1.1 Le equazioi lieari i due icogite 1 I sistemi di equazioi Ua equazioe lieare i due icogite x, y R, i cui cioè le due icogite compaioo solo al primo grado, può essere scritta ella forma ormale: ax + by + c = 0 a, b, c R A parte il caso baale i cui a o b siao ulli, l equazioe lieare i due icogite ammette sempre ifiite soluzioi reali, come si può vedere esplicitado la x o la y: x = b a y c a y = a b x c b E evidete che ad ogi valore dato ad ua variabile corrispode u valore dell altra; ogi coppia di valori otteuta i questo modo forisce ua soluzioe dell equazioe. Il motivo di questo fatto risiede el umero di iformazioi che abbiamo rispetto al umero di icogite del problema: il problema è la ricerca di due icogite, l iformazioe è data dall uica equazioe forita. Per poter avere ua soluzioe uivoca il problema deve essere affrotato co almeo due iformazioi compatibili e idipedeti: compatibili sigifica o cotraddittorie, cioè che o portio ad u sistema impossibile (per esempio, se ua iformazioe dice che la somma di x ed y vale 10 e l altra che il doppio della somma di x ed y vale 7), idipedeti sigifica che le due iformazioi o devoo essere ripetitive (per esempio, se ua iformazioe dice che la somma di x ed y vale 10 e l altra che il doppio della somma di x ed y vale 20). U problema i due icogite posto co due iformazioi può essere risolto mettedo a sistema le due iformazioi per otteere u sistema di equazioi lieari i due icogite. 1.2 I sistemi di equazioi lieari i due icogite U sistema di equazioi lieari i due icogite può essere ridotto ella forma ormale: { a 11x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 Si chiama grado del sistema il prodotto dei gradi delle sigole equazioi. Per ciascua delle equazioi che compogoo il sistema valgoo le medesime leggi delle equazioi semplici. E importate otare che sostituedo qualsiasi equazioe di u sistema co ua equazioe equivalete si ottiee sempre u sistema equivalete a quello di parteza. Ua soluzioe di u sistema di equazioi è u isieme di valori delle icogite che redoo cotemporaeamete vere tutte le equazioi che compogoo il sistema; risolvere il sistema sigifica idividuare tutte le sue soluzioi. Ogi sistema di equazioi si dice determiato, se ammette u umero fiito di soluzioi; si dice idetermiato, se ammette u umero ifiito di soluzioi; si dice impossibile, se o ammette eache ua soluzioe. Perché il sistema lieare sia determiato occorre che le due equazioi siao compatibili e idipedeti; ciò accade se i coefficieti delle variabili o soo tra loro proporzioali: a 11 a 12 a 21 a 22 Nel caso ivece ci sia proporzioalità viee a macare il requisito di idipedeza; se le due equazioi soo compatibili (cioè soo proporzioali ache i termii oti): 1
a 11 = a 12 = b 1 a 21 a 22 si ottiee u sistema idetermiato; se ivece i termii oti o hao la stessa proporzioe viee a macare ache il requisito di compatibilità: a 11 Il sistema allora è impossibile. b 2 a 21 = a 12 a 22 b 1 b 2 1.2.1 Metodi risolutivi per i sistemi di due equazioi lieari i due icogite Sebbee la soluzioe di questi sistemi el caso a 11 a 12 si ottega co le formule (facilmete a 21 a 22 ricavabili): x = a 22b 1 a 12 b 2 a 11 a 22 a 21 a 12 y = a 11b 2 a 21 b 1 { a 11 a 22 a 21 a 12 è molto più semplice trovare le soluzioi co baali metodi algebrici. Per esempio, si può sfruttare il cosiddetto metodo della sostituzioe, ricavado da ua equazioe ua icogita i fuzioe dell altra, e sostituedola ell altra equazioe. Si ottiee così u equazioe di primo grado i ua sola variabile la cui soluzioe permette poi di ricavare ache l altra icogita. Oppure si può utilizzare il cosiddetto metodo del cofroto, ricavado da etrambe le equazioi la stessa icogita i fuzioe dell altra; uguagliado le espressioi così otteute, si scrive ua uova equazioe di primo grado i ua sola variabile la cui soluzioe permette poi di ricavare ache l altra icogita. Oppure si può utilizzare il cosiddetto metodo di addizioe che cosiste el moltiplicare ua delle due equazioi per u valore tale da redere idetici i coefficieti di ua stessa icogita i etrambe le equazioi; a questo puto, sottraedo ua equazioe all altra, si ottiee ua uova equazioe i ua sola variabile la cui soluzioe permette poi di ricavare ache il valore dell altra icogita. U attezioe particolare merita il metodo di Cramer (o dei determiati): si chiama matrice quadrata di ordie 2 u ete matematico di questo tipo: A = ( a 11 a 12 a 21 a 22 ) Si chiama determiate della matrice A il umero D: D = deta = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 21 a 12 A questo puto, relativamete al sistema di equazioi lieari: { a 11x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 Si possoo idividuare le tre matrici (semplicemete sostituedo ai coefficieti delle variabili i termii oti): A = ( a 11 a 12 a 21 a 22 ), A x = ( b 1 a 12 b 2 a 22 ), A y = ( a 11 b 1 a 21 b 2 ) Ifie si possoo ricavare il determiate D del sistema e i determiati D x e D y relativi alle icogite: 2
D = a 11 a 12 a 21 a 22, D x = b 1 a 12 b 2 a 22, D y = a 11 b 1 a 21 b 2 E evidete che il determiate D del sistema si aulla solo se c è proporzioalità tra i coefficieti delle icogite elle due equazioi, cioè se il sistema è idetermiato o impossibile; i poche parole, il determiate è u idicatore del fatto che il sistema sia apputo determiato oppure o. Ifatti: a 11 a 22 a 21 a 12 = 0 a 11 a 22 = a 21 a 12 a 11 = a 21a 12 a 22 a 11 a 21 = a 12 a 22 Ioltre, come si vede sviluppado i calcoli, el caso D 0 si ha che l uica soluzioe del sistema di due equazioi lieari i due icogite è: x = D x { D y = D y D 1.2.2 Iterpretazioe grafica dei sistemi lieari a due icogite Poiché ciascua delle due equazioi del sistema può essere vista come l equazioe di ua retta, cercare le soluzioi del sistema equivale a cercare i puti del piao che soddisfao sia l equazioe delle prima retta che quella della secoda; vale a dire che le soluzioi del sistema soo i puti che le due rette hao i comue. Ifatti: { a 11x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 y = a 11 a 12 x + b 1 a 12 y = a 21 x + b 2 { a 22 I defiitiva u sistema di due equazioi lieari i due icogite risulterà determiato quado le rette che rappreseta soo icideti (avedo i comue u uico puto che è la soluzioe del sistema), cioè hao diversi coefficieti agolari: a 22 a 11 a 21 a a 12 a 11 a 21a 12 a 11 a 12 22 a 22 a 21 Il sistema risulterà impossibile quado le rette che rappreseta soo parallele (seza puti i comue), cioè hao uguali coefficieti agolari: a 22 a 11 = a 21 a a 12 a 11 = a 21a 12 a 11 = a 12 22 a 22 a 21 Il sistema risulterà idetermiato quado le rette che rappreseta soo coicideti (avedo i comue tutti gli ifiiti puti che soo le ifiite soluzioi del sistema), cioè hao uguali coefficieti agolari e uguali termii oti: b 1 a 22 a 12 = b 2 a 22 b 1 = b 2a 12 a 22 b 1 b 2 = a 12 a 22 = a 11 a 21 1.3 I sistemi fratti e parametrici ricoducibili a sistemi lieari I sistemi fratti soo quelli i cui almeo ua icogita compare i u deomiatore. Poiché per ricodurre ua equazioe fratta ad ua lieare si devoo moltiplicare etrambi i membri dell equazioe per ua espressioe che cotiee almeo ua icogita, devoo essere idicate 3
