Calcolo letterale 1. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) m.c.m.(49a b 3 c, 4a 3 bc ) = 98a 3 b 3 c (b) m.c.m.(49a b 3 c, 4a 3 bc ) = 98a 3 b 3 c (XX) (c) m.c.m.(49a b 3 c, 4a 3 bc ) = 49a bc 49a b 3 c = 7 7 a a b b b c c 4a 3 bc = () 7 a a a b c c mcm(49a b 3 c, 4a 3 bc ) = () 7 7 a a a b b b c c = 98a 3 b 3 c. La soluzione dell espressione 1 a x 1 ax (a) 6 (XX) (b) 6 (c) 4 9 L espressione 1 a x 1 ax 1 () 3 1 ()( = 1 3 ) 3 con a =, x = 3 è con a = e x = 3 diventa 1 9 3. L espressione [ (a ) 3 ] è uguale a (a) 64a (b) 8a 3 (c) 64a 1 (XX) = 3 ( 9) = 6 [ (a ) 3 ] = [ ( 3 a 3 )] = [ 8a 6 ] = 4. Il polinomio p(x) = 3x + 5x + è divisibile per (a) 3x + (XX) (b) x 1 [ 8a 6 ] = () 8 a 6 = 64a 1
(c) x + p(x) = 3x + 5x + = 3(x + 5 3 x + 3 ) Occorre trovare x 1, x tali che x 1 + x = 5 3 e x 1 x = 3. I numeri cercati sono x 1 = 1, x = quindi p(x) = 3(x + 1)(x + ) = (x + 1)(3x + ). 3 3 5. La seguente frazione letterale x + 10xy + 1y x + 1xy + 18y (a) è uguale alla frazione x + 7y (x + 3y) (XX) 5xy + 7y (b) è uguale alla frazione x + 6xy + 6y 5x + 7y (c) è uguale alla frazione x + 3y x + 10xy + 1y x + 1xy + 18y = x + 10xy + 1y (x + 6xy + 9y ) Si osservi che al denominatore troviamo, tra parentesi, il quadrato del binomio (x + 3y) mentre applicando la regola di Ruffini al numeratore si ottiene x + 10xy + 1y = (x + 3y)(x + 7y). La frazione data diventa quindi (x + 3y)(x + 7y) (x + 3y) = x + 7y (x + 3y). Equazioni e disequazioni algebriche 1. Le soluzioni della disequazione 1 3 x < x 1 3 sono (a) x R (b) nessuna soluzione (c) x > 1 4 (XX) 3 x < x 1 3
x x < 3 3 4 x < 3 3 x > 3 3 4 x > 1 4. Per quali valori del parametro reale k l equazione x (k +4)x 3k +8 = 0 ammette due soluzioni reali coincidenti? (a) nessuna soluzione (b) per k = 0 e k = 4 (c) per k = 0 o k = 4 (XX) x (k + 4)x 3k + 8 = 0. Il polinomio del tipo ax + bx + c = 0 ha due soluzioni reali coincidenti se = b 4ac = 0. Occorre quindi risolvere la seguente equazione di secondo grado in k: [ (k + 4)] 4 ( 3k + 8) = 0 4(k + 4) 8( 3k + 8) = 0 4k + 3k + 64 + 4k 64 = 0 4k + 56k = 0 4k(k + 14) = 0 k 1 = 0 oppure k = 4. 3. Le soluzioni della disequazione x +5 x 4x 0 sono (a) x 0 ; x 4 (b) 0 < x < 4 (c) 0 x 4 (XX) Per risolvere la disequazione x + 5 0 serve che numeratore e denominatore siano x 4x di segni concordi ed inoltre il denominatore deve essere diverso da 0. Osservando che x + 5 > 0 x R allora le soluzioni della disequazione data sono le soluzioni di x(x 4) > 0, ossia x < 0 e x > 4
4. Le soluzioni dell equazione x 6x + 8 = 0 sono (a) x =, x = 4 (XX) (b) x =, x = 4 (c) nessuna soluzione Per fattorizzare l equazione x 6x + 8 = 0 occorre trovare x 1, x tali che x 1 + x = 6 e x 1 x = 8. I valori cercati sono, 4 pertanto x 6x+8 = (x )(x 4) e quindi (x )(x 4) = 0 per x = oppure x = 4. 5. Le soluzioni del sistema di disequazioni (x 1) < (x + 5) x x + 1 > 0 sono (a) x > (b) x > 1 (c) x < ; x > 1 (XX) Dal sistema (x 1) < (x + 5) x x + 1 > 0 risulta che la prima disequazione è soddisfatta per x > mentre la seconda per x 1. La soluzione del sistema è l intersezione delle soluzioni ossia < x < 1 e x > 1 Geometria Analitica 1. Le rette di equazione y = x 1 e y = 4x + (a) sono perpendicolari (b) sono parallele (c) sono coincidenti (d) sono incidenti ma non perpendicolari (XX)
