Calcolo algebrico Maria Simonetta Bernabei & Horst Thaler
CALCOLO LETTERALE Perché? E opportuno rappresentare i numeri con lettere dell alfabeto per fare affermazioni che valgono indipendentemente dal valore dei numeri.
POTENZE Dato un numero reale a ed un numero naturale n, si dice potenza ennesima di a a n = a a a n volte Esempio: = = 9 = = 4 = = 8.
PROPRIETA DELLE POTENZE Dati a, b R, m, n Z a n a m = a n+m, a n = 1 a n, a 0 a n : a m = a n m, a 0 a: b n = a n : b n, b 0 (ab) n = a n b n, (a n ) m = a nm, a 0 = 1, a 0
ESEMPI = 5 4 : = 1 = = 6 5 : 5 0 = 5 8 0 = 1 4 = 1/ 4 e e e 4 = e = + = 5 =.
RADICALI Si dice radice n-sima (n N) del numero reale a il numero b tale che b n = a. Si scrive: b n a La radice ennesima (n N) della potenza a m si scrive: a m n n a m 6
PROPRIETA DEI RADICALI m kn km n a a m n a mn a n a n b n ab n m a n a m n a b m n n m a b n n a b n a b b 0 7
ESERCIZI 4 4 a a a 6 a 4 8 4 5 4 5 a a 5 5 4 4 5 1 1 5
ESPRESSIONE NUMERICA E LETTERALE Una espressione numerica è un insieme di operazioni da eseguire su determinati numeri secondo un determinato ordine: 1 + 8 + 5 4 = Una espressione letterale è una espressione numerica in cui i numeri sono in tutto o in parte rappresentati da lettere: a + b c + d e =
MONOMIO Definizione e caratteristiche Una espressione letterale in cui sono presenti solo le operazioni di moltiplicazione, divisione ed elevamento a potenza: Esempio: ab = coefficiente; ab = parte letterale
ESEMPI ab è un monomio y non è un monomio Diciamo che un monomio è scritto in forma normale se è il prodotto di un coefficiente numerico per una o più lettere, ciascuna con il proprio esponente e tutte diverse tra loro. ESEMPI b y b y b è in forma normale non è in forma normale 11
Grado di un monomio Grado complessivo del monomio è la somma degli esponenti delle lettere del monomio Grado del monomio rispetto a una lettera è l esponente con cui tale lettera compare nel monomio Due monomi si dicono simili se hanno la stessa parte letterale (lettere ed esponenti): ab è simile con ab Esempio: ab è un monomio di grado complessivo, di grado 1 rispetto ad a, di grado rispetto a b.
1 Operazioni tra monomi: somma La somma di due monomi simili è un monomio simile a quelli dati il cui coefficiente numerico è la somma algebrica dei coefficienti dei due monomi. ESEMPIO b y 5 + 1b y 5 = + 1 b y 5 = 10b y 5 Se i monomi non sono simili, la somma non si può esprimere come un unico monomio. ESEMPIO 1 4 ab 1 y 1 4 ab 1 y
Operazioni tra monomi: differenza Per sottrarre due monomi si somma il primo con l opposto del secondo. L opposto di un monomio si ottiene cambiandolo di segno. Es.: ab è l opposto di ab ESEMPI: 4 4 = 4 4 = 5 4 a y 6a = a y + 6a ADDIZIONE di monomi SOMMA ALGEBRICA di monomi SOTTRAZIONE di monomi 14
Operazioni tra monomi: moltiplicazione Per moltiplicare due o più monomi, usiamo le proprietà commutativa ed associativa del prodotto per raggruppare la parte numerica e quella letterale. Per la parte letterale vengono applicate le proprietà delle potenze.
Esercizi Svolgere le seguenti moltiplicazioni tra monomi a. b. 7 = 14 = 8c 7 d 4 e c. = 1 4 a4 b 10 d. 5uv u v 4 = 10u v 7 e. y 6 4 y = 6 6 y 5
17 Operazioni tra monomi: divisione Dati due monomi A e B, con B 0, si dice loro quoziente il monomio C, se esiste, che moltiplicato per B dà il monomio A. ESEMPIO 8 y : y = 1 y Il primo monomio è divisibile per il secondo monomio.
18 Operazioni tra monomi: potenza La potenza di un monomio si ottiene facendo la potenza del coefficiente e della sua parte letterale ESEMPI a b = 4 9 a4 b 6 1 a b = 1 7 a b 9
19 Massimo Comun Divisore di più monomi Il massimo comun divisore tra due o più monomi (M.C.D.) è il monomio di grado più alto che li divide tutti. Per calcolare il M.C.D. Si calcola il M.C.D. dei coefficienti se sono interi e si pone uguale a 1 negli altri casi (il segno è sempre positivo). Si calcola il prodotto dei fattori comuni ai monomi dati, presi una sola volta con il minimo esponente.