evetuali codizioi di esisteza dell equazioe i esame da cofrotare, alla fie, co le soluzioi otteute. I sistemi parametrici soo quelli che cotegoo parti letterali diverse dalle icogite e che rappresetao valori costati. Dopo avere escluso evetuali valori del parametro che fao perdere di sigificato il sistema (ad esempio, se il parametro si trova i u deomiatore), si risolve ormalmete il sistema avedo cura di discutere il valore del parametro ogi volta che ci si accige a compiere ua operazioe di moltiplicazioe o divisioe di u equazioe che coivolga ache il parametro (si deve sempre evitare la moltiplicazioe o divisioe di etrambi i membri di u equazioe per u espressioe che possa avere valore ullo!). 4
2 Le disequazioi 2.1 Le disequazioi razioali itere lieari Ua disequazioe ell icogita x è u cofroto tra due espressioi letterali A(x) e B(x): A(x) > B(x), A(x) < B(x), A(x) B(x), A(x) B(x). Ua soluzioe della disequazioe è u valore dell icogita che rede vera la disequazioe. L isieme delle soluzioi è l isieme formato da tutti i valori che soo soluzioe della disequazioe; risolvere ua disequazioe sigifica determiare l isieme delle soluzioi. Nel caso di poliomi, il campo di esisteza delle espressioi A(x) e B(x) è tutto Q; i ogi caso, qualsiasi sia il campo di esisteza C dei due membri della disequazioe, l isieme delle soluzioi S della disequazioe A(x) > B(x) è il seguete: S = {x: [x C] [A(x) > B(x)]} Si ha ovviamete S C; el caso S C la disequazioe si dice determiata; el caso S = C la disequazioe si dice sempre vera; el caso S = la disequazioe si dice impossibile. Occorre otare che i quattro simboli di disuguagliaza ( >, <,, ) devoo essere utilizzati co attezioe el caso di moltiplicazioe per valori egativi; ad esempio: 7 > 5 7 < 5; 5 > 7 5 < 7. Valgoo i pricipi di equivaleza: 1. Aggiugedo o togliedo ad etrambi i membri di ua disequazioe ua medesima quatità, si ottiee ua disequazioe equivalete a quella data. 2. Moltiplicado o dividedo etrambi i membri di ua disequazioe per ua medesima quatità (diversa da zero), si ottiee ua disequazioe equivalete a quella data, avedo l accortezza di adeguare il sego dell equazioe el caso di quatità egativa. Qualuque sia il sego di disuguagliaza (el seguito, per esempio, useremo > ) ua disequazioe i ua icogita che può essere ridotta ella forma: ax + b > 0 co a, b Q; a 0 si chiama disequazioe razioale itera lieare. Poiché è sempre possibile moltiplicare la disequazioe per 1 possiamo esamiare solo il caso a > 0, quidi l isieme delle soluzioi è dato da: x > b a 2.1.1 Iterpretazioe grafica delle disequazioi razioali itere lieari Poiché ua fuzioe del tipo f(x) = ax + b rappreseta l equazioe di ua retta, cercare le soluzioi della disequazioe ax + b > 0 equivale a idagare il sego della fuzioe; el caso i esame si devoo cercare i valori di x per cui y è positivo (ma a secoda del sego della disequazioe potrebbero essere richiesti i valori egativi...). Vale a dire che l isieme delle soluzioi della disequazioe soo i valori di ascissa dei puti della retta che stao sopra (o, col sego <, sotto ) all asse delle x. I defiitiva ua disequazioe razioale itera lieare risulterà determiata quado la retta che rappreseta è icidete rispetto all asse delle ascisse (x); il sistema risulterà impossibile o sempre vero quado la retta che rappreseta è parallela rispetto all asse delle ascisse (x), a secoda che si trovi sopra o sotto di esso ed i relazioe al sego della disequazioe. 5
2.2 Altre disequazioi 2.2.1 Disequazioi lieari parametriche Se ella disequazioe lieare compare qualche altra parte letterale oltre all icogita, la disequazioe si dice parametrica. Come per le equazioi parametriche, i parametri rappresetao valori costati e la disequazioe deve essere risolta per qualsiasi valore accettabile del parametro. L uica differeza ella risoluzioe di ua disequazioe parametrica rispetto ad ua equazioe parametrica è il fatto che el caso di ua disequazioe, al mometo della discussioe del parametro, si deve teere coto del sego della espressioe parametrica per cui si deve dividere la disequazioe. Per esempio: 2a 3(x 1) 8 ax 2a 3x + 3 8 ax ax 3x 5 2a x(a 3) 5 2a A questo puto occorrerebbe dividere per a 3, quidi si rede ecessaria la discussioe dell espressioe parametrica; siccome l espressioe può essere sia positiva che egativa, aziché limitarci a cosiderare il caso a 3 0 valuteremo i due casi a 3 > 0 e a 3 < 0: a 3 > 0 a > 3 x 5 2a a 3 x(a 3) 5 2a a 3 < 0 a < 3 x 5 2a a 3 { a 3 = 0 a = 3 0 1 imposs. 2.2.2 Sistemi di disequazioi lieari Se si voglioo risolvere cotemporaeamete due (o più) disequazioi per idividuare l isieme delle soluzioi comui, si dice che si risolve u sistema di disequazioi. Ovviamete, el caso di u sistema di disequazioi, si otterrao isiemi delle soluzioi S i (co 1 i ) di ciascua delle disequazioi che compogoo il sistema. L isieme delle soluzioi S del sistema sarà dato dalla loro itersezioe: S = S 1 S 2 S Usualmete, dopo aver risolto ciascua equazioe, l isieme delle soluzioi del sistema si ricava per via grafica dopo aver riportato su ua retta gli isiemi di soluzioi S i. 2.2.3 Disequazioi frazioarie Ua disequazioe che preseti l icogita i almeo u deomiatore si dice disequazioe frazioaria. Per le disequazioi frazioarie vale tutto ciò detto a proposito delle equazioi fratte per quato riguarda le codizioi di esisteza. Ogi disequazioe frazioaria può essere scritta (ovviamete co uo qualsiasi dei 4 segi di disuguagliaza) ella forma: A(x) B(x) > 0 co A(x) e B(x) poliomi ella variabile x. Per la soluzioe è sufficiete otare che si deve idagare il sego di u rapporto: è sufficiete idagare separatamete il sego dei due poliomi A(x) e B(x) per poi scegliere (per via grafica) l isieme delle soluzioi che foriscoo il sego richiesto per il loro rapporto secodo la legge dei segi. 6
