a PROVA PARZIAE DI FONDAMENTI DI AUTOMATIA A.A. 24/25 9 novembre 24
Esercizio on riferimento alla funzione di trasferimento G(s) = 7s2 + 36s + 48 (s + 3)(s + 4) 2 Domanda.. Indicare i valori del guadagno, degli zeri e dei poli. Il guadagno è gli zeri sono le due radici del numeratore: µ = G() = 48 48 =, z,2 = 8 7 ± 2 7 3j, i poli sono le due radici del denominatore (una delle quali ha molteplicità doppia): p = 3, p 2,3 = 4. Domanda.2. a variabile d ingresso sia data dalla funzione del tempo, t < 3, t < 5 u(t) = 3, 5 t < 8 2, t 8 Determinare il valore assunto dalla variabile y(t) a regime. Il sistema è asintoticamente stabile, pertanto l effetto degli ingressi precedenti l istante t = 8 si estingue per t. Il valore cercato è allora il valore di regime di y(t) a fronte di uno scalino di ampiezza ū = 2, ossia y( ) = ūµ = 2.
Domanda.3. Determinare l espressione analitica della risposta allo scalino unitario. a risposta allo scalino, in termini di trasformate, è la seguente Sviluppando in fratti semplici si ha: Y (s) = G(s)U(s) = 7s2 + 36s + 48 (s + 3)(s + 4) 2 s. Y (s) = A s + 3 + B s + 4 + (s + 4) 2 + D s. I residui A, B,, D si possono determinare sfruttando il principio di identità dei polinomi: portando a comune denominatore il membro destro dell espressione precedente si ha: Y (s) = (A + B + D)s3 + (8A + 7B + + D)s 2 + (6A + 2B + 4D + 3)s + 48D (s + 3)(s + 4) 2, s da cui il sistema lineare la cui soluzione è Pertanto si può scrivere da cui, antitrasformando, si ottiene 8A + 7B + + D = 7 6A + 2B + 4D + 3 = 36 A + B + D = 48D = 48 A = B = = 4 D = Y (s) = s + 3 + 4 (s + 4) 2 + s, y(t) = e 3t + 4te 4t +.
Domanda.4. on riferimento allo schema a blocchi illustrato in figura, in cui G(s) è la funzione di trasferimento di cui alla domanda., si determinino (se esistono) i valori di K R per cui il sistema complessivo sia asintoticamente stabile. y + e K G (s) y a funzione di trasferimento del sistema complessivo è F(s) = KG(s) + KG(s) = K 7s2 + 36s + 48 (s + 3)(s + 4) 2 + K 7s2 + 36s + 48 (s + 3)(s + 4) 2 ) = K(7s 2 + 36s + 48) s 3 + ( + 7K)s 2 + (4 + 36K)s + 48( + K). a stabilità dipende dalle radici del denominatore della funzione di trasferimento. Per studiare la stabilità al variare di K si può ricorrere alla tabella di Routh: 4 + 36K + 7K 48( + K) ( + 7K)(4 + 36K) 48( + K) + 7K 48( + K) Imponendo che gli elementi della prima colonna siano concordi, si ottengono le seguenti condizioni su K + 7K > 252K 2 + 628K + 394 > + K > la seconda delle quali è verificata per ogni K, mentre il soddisfacimento della terza implica il soddisfacimento della prima. Ne segue che si ha stabilità asintotica per K >.
Esercizio 2 Si consideri un sistema dinamico di ordine descritto dall equazione di stato ẋ = f(x). Si discuta la stabilità dell origine come stato di equilibrio nei tre casi a), b), e c) in cui la funzione f(x) assume gli andamenti qualitativi rappresentati in figura. a) b) 4 c).5.5 3 f(x) f(x) f(x) 2.5.5 2 2 x 2 2 x 2 2 x Anzitutto osserviamo che in tutti e tre i casi l origine è effettivamente stato di equilibrio, poiché f() =. a stabilità degli stati di equilibrio dei sistemi non lineari può essere studiata attraverso i corrispondenti sistemi linearizzati: nel caso in esame i sistemi linearizzati nel punto di equilibrio x = hanno la forma: dove δẋ(t) = aδx(t), a = df(x) dx. x= Nel primo caso, come si evince dalla figura, si ha a > e quindi il punto di equilibrio è instabile. Nel secondo caso invece si ha a < e quindi il punto di equilibrio è stabile. Nel terzo caso infine a = e quindi non si può concludere nulla sulla stabilità del punto di equilibrio da questa sola informazione. Tuttavia, sulla base dell andamento di f(x) nell intorno dell origine si può concludere che anche in questo caso il punto di equilibrio è instabile: infatti, data una condizione iniziale arbitrariamente piccola x() = ǫ > si ha ẋ() = f(ǫ) > e quindi il sistema si allontana dal punto di equilibrio.
Esercizio 3 Si consideri il circuito elettrico rappresentato in figura, in cui u rappresenta la tensione impressa dal generatore, y rappresenta la tensione ai capi del condensatore e V la tensione ai capi dell induttore. V R u I y Domanda 3.. Si determini una possibile descrizione in equazioni di stato del sistema dinamico rappresentato dal circuito in cui u sia la variabile d ingresso ed y sia la variabile d uscita. Si scelgano come variabili di stato la corrente I(t) e la tensione ai capi del condensatore V (t): [ ] [ ] x (t) I(t) x(t) = =. x 2 (t) V (t) a legge di Kirkhoff alle tensioni fornisce l equazione: u(t) = RI(t) + I(t) + V (t), da cui I(t) = R I(t) V (t) + u(t), che è la prima equazione di stato. Detta Q(t) la carica accumulata sulle armature del condensatore, si ha Q(t) = V (t), che derivata rispetto al tempo (si ricordi che Q(t) = I(t)) fornisce la seconda equazione di stato: V (t) = I(t). a rappresentazione cercata è pertanto: ẋ (t) = R x (t) x 2(t) + u(t) ẋ (t) = x (t) y(t) = x 2 (t) Il sistema può essere scritto in forma compatta come segue: { ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = x(t) + Du(t) dove [ R A = ] B = = [ ] D = [ ]
Domanda 3.2. Si determini la funzione di trasferimento tra l ingresso u e l uscita y. È sufficiente applicare la Si ottiene dunque F(s) = [ ] s 2 + R s + F(s) = (si A) B + D. s s + R = s 2 + Rs +.