e azioni interne
Significato e definizione delle azioni interne a schematizzazione delle strutture (siano essi componenti meccanici, civili o dispositivi medici a funzione strutturale), oltre al calcolo delle reazioni vincolari, richiede che si individui il modo in cui le forze esterne applicate si trasmettono al loro interno Come vedremo in seguito, uesto aspetto è di particolare rilevanza, perché la conoscenza di tali forze interne è funzionale al calcolo delle sollecitazioni che a loro volta, confrontate con le caratteristiche dei materiali che sono impiegati per la realizzazione della struttura, forniscono la risposta che l ingegnere si attende ogniualvolta progetta a struttura resiste? a struttura è in grado di assolvere i compiti per i uali è stata progettata? e forze interne (che chiameremo azioni interne) possono essere messe in evidenza aprendo (tagliando) la struttura in un punto ualsiasi. apertura euivale all eliminazione di un vincolo completo (incastro) che identifica la continuità dell asta e si esplicita nel mettere in evidenza le forze (due nel piano) e i momenti (uno nel piano) scambiati tra le due porzioni di struttura separate.
Significato e definizione delle azioni interne P P S H seguito di tali operazioni, devono comunue essere rispettate due regole: 1. ale il principio di azione e reazione, ossia le azioni presenti su una parte della struttura ottenuta dalla separazione sono uguali e contrarie alle azioni presenti sulla restante parte;. e due parti di struttura ottenute devono a loro volta essere in euilibrio sotto l effetto delle azioni esterne che le competono e considerando le azioni interne scambiate.
Significato e definizione delle azioni interne Quindi, interrompendo la continuità di un asta, della uale sono note le azioni e le reazioni, per l euilibrio, nella sezione che si realizza con il «taglio» è necessario introdurre 3 azioni interne chiamate,,, uguali e contrarie sui due spezzoni di asta S zione ormale aglio omento flettente.. a sezione S deve essere normale all asse dell asta
Calcolo delle azioni interne Il calcolo delle azioni interne viene fatto in maniera semplice: è sufficiente scrivere le euazioni di euilibrio delle forze agenti sulla porzione di corpo. el caso in cui la struttura sia vincolata è necessario prima individuare il valore delle reazioni vincolari e successivamente calcolare il valore delle tre azioni incognite, e. a porzione di corpo analizzata può essere considerata un corpo soggetto ad un sistema di forze nel uale tre sono incognite. e euazioni cardinali della statica forniscono le tre euazioni necessarie alla risoluzione del problema. e azioni interne ad un corpo sono considerate positive secondo i versi indicati in figura. ZIOE ORE Positiva se uscente (di trazione) GIO Positivo se induce una rotazione oraria della porzione considerata (concio) OEO EEE Positivo se tende le fibre inferiori del corpo
Calcolo delle azioni interne e azioni interne, come detto, sono di fatto forze e momenti e dunue si misurano: ZIOE ORE in ewton [] GIO in ewton [] OEO EEE in ewton metro [ m] o ewton millimetro [ mm] Sono dipendenti dalla sezione nella uale si considerano (uindi dipendono dalla coordinata che si assume per il calcolo) Si possono determinare, ottenendo lo stesso risultato in termini di valore assoluto, nello spezzone di struttura a destra o a sinistra del taglio Il calcolo delle azioni interne assume un significato importante se esteso a tutto il corpo (o a tutta la struttura) perché fornisce informazioni fondamentali per il progetto entità e la tipologia delle azioni interne, nonché il loro andamento all'interno del corpo influenzano la progettazione della forma e dei materiali con i uali il corpo deve essere realizzato. andamento delle azioni interne viene rappresentato mediante dei diagrammi. I diagrammi vengono rappresentati lungo una linea che percorre il corpo nel suo sviluppo tridimensionale (o nel piano)
Esempio 1 l P ensola (trave incastrata ad una estremità) caricata con forza concentrata all altro estremo H P Reazioni incolari H P P l Per il calcolo delle azioni interne è sufficiente aprire il corpo in un punto ualunue (visti i vincoli e i carichi) e scrivere le euazioni di euilibrio per le forze agenti sulla porzione di struttura. Detta la distanza tra il punto in cui si apre" la struttura e il punto, due sistemi sono euivalenti
Esempio 1 Per il calcolo delle azioni interne è sufficiente aprire il corpo in un punto ualunue (visti i vincoli e i carichi) e scrivere le euazioni di euilibrio per le forze agenti sulla porzione di struttura. P l- Scriviamo le euazioni cardinali della statica per entrambe le porzioni di struttura P P Pl P P l Sinistra I due sistemi sono EQUIEI Destra ( )
Esempio 1 Quindi la soluzione è: P l- Da cui si evince che: P P l P azione interna assiale è U azione interna di taglio è COSE azione interna di momento è RIIE IEREE