2.2.4 Equazioi e disequazioi co valori assoluti Se i ua equazioe (o ua disequazioe) ua espressioe coteete l icogita è argometo di u valore assoluto, è sufficiete ricordare che a = b equivale a a = ±b ed allo stesso modo se b > 0 allora a = b equivale a a = ±b. Per questo si deve solo sostituire all equazioe (o alla disequazioe) i oggetto ua coppia di equazioi seza valori assoluti ricavate dalle relazioi precedeti. 7
3 I umeri reali Abbiamo già i precedeza provato l esisteza di umeri o razioali; l isieme di tutti i umeri razioali ed irrazioali (algebrici e trascedeti) forma l isieme R dei umeri reali; per i umeri reali valgoo le operazioi e le proprietà valide per i umeri razioali. Se tra i umeri reali prediamo due itervalli di valori, chiamate classi di umeri reali, allora queste due classi (o vuote) A e B si dicoo cotigue se ogi valore di A è miore di ogi valore di B e se, ε > 0, a A e b B tali che b a < ε. La proprietà della cotiuità dei umeri reali dice che tra due classi cotigue di umeri reali c è sempre uo ed u solo umero reale che è elemeto di separazioe delle due classi, cioè tale da o essere iferiore ad alcu elemeto della classe A e o essere superiore ad alcu elemeto della classe B. 3.1 I radicali 3.1.1 La radice quadrata Nel campo dei umeri reali u umero o egativo che moltiplicato per se stesso è uguale ad u valore a 0 si chiama radice quadrata di a e si idica co a. Quidi, per a 0 l equazioe x 2 = a ha sempre come risultati: x = ± a. E evidete che l operazioe di radice quadrata è l operazioe iversa dell elevameto a poteza co espoete 2. 3.1.2 Le radici algebriche e le poteze ad espoete razioale L'operazioe di elevameto a poteza -esima ( N) di u umero a R (scrivedo a ) ha il sigificato di moltiplicare a per se stesso volte. Le pricipali proprietà di questa operazioe soo le segueti, essedo, m N ed a, b R, co le opportue codizioi perché i deomiatori siao diversi da zero: a a m = a +m a = a m am (a ) m = a m a b = ab a b = (a b ) Per covezioe si poe a 0 = 1 per qualsiasi valore reale diverso da zero; ioltre ovviamete 0 = 0 co 0 (altrimeti o avrebbe seso). Ioltre si ha: a a m = a m a0 a m = a0 m 1 = a m am Ifie è ecessario otare che deve essere rispettata la regola dei segi, quidi l'elevameto a poteza di u valore egativo avrà valore positivo per espoeti pari e egativo per espoeti dispari. L'operazioe iversa dell elevameto a poteza è l'estrazioe di radice -esima: cioè, poedo iizialmete b 0, si chiama radice algebrica -esima di a R il valore a N, 0) tale che: 8 (co idice
Da questo si deduce: b = a a = b ( a) = b = a = a ella quale l ultimo passaggio deriva dalla defiizioe stessa. Perciò si verifica ache che ua radice può essere vista come u caso particolare del calcolo di ua poteza: a = a 1 = a 1 = ( a 1 ) = a 1 Da questo fatto si derivao tutte le proprietà delle radici, sfruttado quelle delle poteze: a b c a m = ab c = ab c = a m = ( a) m m a m = a Si passa al caso geerale co a, b R i questo modo (cosiderado che a può assumere valori egativi solo se è dispari): b = a { a = b se è dispari a = b se è pari Ioltre, per la proprietà ivariativa delle frazioi (poedo attezioe al fatto che a può essere egativo solo el caso di idici dispari): a m Ifie, per razioalizzare u deomiatore: b = a m a m b a m = a m = a m = a m k b a m a m a m k = = k a m k b a m a m+ m = b a m a = b a m a 9
4 Le equazioi di secodo grado 4.1 Il calcolo di u'equazioe di secodo grado Si chiama equazioe di secodo grado ua equazioe poliomiale di secodo grado i u uica icogita, cioè che può essere scritta ella forma: ax 2 + bx + c = 0 a, b, c R co a 0 Nel caso b 0, c 0 l equazioe si dice completa; el caso b 0, c = 0 si dice spuria; el caso b = 0, c 0 si dice pura; el caso b = 0, c = 0 si dice moomia. Sebbee egli ultimi tre casi la soluzioe (se esiste) è baalmete ricavabile, esiste ua formula risolutiva geerale che si ottiee così: ax 2 + bx + c = 0 4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0 4a 2 x 2 + 4abx + 4ac + b 2 = b 2 4a 2 x 2 + 4abx + b 2 = b 2 4ac (2ax + b) 2 = b 2 4ac 2ax + b = ± b 2 4ac x = b ± b2 4ac 2a I geerale si ricavao due valori (che si chiamao soluzioi o radici) che però presetao u espressioe sotto radice che bisoga evidetemete discutere; questa espressioe è il discrimiate dell equazioe e si idica come: = b 2 4ac. Nel caso < 0 si ha che l equazioe o ha soluzioi (l espressioe ricavata o ha sigificato); el caso = 0 le due soluzioi soo coicideti e valgoo etrambe: b 2a (il poliomio iiziale rappresetava il quadrato di u biomio!); el caso > 0 le due soluzioi soo reali e distite. 4.1.1 Formula risolutiva ridotta Nel caso di coefficiete b itero pari la formula risolutiva si riduce a: 2 b 2 ± 4 ( b 2 2 x = ) 4ac 2 b 2 ± 2 ( b 2 2 = ) ac b 2 ± ( b 2 2 = ) ac 2a 2a a 4.2 Relazioi tra coefficieti e radici (soluzioi) Le due radici della geerica equazioe di secodo grado, se esistoo, soo: Quidi: x 1 = b + Δ 2a x 2 = b Δ 2a b + Δ b + Δ x 1 + x 2 = = b 2a a ( b + Δ)( b Δ) x 1 x 2 = 4a 2 = b2 4a 2 = b2 b 2 + 4ac 4a 2 = 4ac 4a 2 = c a I defiitiva la relazioe fodametale tra i coefficieti di ua equazioe di secodo grado e le sue radici dice che: x 1 + x 2 = b a x 1 x 2 = c a 10
Ioltre, poedo x 1 + x 2 = S e x 1 x 2 = P: ax 2 + bx + c = 0 x 2 + b a x + c a = 0 x2 Sx + P = 0 Quest ultima relazioe esprime il fatto che due umeri di cui si coosca la somma S ed il prodotto P soo soluzioi dell equazioe x 2 Sx + P = 0. Da quato esposto si ricava u metodo scompositivo per poliomi di secodo grado che abbiao il discrimiate dell equazioe associata o ullo: ax 2 + bx + c = a (x 2 + b a x + c a ) = a[x2 (x 1 + x 2 )x + x 1 x 2 ] = = a(x 2 x 1 x x 2 x + x 1 x 2 ) = a[x(x x 1 ) x 2 (x x 1 )] = = a(x x 1 )(x x 2 ) 4.3 Equazioi parametriche di secodo grado Si dice parametrica u equazioe co almeo u coefficiete dipedete da ua (o più) lettere dette parametri; a secoda del valore imposto al parametro l equazioe varia e così le sue soluzioi. No ci soo fodametali differeze rispetto alle equazioi lieari: elle equazioi parametriche di secodo grado si deve discutere l evetuale caso di u espressioe coteete il parametro al deomiatore della formula risolutiva e l evetuale caso di u espressioe coteete il parametro che rappreseti il discrimiate dell equazioe. Nel caso ivece i cui il problema che ci si poe è di trovare per quali valori del parametro le soluzioi dell equazioe soddisfao certe codizioi, seppure le strategie risolutive dipedoo dalle codizioi che vegoo imposte, si tratta di u problema di ricerca del parametro: quidi il parametro stesso o richiede discussioe. 4.4 Iterpretazioe grafica della soluzioe di ua equazioe di secodo grado Poiché, come vedremo approfoditamete el capitolo relativo alla geometria aalitica, l equazioe y = ax 2 + bx + c rappreseta ua parabola sul piao cartesiao, allora la ricerca dei valori che redoo ullo il secodo membro equivale alla soluzioe del sistema: { y = ax2 + bx + c y = 0 Vale a dire che le soluzioi (se esistoo) soo rappresetate dai puti di itersezioe della parabola co l asse delle ascisse. 11
