1 Peccati, Salsa, Squellati, Matematica per l economia e l azienda, EGEA 004 Formula di Taylor Generalizziamo la formula che abbiamo introdotto nella sezione 11 del capitolo 5, cercando d approssimare una funzione f con un polinomio di grado n (maggiore di due), vicino a un punto x 0. Datochepensiamodimuovercivicinoax 0, chiamiamo h l incremento della variabile x e cerchiamo d esprimere f (x 0 + h) come somma d un polinomio T n (h) (di grado massimo n) e d un termine (errore) trascurabile. Come si ricava T n (h)? L idea è che il polinomio che meglio approssima f vicino ad x 0, debba avere tutte le derivate (calcolate in h =0) uguali alle derivate di f in x 0.Posto,allora, si calcolano Sostituendo h =0,si ha T n (h) =a 0 + a 1 h + a h + + a n h n, Tn(h) 0 = a 1 +a h + + na n h n 1, Tn 00 (h) = a + + n(n 1)a n h n,. T n (n) (h) = a n. T n (0) = a 0, T 0 n(0) = a 1, T 00 n (0) = a,..., T (n) n (0) = a n, da cui a 0 = f(x 0 ), a 1 = f 0 (x 0 ), a = f 00 (x 0 ),..., a n = f (n) (x 0 ) e, quindi, il coefficiente del generico termine h k,,...,n è a k = f (k) (x 0 ). Il nostro candidato polinomio di Taylor d ordine 1 n, ha pertanto quest aspetto T n (h) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )h + f 00 (x 0 ) h + + f (n) (x 0 ) h n. In che senso T n (h) approssima bene f in prossimità di x 0? Il teorema seguente ci informa che, se si sostituisce il valore del polinomio al valore di f in un punto x 0 + h vicino a x 0,sicommetteun errore trascurabile rispetto a h n (che tende cioè a zero più velocemente di h n ). Formula di Taylor (resto secondo Peano). Se f : (a, b) R èdifferenziabile n volte in x 0 (a, b), vale la formula f(x 0 + h) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )h + f 00 (x 0 ) Ponendo f (0) (x 0 )=f(x 0 ), si può scrivere anche f(x 0 + h) = nx h + + f (n) (x 0 ) h n + o(h n ), per h 0. f (k) (x 0 ) h k + o(h n ), per h 0. (1) 1 Ovviamente,ilgradodelpolinomioèn solo se f (n) (x 0 ) 6= 0.
La (1) si chiama la formula di Taylor con centro in x 0, arrestata all ordine n, con resto secondo Peano. Ponendox = x 0 + h la (1) può anche essere scritta nella forma f(x) = nx f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + o [(x x 0 ) n ], per x x 0. Dimostrazione. Dimostriamo il teorema col principio di induzione. La formula è vera per n =1, infatti coincide con la definizione di differenziabilità. Supponiamo che la formula sia vera per n e dimostriamola per n +1 (n 1). Dimostriamo, cioè, che, se f è derivabile n +1volte in x 0 f(x 0 + h) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )h + + f (n+1) (x 0 ) h n+1 + o(h n+1 ), per h 0, (n +1)! ossia f(x 0 + h) f(x 0 ) f 0 (x 0 )h + f (n+1) (x 0 ) h n+1 (n +1)! lim h 0 h n+1 =0. Il limite può essere calcolato applicando il teorema di de l Hospital, di cui si verificano immediatamenteleipotesi(i)e(ii). Formula di Taylor con resto secondo Peano Calcoliamo il limite del rapporto delle derivate; si ha f 0 (x 0 + h) f 0 (x 0 ) f 00 (x 0 )h + f (n+1) (x 0 ) h n lim h 0 (n +1)h n =0. () Infatti la () equivale a f 0 (x 0 + h) =f 0 (x 0 )+f 00 (x 0 )h + + f (n+1) (x 0 ) h n + o(h n ), per h 0. che è vera per l ipotesi di induzione, in quanto è la formula di Taylor arrestata all ordine n per la funzione f 0 (x). Per il principio di induzione, la (1) è vera per ogni n 1. Formula di Maclaurin. Nel caso particolare in cui x 0 =0, s ottiene la formula di Maclaurin (con resto secondo Peano). f(x) =f(0) + f 0 (0)x + f 00 (0) x + + f (n) (0) x n + o(x n ), per x 0. Scriviamo le formule di Maclaurin (arrestate all ordine n con resto secondo Peano) per le funzioni elementari. 1. Siaf (x) =e x.poiché f (n) (x) =e x e f (n) (0) = 1, siha e x =1+x + x + + xn + o(xn ), per x 0. In figura 1(a) è riportato il grafico della funzione f(x) =e x e dei polinomi di grado 3 e 6, che l approssimano.. Siaf(x) =ln(1+x). Si ha f 0 (x) = f 000 (x) = 1 1+x, 1 f00 (x) = (1 + x), (1 + x) 3,..., f(n) (x) =( 1) n 1 (n 1)! (1 + x) n
