Ist. di Fisica Matematica mod. A Sesta e settima esercitazione Francesca Arici (farici@sissa.it Domenico Monaco (dmonaco@sissa.it 8-0 Gennaio 04 Esercizi del Capitolo 6 La numerazione seguita per gli Esercizi è quella delle note del corso. Esercizio 6.5.. Si derivi la seguente formula per la soluzione del problema di Cauchy δv(x, 0 φ(x per l equazione di Burgers linearizzata (6..4: δv(x, t πνt e (x y ct 4νt φ(y dy. Soluzione. Ricordiamo che l equazione di Burgers linearizzata è δv t + cδv x νδv xx. Denotando con δˆv(k, t la trasformata di Fourier di δv(x, t rispetto alla variabile x, si può riscrivere l equazione di Burgers come e quindi si ricava immediatamente δˆv t (ick + νk δˆv δˆv(k, t e (ick+νk t δˆv(k, 0 e ikct e νtk ˆφ(k. Applicando la formula di inversione della trasformata di Fourier, ricaviamo che δv(x, t π e ikx e ikct e νtk ˆφ(k dk ( + e ik(x ct e νtk e iky φ(y dy dk π e ik(x y ct e νtk dk φ(y dy. (
Nel termine fra parentesi riconosciamo l antitrasformata di Fourier della funzione g(k e νtk, calcolata in x y ct. Ricordando che ( / F x p e x / (p e p, π otteniamo immediatamente che δv(x, t π ( ( π e x y ct νt φ(y dy νt F x p (f(a x (p a F x p (f(a p, πνt e (x y ct 4νt φ(y dy come richiesto. Esercizio 6.5.. Si ottenga la seguente rappresentazione per la soluzione dell equazione di KdV linearizzata (6..5 con dato iniziale δv(x, 0 φ(x che decresce rapidamente per x : dove δv(x, t A(x, t π A(x y ct, ɛ tφ(y dy e i(kx+k3 t dk. Soluzione. Ricordiamo che l equazione di KdV linearizzata è δv t + cδv x + ɛ δv xxx 0. Denotando con δˆv(k, t la trasformata di Fourier di δv(x, t rispetto alla variabile x, si può riscrivere l equazione di Burgers come e quindi si ricava immediatamente δˆv t i(ck ɛ k 3 δˆv δˆv(k, t e i(ck ɛ k 3 t δˆv(k, 0 e ikct e ik3 ɛ t ˆφ(k. Applicando la formula di inversione della trasformata di Fourier, ricaviamo che δv(x, t e ikx e ikct e ik3 ɛ t ˆφ(k dk ( e ik(x ct e ik3 ɛ t + π ( π e iky φ(y dy dk e i[k(x y ct+k3 ɛ t] dk φ(y dy. (Si noti che, per scambiare l ordine di integrazione, occorre che φ decresca rapidamente all infinito. Nel termine fra parentesi riconosciamo la funzione A(x y ct, ɛ t, il che porta al risultato richiesto.
Esercizio 6.5.3. Gamma Γ(x + Si derivi la seguente formula di Stirling per l asintotica della funzione 0 t x e t dt ( x ( x πx + O e (, x +. x Suggerimento: dopo la sostituzione t x s l integrale può essere riscritto come Γ(x + x x+ e x(s log s ds. 0 Soluzione. Definiamo S(s : s log s per s > 0. Avremo quindi 0 S (s s 0 s, S (s s > 0, da cui deduciamo che S(s ha un minimo assoluto per s. Applicando ora la formula di Laplace (Teorema 6.3.5 nelle Note del corso, abbiamo che per ɛ 0 e S(s πɛ ɛ ds S ( S( e ɛ ( + O(ɛ πɛ e ɛ ( + O(ɛ. Ponendo ora ɛ /x con x +, deduciamo che Γ(x + x x+ e x(s log s ds x x+ π ( 0 x e x + O ( x ( ( x πx + O, e x ( x come volevasi dimostrare. Scritto del 3 Febbraio 0 Problema. con Sia u(x, t la soluzione del prolema misto u tt u xx, x > 0, t > 0, u x (0, t u t (x, 0 x se x [, ] se x [, 4] u(x, 0 x + 0 se x [4, 5] 0 altrimenti. 3
Disegnare il grafico della soluzione per t t, t, t.5, t 3, t 4.5. Soluzione. Per risolvere l equazione delle onde sulla semiretta x > 0, ci riconduciamo a un problema sull intera retta < x < + prolungando la soluzione per parit`a, compatibilmente con la condizione di Neumann al bordo ux (x, tx0 0. Chiamiamo quindi ( u(x, 0 se x 0, φ(x u( x, 0 se x < 0. La soluzione cercata u(x, t sar`a dunque la restrizione alla semiretta x > 0 della soluzione v(x, t al problema di Cauchy x R, t > 0, vtt vxx, v(x, 0 φ(x, vt (x, 0 0. Essa pu`o essere ricavata dalla formula di D Alembert: v(x, t φ(x t + φ(x + t. Riportiamo di seguito il grafico della funzione u(x, t, per i valori richiesti della coordinata temporale t. t0 t t t.5` 4