5.1 Iterpretazioe grafica 5 Disequazioi di secodo grado L equazioe y = ax 2 + bx + c rappreseta ua parabola co vertice i basso se a è positivo oppure i alto se a è egativo. Nel caso di ua disequazioe di secodo grado, del tipo ax 2 + bx + c > 0, o si perde geeralità cosiderado solo il caso a > 0; ifatti: ax 2 + bx + c > 0 ax 2 bx c < 0. I pratica, se a o è positivo è sufficiete moltiplicare la disequazioe per 1. A questo puto risolvere la disequazioe ax 2 + bx + c > 0 sigifica trovare tutti i valori di x a cui corrispodoo valori positivi di y ell equazioe y = ax 2 + bx + c; cioè tutti i puti della parabola che si trovao al di sopra dell asse delle ascisse. E evidete che tali puti corrispodoo a valori di x esteri all itervallo che ha come estremi le due radici dell equazioe associata ax 2 + bx + c = 0. 5.2 Strategia risolutiva Per risolvere ua disequazioe del tipo ax 2 + bx + c > 0 co a > 0 si deve quidi procedere risolvedo l equazioe associata ax 2 + bx + c = 0. Trovate le radici x 1 ed x 2 si ottiee che la parabola y = ax 2 + bx + c ha valori di ordiata positivi per x < x 1 ed x > x 2, egativi per x 1 < x < x 2 e ulli i corrispodeza delle radici trovate. Nel caso l equazioe associata abbia Δ = 0, cioè preseti ua sola soluzioe, si ha il caso i cui la parabola è tagete all asse delle ascisse e o ci soo valori dell ordiata egativi; se Δ < 0 si ha ifie il caso i cui la parabola è completamete al di sopra dell asse delle ascisse, co ordiata quidi sempre positiva. 5.3 Altre disequazioi 5.3.1 Disequazioi parametriche Se ella disequazioe compare qualche altra parte letterale oltre all icogita, la disequazioe si dice parametrica. Nel caso di disequazioe di secodo grado, al mometo della discussioe del parametro si deve teere coto del sego del discrimiate che idica quate soluzioi abbia l equazioe associata. 5.3.2 Sistemi di disequazioi lieari Se si voglioo risolvere cotemporaeamete due (o più) disequazioi per idividuare l isieme delle soluzioi comui, si dice che si risolve il sistema di disequazioi. Ovviamete, el caso di u sistema di disequazioi, si otterrao isiemi delle soluzioi S i (co 1 i ) di ciascua delle disequazioi che compogoo il sistema. L isieme delle soluzioi S del sistema sarà dato dalla loro itersezioe: S = S 1 S 2 S Usualmete, dopo aver risolto ciascua equazioe, l isieme delle soluzioi del sistema si ricava per via grafica dopo aver riportato su ua retta gli isiemi di soluzioi S i. 5.3.3 Disequazioi frazioarie Ua disequazioe che preseti l icogita i almeo u deomiatore si dice disequazioe frazioaria. Per le disequazioi frazioarie vale tutto ciò detto a proposito delle equazioi fratte per quato riguarda le codizioi di esisteza. 12
Ogi disequazioe frazioaria può essere scritta (ovviamete co uo qualsiasi dei 4 segi di disuguagliaza) ella forma: A(x) B(x) > 0 co A(x) e B(x) poliomi ella variabile x. Per la soluzioe è sufficiete otare che si deve idagare il sego di u rapporto: è sufficiete idagare separatamete il sego dei due poliomi A(x) e B(x) per poi scegliere (per via grafica) l isieme delle soluzioi che foriscoo il sego richiesto per il loro rapporto secodo la legge dei segi. 5.3.4 Equazioi e disequazioi co valori assoluti Se i ua equazioe (o ua disequazioe) ua espressioe coteete l icogita è argometo di u valore assoluto, è sufficiete ricordare che se a > 0 allora A(x) > a equivale a A(x) > a e A(x) < a. Per questo si deve solo sostituire alla disequazioe i oggetto u sistema di due disequazioi seza valori assoluti ricavate dalle relazioi precedeti. 5.4 Le equazioi irrazioali Ua equazioe irrazioale è u equazioe i cui l icogita compare all itero del radicado di almeo u radicale. Noi ci cocetriamo su equazioi del tipo: A(x) = B(x) ; pare immediato tetare la risoluzioe co u elevameto a poteza tale da elimiare il radicale; però, il fatto che i preseza di idice pari il radicale sia sottoposto a codizioi di esisteza rede tale operazioe o sempre lecita. Per poterla eseguire si deve teere coto del fatto che ua radice pari ha sia argometo che valore o egativo, quidi l equazioe diverrà equivalete a u sistema di equazioi e disequazioi el modo seguete: 2k A(x) A(x) 0 B(x) 0 = B(x) { B(x) 0 { A(x) = [B(x)] 2k A(x) = [B(x)] 2k 2k+1 A(x) = B(x) A(x) = [B(x)] 2k+1 Il caso di idice 2k (pari) deve cosiderare la ecessità di argometo del radicale o egativo, ma ciò è implicato dal fatto che il suo valore deve essere pari a [B(x)] 2k ; el caso di idice 2k + 1 (dispari) ivece soo accettabili ache i valori egativi e l elevameto a poteza o crea problemi di equivaleza. 13
