Teoria e Progetto dei Ponti

Corso di Teoria e Progetto dei Ponti Università degli Studi di Pavia Teoria e Progetto dei Ponti 1/51 Teoria e Progetto dei Ponti Anno Accademico 08/09 Prof. Gian Michele Calvi

Corso di Teoria e Progetto dei Ponti Travi iperstatiche rettilinee e linee di influenza Università degli Studi di Pavia Teoria e Progetto dei Ponti 2/51

Trave continua (iperstatica) Teoria e Progetto dei Ponti 3/51 La trave in figura ha cinque appoggi ed è tre volte iperstatica. Separando i diversi elementi della trave occorre aggiungere i momenti interni che essi si scambiano. I momenti sono ipotizzati in senso orario per l'estremità sinistra della campata e in senso antiorario per quella destra. Entrambi i momenti risultano positivi in quanto tendono le fibre inferiori della struttura. Il grado di iperstaticità della trave continua. Una trave isostatica semplicemente appoggiata è isostatica quando risulta vincolata solo con un carrello e una cerniera. Ogni ulteriore carrello aggiunto alla struttura comporta un aumento del grado di iperstaticità. Più in generale, se m sono gli appoggi della trave il grado di iperstaticità sarà pari a n = m-2. La determinazione delle incognite iperstatiche. In presenza di n appoggi sovrabbondanti si assumono quali incognite iperstatiche gli n momenti sugli appoggi intermedi, per la cui determinazione occorre risolvere un sistema di n equazioni. Se il numero delle equazioni è elevato è consigliabile l'uso di un foglio elettronico per la soluzione del sistema.

Trave continua (iperstatica) Teoria e Progetto dei Ponti 4/51 L'equazione dei tre momenti. Per la continuità della linea elestica deve risultare a C = b C Per la scrittura delle n equazioni di iperstaticità si fa uso del metodo delle rotazioni. L'espressione della linea elastica è una funzione continua: la tangente a tale linea nel punto C in figura deve essere la stessa per i due tratti BC e CD. In altri termini l'angolo b C deve risultare uguale all'angolo a C. La rotazione a C, applicando il principio di sovrapposizione degli effetti, è il risultato di tre azioni: il momento M C, il momento M D e i carichi esterni agenti sulla campata BC. Se con si indica la reazione dell'appoggio sinistro della trave ausiliaria corrispondente alla trave BC caricata con le sole azioni esterne, si ottiene Analogamente per la rotazione b C si ha

Trave continua (iperstatica) Teoria e Progetto dei Ponti 5/51 La rotazione b C è negativa, in accordo con le convenzioni di segno. Nelle due espressioni precedenti il modulo elastico E e il momento di inerzia baricentrico I della sezione sono stati supposti uguali per le due campate. Posto a C = b C si ha Razionalizzando per 6EI si ottiene Quest'ultima equazione prende il nome di equazione dei tre momenti o equazione di Clapeyron (Benoit Paul Emile, 1799-1864) che per primo la propose.

Trave continua (iperstatica) Teoria e Progetto dei Ponti 6/51 L'equazione di Clapeyron, scritta per l'appoggio C, coinvolge i due appoggi vicini B e D. Nel primo termine vi figurano: il doppio del momento sull'appoggio centrale moltiplicato per la somma delle due luci laterali; il momento dell'appoggio posto a sinistra per la luce di sinistra; il momento dell'appoggio di destra per la luce di destra. Nel secondo termine si trovano, moltiplicate per sei: la reazione destra della trave ausiliaria di sinistra; la reazione sinistra della trave ausiliaria di destra. La scrittura dell'equazione è facilitata dalla presenza di numerose soluzioni delle reazioni della trave ausiliaria, reperibili nei formulari.

Valori di 6A* e 6B*. Trave continua (iperstatica) Teoria e Progetto dei Ponti 7/51

Metodo di Clapeyron Teoria e Progetto dei Ponti 8/51 La trave in figura ha cinque appoggi ed è tre volte iperstatica. La trave continua è stata separata in più travi isostatiche aggiungendo i momenti che, in relazione all'iniziale continuità, i vari elementii si scambiano. I momenti sono ipotizzati in senso orario per l'estremità sinistra della campata e in senso antiorario per quella destra; in tal modo essi risultano positivi in quanto tendono le fibre inferiori della struttura. Ogni equazione, scritta per un appoggio intermedio, coinvolge il momento su tale appoggio e gli altri due momenti sugli appoggi vicini. Per ottenere il numero n di incognite iperstatiche si sottraggono al numero di appoggi m i due appoggi strettamente necessari a garantire l'isostaticità della struttura:n = m-2. Le incognite iperstatiche. Si assumono quali incognite iperstatiche gli n momenti sugli appoggi intermedi; per ognuno di tali appoggi si scrive un'equazione dei tre momenti, ottenendo così un sistema lineare di n equazioni in n incognite. Nella prima equazione figurano solo due dei tre momenti essendo nullo il momento M A nell'estremo appoggiato della trave. Analogamente, nell'ultima equazione non è presente il momento M E. Il calcolo dei valori delle reazioni della trave ausiliaria 6A* e 6B*, i termini noti dell'equazione, è facilitato dall'uso di appositi formulari.