t3 t 4.5` Problema. tale che Sia R > 0. Trovare una funzione u(x, y armonica per x + y < R e u (R, φ sin φ cos φ, r dove u e(r, φ u(r cos φ, r sin φ. Soluzione. Data la simmetria del sistema mettiamoci in coordinate polari ( x r cos φ, r [0, R], φ [0, π, y r sin φ, e cerchiamo soluzioni dell equazione 4e u0 ( che abbiano la forma u e(r, φ α0 (r + X (αn (r cos nφ + βn (r sin nφ ( n su cui andremo poi ad imporre la condizione al contorno u er (R, φ sin φ cos φ. (3 Il laplaciano in coordinate polari ha la forma 4 + +. r r r r φ 5 (4
Calcoliamo u r (r, φ α 0(r + u rr (r, φ α 0(r + u φφ (r, φ (α n(r cos nφ + β n(r sin nφ, n n (α n(r cos nφ + β n(r sin nφ, n (α n (r cos nφ + β n (r sin nφ, n e sostituiamo nella ( ottenendo α 0(r + α 0(r r n ((α n(r + r α n(r n r α n(r cos nφ+ + (β n(r + r β n(r n r β n(r sin nφ 0. Imponendo ora anche la condizione (3, ricaviamo i seguenti infiniti sistemi di equazioni differenziali ordinarie: α 0(r + r α 0(r (5 α 0(R α n(r + r α n(r n r α n(r (6 α n(r δ,n, β n(r + r β n(r n r β n(r (7 β n(r δ,n. Risolvendo (5 per separazione delle variabili, si ottiene α 0(r c r, c R e imponendo la condizione α 0(R 0 ricaviamo c 0. In conclusione otteniamo α 0 (r c per una costante c R. Andiamo ora a cercare la soluzione per (6. Cercando soluzioni della forma α n (r C n r k, si ottiene che la soluzione generale dell equazione differenziale è della forma C n,+ r n + C n, r n. Richiedendo che tale funzione sia regolare nell origine, risulta essere C n, 0. Andando inoltre a imporre la condizione al bordo α n(r δ,n, troviamo α n(r C n,+ nr n se n, δ,n C n,+ 0 altrimenti. 6
Pertanto la soluzione di (6 sarà α n (r r se n, 0 altrimenti. Ragionando similmente, si perviene anche alla soluzione di (7: r se n, β n (r 0 altrimenti. In conclusione, la soluzione u del problema di Laplace proposto è ũ(r, φ c + r (sin φ cos φ, c R ovvero, in coordinate euclidee, u(x, y c + y x, c R. Problema 3. Trovare la soluzione u(x, t del problema di Cauchy u t u xx, x (, +, t > 0, u(x, 0 e 3x. Soluzione. Utilizziamo la formula integrale di Poisson per la soluzione dell equazione del calore (cfr. il Teorema 5.4. nelle Note del corso: se u(x, 0 φ(x è assolutamente integrabile allora u(x, t πt e (x y φ(y dy. Poniamo, per comodità futura, φ(y e a y, e calcoliamo u(x, t πt x πt e e (x y e a y dy ( ( y exp + a y xy dy x πt e exp x ( ( + a completando il quadrato. Effettuiamo ora la sostituzione z y + x a, da cui dy + a exp y + a + 4a t dz. x + a dy 7
Osservando che + a ( ( + + 4a t, a calcoliamo u(x, t πt e a x +4a t + 4a t e z / dz }} π ( + 4a t exp a x. (8 + 4a t Per a 3, otteniamo dunque la soluzione richiesta, ovvero ( 3x u(x, t exp + 4 3t + 4. 3t 3 Scritto del 4 Febbraio 03 Problema. Trovare una famiglia di soluzioni u(x, t; s, dove s 0 è un parametro, del problema di Cauchy u tt (x, t; s u xx (x, t; s, x (, +, t > 0, u(x, t; s ts u t (x, t; s ts cos(x. Soluzione. Fissiamo s 0, e sia u(x, t; s la soluzione cercata. Definiamo v(x, t : u(x, t + s; s per x R e t > 0. Si ha allora banalmente che v x (x, t u x (x, t + s; s e v xx (x, t u xx (x, t + s; s; inoltre, poiché per fissato s si ha d (t + s, vale anche dt che v t (x, t u t (x, t + s; s e v tt (x, t u tt (x, t + s; s. Conseguentemente, la funzione v(x, t soddisfa il problema v tt (x, t v xx (x, t, x (, +, t > 0, v(x, t t0 u(x, s; s v t (x, t t0 u t (x, s; s cos(x. Tale sistema non è nient altro che un usuale problema di Cauchy per l equazione delle onde, e può pertanto essere risolto tramite la formula di D Alembert. Otteniamo dunque v(x, t x+t x t cos(y dy [sin(y]yx+t yx t sin(x + t sin(x t. 8