Defiizioe 6 Le fuzioi Ua fuzioe f: A B è ua relazioe che associa a ciascuo degli elemeti di u isieme A (il domiio) uo ed uo solo degli elemeti di u isieme B (il codomiio). Ua fuzioe è detta: - iiettiva quado a elemeti distiti del domiio corrispodoo elemeti distiti del codomiio; - suriettiva quado ciascu elemeto del codomiio è associato ad almeo uo degli elemeti del domiio; - biuivoca (o biettiva) quado è sia iiettiva che suriettiva. Due fuzioi f(x) e g(x) soo uguali se hao idetico domiio A e codomiio B e se x A si ha: f(x) = g(x). Ua fuzioe i due (o più) variabili è ua fuzioe che ha come domiio il prodotto cartesiao di due (o più) isiemi. Ua fuzioe si dice fuzioe reale di variabile reale quado sia il domiio che il codomiio soo sottoisiemi di R. I questo caso la fuzioe può essere rappresetata su u piao cartesiao riportado sull'asse delle ascisse i valori x A del domiio e sull'asse delle ordiate i valori y B, scrivedo: f(x) = y. Co questa otazioe si idividuao dei puti sul piao cartesiao (x, f(x)) che rappresetao i puti del grafico della fuzioe. 6.1 La proporzioalità diretta: la retta Se il rapporto tra due gradezze è costate (come tra i lati corrispodeti di triagoli simili) si dice che le due gradezze soo direttamete proporzioali. Allo stesso modo se il rapporto tra il valore di ua fuzioe e la sua variabile è costate per ogi valore del domiio A si dice che soo legate da ua proporzioalità diretta: f(x) x = y = k x A, x 0 x Ciò ovviamete sigifica: f(x) = kx x A Il grafico che si ottiee da questa relazioe è quello di ua retta passate per l'origie degli assi cartesiai. L'icliazioe della retta dipede dal umero k, che si chiama coefficiete agolare. 6.1.1 Grafico della fuzioe lieare Se cofrotiamo il grafico della fuzioe f(x) = kx co quello della fuzioe lieare (di cui la precedete è u caso particolare): f(x) = kx + q si vede che è idetico salvo essere spostato verso l'alto o verso il basso (i dipedeza dal sego di q); essa rappreseta ua retta che o passa per l'origie trae el caso q = 0. Il valore q rappreseta ifatti il valore assuto dalla fuzioe per x = 0: f(0) = q 14
6.2 La proporzioalità iversa: l'iperbole Se il prodotto di due gradezze è costate si dice che le due gradezze soo iversamete proporzioali. Allo stesso modo se il prodotto tra il valore di ua fuzioe e la sua variabile è costate per ogi valore del domiio A si dice che soo legate da ua proporzioalità iversa: f(x) x = xy = k x A Ciò ovviamete sigifica: f(x) = k x x A, x 0 Il grafico che si ottiee da questa relazioe è quello di ua iperbole equilatera. 6.3 La fuzioe quadratica: la parabola Cosideriamo la fuzioe quadratica: f(x) = kx 2 x A Il grafico che si ottiee da questa relazioe è quello di ua parabola passate per l'origie degli assi cartesiai e simmetrica rispetto all'asse delle ordiate. La simmetria la si deduce dal fatto che la fuzioe è pari, cioè: f(x) = kx 2 = k( x) 2 = f( x) La parabola ha il vertice i basso se k è positivo, i alto se è egativo. 15
7.1 Il piao cartesiao 7 Itroduzioe alla geometria aalitica Se R è l'isieme di tutti i umeri reali (rappresetabile su ua retta), allora R R = R 2 rappreseta il piao euclideo; ifatti ciascu puto di u piao può essere visto come ua coppia ordiata (a, b) formata da due elemeti dei quali uo è la prima coordiata e l'altro la secoda coordiata. Se dispoiamo i valori di R lugo due rette perpedicolari che si itersecao i u puto (detto origie) coicidete co il valore zero, otteiamo u piao cartesiao chiamado asse delle ascisse la retta x e asse delle ordiate la retta y. 7.1.1 Distaza tra due puti Dati due puti A (x 1, y 1 ) e B (x 2, y 2 ), la loro distaza (pari alla lughezza del segmeto AB ) può essere calcolata come l ipoteusa del triagolo rettagolo che ha per cateti x2 x 1 e y 2 y 1 : AB = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 7.1.2 Puto medio di u segmeto (baricetro) Dato u segmeto di estremi A (x 1, y 1 ) e B (x 2, y 2 ), il suo puto medio M (x M, y M ) avrà coordiate: x M = x 1 + x 2 x 1 2 = 2x 1 + x 2 x 1 2 = x 2 + x 1 2 y M = y 1 + y 2 y 1 = 2y 1 + y 2 y 1 = y 2 + y 1 2 2 2 I pratica le coordiate del puto medio (o baricetro) del segmeto soo la media delle coordiate degli estremi; questo vale per il baricetro di ogi altro poligoo. Ad esempio, per il triagolo di vertici A (x 1, y 1 ), B (x 2, y 2 ) e C (x 3, y 3 ) le coordiate del baricetro (puto d icotro delle mediae) soo: 7.2 La retta x M = x 1 + x 2 + x 3 3 y M = y 1 + y 2 + y 3 3 Abbiamo già visto che se il rapporto tra il valore di ua fuzioe f(x) = y e la sua variabile è costate per ogi valore del domiio A si dice che soo legate da ua proporzioalità diretta: f(x) x = y = m x A, x 0 x Ciò ovviamete sigifica: y = f(x) = mx x A Il grafico che si ottiee da questa relazioe è quello di ua retta passate per l'origie degli assi cartesiai. L'icliazioe della retta dipede dal umero m, che si chiama coefficiete agolare. Se cofrotiamo il grafico della fuzioe f(x) = mx co quello della fuzioe lieare (di cui la precedete è u caso particolare): 16
f(x) = mx + q si vede che è idetico salvo essere spostato verso l'alto o verso il basso (i dipedeza dal sego di q); essa rappreseta ua retta che o passa per l'origie trae el caso q = 0. Il valore del termie oto q rappreseta ifatti il valore assuto dalla fuzioe per x = 0: f(0) = q La relazioe che esprime la fuzioe lieare può essere espressa ache i quella che viee chiamata forma implicita: ax + by + c = 0 dalla quale si passa alla forma esplicita così: ax + by + c = 0 y = a b x c b Si oti che la forma esplicita (i quato fuzioe) o permette di descrivere rette i cui b = 0, cioè parallele all asse delle ordiate, del tipo: x = costate Si poga ifie attezioe al fatto che abbiamo scritto l equazioe della retta i due forme, esplicita ed implicita, che cotegoo apparetemete u umero diverso di parametri: ella forma esplicita i parametri m e q; ella forma implicita i parametri a, b e c. I realtà i parametri della forma esplicita (che è uivoca) soo idipedeti ed hao u preciso sigificato geometrico, rappresetado i gradi di libertà della retta su u piao (che ha possibilità di compiere due tipi di spostameti rigidi: rotazioe e traslazioe); i parametri della forma esplicita ivece o dao luogo ad ua espressioe uivoca: basti otare che moltiplicado etrambi i membri per u valore o ullo si ottiee u equazioe della retta del tutto equivalete ed acora i forma implicita. 7.2.1 Fascio proprio di rette Sappiamo che esistoo ifiite rette passati per u dato puto A (x 1, y 1 ); questo isieme di rette (che coproo l itero piao) viee defiito fascio proprio di rette, i cui il termie oto può essere esplicitato: y 1 = mx 1 + q q = y 1 mx 1 Quidi il fascio proprio di rette passati per A (x 1, y 1 ) sarà: y = mx + y 1 mx 1 y y 1 = m(x x 1 ) 7.2.2 Retta passate per due puti e sigificato geometrico del coefficiete agolare Sappiamo che solo ua retta passa per due puti A (x 1, y 1 ) e B (x 2, y 2 ); per idividuarla impoiamo alle rette del fascio passate per A di passare ache per B i modo da determiare il coefficiete agolare: y 2 y 1 = m(x 2 x 1 ) m = y 2 y 1 x 2 x 1 Sostituedo tale coefficiete agolare ell equazioe del fascio passate per A si ottiee l equazioe della retta passate per A e B: y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) 17