3 n = 7 n = 6 n = 4 (a) n = 3 (b) Figura 1. e, quindi, f(0) = 0, f 0 (0) = 1, f 00 (0) = 1, f 000 (0) =,..., f (n) (0) = ( 1) (n 1) (n 1)!. La formula è ln(1 + x) =x x + x3 xn + +( 1)(n 1) 3 n + o(xn ), per x 0. In figura 1 (b) è riportato il grafico della funzione f(x) =ln(1+x) edeipolinomidigrado4e 7, che l approssimano. 3. Sianof(x) =sinx e g(x) =cosx Si ha f 0 (x) = g(x) =cosx, f 00 (x) =g 0 (x) = sin x, f 000 (x) = g 00 (x) = cos x, f (iv) (x) =g 000 (x) =sinx e così via. In 0 le derivate d ordine pari di f e quelle d ordine dispari di g sono nulle, le altre valgono alternativamente +1 o 1. Si ha sin x = x x3 3! + x5 xn+1 + +( 1)n 5! (n +1)! + o(xn+ ), per x 0, cos x = 1 x! + x4 xn + +( 1)n 4! (n)! + o(xn+1 ), per x 0. In figura è riportato il grafico della funzione f(x) =sinx e dei polinomi di grado 5 e 11, che l approssimano. 4. Siaf(x) =(1+x) a, α R. Siha e, quindi, f 0 (x) = α (1 + x) α 1, f 00 (x) =α (α 1) (1 + x) α,..., f (n) (x) = α (α 1) (α n +1)(1+x) α n, f(0) = 1, f 0 (0) = α, f 00 (0) = α (α 1),..., f (n) (0) = α (α 1) (α n +1). Posto µ α = k α (α 1) (α k +1),
4 n = 5 n = 11 Figura. per ogni α reale e per ogni k naturale,siricavalaformula µ µ α α (1 + x) a =1+αx + x + + x n + o(x n ), per x 0. n Nel caso in cui α = n, la formula ci dà lo sviluppo del binomio di Newton. Vogliamo ribadire che la formula di Taylor fornisce un informazione di carattere locale: in un intorno di x 0, f è bene approssimabile con il polinomio di Taylor. La formula non fornisce informazioni sull ampiezza di questo intorno. Nonostante i grafici con le funzioni esponenziale e seno, possano farlo pensare, non è assolutamente detto che, fissato un certo intervallo, all aumentare del grado del polimomio si abbia un approssimazione migliore. Per trovare conferma a quest osservazione si guardi il grafico con la funzione logaritmica. Test di riconoscimento dei punti stazionari Il seguente teorema generalizza il secondo test di riconoscimento dei punti stazionari. È utile in casi particolarmente sfortunati, ove un bel po di derivate dopo la prima s annullano nel punto stazionario. Si tratta, semplicemente, d andare avanti, finché se ne incontra una non nulla. Teorema. Sia f :(a, b) R differenziabile n volte in x 0 (a, b) con f 0 (x 0 )=f 00 (x 0 )= = f (n 1) (x 0 )=0, f (n) (x 0 ) 6= 0. Se n èparie f (n) (x 0 ) > 0 allora x 0 è punto di minimo locale (forte); se n èparie f (n) (x 0 ) < 0 allora x 0 è punto di massimo locale (forte); se n è dispari, allora x 0 non è punto di estremo locale. Dimostrazione. Dobbiamo studiare, per h piccolo, il segno dell incremento f = f(x 0 + h) f(x 0 ). Essendo verificate le ipotesi del teorema, possiamo applicare al formula di Taylor e scrivere dacuisiricava f(x 0 + h) =f(x 0 )+ f (n) (x 0 ) h n + o(h n ), per h 0, f(x 0 + h) f(x 0 )= f (n) (x 0 ) h n [1 + o(1)], per h 0,
in quanto l espressione f (n) (x 0 ) o(h n ) h n,perdefinizione del simbolo o, è una quantita infinitesima per h 0. Ora, l espressione tra parentesi quadre tende a 1 per h 0, quindi in un intorno di x 0,peril teorema della permanenza del segno è positiva. Il segno dell incremento f dipende dunque dal segno di f (n) (x 0 ) edih n. Se n èpari,h n è positivo per h 6= 0e, quindi, il segno di f coincide col segno di f (n) (x 0 ). Se f (n) (x 0 ) > 0, allora f, inunintornodix 0 (x 6= x 0 )èpositivoex 0 è un punto di minimo locale forte. Se f (n) (x 0 ) < 0, allora f, in un intorno di x 0 (x 6= x 0 ) è negativo e x 0 è un punto di massimo locale forte. Se n è dispari il segno di h n dipende da h e quindi il segno di f cambia a seconda che h sia positivo o negativo, quindi x 0 non è punto d estremo locale. Formula di Taylor con resto secondo Lagrange La formula vista nella sezione precedente ha validità locale, come abbiamo