ANALISI DI SERIE TEMPORALI CAOTICHE

ANALISI DI SERIE TEMPORALI CAOTICHE Probleatiche Ricostruzione dello stato Diensione di ebedding Calcolo della diensione frattale Modelli di previsione Calcolo degli esponenti di Liapunov C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 1/37

Per studiare e coprendere appieno la dinaica del sistea x & t f x t oppure x t + 1 f x t sarebbe opportuno poter isurare l evoluzione nel tepo di tutte le n variabili di stato: x1 t, x2 t, L, xn t Negli esperienti di laboratorio fisica, chiica, biologia, edicina, o nelle registrazioni di dati di capo ecologia, econoia, finanza, sono tipicaente isurate solo poche variabili, perché: La isura costa struentazione. La isura di alcune variabili è tecnicaente ipossibile. Spesso, non è neppure noto quante e quali siano le variabili di stato non esiste un odello. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 2/37

Iaginiao che sia disponibile la isura di una sola variabile di uscita funzione, in ogni istante, dello stato n x t R del sistea. y t R, che è x& t y t f x t g x t Fissato un intervallo di capionaento detto anche ritardo τ > 0, ciò che si ottiene è una serie teporale: y 0, y τ, y2τ, L, y N 1 τ Nota bene: il sistea può anche essere x t + 1 f x t purché reversibile τ. τ intero, p.e. 1 Nota bene: la serie teporale ha lunghezza finita N è affetta, in qualche isura, da ruore. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 3/37

Quali sono gli scopi dell analisi della serie teporale? calcolo di statistiche edie, varianze, autocorrelazioni, identificazione di odelli, per siulazione e predizione Inoltre, se la serie teporale è ricavata da un sistea in regie caotico: isure di coplessità diensioni frattali, esponenti di Liapunov, In quest ultio caso, lo struento principale è il etodo di ricostruzione dello stato nello spazio delle uscite ritardate. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 4/37

RICOSTRUZIONE DELLO STATO Esepio: consideriao un sistea lineare di diensione n : x& t y t f x t g x t Ax t cx t Supponiao di capionarlo con passo τ il tepo discreto vale quando il tepo continuo vale t τ. Si ottiene il sistea a tepo discreto: x ~ + 1 Ax y cx ~ dove A exp Aτ C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 5/37

C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 6/37 Se rileviao l uscita per n istanti di tepo otteniao ~ 1 1 ~ 1 1 1 x ca n cx n y cax cx y cx y n + + + + M cioè ~ ~ ~ 1 1 1 Ox x ca ca c n y y y n + + M M Per un sistea generico, la atrice n n di osservabilità O ~ è invertibile. Quindi, in un sistea lineare, il vettore n -diensionale delle uscite ritardate T T 1 1 1 τ τ + + + + n t y t y t y n y y y t z n L L è equivalente allo stato del sistea, poiché n z O x 1 ~.

Nota bene: per poter effettivaente calcolare lo stato nota la serie teporale di uscita y t, è necessario conoscere il odello A, c del sistea quindi anche l ordine n. Tuttavia, la sola conoscenza di n perette di costruire il vettore z n t, il quale è equivalente a x t sono legati da una trasforazione invertibile ne possiede le stesse caratteristiche dinaiche p.e., il coportaento asintotico. Tipicaente, quando si analizza una serie teporale relativa ad un sistea non lineare il odello cioè le funzioni f, g non è noto il più delle volte, neppure l ordine n del sistea è noto Nonostante ciò, se il sistea funziona su un attrattore, quest ultio può essere ricostruito ediante un vettore z t delle uscite ritardate. L attrattore ricostruito ha le stesse caratteristiche geoetriche/dinaiche dell originale. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 7/37

DIMENSIONE DI EMBEDDING Per ipotesi: Il sistea x & t f x t funziona su un attrattore box-counting d. n A R di diensione Viene registrata la serie teporale scalare di uscita y 0, y τ, y2τ, L, y N 1 τ. Fissato un intero > 0, si definisce il vettore delle uscite ritardate z t y t y t τ L y t 1 τ con t τ, 1, K, N 1 T Nota: a volte oettereo il pedice e indichereo il vettore z t con z y τ y 1 τ L y + 1 τ T C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 8/37