I coefficienti angolari delle rette sono, rispettivamente, m 1 = e m = 4. Le rette si intersecano in un solo punto ed i coefficienti angolari non sono uno l antireciproco dell altro. Pertanto le rette sono incidenti ma non perpendicolari.. La circonferenza di equazione x + y 4x + 6y 1 = 0 (a) ha centro nel punto C = (0, 0) e raggio r = 1 (b) ha centro nel punto C = (, 3) e raggio r = 5 (XX) (c) ha centro nel punto C = ( 4, 6) e raggio r = 1 La circonferenza di equazione x + y + ax + by + c = 0 ha centro di coordinate ( a e raggio r = ( a ) + ( b ) c. Pertanto, nel nostro caso, la circonferenza data ha C = (, 3) e r = 5., b) 3. Siano A = ( 5, 3) e M = (, 1), con M punto medio del segmento AB. Determinare le coordinate del punto B e la lunghezza del segmento AB (a) B = ( 3, ) e AB = 5 (b) B = (3, ) e AB = 4 5 (XX) (c) B = ( 6, 4) e AB = Le coordinate del punto medio sono M = ( x A+x B, y A+y B ). Avendo il punto A = ( 5, 3) = (x A, y A ) si trova B = (3, ). Ricordando che la distanza tra due punti è data da AB = (x A x B ) + (y A y B ) si ha AB = 4 5 4. La retta di equazione y = x (a) non ha intersezioni con la parabola di equazione y = x x (b) è secante alla parabola di equazione y = x x (c) è tangente alla parabola di equazione y = x x (XX) (d) interseca la parabola di equazione y = x x in tre punti distinti
Mettendo a sistema l equazione della retta con quella della parabola si ottiene x = 0 ossia le soluzioni del sistema sono due e coincidenti ovvero la retta è tangente alla parabola. 5. L equazione x + y = 9 (a) rappresenta un iperbole (b) rappresenta una parabola (c) rappresenta una circonferenza (d) rappresenta un ellisse (XX) L equazione x + y = 9 si presenta come x + y 3 ( 3 ) = 1, equazione di un ellisse. Equazioni e Disequazioni Irrazionali, Esponenziali e Logaritmiche 1. Le soluzioni della disequazione x 3x > sono (a) nessuna soluzione (b) x < ; x > 4 (XX) (c) x < 3 Per risolvere la disequazione x 3x > occorre risolvere il sistema che ha per soluzione x < ; x > 4. Le soluzioni della disequazione log 3 > log x sono (a) x > 3 (b) x < 3 (c) 0 < x < 3 (XX) Per risolvere la disequazione log 3 > log x occorre risolvere il sistema che ha per soluzioni 0 < x < 3. x 3x 0 x 3x > 4 x > 0 3 > x
3. Le soluzioni della disequazione log 1 x + log 1 4 < 0 sono (a) x < 4 (b) x > 1 4 (XX) (c) x > 4 La disequazione log 1 x + log 1 4 < 0 equivale alla disequazione log 1 4x < 0 ossia, visto che la base del logaritmo è positiva ma minore di 1, 4x > 1 quindi x > 1. 4 4. Le soluzioni della disequazione 4 x + 1 > x+1 sono (a) x 0 (XX) (b) x R (c) x > 0 La disequazione 4 x + 1 > x+1 si può riscrivere come x x + 1 > 0. Ponendo ora t = x la disequazione proposta si presenta come una disequazione di secondo grado in t con soluzioni t 1 ovvero x 0. 5. Le soluzioni della disequazione x < 3 sono (a) x < 5 (b) < x < 5 (XX) (c) x R La disequazione x < 3 equivale a 3 < x < 3 ossia < x < 5.