Ora possiamo fare alcue valutazioi sul coefficiete agolare di ua retta y = mx + q qualsiasi: presi a caso su di essa due puti A (x 1, y 1 ) e B (x 2, y 2 ) si ha che il rapporto fra le differeze delle loro coordiate deve coicidere co il suo coefficiete agolare: m = y 2 y 1 x 2 x 1 Questo fatto idica che il valore del coefficiete agolare è i relazioe co l agolo di icideza della retta rispetto all asse delle ascisse (o a qualuque sua parallela). 7.2.3 Parallelismo e fascio improprio di rette La codizioe per cui due rette siao parallele può essere vista el fatto che abbiao uguale agolo di icideza rispetto all asse delle ascisse; i defiitiva, per quato visto precedetemete, si ha che ua codizioe ecessaria e sufficiete perché due rette siao parallele è che abbiamo lo stesso coefficiete agolare. Nel caso che ache il termie oto sia idetico, allora le due rette si dicoo coicideti. L isieme di tutte le rette del piao parallele ad ua retta data (cioè tutte le rette che hao coefficiete agolare uguale a quello della retta data) formao u fascio improprio di rette. Se l equazioe della retta r data è: y = m r x + q r allora l equazioe del fascio improprio è semplicemete: y = m r x + q 7.2.4 Perpedicolarità Siao r ua geerica retta e s ua retta ad essa perpedicolare; seza perdere geeralità, possiamo idividuare u riferimeto cartesiao co origie O el puto d itersezioe tra le due rette. I questo sistema l equazioe della retta r sarà y = m r x e quella della retta s sarà y = m s x. Vogliamo scoprire qual è la relazioe tra i coefficieti agolari di due rette parallele; a tal fie possiamo idividuare su r il puto A (x r, y r ) e su s il puto B (x s, y s ) tali che sia uguale la loro distaza dall origie. Chiamati C (x r, 0) e D (x s, 0) le proiezioi di A e B sull asse delle ascisse, si ha che: m r = AC OC m s = BD OD Ioltre i triagoli AOC e BOD soo cogrueti per il secodo criterio di cogrueza dei triagoli; i particolare AC = OD e BD = OC. Quidi: m s = BD OD = OC AC = 1 m r che rappreseta il criterio di perpedicolarità tra due rette: due rette soo perpedicolari se e solo se il coefficiete agolare di ua è l opposto del reciproco del coefficiete agolare dell altra. 7.2.5 Ricerca dell equazioe di determiate rette Poiché ua retta su u piao ha due gradi di libertà rappresetati da coefficiete agolare e termie oto, la ricerca dell equazioe di ua certa retta si riduce a tetare di determiare il valore di questi 18
due parametri. E ovvio che per tale ricerca soo ecessarie e sufficieti due iformazioi idipedeti sulla retta da idividuare, ad esempio due suoi puti iteri, oppure u puto itero ed ua retta ad essa parallela o perpedicolare: Retta passate per due puti A (x 1, y 1 ) e B (x 2, y 2 ): y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) Retta passate per u puto A (x 1, y 1 ) e parallela alla retta y = m r x + q r : y y 1 = m r (x x 1 ) Retta passate per u puto A (x 1, y 1 ) e perpedicolare alla retta y = m r x + q r : y y 1 = 1 m r (x x 1 ) 7.2.6 Posizioe reciproca di due rette Due rette complaari co lo stesso coefficiete agolare possoo essere semplicemete parallele, se o hao puti comui; oppure coicideti se hao tutti i puti i comue. I etrambi i casi è immediatamete evidete quali siao i puti comui. Se ivece i coefficieti agolari soo diversi, le due rette soo icideti, vale a dire hao u uico puto comue detto itersezioe. Come abbiamo già visto el capitolo dedicato ai sistemi lieari, per trovare il puto d itersezioe di due rette icideti si deve risolvere il sistema (sicuramete determiato!) formato dalle equazioi delle due rette, trovado così l uico puto le cui coordiate soddisfao cotemporaeamete etrambe le equazioi. 7.2.7 Distaza di u puto da ua retta Ricavare la distaza di u puto P da ua retta r (ovviamete, co P r) è u esercizio facilmete risolubile scrivedo l equazioe della retta s perpedicolare a r e passate per P; si calcola poi la distaza tra P e l itersezioe di r e s. I alterativa si può dimostrare che la distaza d(r, P) del puto P (x 0, y 0 ) dalla retta r di equazioe ax + by + c = 0 è data da: d(r, P) = ax 0 + by 0 + c a 2 + b 2 7.3 La parabola Ua parabola può essere defiita come il luogo geometrico dei puti del piao equidistati da ua retta detta direttrice y = d e da u puto detto fuoco (estero alla retta) F (x 0, y 0 ). Cerchiamo di dimostrare che, scegliedo u sistema di riferimeto co asse delle ascisse parallelo alla direttrice, l equazioe della parabola è del tipo: y = ax 2 + bx + c. Facedo riferimeto alla figura 14.1, si deve avere: FP = PA (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = y d Elevado tutto al quadrato e sviluppado i calcoli: x 2 2x 0 x + x 2 0 + y 2 2y 0 y + y 2 0 = y 2 2dy + d 2 y 2(y 0 d) = x 2 2x 0 x + x 2 0 + y 2 0 d 2 1 y = [ 2(y 0 d) ] x2 + [ x 0 y 0 d ] x + [x 0 2 + y 2 0 d 2 2(y 0 d) ] = ax2 + bx + c 19
Figura 14.1 7.3.1 Vertice, fuoco e direttrice della parabola Per evideziare le relazioi tra i coefficieti a, b e c della parabola e le coordiate di vertice e fuoco si ota i primo luogo che l ascissa di questi ultimi è evidetemete la stessa, cioè x o. E immediato verificare che: b x [ 0 2a = y 0 d ] x 0 y = 0 d = x 0 1 2 [ 2(y 0 d) ] 1 y 0 d y 0 d = x 1 0 y 0 d Avedo l ascissa del vertice, l ordiata si trova mediate sostituzioe ell equazioe della parabola: y = a ( b 2 2a ) + b ( b b2 ) + c = 2a 4a b2 b2 + c = 2a 4a + c = 1 4a (b2 4ac) y = 4a Per quato riguarda il fuoco F ( b, y 2a 0) e la retta direttrice y = d, si ha che: 4a = y 0 + d y 2 0 + d = 2a e cotemporaeamete: Quidi: a = y 0 + d = 2a y 0 d = 1 2a { { I defiitiva per vertice, fuoco e direttrice si ha che: 1 2(y 0 d) y 0 d = 1 2a 2y 0 = 1 2a 2a 2d = 1 2a 2a { y 0 = 1 4a 4a d = 1 4a 4a 20