Nota bene: per il sistea a tepo continuo x t f x t di risalire a t τ, x t 2τ,, x t 1 τ &, la conoscenza di t x L reversibilità. x perette Quindi, con il vettore delle uscite ritardate z t y t y t τ L y t 1 τ T si definisce, iplicitaente, una funzione G n : R R : z x t G t Definizione: è una diensione di ebedding per l attrattore A se la funzione ristretta ad A, è invertibile cioè: per ogni coppia x, x A, se x x G x G x. G, allora risulta C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 9/37

Se è una diensione di ebedding, allora R si dice spazio di ebedding per A. L iagine A G A ricostruito. dell attrattore A nello spazio di ebedding si chiaa attrattore Se la funzione di stato f, la funzione di uscita g, e il ritardo τ sono generici cioè: a eno di casi critici, allora A ha le stesse proprietà geoetriche diensione e dinaiche esponenti di Liapunov di A. Nota bene: A ha diensione d, pertanto è necessario a non sufficiente che > d. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 10/37

Nota bene: se è una diensione di ebedding, la traiettoria che definisce l attrattore ricostruito A non avrà auto-intersezioni e viceversa!. Esepio: esperiento di Taylor-Couette, in regie periodico. y t è la velocità del fluido in un punto prefissato. Poiché A è un ciclo, risulta d 1. Una diensione di ebedding 2 in questo caso si rivela sufficiente. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 11/37

Esepio: registrazione del battito cardiaco di un insetto 2 non è diensione di ebedding poiché la traiettoria in 2 R presenta auto-intersezioni. 3, viceversa, eliina le autointersezioni: è una diensione di ebedding. Esepio: dati registrati da una reazione chiica esperiento di Belousov-Zhabotinsii 3 è una diensione di ebedding, poiché la traiettoria ricostruita non presenta autointersezioni. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 12/37

Quanto deve essere grande la diensione di ebedding? Teorea Whitney, 1936; Mané, 1981; Taens, 1981; Yore and coworers, 1991 n Supponiao che A R sia un attrattore di diensione box-counting d. Allora, se f, g,τ sono generici, è una diensione di ebedding se > 2d Giustificazione intuitiva: due varietà di diensione d si pensi a due pezzi dell attrattore A genericaente non si intersecano in R se d + d < 0. Se c è intersezione, la varietà di intersezione ha genericaente diensione d + d 0. Nota bene: si tratta di una condizione sufficiente, piuttosto conservativa. E spesso agevole trovare una diensione di ebedding più piccola, cioè <. d 2d In sostanza, il teorea garantisce che, se l attrattore A ha bassa diensione, allora può essere ricostruito in uno spazio di ebedding avente bassa diensione. Nota bene: tipicaente, quando si analizza una serie teporale, d non è noto a priori. Ipotizzando che d sia piccolo attrattore di bassa diensione, una diensione di ebedding deve essere trovata per tentativi. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 13/37

PROBLEMATICHE IMPLEMENTATIVE Identificazione delle auto-intersezioni Per > 3, la valutazione visiva delle auto-intersezioni non è più possibile. Esistono etodi nuerici adatti a tale scopo, p.e. il etodo dei falsi vicini: l idea è che se la distanza in R tra z i e z j è piccola entre quella tra z i+ 1 e z j+ 1 è sufficienteente grande, allora z i e z j sono falsi vicini. Scelta del ritardo τ: in teoria, quasi ogni valore può essere utilizzato, a Esepio: serie teporale generata per siulazione di un sistea di Lorenz τ 5 τ 51 τ 915 Sono stati proposti vari etodi epirici per la scelta di τ, ad esepio: prio zero della funzione di autocorrelazione di y t o altri valori specificati coe prio inio della funzione di utua inforazione di y t frazione predefinita del periodo doinante, ricavato dallo spettro di potenza L idea è che τ descriva una correlazione interedia d inforazione e non di ruore. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 14/37

