Laurea Magistrale Ingegneria Meccanica A.A. 011 / 01 Cenni ad aspetti non classici per problemi di instabilità dell equilibrio equilibrio G. Vairo - Complementi di Scienza delle Costruzioni (Ing. Meccanica)
Instabilità Euleriana dei pannelli 1 Il caso di pannelli semplicemente appoggiati sul contorno l a F F [N/m] 1 1 F cr = Dπ l + l a per l < a D F cr 4π a per l a h D = 3 Eh 1(1 ν )
Problemi di instabilità Euleriana La linearità di comportamento in fase precritica implica che la configurazione fondamentale si possa valutare in ipotesi di piccoli spostamenti/deformazioni Biforcazione dei percorsi di equilibrio Le condizioni critiche di instabilità intese in senso sia dinamico che statico coincidono
Problemi di instabilità Euleriana 3 Instabilità per diramazione stabile
Problemi di instabilità Euleriana 4 Instabilità per diramazione instabile! Maggiore sensibilità alle imperfezioni (P/P*<1)
Problemi di instabilità Euleriana 5 Instabilità per diramazione instabile! Maggiore sensibilità alle imperfezioni (P/P*<1)
6 Pur se comprende molte situazioni di notevole rilevanza ingegneristica, la categoria dei problemi Euleriani non esaurisce tutti i casi di interesse Problemi non Euleriani comportamento non elastico del materiale forze non conservative non linearità di comportamento anche per bassi carichi Non si hanno biforcazioni nei percorsi di equilibrio Instabilità in senso dinamico e statico possono non coincidere
7 Non-linearit linearità anche per bassi carichi F l 1 α EI k k
10 Non-linearit linearità anche per bassi carichi α F F kl = 1 tan θ (sin θ sin α) 1 θ δ k N 1 N F k δ k θ N N 1 = N = F cosθ N N1 δ = sin θ = sin θ = k k δ = l(sin θ sin α) F k tan θ
11 Non-linearit linearità anche per bassi carichi α F 1 θ k N 1 = N = F cosθ k F kl = 1 tan θ (sin θ sin α) β = π EI 3 kl F E π EI FE = cosθ = βcosθ l kl
1 F E kl ( β = 0.3) Snap-through (instabilità a scatto) B F kl B F E kl ( β = 0.15) A A α π F π EI FE = cosθ = βcosθ l kl π EI β = kl E 3 F kl = 1 (sin θ sin α) tan θ
13 Non-linearit linearità anche per bassi carichi Snap-through (instabilità a scatto) Tipica di archi e volte Non esistono biforcazioni nei percorsi di equilibrio
14 Instabilità dinamica in presenza di forze non conservative
15 sistema conservativo sistema non conservativo P P forza follower gradi di libertà
16 sistema conservativo Equilibrio a rotazione linearizzato a precedere e seguire rispetto alla cerniera interna
17 sistema conservativo Equilibrio dinamico
18 sistema conservativo Equilibrio statico ricerca soluzione non banale p 1 e p corrispondono a condizioni di biforcazione nei percorsi di equilibrio
19 sistema conservativo Equilibrio dinamico problema lineare agli autovalori (ω )
0 sistema conservativo det =0
1 sistema conservativo ω, ω > 0 ω1, 1 ω reali
sistema conservativo DIVERGENZA
3 sistema conservativo ω1, ω < 0 frequenze complesse a parte reale nulla DIVERGENZA
4 sistema non conservativo Non esistono punti di biforcazione
5 sistema non conservativo Analisi statica (no inerzie) Non esistono punti di biforcazione secondo un analisi statica il sistema non dovrebbe soffrire instabilità per ogni valore del carico
6 sistema non conservativo Analisi dinamica problema lineare agli autovalori (ω )
7 sistema non conservativo det = 0 p p ω, ω > 0 ω1, 1 ω reali STABILITA
8 sistema non conservativo p 4 ω, ω < 0 ω1, 1 ω complessi a parte reale nulla DIVERGENZA
9 sistema non conservativo < p < 4 autovalori complessi coniugati
30 sistema non conservativo < p < 4 @ Eq. @
31 sistema non conservativo
3 Flutter Tacoma Narrows Bridge (1940)
schematizzazione del ponte investito dal vento 33 Le forze del vento si accoppiano con la risposta della struttura
34 k = k 1
35 Flutter 1 dof dof flessionale
36 Flutter 1 dof dof torsionale
37 Flutter dof
38 Generazione della parturbazione
39 Interazione fluido-struttura
40 Interazione fluido-struttura
41 Interazione fluido-struttura