petanto la () ci dà la foma vettoiale della legge di Coulomb. La componente della foza F sull asse, cioè la gandezza della foza in valoe e segno, è data dalla elazione: Qq 0 (3) F k, ove F>0 se Q 0 e q sono concodi (foza epulsiva), F<0 se Q 0 e q sono discodi (foza epulsiva). La veifica speimentale della legge di Coulomb è molto difficile; la sua validità è confemata sopattutto da molte leggi fisiche che scatuiscono da essa e che sono veificabili speimentalmente. Nella legge di Coulomb figua una costante k e una nuova gandezza fisica,cioè la caica elettica, pe la quale dobbiamo stabilie una unità di misua. 9

N. Magnaelli Elettomagnetismo MATEMATICAMENTE.IT Nel sistema di misue MKSQ si fissa in maniea abitaia, ma oppotuna, l unità di caica elettica, detta Coulomb(C), e quindi si detemina in maniea univoca la costante k in dimensioni e in valoe. Pecisamente, si dice coulomb (intenazionale) quella caica che passando in un voltameto a nitato d agento (AgNO 3) sepaa, qualunque sia il tempo impiegato, mg1,118 di agento metallico sul catodo. Fissata in tal modo l unità di caica elettica, dalla (1) si icava l unità di misua della costante k e da alte espeienze si icava il valoe numeico che compete a questa costante. Pecisamente si ha: 9 k 9 10 o meglio 9 k 8,9874 10, con l unità di misua k MKSQ Newton m. Coulomb Una volta tovato il valoe della costante k, la legge di Coulomb diventa 9 Qq 0 F 9 10 e possiamo dae un alta definizione dell unità di caica nel sistema di misue MKSQ. Infatti, ponendo Q0 q 1C ed = 1m si tova 9 F 9 10 Newton ; quindi Si dice coulomb quella caica che attae o espinge con la foza di Newton una caica uguale, posta nel vuoto ad 1m di distanza da essa. Poiché questa foza è enome, questa seconda definizione è puamente teoica. Nel sistema (CGS) es - C:G:S: elettostatico-, invece, si considea k come un numeo puo, cioè senza dimensioni, di valoe 1 e quindi si definisce l unità di misua della caica elettica, che si chiama Fanklin. Infatti, se nella (3) si pone k=1, Q0 q 1 F ed = 1cm, si ottiene 11 F 1 dina e si ha la definizione: 1 Si dice fanklin (F) quella caica che, posta nel vuoto ad 1cm di distanza da una caica uguale, la attae o la espinge con la foza di 1 dina. Quando si consideano due caiche poste nel vuoto, la legge di Coulomb nel sistema MKSQ si scive comunemente nella foma: 1 Qq 0 F, 4 o ove o si dice costante dielettica del vuoto. Possiamo icavae facilmente il valoe di o e la sua 1 9 unità di misua. Poiché 9 10 si ha 4 1 4 9 10 o 9 o, da cui (5) o 8,859 10 1. Pe l unità di misua della costante dielettica del vuoto o si ha: Coulomb Faad o, ove il Faad è l unità di capacità un conduttoe. MKSQ Newton m meto 10

N. Magnaelli Elettomagnetismo MATEMATICAMENTE.IT 1. Concetto di campo elettico Qq 0 La legge di Coulomb F k pemette di calcolae la foza che si esecita fa due caiche elettiche puntifomi poste in un dielettico qualsiasi ad una distanza una dall alta. Essa, peò, non ci dà nessuna infomazione sulla natua di tale foza e sul meccanismo con il quale essa si tasmette nello spazio. In ogni caso questa foza non va intepetata come un azione a distanza, esecitata in maniea dietta da una caica sull alta. Dobbiamo invece pensae che nell istante in cui foniamo, pe esempio, ad una sfeetta una caica elettica Q 0, questa modifichi lo spazio cicostante e genei un nuovo stato di cose che si dice campo elettico. In alte paole, lo spazio geometico si tasfoma in uno spazio fisico il quale ha paticolai popietà che non possiede lo spazio geometico. Popio pe mezzo di questo campo la caica elettica Q 0 esecita la sua foza di attazione o di epulsione su un alta caica q - detta caica esploatice - che appesenta l ente spia a mezzo del quale è possibile ivelae l esistenza del campo elettico. In alte paole, quando noi intoduciamo la caica esploatice q in un punto P dello spazio sufficientemente vicino alla caica Q 0, il campo elettico già esiste, ma esso viene ivelato dalla foza F che agisce sulla caica esploatice q. Natualmente la foza F dipende dal valoe della caica esploatice e dal paticolae valoe del campo elettico nel punto consideato. Se vediamo le cose in questo modo, possiamo definie in ogni punto P dello spazio un vettoe E 0, funzione delle coodinate catesiane del punto e della caica Q 0 che genea il campo elettico; esso F è dal appoto E0 ta la foza F che agisce sulla caica q e la caica stessa e si dice intensità q del campo elettico nel punto P, o semplicemente campo elettico. Si ha quindi pe definizione F E0 q, da cui Q E0 k 0 ves. Riassumendo: F Si dice campo elettico in un punto P dello spazio il appoto E0 ta la foza che agisce q su una caica elettica posta nel punto P e la caica stessa. Esso è una funzione vettoiale definita in ogni punto dello spazio vicino ad una caica Q 0 e descive la petubazione che la caica stessa cea intono ad essa. Pe estensione si dice campo elettico anche la pozione di spazio in cui la funzione E 0 è definita. In geneale si dice campo l insieme dei valoi che una data gandezza fisica assume in ogni punto P di una ceta egione dello spazio ed espessa in funzione delle coodinate spaziali (x,y,z) del punto stesso. Se la gandezza fisica è appesentata da un vettoe E, funzione delle coodinate spaziali (x,y,z) del punto P, il campo si dice vettoiale e si scive E E(x, y,z). Se invece la gandezza fisica è una gandezza scalae (es. densità, tempeatua ecc.), funzione sempe delle coodinate (x,y,z) del punto P,il campo si dice scalae e si scive, pe esempio, u u(x, y,z). 11