CALCOLO DELLA DIMENSIONE FRATTALE La diensione d dell attrattore A coincide con quella dell attrattore ricostruito A. Perciò, se è nota una diensione di ebedding, d può essere calcolata coe diensione di correlazione, utilizzando la serie teporale z t che definisce l attrattore ricostruito. Ma, in genere, d non è nota a priori e, quindi, neppure,. Un procediento epirico, spesso adottato: Calcolare la diensione di correlazione d per una successione di valori crescenti di. Per in dove in è la inia diensione di ebedding, d riane costante al valore corrispondente alla diensione di correlazione di A. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 15/37

Esepio: esperiento di Couette-Taylor Lo spazio delle uscite ritardate z t per 2. Per ogni valore di tra 2 e 20, viene calcolata la funzione di correlazione C r #coppie z i, z j t.c. z i #coppie z i, z j z j < r per vari valori di r. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 16/37

C r deve scalare con r secondo la legge log C r d log r +α per cui la pendenza Δ log r / Δ log r fornisce la stia di d. C Δ log r / Δ log C r Il grafico di Δ logc r / Δ log r in funzione di log r fornisce in un range interedio di valori dell ascissa la stia d 3. log r C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 17/37

Esepio: un esperiento su un laser Lo spazio delle uscite ritardate z t per 2. Δ log r / Δ log C r Il grafico di Δ logc r / Δ log r in funzione di log r fornisce in un range interedio di valori dell ascissa la stia d 1. 5. log r C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 18/37

Esepio: esperiento di Rayleigh-Bénard Un fluido viene riscaldato tra due piastre orizzontali antenute a differente teperatura T l > Tu. Tl Tu è piccolo, il fluido è fero e il calore è scabiato per conduzione. T T supera una certa soglia, il fluido si uove e il calore è trasesso per Se Se l u convezione. Per l Tu T elevato, il oviento del fluido è caotico. L esperiento isura la velocità in un deterinato punto dello strato fluido. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 19/37

Dal grafico di logc r in funzione di log r, si ricava la stia di d calcolando la pendenza. d La stia di d tende ad un valore asintotico pari a circa 2.8 al crescere di. Per contro, il ruore bianco risulta avere diensione d riepie qualsiasi diensione. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 20/37

MODELLI DI PREVISIONE Data la serie teporale di uscita, registrata fino all istante t : { y0, y τ,, y t τ, y } Y0, N 1 t K con t N 1 τ il problea della previsione consiste nel deterinare ˆ una stia y t + τ del prossio valore dell uscita previsione a un passo oppure, più in generale ˆ una stia y t + τ, y t + 2τ, K, y t + τ dei prossii valori dell uscita, per un certo nuero di passi previsione a - passi ˆ ˆ C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 21/37

Per effettuare la previsione, è necessario ricavare dalla serie teporale un odello procedura di identificazione : Poiché yˆ t Y + τ ϕ 0, N 1 il odello non riproduce perfettaente il sistea x & f x, y g x che ha generato la serie teporale Y la serie teporale è isurata con precisione finita la previsione t + τ y ˆ sarà differente dal valore effettivo t + τ y. Il odello di previsione sarà tanto più buono quanto più riuscirà a rendere piccolo l errore di previsione ε t + τ yˆ t + τ y t + τ C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 22/37

Supponiao che: La serie teporale Y sia ricavata entre il sistea funziona su un attrattore n A R. Sia stata deterinata una diensione di ebedding per l attrattore A. Allora il vettore delle uscite ritardate z z τ y τ y 1 τ L y + 1 τ R con 1, K, N 1 T ha una dinaica equivalente a quella dello stato x A. Pertanto, costruendo la serie vettoriale delle uscite ritardate Z { z z, K, z } { z 1 τ, z τ, K, z N 1 } 1, N 1 1, N 1 τ consideriao odelli di previsione del tipo yˆ t + τ ϕ Z 1, N 1 C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 23/37

Previsione nearest-neighbor Si cerca nella serie Z 1, N 1 il vettore z i, i < N 1, più vicino all ultio vettore disponibile z z, e si effettua la previsione: N 1 t zˆ zˆ t + τ z + 1 z i + 1 τ N da cui segue y t + τ zi + y i + 1. Nota bene: i ˆ 1, 1 τ Il etodo di previsione è basato sull ipotesi che due stati correnti vicini diano luogo a due successori vicini il flusso di traiettorie è continuo rispetto allo stato. Z Il previsore usa tutti i dati in 1, N 1, per la ricerca dell indice i. Spesso però si usa una parte della serie teporale Y che copre sufficienteente A per costruire una funzione F che associ ad ogni z più vicino a z. Allora possiao scrivere yˆ t z R la pria coponente del vettore i +τ F z t. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 24/37