Esempio 1 Convenzionalmente i diagrammi delle azioni interne si riportano al di sotto della struttura originaria (in genere si riporta prima, poi e infine ) H P P l P P Pl
Esempio H l l a l a a l H Reazioni incolari rave semplicemente appoggiata caricata con forza concentrata posta a distanza a dalla cerniera sinistra Per il calcolo delle azioni interne è sufficiente aprire il corpo in un punto ualunue e scrivere le euazioni di euilibrio per le forze agenti sulla porzione di struttura considerata a b
Esempio l b l a l- b ( ) l b l b Quando si arriva all ascissa corrispondente alla posizione del carico concentrato si incontra una discontinuità nelle azioni interne che riguarda sia l azione di taglio sia il momento flettente Il calcolo delle azioni normali deve essere uindi fatto suddividendo l asta in campi corrispondenti alla posizione dei carichi (uesto vale in generale) origine del sistema di riferimento può essere cambiata (partire da destra o da sinistra). Resta inteso che, per una data posizione dell asta, il valore delle azioni interne deve essere lo stesso ualunue sia l origine scelta a
Esempio l b l a l a l a ) ( b isso l origine del sistema di riferimento nel punto
Esempio H b l a l b a a l
Esempio 3 45 P rave appoggiata agli estremi caricata con forza concentrata inclinata di 45 applicata in mezzeria l l/ H 45 P a forza applicata alla struttura può essere scomposta secondo le direzioni orizzontale e verticale H P P y P P cos 45 P P P sen 45 P
Esempio 3 H P P y Reazioni incolari H P P 4 P 4 Per il calcolo delle azioni interne si può aprire il corpo in due punti: a sinistra e a destra del carico applicato. Supponiamo inizialmente di aprire a sinistra H P P y l-
Esempio 3 H P P y l- Imponendo l euilibrio alla porzione di struttura a sinistra si ottiene: H H Supponiamo ora di aprire in un punto a destra della forza applicata e ripetiamo il calcolo. Ora l origine degli assi si trova in corrispondenza dell estremo
Esempio 3 H P P y l- acendo variare tra e l/ nei due casi, possiamo tracciare i diagrammi delle azioni interne
Esempio 3 H P P y H P 4 prendo a sinistra del carico prendo a destra del carico IPORE P 4 Il punto in cui è applicata la forza verticale (orizzontale), rappresenta un punto di DISCOIUI per l andamento del taglio (azione normale) H P l P l 4 ratti contigui devono avere uguali valori del momento flettente (se non sono presenti coppie concentrate)
Effetto del carico ripartito Uno dei casi di maggior interesse si verifica uando si applicano sulla struttura forze distribuite in direzione normale all asse della struttura nalizziamo il caso di una mensola incastrata e sottoposta ad un carico p() di andamento generico, ad una forza concentrata e ad un momento W concentrato (ueste ultime due applicate nell estremo libero) Per calcolare le azioni interne di una struttura di uesto tipo si possono seguire due strade Il metodo DIREO Il metodo DIEREZIE
etodo diretto Per calcolare le azioni interne ad una certa distanza c all estremo libero si deve idealmente tagliare la struttura e mettere in evidenza le componenti delle azioni interne, ed. In uesto caso è certamente nulla perché non sono presenti carichi assiali Restano da determinare i valori del aglio e del omento lettente aglio: utto il tratto compreso tra l estremo libero e c ( c) deve stare in euilibrio, uindi l azione tagliante deve euilibrare la risultante di tutte le forze verticali applicate prima della sezione. Si ha uindi: c df c df c p ( ) d
etodo diretto Il momento flettente si ricava imponendo l euilibrio dei momenti di tutte le forze che sono applicate prima della sezione di interesse intorno ad un ualsiasi punto. Scegliendo proprio il punto di sezione come polo si ha: ( ) ( ) ( ) c c d c p c W c df c W ( ) c df c W c
etodo differenziale In uesto caso si prende in esame un elementino della struttura di lunghezza d come uello mostrato in figura. Questo deve rimanere in euilibrio sotto l azione delle forze esterne e delle azioni interne che scambia con la rimanente parte della struttura Se il sistema di riferimento è scelto in modo tale che la coordinata cresca procedendo da sinistra verso destra, il momento flettente varierà di una uantità d, mentre il taglio di una uantità d Per l euilibrio alla traslazione verticale si avrà: p d ( d ) dividendo tutto per d: d d p p d d Quindi la derivata del taglio è uguale all intensità del carico distribuito
etodo differenziale altra euazione di euilibrio si scrive imponendo che sia nulla la somma di tutti i momenti applicati al tratto di struttura di lunghezza d. ssumendo come positive le rotazioni orarie si ha: d p d d ( d ) enendo conto che il termine d si può trascurare (infinitesimo di ordine superiore) si ottiene: d d Quindi la derivata del momento è pari (a meno del segno che dipende dalla convenzioni adottate) all azione tagliante