ribadito. Certi esempi fatti (soprattutto quello con la funzione seno) ci portano, però, a pensare che, con un polinomio di grado abbastanza elevato, l approssimazione possa essere buona non solo localmente. Ci chiediamo, quindi, se sia possibile approssimare una funzione su un intervallo fissato, con un polinomio di Taylor, avendo anche una stima quantitativa dell errore commesso. Data una funzione f :(a, b) R differenziabile almeno sino all ordine n +1 e x 0 (a, b), vogliamo valutare la differenza f(x) f(x 0 ) f 0 (x 0 )(x x 0 ) f 00 (x 0 ) (x x 0 ) + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n su tutto l intervallo (a, b). Iniziamo col considerare n =1e cerchiamo di valutare la differenza R (x) =f(x) f(x 0 ) f 0 (x 0 )(x x 0 ), che rappresenta lo scarto tra f e la retta tangente. Ipotizziamo tale scarto proporzionale a (x x 0 ) e supponiamo di poter scrivere f (x) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 )+b(x x 0 ) in cui lasciamo, per il momento, indeterminato il coefficiente b, che(illettoreincuorsuogiàsa) sceglieremo poi in maniera furba. Il teorema che subito vediamo consente di controllare l errore fornendoci una rappresentazione statica del resto R (x), ove statica significa con x fissato. Teorema. Sia f una funzione due volte differenziabile nell intervallo (a, b) esianox 0,x punti di (a, b). Allora esiste almeno un punto c tra x 0 e x tale che f(x) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 )+ f 00 (c) (x x 0 ). (3) La (3) prende il nome di formula di Taylor arrestata al second ordine con centro in x 0 eresto secondo Lagrange. Scrivendola nella forma f(x) f(x 0 ) x x 0 = f 0 (x 0 )+ f 00 (c) (x x 0 ) essa appare come una generalizzazione del teorema del valor medio. Proprio a questo teorema si riconduce la prova. Dimostrazione. Poniamo w (x) =f(x) f(x 0 ) f 0 (x 0 )(x x 0 ) b(x x 0 ), 5
6 da cui w 0 (x) =f 0 (x) f 0 (x 0 ) b(x x 0 ). Tale derivata è nulla in x 0 e possiamo scegliere b in modo che sia anche w 0 (x) =0: basta infatti che sia b = 1 f 0 (x) f 0 (x 0 ). x x 0 Valgono le ipotesi del teorema di Lagrange e pertanto esiste c tra x e x 0 tale che w 00 (c) =0.Poiché w 00 (x) =f 00 (x) b, esiste c tra x e x 0 tale che f 00 (c) b =0, da cui b = f 00 (c). Dall espressione trovata per il resto secondo Lagrange discendono maggiorazioni per R (x). Sela derivata seconda di f non supera mai in modulo un numero M>0tra x 0 e x, potremo asserire che l errore di approssimazione non eccede M (x x 0). Consideriamo, per esempio, la funzione sin x in prossimità di x 0 =0. Questa nuova versione della formula di Taylor ci garantisce che sin x =sin0+xcos 0 + 1 ( sin c) x = x + x ( sin c), con c tra 0 e x. Poiché il seno d un angolo non supera mai 1 in modulo (M =1)otteniamo T (x) = sin x x x Così, se sostituissimo sin 1/100 con 1/100 commetteremmo un errore non oltre 1/0000 = 0, 00005. Questa formula di Taylor può essere estesa oltre il second ordine in maniera affatto analoga. Formula di Taylor (resto secondo Lagrange). Sia f :(a, b) R differenziabile n +1volte in (a, b), esianox 0,x (a, b). Allora, esiste almeno un punto c tra x 0 e x tale che Per esteso: f(x) = nx f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + f (n+1) (c) (n +1)! (x x 0) n+1. (4) f(x) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 )+ + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + f (n+1) (c) (n +1)! (x x 0) n+1. Ponendo x = x 0 + h, la(4)diviene f(x 0 + h) = nx f (k) (x 0 ) h k + f (n+1) (c) (n +1)! hn+1, con c punto opportuno tra x 0 e x 0 + h. Se si riesce a dimostrare che f (n+1) non supera in valore assoluto una certa costante M, cioèse f (n+1) (x) M, perognix (a, b), allora anche f (n+1) (c) M e si può avere una valutazione dell errore che si commette sostituendo a f il polinomio di Taylor. f(x 0 + h) T n (h) = f (n+1) (c) (n +1)! h n+1 M (n +1)! h n+1.