Il etodo pertanto definisce un odello yˆ t +τ F z t costante a tratti. Una possibile generalizzazione fra le tante: dato z z, si considerano N 1 t 0 < z i zn 1 tutti i vicini z i con < δ, con δ > 0 piccolo prefissato. La previsione è data dalla edia dei successori: zˆ N zˆ t + τ zi+ 1 i C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 25/37

Previsione lineare locale Consiste nel deterinare un odello di previsione lineare, valido localente nell intorno di z t z R : N 1 ˆ 1 2 y t 1 τ + y t + τ az t + b a y t + a y t τ + L + a b I coefficienti a, b vengono deterinati iniizzando l errore quadratico edio di previsione: z I i ε i + 1 τ δ 2 z I i δ 2 yˆ i + 1 τ y i + 1 τ az + b y i + 1 τ z I i δ i 2 dove I δ è l insiee dei vettori z i vicini a N 1 piccolo prefissato. z, cioè z z < δ, con δ > 0 0 < i N 1 C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 26/37

Nota bene: Ad ogni t, quando è disponibile il nuovo z t, il odello, b a deve essere ricalcolato. Il problea di iniizzazione ha soluzione esplicita inii quadrati, e quindi è olto rapido coputazionalente. Il etodo equivale a deterinare uno sviluppo di Taylor arrestato al prio ordine del odello non lineare incognito T z t F y t y t τ y t 1 y t + τ F L τ Spesso si usa una parte della serie teporale Y che copre sufficienteente A per costruire un odello globale F che associ ad ogni calcolato nello i yˆ t z più vicino a z. Allora si ha z R il odello lineare locale +τ F z t, con F lineare a tratti. All istante t, la previsione a -passi si ottiene utilizzando ricorsivaente le previsioni precedenteente ottenute: ˆ 1 2 τ yˆ t + 2τ a1 yˆ t + τ + a2 y t + L + a y t 2 τ + ˆ t + 3τ a1 yˆ t + 2τ + a2 yˆ t + τ + L + a y t 3 τ y t + τ a y t + a y t τ + L + a y t 1 + b y + b M b C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 27/37

Esepio: appa di Ieda x x 1 2 t + 1 t + 1 y t L R + C 2 C2 x1 tcosγ t x2 tsin γ t x tsin γ t + x tcosγ t 1 2 2 2 con γ t C C 1+ x t + x t 1 3 1 2 Un previsore lineare locale è stato stiato da una serie teporale di 5000 punti generata dal odello, a cui è stato sovrapposto ruore. ˆ t : previsione a 1 passo y : valore effettivo t y C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 28/37

Modelli di previsione globali Un odello globale è deterinato sulla base dell intera serie teporale Y, ed è quindi valido in tutte le regioni visitate dall attrattore A. In generale, è un odello del tipo yˆ t T z t F y t y t τ y t 1 τ + τ F p p L dove F p è una funzione prefissata, dipendente da alcuni paraetri p p1 p2 L pr. I paraetri p vengono deterinati iniizzando l errore quadratico edio di previsione: 2 yˆ i + 1 τ y i + 1 τ F z y i 1 2 ε i + 1 τ p i + i τ i dove la soatoria è estesa a tutta la serie di dati disponibili. i 2 C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 29/37

Nota bene: Se si ipotizza che la serie teporale sia stata generata da un sistea non lineare, ovviaente F si sceglierà non lineare rispetto a t p o funzioni polinoiali o rbf radial basis functions o reti neurali z. Tipiche scelte sono: F p è lineare rispetto ai paraetri p p.e. polinoi, rbf il problea di iniizzazione ha counque soluzione esplicita inii quadrati, rapida e robusta coputazionalente. Se Poiché il odello è stato ricavato dalla serie teporale relativa al funzionaento sull attrattore A, il odello anche se globale non potrà replicare il funzionaento del sistea al di fuori di A p.e., transitorio di avvicinaento ad A. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 30/37