Effetti della variabilità dei carichi Teoria e Progetto dei Ponti 9/51

Teoria e Progetto dei Ponti 10/51 Effetti della variabilità dei carichi

Teoria e Progetto dei Ponti 11/51 Effetti della variabilità dei carichi

Effetti della variabilità dei carichi Teoria e Progetto dei Ponti 12/51 Problema: Determinare per ciascun elemento e per ciascuna azione interna (M,V,T,N ) la configurazione di carico più gravosa Soluzione: Metodi diretti: calcolo analitico (isostatiche) o per punti Metodi indiretti: 1) Betti 2) Land - Colonnetti

Linea d influenza Teoria e Progetto dei Ponti 13/51 Definizione - Data una struttura - Nell ipotesi del teorema del Betti - Considerata una generica sezione S - La L.I. permette di valutare la variazione di una determinata Azione interna (M,V,N,T) o deformazione (spost., rot. )indotta da un carico mobile Per ciascuna azione interna (o deformazione) esistono tante L.I. quante sono le sezioni di una struttura (lo studio si conduce solamente per le sezioni più significative Al fine del dimensionamento)

Metodo diretto Struttura isostatica esempio 1 L.I. Reazioni vincolari L.I. Taglio nella generica sezione S Teoria e Progetto dei Ponti 14/51

Struttura isostatica esempio 1 L.I. Momento flettente Metodo diretto Teoria e Progetto dei Ponti 15/51

Struttura isostatica esempio 2 Struttura a Mensola L.I. taglio L.I. momento flettente Metodo diretto Teoria e Progetto dei Ponti 16/51

Struttura iperstatica esempio 1 Trave appoggiata incastrata L.I. taglio L.I. momento flettente Metodo diretto Teoria e Progetto dei Ponti 17/51

Teorema del Betti o di reciprocità Teoria e Progetto dei Ponti 18/51

Teoria e Progetto dei Ponti 19/51 fi

S 1 v 1 F 1 v 2,1 S 2 F 2 Teoria e Progetto dei Ponti 20/51

Teoria e Progetto dei Ponti 21/51

fl fi Linee di influenza con il metodo del Betti fl fl fl Teoria e Progetto dei Ponti 24/51

fl fl Linee di influenza con il metodo del Betti fi Teoria e Progetto dei Ponti 25/51

fl 1 Linee di influenza con il metodo del Betti fl fi fl fl fl fi fl fl Teoria e Progetto dei Ponti 26/51

fi fl fl fl Esempio 1 Teoria e Progetto dei Ponti 27/51

fl fl Esempio 1 Teoria e Progetto dei Ponti 28/51

fl Esempio 1 Teoria e Progetto dei Ponti 29/51

fi fl fl fl Esempio 2 Teoria e Progetto dei Ponti 30/51

fl fl Esempio 2 Teoria e Progetto dei Ponti 31/51

Nel caso di sola distorsione angolare 2 principio di reciprocità Teoria e Progetto dei Ponti 32/51

2 principio di reciprocità Teoria e Progetto dei Ponti 33/51

2 principio di reciprocità Teoria e Progetto dei Ponti 34/51

Linee di influenza con il metodo di Land-Colonnetti Teorema di Land-Colonnetti Teoria e Progetto dei Ponti 35/51

Linee di influenza con il metodo di Land Teoria e Progetto dei Ponti 36/51

Calcolo f.e.m con metodo di Land-Colonnetti Teoria e Progetto dei Ponti 39/51 1. Modellazione della struttura 2. Scegliere la sezione e la sollecitazione per cui si vuole calcolare la L.I. 3. Ricavare la struttura ausiliaria mediante la sonnessione a, b,c 4. Eseguire analisi elastica di tenatativo (!!) 5. Calcolare il coeff. Correttivo 6. Valutare lo spostamento che equivale alla L.I. ricercata a) Momento b) Taglio c) Azione assiale

L.I. Taglio nella generica sezione S Esempi Teoria e Progetto dei Ponti 40/51

L.I. momento nella generica sezione S Esempio1 Teoria e Progetto dei Ponti 41/51

L.I. punti a terra Esempio 1 Teoria e Progetto dei Ponti 42/51

Esempio f.em. Teoria e Progetto dei Ponti 43/51

Studio la L.I. del momento in 10 applico quindi una distorsione unitaria in 10 Esempio f.e.m. Teoria e Progetto dei Ponti 44/51

Esempio metodo f.e.m. Teoria e Progetto dei Ponti 45/51 Sez. 1 U3 = 0.1558 Lo spostamento verticale in 1 a seguito della distorsione unitaria corrisponde al momento in 10 a seguito dell applicazione in 1 del carico mobile viaggiante

Carico unitario Verifico con metodo diretto applico F=1 nel nodo 1 e calcolo il momento Esempio metodo f.e.m. Teoria e Progetto dei Ponti 46/51

Verifica metodo indiretto Teoria e Progetto dei Ponti 47/51 M = 0.1558 Il valore di M flettente calcolato con metodo diretto corrisponde al valore dello spostamento con metodo di Land. Il metodo funziona!!!!!!!!!!!!

Carichi puntuali Esempio 2 Teoria e Progetto dei Ponti 48/51

Carichi distribuiti Esempio 2 Teoria e Progetto dei Ponti 49/51

Calcolo delle azioni agenti L.I. momenti flettenti per S,A,S 1 Teoria e Progetto dei Ponti 50/51

Calcolo delle azioni agenti a partire dalle L.I. Teoria e Progetto dei Ponti 51/51