Formula di Maclaurin. Se nella (4) si pone x 0 =0, s ottiene la formula di Maclaurin con resto secondo Lagrange: Serie di Taylor f(x) =f(0) + f 0 (0)x + f 00 (0) x + + f (n) (0) x n + f (n+1) (c) (n +1)! xn+1. (5) Tracciando il grafico della funzione f(x) =e x e di alcuni sui polinomi di Maclaurin, abbiamo visto che questi ultimi approssimano bene f in intervalli di sempre maggior ampiezza, al crescere del grado. Viene spontaneo chiedersi, dato che f(x) =e x èdifferenziabile infinite volte, cosa succede facendo tendere n a +. Non ci meraviglieremmo troppo se risultasse e x = x n. (6) Sappiamo già che la serie scritta a destra converge per ogni x R (vedi l esempio 1 della sezione 5 del capitolo 6), occorre solo controllare che la somma sia proprio e x. Il termine s n (x) della successione delle ridotte della serie (6) coincide con il polinomio di Maclaurin di grado n. nx x k s n (x) = e, per la formula (5), R n (x) =e x s n (x) = ec x n+1 (n +1)! Dimostriamo che R n (x) 0. Sex =0e n 1, R n (x) =0;sex>0, e c <e x e 0 <R n (x) < ex x n+1 (n +1)! ; se x<0, e c < 1 e 0 <R n (x) < xn+1 (n +1)!. In entrambi i casi, il fattoriale (n +1)!trascina a zero il quoziente anche quando x > 1. La (6) è, dunque, vera per ogni x R. In particolare, per x =1si ha 1 = e. Definizione. Se una funzione f :(a, b) R ammette derivate di qualsiasi ordine in x 0 (a, b), possiamo scrivere la serie f (n) (x 0 ) (x x 0) n. (7) che si chiama serie di Taylor associata a f. L esempio fatto in precedenza potrebbe far pensare che per ogni x (a, b) la serie converga a f (x). Questo non è vero sempre. Si possono fornire esempi di comportamenti piuttosto curiosi della serie di Taylor: essa, pur convergendo in x, potrebbe avere somma diversa da f (x). In altri casi la serie potrebbe divergere in x anche se x è nel dominio di f. Esempio 5. Siaf(x) =ln(1+x); la serie di Maclaurin ad essa associata è n=1 ( 1) n 1 xn n. 7
8 Tale serie converge solo per 1 <x 1 (per x = 1 ha lo stesso carattere della serie armonica e, per x > 1, il termine generale non tende a zero). Si può controllare che n=1 ( 1) n 1 xn n =ln(1+x), x ( 1, 1]. In particolare n=1 ( 1) n 1 1 n =ln. Perché la serie (7) converga alla funzione f in (a, b) la differenza tra il polinomio di Taylor T n (x) e f deve tendere a zero per n +, cioè f (x) T n (x) =R n (x) = f (n+1) (c) (n +1)! xn+1 deve tendere a zero per ogni x (a, b). Ciò accade sicuramente, se le derivate di f sono limitate, come per le funzioni seno e coseno. Si ha, infatti, per ogni x R, sin x = ( 1) n xn+1 + (n +1)!, cos x = X ( 1) n xn (n)!. c DEGLIAUTORI-Tuttiidirittiriservati