Esempi: M.C.D. 9a b ; a b 4 c ; 1a b = a b M.C.D. y; y ; y z = y
1 Minimo comune multiplo di più monomi Il minimo comune multiplo tra due o più monomi (m.c.m.) è il monomio di grado minimo che è multiplo di tutti. Per calcolare il m.c.m. Si calcola il m.c.m. dei coefficienti se sono interi e si pone uguale a 1 negli altri casi (il segno è sempre positivo) Si calcola il prodotto di tutti i fattori, comuni e non comuni, presi una sola volta con il massimo esponente.
Esempi: m.c.m. 9a b ; a b 4 c ; 1a 6 b = 6a 6 b 4 c m.c.m. ( y; y ; y z) = y z
Esercizi 1. Semplificare la seguente espressione 1 a 4 ab 1 ab : b. Semplificare la seguente espressione [ 11 18 a b] 4 y 1 y 9 y + y 4 y4 4 y 5. Semplificare la seguente espressione ab a b 5 a b b + 4ab a b [ 5a 4 b 10 a b ]
Polinomi Un polinomio è la somma algebrica di più monomi Il grado di un polinomio è il massimo grado dei monomi che lo compongono. Esempio: ab ab + a È un polinomio di grado.
Somma di polinomi La somma tra più polinomi si effettua sommando tra loro i monomi simili. Esempio: a b ab + b a b + ab + b = a b ab + b a b ab b = 1 a b + ( )ab = a b 4ab
Esempi 4 5 7 4 5 7 4 5 7 4 7 5 8 7 5 8 7 5 8 8 8 10
Moltiplicazione di un polinomio per un monomio 6 y 6 y 7 y yy 7y 18 y 9y 1y 4 7 7 7 4 7 5 6 14 4 14
Moltiplicazione di un polinomio con un monomio Nella moltiplicazione tra un polinomio ed un monomio viene applicata la proprietà distributiva:
Esercizi a. = 8 t 6 t b. = 1 a 4 6 a + a c. ab ab 5a b = 6 a b + 10a b a b d. y y 5y = 9 y y 15 y
Moltiplicazione di Polinomi Di nuovo la proprietà distributiva sarà per moltiplicare tra loro polinomi contenenti più di un termine. Usando la proprietà distributiva il prodotto di due polinomi si ottiene moltiplicando ogni termine del primo polinomio con ogni termine del secondo.
Esempio Moltiplicare i polinomi Moltiplicare ogni termine del primo polinomio con ogni termine del secondo. Applicare cioè la proprietà distributiva. Semplificare raccogliendo i termini simili.
Esercizi Moltiplicare i polinomi. = 0 4 y 1 y = y 5 y 7y + 10 (a b ) (a ab + b ) = a 4 a b 4a b + ab 4b 4
Prodotti notevoli In alcuni casi il prodotto di due polinomi può essere svolta senza bisogno di fare tutti i passaggi: Differenza di due quadrati Quadrato di un binomio
DIFFERENZA DI QUADRATI Moltiplicare ( )( + ) Primi termini: Termini esterni: Termi interni: Ultimi termini: Semplificando: 9 + -9 - I termini centrali si elidono + - - + -9 Differenza di quadrati.