V ( b 2a, 4a ) F ( b 2a, 1 4a 4a ) y = 1 4a 4a 7.4 Retta e parabola Se si voglioo cooscere evetuali puti comui (itersezioi) tra ua retta ed ua parabola, è sufficiete risolvere il sistema tra le equazioi di retta e parabola otteedo i geerale ua equazioe al massimo di secodo grado che, a secoda del valore del suo discrimiate, potrà avere due soluzioi (el caso di retta secate, cioè positivo), oppure ua soluzioe (el caso di retta tagete, cioè ullo), oppure essua soluzioe (el caso di retta estera, cioè egativo). E possibile trovare l equazioe di rette tageti ad ua parabola e passati per u dato puto, che può apparteere alla parabola (allora si trova ua sola soluzioe) oppure essere estero alla parabola (allora si trovao due soluzioi) oppure essere itero alla parabola (allora o si trova essua soluzioe). Si scrive l equazioe del fascio di rette passate per il puto dato e poi si iizia a risolvere il sistema composto dall equazioe del fascio e dall equazioe della parabola; appea si ottiee l equazioe risolvete di secodo grado i x, si impoe che il discrimiate sia ullo e si ricava il corrispodete valore del coefficiete agolare. I geerale, la ricerca delle equazioi di ua retta e di ua parabola tageti si imposta (dopo aver sfruttato tutte le iformazioi per dimiuire al massimo il umero di parametri) mediate la codizioe per cui il sistema tra retta e parabola abbia ua sola soluzioe reale: y = mx + q { y = ax 2 + bx + c ax2 + (b m)x + (c q) = 0 Tale codizioe è che il discrimiate dell equazioe di secodo grado ricavata sia ullo: = 0 (b m) 2 4a(c q) = 0 21
8 La geometria piaa euclidea 8.1 La circofereza ed il cerchio Dati u puto del piao, che chiamiamo cetro, ed u segmeto o ullo, che chiamiamo raggio, si ha che ua circofereza è il luogo geometrico dei puti co distaza dal cetro pari al raggio; ioltre si ha che u cerchio è il luogo geometrico dei puti co distaza dal cetro o superiore al raggio. Si ricordi che quado si parla di distaza si fa sempre riferimeto a ua quatità o egativa. Dalla defiizioe appare subito evidete che vi è cogrueza tra due cerchi (o due circofereze) se e solo se vi è cogrueza tra i loro raggi. Poiché se si sceglie u puto qualsiasi del piao si può cosiderare ogi altro puto del piao come cetro di ua circofereza passate per il primo puto, si ha che per u puto passao ifiite circofereze. Similmete, se si scelgoo due puti del piao a caso si può cosiderare come cetro di ua circofereza passate per questi due puti ogi puto che appartega all asse del segmeto che li abbia come estremi; si ha quidi che per due puti passao ifiite circofereze (l isieme delle ifiite circofereze passati per due puti dati si chiama fascio di circofereze). Ifie, dati tre puti del piao o allieati, questi possoo essere visti come vertici di u triagolo; poiché esiste ed è uico il puto d icotro degli assi dei suoi tre lati (il circocetro), si ha che per tre puti o allieati passa ua ed ua sola circofereza. 8.1.1 La corda e l arco Si chiama corda di ua circofereza u segmeto che abbia come estremi due puti della circofereza. Si chiama diametro della circofereza ogi corda di lughezza massima (è facilmete dimostrabile che ogi diametro misura il doppio della lughezza del raggio e passa per il cetro della circofereza). Poiché gli estremi di ogi corda soo puti della circofereza, la loro distaza dal cetro è pari al raggio: è quidi ovvio che l asse di ogi corda passa per il cetro della circofereza. Due corde soo cogrueti se e solo se le loro distaze dal cetro cogrueti. Si chiama arco di circofereza la parte di circofereza compresa tra due puti della stessa o coicideti. E immediatamete evidete che ogi corda idividua u arco e viceversa: si dice che ua corda è sottesa all arco o che l arco sottede ua corda. Due corde soo cogrueti se e solo se soo sottese ad archi cogrueti. La parte di cerchio compresa tra u arco e la corda ad esso sottesa si chiama segmeto circolare ad ua base; la parte di cerchio compresa tra due corde parallele si chiama segmeto circolare a due basi. Si chiama agolo al cetro di ua circofereza ogi agolo idividuato da due semirette che abbiao come origie comue il cetro della circofereza. E ache i questo caso ovvio che ogi agolo al cetro idividua u arco e la corrispodete corda (si dice che l agolo al cetro stacca u arco sulla circofereza): due archi (ed ache le corrispodeti corde) soo cogrueti se e solo se soo staccati da agoli al cetro cogrueti. Si chiama settore circolare la parte di piao comue ad u cerchio ed a u suo agolo al cetro. 8.2 Posizioi relative di rette e circofereze. 8.2.1 Retta e circofereza Ua retta può essere secate, tagete o estera relativamete ad ua circofereza. 22
Si parla di retta secate ua circofereza quado la retta ha due puti i comue co la circofereza. Codizioe ecessaria e sufficiete perché ciò avvega è che la distaza della retta dal cetro della circofereza sia iferiore al raggio. Si parla di retta tagete ad ua circofereza quado la retta ha u puto i comue co la circofereza. Codizioe ecessaria e sufficiete perché ciò avvega è che la distaza della retta dal cetro della circofereza sia uguale al raggio. Si parla di retta estera ad ua circofereza quado la retta o ha alcu puto i comue co la circofereza. Codizioe ecessaria e sufficiete perché ciò avvega è che la distaza della retta dal cetro della circofereza sia maggiore al raggio. 8.2.2 Due circofereze Ua circofereza può essere itera, tagete iteramete, secate, tagete esteramete o estera relativamete ad u altra circofereza. Si parla di circofereza itera ad u altra quado o vi soo puti comui ed ua circofereza cotiee l altra. Codizioe ecessaria e sufficiete perché ciò avvega è che la distaza dei due cetri sia iferiore alla differeza dei raggi. Si parla di circofereza tagete iteramete ad u altra quado vi è u uico puto comue ed ua circofereza cotiee l altra. Codizioe ecessaria e sufficiete perché ciò avvega è che la distaza dei due cetri sia uguale alla differeza dei raggi. Si parla di circofereza secate u altra quado vi è soo due puti comui. Codizioe ecessaria e sufficiete perché ciò avvega è che la distaza dei due cetri sia maggiore della differeza dei raggi e, cotemporaeamete, miore della loro somma. Si parla di circofereza tagete esteramete ad u altra quado vi è u uico puto comue ed ua circofereza o cotiee l altra. Codizioe ecessaria e sufficiete perché ciò avvega è che la distaza dei due cetri sia uguale alla somma dei raggi. Si parla di circofereza estera ad u altra quado vi è u uico puto comue ed ua circofereza o cotiee l altra. Codizioe ecessaria e sufficiete perché ciò avvega è che la distaza dei due cetri sia maggiore della somma dei raggi. Nel caso particolare i cui le circofereze siao cogrueti (quidi co ua differeza ulla tra i raggi) o esiste il caso di ua circofereza itera all altra: si può avere solo coicideza tra le due circofereze el caso abbiao il cetro i comue. Nel caso particolare di raggi diversi ma cetro comue si ha ua circofereza itera all altra co distaza costate tra le due circofereze: la parte di cerchio (di raggio maggiore) o comue si chiama coroa circolare. 