Teoria delle catastrofi Il caso precedente, studiato con PPLANE. Scelta dell algoritmo di discretezzazione (qui è importante che sia adattativo perché cambia la velocità) transizione rapida (catastrofe) Ciclo di isteresi nello spazio p,x (catastrofe a piega). La teoria delle catastrofi, dovuta a R. Thom, classifica tutti le possibili discontinuità che può avere il luogo degli equilibri stabili di un sistema non lineare, quando alcune variabili (parametri) cambiano lentamente rispetto ad altri. Un aspetto interessante della teoria è che il numero di singolarità del luogo degli stati stabili dipende unicamente dal numero di parametri e NON dal numero di variabili di stato. Thom ha inoltre dimostrato che, se i parametri sono più di 5, le possibili tipologie di catastrofi sono infinite. 4
SISTEMI NON LIENARI CASO DI STUDIO La crisi delle foreste Vedi: Gatto, Rinaldi; Some models of catastrophic behavior in exploited forests; Vegetatio, 69: 3-, 987. Fenomeno macroscopico e rilevante. Cause: Cambiamento del clima (e delle disponibilità di risorse idriche) Sovra sfruttamento Inquinamento (pioggia acida) atmosferico Gestione non adeguata In generale queste cause portano ad un declino della foresta. In alcuni casi esse portano invece ad un vero e proprio collasso improvviso della foresta e in casi estremi questo collasso è irreversibile. sostanze resinose incendi naturali perdita di elasticità rottura sviluppo di nutrienti parassiti collassi squilibri domanda - offerta abbattimenti bassa diversità epidemie artificiali alterazione terreno tossicità formazione di Ozono necrosi 4
Sovrasfruttamento Il più semplice modello: T = biomassa legnosa G = growth H = harvest E = exploitation dt G( T ) Eh( T ) = 43
Effetti congiunti SFRUTTAMENTO INQUINAMENTO dn dt apporto perdite prelievo } } } 64748 = W an bnt + cm( N) T decomposizione = ebn dt m { ( N) { E 443 T produttività mortalità abbattimento primaria Elevata acidità del terreno (ph < 4-5) Mobilizzazione di ioni tossici (per es. Alluminio) 44
dn = W an bnt + cm ( N ) T nutriente dt = [ abn ct m( N) E] T biomassa legnosa Analisi degli equilibri dn W an = 0 T = = TN ( N, W ) c b N m( N) c dt = 0 T = 0 o T = [ ebn m( N) E] = TT ( N, E) d Stabilità degli equilibri Nel punto I f a 0 bn + cm( N) x = x 0 ebn m( N) E INSTABILITA' Analogamente si dimostra che S è stabile 45
Fissiamo E e variamo W 46
Fissiamo W e variamo E 47
CONCLUSIONI : catastrofe a cuspide La foresta può mantenersi in vita solo nella regione parabolica ( \\\\\\ ) Per ogni fissato sfruttamento esiste un intervallo ammissibile per l apporto esterno di nutriente W Tale intervallo si restringe all ammontare dello sfruttamento All aumentare dell apporto di nutriente la foresta finisce per collassare (prima se è più sfruttata) All aumentare dello sfruttamento la foresta collassa se l apporto di nutriente è sufficientemente alto, altrimenti la foresta degrada con continuità. 48
Caos deterministico Nei sistemi non lineari, al variare di un parametro, può anche accadere che nascano o scompaiano cicli (= movimenti periodici) o si determino zone dello spazio (attrattori) all interno delle quali il movimento rimane confinato senza però essere periodico. Questo fenomeno viene definito caos deterministico. Es. il modello di Lorenz (evoluzione della masse d aria nell atmosfera) dx/ = -c(x-y) dy/ = ax-y-xz dz/ = b(xy-z) traiettoria (attrattore) del sistema di Lorenz (a=8, b=8/3, c=0) nel piano (x,z) movimenti corrispondenti Questo tipo di comportamenti può verificarsi in sistemi continui di ordine due con ingressi periodici o di ordine superiore, ma in sistemi discreti anche di ordine. Una conseguenza importante di questo tipo di comportamento è la forte dipendenza dalle condizioni iniziali (a una variazione infinitesima delle condizioni iniziali corrispondono alla lunga traiettorie completamente diverse). Predictability: Does the Flap of a Butterfly s Wings in Brazil set off a Tornado in Texas? (Lorenz, 97). 49
Esempi di biforcazioni (altri esempi in linea su http://monet.physik.unibas.ch/~elmer/pendulum/lab.htm) Da equilibrio a ciclo, a cicli più complessi, a caos. x(t+)=px(t)(-x(t)) (logistica discreta) 0,6 p= 0,5 0,4 0,3 0, 0,8 p=3 0, 0,7 0 3 5 7 9 3 5 0,6 0,5 7 0,4 0,3 0, 0, 0 9 3 5 7 3 5 7 9 9 3 5 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 7 9 3 5 3 7 5 7 9 p=3.5, 9 3 5 7 9 3 5 7 9 p=4 0,8 0,6 0,4 0, 0 3 5 7 9 3 5 7 9 3 5 7 9 Biforcazione di Hopf (da equilibrio a ciclo in un sistema continuo) x& x& = αx = x x αx + x + x ( x ( x + x + x ) ) 50