DIFFERENZA DI QUADRATI ( + y) ( - y) = ( - y ) Infatti ( + y) ( - y) = y + y - y = ( - y ) Esempi: ( + y) ( - y) = (4 y ) (ab + c) (ab - c) = (4a b 6 c ) (y + ab) (y - ab) = (9 y 4a b )
Esempio: (y )(y + ) (y) () y 4 Esempio: (5a + 6b)(5a 6b) (5a) (6b) 5a 6b
QUADRATO DI UN BINOMIO Moltiplicare (a + b)(a + b) Primi termini: Termini esterni: a +ab I termini non si elidono a b Termini interni: Ultimi termini: +ab b a a +ab Sommando a + b =a +ab + b b +ab b
QUADRATO DI UN BINOMIO ( + y) = + y + y ( - y) = - y + y Esempi: (a b) = a 6ab +9b (a + b) = a + 4ab +4b ((/)a + b ) = (9/4)a + ab + b 4
Esempio: ( + 4) usando (a + b) = a + ab + b a è il primo termine, b è il secondo termine ( + 4) a = and b = 4 Sostituzione nella formula a + ab + b () + ()(4) + (4) Semplificare. + 8+ 16
Esempio: ( + y) usando (a + b) = a + ab + b ( + y) a = e b = y Sostituzione nella formula a + ab + b () + ()(y) + (y) Semplificando 9 + 1y +4y
( 5) = Esempio: ( 5) usando (a b) = a ab + b cambia solo il segno! () ()(5) + (5) 10 + 5 (4 y) = (4) (4)(y) + (y) 16 8y + y
Esercizi Calcolare le seguenti espressioni tra polinomi (applicare le operazioni della somma, differenza, del prodotto e semplificare dove possibile). 4 1. 7 7 9. 7 4. 5 4. 5y 6y 4 11y 5. 7 5 4 6. 7. 8 5 8. 4 7
4 4 1. 7 7 9. 7 7 7 9 7 4 7 7 9 5 1. + 5 = 9 + 6 15 4. 5y 6y 4 + 11y = 0y 0y + 55y 5
5. 7 5 + 4 = = 5 + 8 10 8 = = 7 + 8 10 6. + = = 4 4 9 7. 8 5 = 64 80 + 5 8. + 4(7 + ) = 6 + 8 + 4 = + 4
SCOMPOSIZIONE IN FATTORI Raccoglimenti a fattore comune: Mediante l uso dei prodotti notevoli Trinomio notevole
Raccoglimento a fattor comune Se i termini di un polinomio hanno tutti in comune uno o più fattori, questi possono, per la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma, venir raccolti (o messi in evidenza). Il polinomio risulterà allora scomposto nel prodotto tra il monomio formato da tutti i fattori comuni (cioè il monomio M.C.D. dei termini del polinomio) ed il polinomio quoziente tra il polinomio dato ed monomio raccolto. In altri casi si può mettere in evidenza un polinomio. Esempi: ab a ab = a(b a b) 6c d 1c d + cd = cd c 4cd + 1.
Esercizi Mettere in evidenza, se possibile, i fattori comuni. 1. 6 + 1 = ( + 4). 5 10 + 5 = 5( + 7). 16 y 4 z 8 y z + 1y z = = 4 y z(4 y z + y z)
Scomposizione con i prodotti notevoli: Differenza di due quadrati Esempio: 4 a b = (a + b)(a b) Notiamo che entrambi i termini sono quadrati perfetti ed una differenza 4 = = + a b = (a b)(a + b)
Esempio: y 6 5 y 6 = y e 5 = 5 y 6 5 = (y ) 5 = y 5 y + 5 a b = (a b)(a + b)
Esempi: 1. 16 = 4 = + 4 4. 1 49 81 = 1 7 9 = 1 7 + 9 1 7 9
Esercizi 1. 11 = ( + 11)( 11). 9y 169 = (y 1)(y + 1). 4 16 = + 4 4 = = ( + 4)( )( + )
QUADRATO DI UN BINOMIO + y + y = ( + y) - y + y = ( - y) Esempi: a 6ab +9b = (a b) a + 4ab +4b =(a + b) (9/4)a + ab + b 4 = ((/)a + b )
Approfondimento Guida agli errori da evitare -9y = (+y )(-y ) Errato, il primo coefficiente non è un quadrato perfetto 4a +5b = (a+5b)(a-5b) Errato, la somma dei quadrati non è scomponibile 49s t 4-16r = (49st +16r)(49st -16r) Errato, si sono scomposte le lettere e non i numeri. 4t -9s 4 = (t-s ) Errato, si è scambiata la differenza di quadrati con il quadrato del binomio
Fattorizzazione di un trinomio Fattorizzazione di un trinomio della forma: + a + b + ab = ( + a)( + b) Esempio: + 5 + 6 = + + + = ( + )( + )
Esempio: Il problema è trovare due numeri la cui somma è 6 e il cui prodotto è 8. Il fatto che il prodotto è positivo significa che entrambi i numeri sono positivi o entrambi negativi. -6 + 8 = ( - )( - 4) -6 = -4-8 = (-4) (-) Il fatto che la somma è negativa significa che entrambi i numeri sono negativi. Il prodotto 8 può essere scomposto come 4 o 4 ( ).