Esepio: sistea di Lorenz La tipica perforance di un odello globale per la previsione a -passi: : previsione a -passi : valore effettivo y t La previsione è buona fino a circa 90 passi. Auentando l orizzonte, il coportaento previsto è counque qualitativaente siile a quello effettivo. L errore di previsione edia quadratica rispetto a vari esperienti cresce al crescere dell orizzonte di previsione. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 31/37

CALCOLO DEGLI ESPONENTI DI LIAPUNOV Il calcolo del prio assio esponente di Liapunov L 1 associato ad una serie teporale è particolarente inforativo, poiché L 1 caratterizza la dinaica del sistea è coputazionalente olto più conveniente e affidabile del calcolo dell intero spettro degli esponenti di Liapunov. Data la serie teporale scalare di uscita Y { L, y t τ, y t, y + τ,l} t e deterinata una diensione di ebedding, si costruisce la serie Z dei vettori -diensionali delle uscite ritardate: { z z, z } Z K 1, N 1 1,, N 1 dove z z τ y τ y 1 τ L y + 1 τ R con 1, K, N 1 T C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 32/37

Fissato un vettore z i, si cerca nella serie Z un vettore la distanza z j olto vicino a z i, cioè tale che Δ 0 zi z j sia piccola a non infinitesia!. Quindi, dalla serie Z si estrae la funzione Δ z i+ z j+ che rappresenta l evoluzione nel tepo della distanza Δ tra i due punti considerati. In edia, ci si aspetta che, per piccolo, dove L 1 è il prio esponente di Liapunov. Δ evolva secondo la legge Δ 0 exp L 1 τ Δ, C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 33/37

In pratica, per ogni vettore z, 1 si deve calcolare i Z 1 N dove la edia q ln zi+ z j+ i,ε per 0, 1, K j è estesa a tutti gli z j j tali che z z < ε ε piccolo. i j Poi q i ε deve essere ediato su tutti gli i, z che copongono la serie Z : Q q i ε,ε i Q ε dovrebbe crescere linearente con aleno in un certo range di, cioè Q 1 ε L τ + α Ponendo in un grafico Q ε in funzione di t τ, si ricava quindi 1 grafico stesso. L coe pendenza del C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 34/37

Esepio: dati da un esperiento su un laser a CO 2 In un range interedio di t, la pendenza edia delle curve ottenute al variare di alcuni paraetri di calcolo è circa pari a L 007. 1 0. Q ε t τ C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 35/37

Calcolare tutti gli esponenti di Liapunov Rispetto al calcolo del solo L 1, olto più critico è il calcolo di tutti gli esponenti di Liapunov L1 L2 L Ln: il più delle volte, n non è noto: scegliendo una diensione di ebedding coe avviene di solito si introducono n esponenti spuri non presenti nel sistea originale che possono non essere facilente isolabili non sono tra i prii + d che entrano nella forula di Kaplan-Yore; il calcolo degli esponenti richiede di stiare le atrici Jacobiane odelli lineari locali lungo la traiettoria ricostruita, un copito nuericaente piuttosto delicato: poiché la serie teporale Y è registrata entre il sistea funziona sull attrattore A, le differenze finite coinvolgono solo direzioni non trasversali all attrattore; ciò rende + difficilente stiabili gli esponenti negativi dopo i prii d quelli che governano il transitorio di avvicinaento ad A perché non eccitati. > n Couneente, si considerano stiabili solo gli esponenti positivi, o al più i prii + d. In pratica, due sono gli approcci generalente adottati: C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 36/37

per ogni vettore delle uscite ritardate t stia del odello lineare locale; z, deterinare lo Jacobiano ediante dalla serie teporale, stiare un odello non lineare differenziabile globale p.e. polinoiale, razionale, rbf, per cui lo Jacobiano risulta disponibile in fora analitica. Esepio: calcolo dei prii 3 esponenti da dati relativi a un esperiento su laser nuero punti utilizzati per la stia del odello lineare locale L uso di odelli globali sebra eno sensibile ai paraetri coputazionali. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 13/01/2012 37/37