N. Magnaelli Elettomagnetismo MATEMATICAMENTE.IT Il campo elettico E 0, essendo il appoto ta una gandezza vettoiale ed una scalae, è anch esso un vettoe che ha il veso della foza F se q>0, ha il veso contaio se q<0. In ogni caso, il vettoe E 0 è oientato come il vettoe OP se la caica che genea il campo è F positiva; è oientato in senso contaio se la caica Q 0 è negativa. Dalla fomula E0 si ha q F qe0. 1.3 Lavoo del campo elettico geneato da una caica puntifome e potenziale del campo. Consideando il campo elettico E 0 geneato da una caica puntifome q o posta in un punto O dello spazio (fig. 1-3). Il campo elettico in un punto P è dato dalla fomula: q E0 k, (1) o ove con abbiamo indicato il vettoe OP. Il vettoe E è definito pe 0, cioè pe ogni punto P O dello spazio. Sappiamo che una 0 caica q posta nel punto P è soggetta alla foza ossia F qe0 qq o () F k ove 1 k 4 o qe 0 F A A q q P qe 0 B Il lavoo L γ(a,b) che le foze del campo compiono pe taspotae la caica q dal punto A al punto B lungo una linea γ è dato dall integale: qq o L (A,B) k d (A,B) Fig. 1 O q 0 Figua 1-3 cioè (3) qq o L (A,B) k d, AB (A,B) o (A,B) L kq q d = B 1 1 1 kqoq kq q o A A B, qo q0 (4) L (A,B) q k k A B = q V ( ) V 0 A 0 B, 1

N. Magnaelli Elettomagnetismo MATEMATICAMENTE.IT dove è o V0 k q + c pe 0. La (4) ci dice che il lavoo che le foze del campo compiono pe taspotae la caica q dal punto A al punto B dipende solo da questi due punti e non dalla paticolae cuva che li unisce. Nel caso di una qualsiasi cuva egolae chiusa, cioè pe A B, la (4) ci dà: qq o (4 ) k d 0. Le (4), (4 ) ci dicono che il campo elettico E 0 è consevativo, e come tale esso si può espimee come gadiente di una funzione scalae V 0(), ossia : (5) E0 gad (V 0). Vogliamo tovae questa funzione. Moltiplicando scalamene pe d ambo i membi della (5) si ottiene: E0 d gad(v 0) d, V V V E d dx dy dz. x y z 0 0 0 (6) 0 Il secondo membo della (6) è il diffeenziale, cambiato di segno, della funzione scalae V 0(). Si ottiene così la notevole elazione (7) dv E0 d, 0 ossia qo dv0 k d, da cui qo dv0 k d. Integando questa equazione diffeenziale si ottiene: cioè dv0 kqo d, qo (8) V 0() k c. Le (5), (8) ci dicono che il campo elettico E 0 geneato da una caica puntifome è uguale al gadiente, cambiato di segno, della funzione scalae qo V0 k c. Questa funzione, deteminata a meno di una costante, si dice potenziale elettico del punto P del campo. 13

N. Magnaelli Elettomagnetismo MATEMATICAMENTE.IT La (7) ci dice che Il lavoo elementae del campo elettico ifeito all unità di caica positiva è uguale al diffeenziale, cambiato di segno, del potenziale elettostatico. La fomula E0 gad(v 0) ci pemette subito di itovae la elazione (4) del lavoo elettico. Infatti si ha : B L qe d q gad(v ) d q dv (A,B) 0 0 0 (A,B) (A,B) A L(A,B) q [V 0( A) V 0( B)] e quindi qo qo (9) L(A,B) q [k k ]. Nella (9) e nella fomula pecedente abbiamo omesso di indicae la cuva pe icodae che il lavoo del campo elettico fa due punti A e B non dipende dalla paticolae linea che unisce i due punti consideati. Moltiplicando scalamente pe d ambo i membi della (9) si ha V V V E d gad V d dx dy dz. x y z o o o (*) o o Si ottiene così la notevole elazione A E0 d dv0 cioè: il lavoo elementae del campo elettico ifeito all unità di caica è uguale al diffeenziale, cambiato di segno del potenziale elettostatico. La fomula E0 gad V0 ci pemette subito di itovae la fomula (4) del lavoo elettico. Infatti si ha B (*), L qe d q gad V d q dv (A,B) 0 0 0 (A,B) (A,B) A B B L q V (A,B) 0 A L (A,B) q V 0 A V0 B. 14