Esercizi. Scomporre in fattori i seguenti polinomi 1. 5 6 = ( 6)( + 1). 4 + 4 =. 9 5 = ( + 5)( 5) 4. a b 6a b + 9ab = ab(a 6ab +
4 Massimo Comun Divisore di più polinomi Il massimo comun divisore tra due o più polinomi (M.C.D.) è il polinomio di grado più alto che li divide tutti. Per calcolare il M.C.D. ESEMPI Si scompongono in fattori i polinomi Si calcola il prodotto dei fattori comuni ai polinomi dati, presi una sola volta con il minimo esponente. M.C.D. + 1 ; + 1 = + 1
4 Il minimo comune multiplo tra due o più polinomi (m.c.m.) è il polinomio di grado più basso che è divisibile per tutti i polinomi dati. Per calcolare il Si scompongono in fattori i polinomi m.c.m.: ESEMPI Minimo comune multiplo di più polinomi Si calcola il prodotto dei fattori comuni e non comuni ai polinomi dati, presi una sola volta con il massimo esponente. m. c. m. 4 + 1 ; ; + 1 = 4 + 1
Frazioni Algebriche Una frazione algebrica è un espressione letterale del tipo A con A e B monomi o polinomi e B 0. B Esempi: y 1 4 ; ab b a b
Semplificazione di una frazione algebrica L algoritmo per semplificare una frazione è il seguente: si scompongono numeratore e denominatore si individuano i divisori comuni, cioè il M.C.D. si dividono il numeratore e il denominatore per il loro M.C.D. Se il numeratore e il denominatore non hanno divisori comuni si dice che la frazione è irriducibile. 60
Semplificazione di una frazione algebrica Esempio: a 9a a a = a ( a ) a ( a) = a 61
Somma di frazioni algebriche Per sommare o sottrarre due o più frazioni algebriche, si deve seguire questa procedura: scomporre i denominatori delle frazioni e porre le condizioni di esistenza semplificare le frazioni che non sono irriducibili trovare il m.c.m. fra i denominatori ridurre tutte le frazioni allo stesso denominatore eseguire le addizioni e le sottrazioni e semplificare la frazione ottenuta se necessario
Somma di frazioni algebriche Esempio.1: 5 = 4 1. trovare il m.c.m. dei denominatori per ridurre la frazione ad uno stesso denominatore: m.c.m. ; 4 = 4 ;. Dividere il m.c.m. trovato al passo 1) per ciascun denominatore e moltiplicare il risultato ottenuto per il corrispondente numeratore della frazione. Ad esempio: 4 : =. Quindi 5 va moltiplicato per, e così via.
Frazioni Algebriche Es.1: 5 5 1 4 = 4 = 10 4 ;. Semplificare il numeratore dell unica frazione ottenuta; 4. Semplificare i fattori comuni tra numeratore e denominatore, dopo aver scomposto in fattori.
Frazioni Algebriche Esempio.: +1 + = = +1 + +1 +1 = = +5+ (+1).
Moltiplicazione di frazioni algebriche La moltiplicazione di due frazioni algebriche si esegue moltiplicando tra loro i numeratori e i denominatori e semplificando poi la frazione ottenuta. In pratica, come nel caso di frazioni numeriche, prima si scompone, si semplifica se possibile e poi si moltiplica. Esempio: con le frazioni numeriche con le frazioni algebriche 4 1 1 8 9 = 4 y + y = + y + y y ( y) ( + y) ( + y) ( + y) = y ( + y) + y 66
67 Divisione tra frazioni algebriche La divisione di due frazioni algebriche si esegue moltiplicando la prima frazione per il reciproco della seconda. ESEMPIO y : + y = y + y = ( y) ( + y)
68 Potenza di una frazione algebrica L elevamento a potenza di una frazione algebrica si ottiene elevando a quella potenza il numeratore e il denominatore. ESEMPIO a a b (a) = = (a b) 4a (a b)
Esercizi Semplificare le seguenti espressioni letterali: 4 5 1.. ) )( ( 6 6 5 1. 4. 4 1
Soluzione: 4 5 1. 4) )( ( ) 5( 4) ( 4) )( ( 15 5 8 4) )( ( 7 7 4) )( ( 1) 7(
Soluzione: ) )( ( ) ( ) ( ) )( ( 6. ) )( ( ) )( ( 1 1
) )( ( ) )( ( 1 ) )( )( ( ) )( ( ) 1)( ( Soluzione: 6 6 5 1. ) )( )( ( 4 4 ) )( )( ( 6 5
Soluzione: 4. 4 1 1) ( 4 1) 1)( ( 1) 1)( ( 1) 4( ) ( 1) 1)( ( 4 4 1) 1)( ( 4
Esercizio Soluzione: 4 4 ( 1)( ) ( 1)( ) ( )( ) ( 1)( ) 1
) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( Esercizio 9 6 5 6 4 6 5 9 6 4 Soluzione: 9 6 5 6 4
Esercizi Semplificare le seguenti espressioni letterali: 1. 8 16 1 7 8 4. 4 4 10 6 5 4
) 4)( ( 4) 4)( ( 4) )( ( ) 4( ) ( 4 1. 8 16 1 7 8 4 Soluzione:
. 4 4 10 6 5 4 4 10 6 5 ) 1)( ( 4) ( 6) 4)( ( 6) 1)( (