etodo differenziale Dalle euazioni ottenute attraverso l impiego del metodo differenziale d d p d d si possono trarre alcune interessanti considerazioni: 1. Quando su una struttura non è applicato un carico distribuito, allora il taglio è costante, poiché la derivata deve essere nulla, mentre il momento varia linearmente perché la sua derivata è costante. Se, invece, è applicato un carico uniformemente distribuito, allora il taglio ha andamento lineare e il momento flettente varia con legge parabolica
Esempio 4 rave appoggiata agli estremi caricata con carico uniformemente ripartito per tutta la sua lunghezza H l l l Reazioni incolari H Il carico uniformemente ripartito si esprime in termini di forza per unità di lunghezza (/m). oltiplicando il valore del carico ripartito per la lunghezza sulla uale è distribuito si ottiene la forza totale applicata. Questa si può immaginare applicata nel baricentro. ttenzione: uesta schematizzazione E SOO PER I CCOO DEE REZIOI ICORI
Esempio 4 priamo la struttura in una posizione generica per calcolare le azioni interne l- H Imponendo l euilibrio alla porzione di struttura a sinistra si ottiene: H
Esempio 4 H IPORE l l a sezione della trave dove si registra il momento flettente massimo è anche uella per la uale il taglio assume valore nullo Il taglio è la derivata del momento flettente ma l 8 Per trovare il punto di massimo del momento flettente, derivare la sua espressione ed eguagliarla a zero
Esempio 5 15 /m l 1 m H 5 1 rave incastrata ad una estremità con carico uniformemente distribuito su tutta la lunghezza e carico concentrato orizzontale e verticale applicati all estremità libera H Reazioni incolari 5 1 omenti calcolati rispetto al punto H H 5 l 1511 5 l l 151 11 5 m
Esempio 5 priamo la struttura in una posizione generica per calcolare le azioni interne l- H Imponendo l euilibrio alla porzione di struttura a sinistra si ottiene: H H 5 15 5 H
Esempio 5 priamo la struttura in una posizione generica per calcolare le azioni interne H H l- COSIDERZIOI: azione normale è COSE EGI (compressione) Il taglio RI IEREE con la distanza. Il punto di intersezione (zero) si trova mediante l euazione 5 15 5 15 5 15.33m.33 1 5 1
Esempio 5 priamo la struttura in una posizione generica per calcolare le azioni interne H H l- Per uanto riguarda il momento flettente occorre considerare che ogni porzione di carico ripartito fornisce un contributo al momento che ha un espressione del tipo: ( forza) ( braccio) uindi globalmente si ha a che fare con una variazione di tipo uadratico d esempio, imponendo l euilibrio sulla porzione destra della trave (punto Z) si ha:
Esempio 5 5 H 5 5 5.33 m 15 /m H 5 1 1 515 5.33m 15 5 333.33 a.33.33.33 333.33 m
Esempio 6 a b rave appoggiata agli estremi caricata con una coppia concentrata in una sezione distante a dall estremo sinistro Reazioni incolari H H C C Come si poteva immaginare, le reazioni sono uguali e contrarie (il segno ipotizzato della reazione deve essere invertito) perché la coppia concentrata deve essere euilibrata da un altra coppia uguale e contraria a posizione della coppia applicata è influente?
Esempio 6 Imponendo l euilibrio alla porzione di struttura a sinistra si ottiene: C C Il taglio è COSE azione normale è U Il momento flettente RI IEREE nche in uesto caso è conveniente effettuare il calcolo dall estremo sinistro fino alla discontinuità (rappresentata dalla coppia concentrata) e dalla coppia concentrata al carrello destro.
Esempio 6 H C C a C b
Esempio 7 rave a sbalzo semplicemente appoggiata caricata all estremo sinistro con una forza concentrata a a a H Reazioni incolari H b C C 1 a a
Esempio 7 C Per calcolare le azioni interne dividiamo il campo della lunghezza della struttura in due parti, in corrispondenza della reazione a presenza delle forze concentrate suggerisce l esistenza di discontinuità nei diagrammi delle azioni interne a a a 1 b b
Esempio 7 C b
Esempio 7.5 ernasconi P a b P H
Esempio 7.11 ernasconi P P P l l l l 4l P P H P H Rcos45 Rsin45
Esempio 8 / / H H H 1 Reazioni incolari
Esempio 8 / H H H
Esempio 8 / H nalizziamo l andamento del taglio e del momento flettente nella porzione di asta ERICE
Esempio 8 / H azione normale è di COPRESSIOE Il aglio varia IEREE (negativo secondo le convenzioni)
Esempio 8 / H H nalizziamo l andamento del taglio e del momento flettente nella porzione di asta ORIZZOE
Esempio 8 / H H H
Esempio 8 H H EZIOE: ersi e andamenti dei diagrammi delle azioni interne sono dipendenti dai valori di e. seconda delle proporzioni che essi assumono l uno rispetto all altro si possono presentare situazioni differenti
Esempio 8 RIEPIOGO: ZIOE ORE (compressione) H
Esempio 8 RIEPIOGO: GIO H
Esempio 8 OEO EEE H omento flettente dovuto al solo carico ripartito. ende le fibre superiori
ltri tipi di carico distribuito l l p P P 3 1 l l p P P 4 3 3 1 Carico riangolare: varia con legge l p p ) ( Carico Parabolico: varia con legge ) ( l p p