Ingegneria Elettrica Politecnico di Torino Luca Carlone ControlliAutomaticiI LEZIONE I
Sommario LEZIONE I Introduzione al concetto di sistema Notazione e tassonomia Rappresentazione in variabili di stato Equazioni di stato per reti elettriche Esempi ed esercizi numerici
Introduzione allo studio dei sistemi Un sistema è un oggetto, fenomeno o processo di cui si vuole studiare il comportamento Alcuni esempi di sistema: Reti elettriche Sistemi meccanici Dispositivi elettromeccanici Sistemi economici Sistemi biologici
Introduzione allo studio dei sistemi Sistema Sistema Reale Modello matematico Predizione Validazione Controllo
Notazione e tassonomia u(t) Sistema x(t) y(t) u: ingressi del sistema y: uscite del sistema x: stati del sistema Grandezze terminali Grandezze interne al sistema
Notazione e tassonomia Ingressi del sistema: Sono le variabili che, agendo dall esterno sul sistema, ne influenzano l evoluzione Uscite del sistema: Corrispondono alle grandezze di cui si vuole conoscere l andamento nel tempo Sono le variabili del sistema che possono essere misurate Stati del sistema: Caratterizzano l evoluzione interna del sistema
Notazione e tassonomia u(t) Sistema x(t) y(t) MIMO: Multiple- Input-Multiple- Output SISO: Single- Input-Single- Output
Notazione e tassonomia Un sistema può essere: Causale: l uscita non dipende da valori futuri degli ingressi Anticausale: l uscita dipende da valori futuri degli ingressi Continuo: l evoluzione del sistema avviene in un insieme di tempi T continuo Discreto: l evoluzione del sistema avviene in un insieme di tempi T discreto Tempo-invariante: i parametri del sistema sono costanti Tempo variante: i parametri del sistema variano nel tempo.
Rappresentazione in variabili di stato u(t) Sistema x(t) y(t) Per descrivere la struttura interna del sistema si utilizzano relazioni matematiche tra grandezze terminali, grandezze interne e le loro variazioni nel tempo (derivate): xɺ ( t) = f ( x( t), u( t), t) y( t) = g( x( t), u( t), t)
Rappresentazione in variabili di stato Considerando un sistema lineare possiamo riscrivere le equazioni utilizzando la notazione matriciale: xɺ ( t) = A( t) x( t) + B( t) u( t) y ( t ) = C ( t ) x ( t ) + D ( u ) u ( t ) Nell ipotesi di avere un sistema lineare tempoinvariante: xɺ ( t) = Ax( t) + Bu( t) y( t) = Cx( t) + Du( t)
Rappresentazione in variabili di stato n m..... A =... B.. n =........ C =... n m q.. D =.. n q n: dimensione del vettore delle variabili di stato x(t) (numero di variabili di stato) m: dimensione del vettore u(t) (numero di ingressi) q: dimensione del vettore y(t) (numero di variabili in uscita al sistema)
Equazioni di stato per reti elettriche Esempio di sistema elettrico:
Equazioni di stato per reti elettriche Indicazioni per otterene rappresentazione ingresso-stato-uscita: 1. Identificare ingressi e uscite 2. Stabilire quali sono gli stati del sistema 3. Impostare equazioni 4. Utilizzare le equazioni costitutive dei componenti per formulare il modello ingresso-stato-uscita
Equazioni di stato per reti elettriche 1. Identificare ingressi e uscite In applicazioni reali sono definiti a priori dalla tipologia del sistema, dai sensori, dagli attuatori e dagli eventuali disturbi Negli esercizi del corso sono solitamente specificati nella traccia In genere gli ingressi delle reti elettriche sono: Correnti imposte da generatori di corrente Tensioni imposte da generatori di tensione
Equazioni di stato per reti elettriche Esempio: Ingresso Uscita
Equazioni di stato per reti elettriche 2. Stabilire quali sono gli stati del sistema Solitamente per reti elettriche corrispondono a: Correnti negli induttori Tensioni sui condensatori Le resistenze, essendo prive di dinamica (secondo la legge di Ohm) non introducono stati nei sistema
Equazioni di stato per reti elettriche Esempio: Stati del sistema
Equazioni di stato per reti elettriche 3. Impostare equazioni È necessario definire un numero di equazioni uguale al numero di stati del sistema Gli strumenti principali per definire le suddette equazioni sono: Legge di Kirchhoff per le tensioni alle maglie Legge di Kirchhoff per il bilancio delle correnti ai nodi Altre semplici relazioni elettriche: Nodi cortocircuitati condividono la stessa tensione rispetto ad un riferimento comune La corrente che scorre nei componenti di uno stesso ramo del circuito è la medesima
Equazioni di stato per reti elettriche Esempio: Eq. Kirchhoff per correnti i L Eq. Kirchhoff per tensioni
Equazioni di stato per reti elettriche 4. Utilizzare le equazioni costitutive dei componenti per formulare il modello ingresso-stato-uscita V R Le principali equazioni costitutive per reti elettriche sono: = R i R dv C ic = C dt di L VL = L dt
Esempi ed esercizi numerici