Avremo dunque che u(x, t; s u(x, (t s + s; s v(x, t s sin(x + t s sin(x t + s. Problema. Trovare la soluzione u(y, z del problema di Cauchy inomogeneo ( 4 u zz (y, z + 4 u yz (y, z cos y z, y (, +, z > 0, u(y, z z0 u z (y, z z0 0. [Suggerimento: ridurre alla forma canonica e usare il Problema.] Soluzione. I coefficienti dell equazione sono a(x, y 4, b(x, y, c(x, y 0. Ricaviamo quindi che b ac 4 > 0 ovvero l equazione è di tipo iperbolico. La forma canonica per l equazione sarà quindi del tipo b(q, p u q p + 0. Le equazioni per le caratteristiche sono dunque dy dz ± 4 quindi l espressione per le caratteristiche è Invertendo tali relazioni si ottiene 0 q φ(y, z y, p ψ(y, z y z. y q, z q p. Usando la regola di derivazione della funzione composta, ricaviamo che y q y z q z q + p y q + p z p q + p, p p, da cui segue che 4 z + 4 y z q p. 9
In conclusione, la forma canonica del problema di Cauchy in questione è ( q + p 4u qp (q, p cos, u(q, p qp u p (q, p qp 0. Integrando l equazione rispetto a q, otteniamo ( ( q + p q + p 4u p (q, p dq cos sin + f(p (la costante d integrazione f dipende da p, perché abbiamo integrato rispetto a q. Imponendo la seconda condizione iniziale, otteniamo che per q p 0 sin(p + f(p f(p sin(p ovvero ( q + p 4u p (q, p sin sin(p. Integrando ora rispetto a p, otteniamo [ ( ] ( q + p q + p 4u(q, p dp sin sin(p 4 cos + cos(p + g(q (di nuovo, la costante d integrazione g dipende da q, perché abbiamo integrato rispetto a p. Imponendo la prima condizione iniziale, otteniamo che per q p 0 4 cos(q + cos(q + g(q g(q cos(q. In conclusione, abbiamo la soluzione ( q + p u(q, p cos cos(q cos(p ovvero, nelle variabili originarie, u(y, z cos ( y z cos(y z cos(y. Problema 3. Trovare la soluzione u(x, t del problema di Cauchy u t (x, t u xx (x, t, x (, +, t > 0, u(x, t t0 e x. Soluzione. Usiamo direttamente l equazione (8 ricavata in precedenza, ottenendo u(x, t exp ( x. + t ( + t 0
4 Scritto del Giugno 03 Problema. Trovare la soluzione u(x, t di u tt (x, t u xx (x, t sin(x, x (, +, t > 0, u(x, t t0 u t (x, t t0 0. Soluzione. Cerchiamo l espansione in serie di Fourier della soluzione: u(x, t a 0(t + (a n (t cos(nx + b n (t sin(nx, n e quindi u t (x, t ȧ0(t ( + ȧ n (t cos(nx + ḃn(t sin(nx, n u xx (x, t n (a n (t cos(nx + b n (t sin(nx. n Imponendo che u(x, t siffatta risolva il problema richiesto, otteniamo i seguenti infiniti sistemi di equazioni differenziali ordinarie: ä n (t + n a n (t a n (t t0 ȧ n (t n 0, t0 bn (t + n b n (t δ,n, b n (t t0 ḃ n (t n. t0 Le soluzioni di questi problemi sono a n (t 0 per n 0 e b n (t 0 per n. L unico problema non banale è quello per il coefficiente b (t: b (t + b (t, b (t t0 ḃ (t t0 0. La soluzione generale dell equazione differenziale è b (t + c cos(t + c sin(t, c, c R.
Imponendo le condizioni per t 0 si ottiene immediatamente c e c 0. Abbiamo dunque che la soluzione del problema richiesto è u(x, t ( cos(t sin(x. Problema. Trovare la soluzione u(x, t di u t (x, t u xx (x, t, x (, +, t > 0, u(x, t t0 cos(x e x. Soluzione. Utilizziamo la formula integrale di Poisson per la soluzione dell equazione del calore: u(x, t e (x y cos(y e y dy. πt Scriviamo Occorre quindi calcolare u ± (x, t : πt x πt e cos(y eiy + e iy. e (x y e ±iy e y dy ( ( y e ±iy exp x πt e exp x ( ( + + y xy dy completando il quadrato. Effettuiamo ora la sostituzione z y + x, + e ±iy exp y + x + dy da cui Osservando che y z + x + + e dy + ( ( + +, + dz.
calcoliamo u ± (x, t πt e x + e ±i x + x ±i e + π + ( ( + exp i z e z / dz + + e ip ±z e z / dz, dove p ± t/ +. Nell integrale che compare al membro destro dell ultima uguaglianza riconosciamo la trasformata di Fourier della funzione gaussiana f(z e z / : π e ip ±z e z / dz π e p ± /, In conclusione, otteniamo che quindi u(x, t u +(x, t + u (x, t t e + e i x + + e i x + + t ( e + x cos + + + e ip ±z e z / dz e π exp ( x exp ( x + +. t +. 3