8.3 Agoli e poligoi i ua circofereza 8.3.1 Agolo alla circofereza Si chiama agolo alla circofereza u agolo formato da due semirette secati (o al più ua di esse tagete) ua circofereza co origie comue apparteete alla circofereza. Ogi agolo alla circofereza isiste su u arco delimitato dai due puti comui di circofereza e semirette (si comprede l origie solo se ua delle due rette è tagete). Si oti che, a differeza degli agoli al cetro, su ogi arco isistoo ifiiti agoli alla circofereza. Ovviamete, a ciascu agolo alla circofereza corrispode uo ed u solo agolo al cetro (metre o vale il viceversa). Si dimostra che tutti gli agoli alla circofereza corrispodeti ad agoli al cetro cogrueti hao la stessa ampiezza; per la precisioe la loro ampiezza è pari alla metà di quella dell agolo al cetro corrispodete. 8.3.2 Circofereza e poligoi U poligoo si dice iscritto i ua circofereza (e la circofereza si dice circoscritta al poligoo) se tutti i suoi vertici appartegoo alla circofereza. 23
U poligoo si dice circoscritto ad ua circofereza (e la circofereza si dice iscritta el poligoo) se tutti i suoi lati soo tageti alla circofereza. Si ha che u quadrilatero è iscrivibile i ua circofereza se e solo se gli agoli opposti soo supplemetari; si ha che u quadrilatero è circoscrivibile ad ua circofereza se e solo se le somme dei lati opposti soo cogrueti. Da questo segue che solo i quadrati soo quadrilateri sia iscrivibili che circoscrivibili ad ua circofereza. 8.3.3 Poligoi regolari U poligoo si dice regolare se è equilatero ed equiagolo (cioè ha tutti i lati cogrueti e tutti gli agoli cogrueti). Ogi poligoo regolare è iscrivibile e circoscrivibile rispetto a due circofereze che hao lo stesso cetro. Il raggio della circofereza circoscritta si chiama raggio del poligoo; il raggio della circofereza iscritta si chiama apotema del poligoo. Le bisettrici degli agoli del poligoo e gli assi dei suoi lati cocorroo el cetro del poligoo e soo tutti assi di simmetria del poligoo. Nel caso particolare di u esagoo, cosiderado i sei triagoli che lo compogoo (formati dalle bisettrici degli agoli) si ota che ciascuo dei sei agoli adiaceti al cetro del poligoo deve avere ampiezza pari ad u sesto di agolo giro, così come ache gli altri due di ciascu triagolo: vale a dire che l esagoo è formato da sei triagoli equilateri e il suo lato è cogruete al raggio. 8.4 La misura lieare e superficiale 8.4.1 La misura dei segmeti L assioma di Eudosso-Archimede dice che due segmeti soo sempre cofrotabili i quato esiste sempre u segmeto multiplo dell uo che sia maggiore dell altro: questo assicura l esisteza di segmeti idetermiatamete gradi. Ioltre, per l assioma della divisibilità si ha che u segmeto è sempre divisibile i modo uivoco i u umero qualuque di parti cogrueti: questo assicura l esisteza di segmeti idetermiatamete piccoli. Scelto u segmeto u come uità di misura, si ha che la misura di u qualsiasi segmeto a rispetto ad u è il umero reale r tale che: a = ru a u = r La precedete defiizioe associa ad ogi segmeto u umero reale che e è la misura secodo ua data uità di misura; l assioma della cotiuità assicura che, fissata ua certa uità di misura, è possibile associare ad ogi valore reale u segmeto che abbia tale misura. Ifie si dimostra che, fissata l uità di misura, il rapporto tra due segmeti a = ru e b = su equivale al rapporto tra le loro due misure: a b = ru su = r s 8.4.2 Area di figure piae Scegliedo come uità di misura di superficie u quadrato di lato pari all uità di misura lieare, si dimostra immediatamete per via grafica che l area del rettagolo si ottiee moltiplicado la misura della base per quella dell altezza (el caso del quadrato coicideti). Due figure piae soo equivaleti (hao la stessa estesioe) se e solo se soo equiscompoibili (cioè scompoibili i figure cogrueti). 24
Poiché ogi poligoo è equiscompoibile ad u rettagolo di ua data base, vediamo come ricavare le formule relative ad alcui poligoi particolari. 8.4.3 Area del triagolo E immediato verificare che ogi triagolo è equivalete alla metà di u rettagolo che abbia stessa base ed altezza. L area del triagolo quidi è la metà del prodotto della base per l altezza. 8.4.4 Area del parallelogramma Poiché ua diagoale divide ogi parallelogramma i due triagoli co stessa base ed altezza, si ha che l area del parallelogramma è data dal prodotto di base per altezza. 8.4.5 Area del rombo Poiché ua diagoale divide il rombo i due triagoli co altezza pari a metà dell altra diagoale, l area del rombo è data dalla metà del prodotto delle due diagoali. 8.4.6 Area del trapezio U trapezio è equiscompoibile ad u triagolo di medesima altezza e che abbia per base la somma delle basi del trapezio; perciò la sua area è data dalla metà del prodotto della somma delle basi per l altezza. 8.4.7 Area di u poligoo regolare Ogi poligoo regolare può essere scomposto, tramite i raggi, i tati triagoli di altezza pari all apotema quati soo i lati del poligoo. Ne cosegue che l area di u poligoo regolare è data dalla metà del prodotto del perimetro per l apotema. I geerale, per ogi poligoo circoscritto ad ua circofereza vale la medesima scomposizioe e la medesima formula (usado il raggio della circofereza iscritta al posto dell apotema). 8.5 I teoremi di Euclide e di Pitagora Si dice proiezioe ortogoale di ua figura su ua retta ua fuzioe che associa ad ogi puto della figura u puto della retta lugo ua direzioe perpedicolare ad essa. I seguito, per brevità, ci riferiremo ad essa semplicemete come proiezioe (omettedo l aggettivo). Il primo teorema di Euclide dice che i ogi triagolo rettagolo il quadrato costruito su u cateto è equivalete al rettagolo che ha per lati l ipoteusa e la proiezioe dello stesso cateto sull ipoteusa. Facedo riferimeto alla figura 1, si cosideri il quadrato ADEB costruito sul cateto AB : questo è sicuramete equivalete al parallelogramma AILB avedo stessa base ed altezza; ioltre, AB AD per costruzioe, D B perché retti e CA B IA D perché etrambi complemetari di BA I: quidi. Ifie il ABC ADI ed i particolare AC AI parallelogramma AILB deve avere stessa base ed altezza del rettagolo AHOM, dimostrado la tesi. Figura 1 Da questo teorema si può ricavare il teorema di Pitagora, che dice che i ogi triagolo rettagolo il quadrato costruito sull ipoteusa è 25