Funzioni di più variabli: dominio, limiti, continuità

Funzioni di più variabli: dominio, limiti, continuità Riccarda Rossi Università di Brescia Analisi Matematica B Riccarda Rossi (Università di Brescia) Funzioni di più variabli Analisi Matematica B 1 / 64

Domini 1. Funzioni (scalari) di due variabili Consideriamo le seguenti funzioni di due variabili: f 1 (x, y) = 3x 2 + 2xy + 5 f 2 (x, y) = 4 x 2 y 2 f 3 (x, y) = log(y x 2 ) Vogliamo determinare il dominio di queste funzioni, cioè il più grande insieme in cui le variabili x, y possono variare in modo tale che le espressioni analitiche per le funzioni f 1, f 2 e f 3 siano ben definite. Quando considereremo le funzioni di due variabili, scriveremo, con un lieve abuso della notazione, (x, y) invece di (x 1, x 2 ). Riccarda Rossi (Università di Brescia) Funzioni di più variabli Analisi Matematica B 2 / 64

La funzione f 1 (x, y) = 3x 2 + 2xy + 5 è ben definita per tutti (x, y) R 2, per cui Dom(f 1 ) = R 2. La radice quadrata nella definizione della funzione f 2 (x, y) = 4 x 2 y 2 può essere calcolata solo quando 4 x 2 y 2 0, per cui si ha Dom(f 2 ) = {x, y) R 2 : x 2 + y 2 4}. Quindi Dom(f 2 ) è un insieme chiuso. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Funzioni di più variabli Analisi Matematica B 3 / 64

Per quanto riguarda la funzione f 3 (x, y) = log(y x 2 ), notiamo che il logaritmo può essere calcolato solo se y x 2 > 0. Quindi ed è un insieme aperto Dom(f 3 ) = {(x, y) R 2 : y > x 2 }, Riccarda Rossi (Università di Brescia) Funzioni di più variabli Analisi Matematica B 4 / 64

Se la funzione f è data nella forma della somma f = g + h, allora vale Dom(f) = Dom(g) Dom(h) Esempio Consideriamo la funzione f (x, y) = g(x, y) + h(x, y), dove g(x, y) = x 2 + y 2 1, h(x, y) = log(x 2 y 2 ). Riccarda Rossi (Università di Brescia) Funzioni di più variabli Analisi Matematica B 5 / 64

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2. Domini di funzioni (scalari) di tre variabili Esempio f (x, y, z) = sin(x y 2 ) + arctan ( ) z y Riccarda Rossi (Università di Brescia) Funzioni di più variabli Analisi Matematica B 7 / 64

Grafici Sia f : Dom(f) R, Dom(f) R 2. Il grafico di f Graf(f ) := {(x, y, z) R 3 : z = f (x, y), (x, y) Dom(f)} è una superficie in R 3. Per funzioni di tre variabili, il grafico è un sottoinsieme di R 4... Riccarda Rossi (Università di Brescia) Funzioni di più variabli Analisi Matematica B 8 / 64

Campi scalari e campi vettoriali Noi ci occuperemo di funzioni di tipo f : Dom(f) R m con Dom(f) R n che spesso denoteremo con Ω. Nel caso m = 1, in cui f : Dom(f) R, diciamo che f è un campo scalare Nel caso m > 1 chiamiamo f campo vettoriale. Esempi... Riccarda Rossi (Università di Brescia) Funzioni di più variabli Analisi Matematica B 9 / 64

Definizione (Insiemi di livello) Sia Ω R n e sia f : Ω R m una funzione. Sia c R m. Chiamiamo l insieme di livello della funzione f l insieme Ω c = {x Ω : f (x) = c}. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Funzioni di più variabli Analisi Matematica B 11 / 64

Interpretazione geometrica delle curve di livello Sia f : Ω R, Ω R 2 e quindi f = f (x, y). Quindi Ω c = {(x, y) Ω : f (x, y) = c}. Consideriamo l insieme Ω c {c} = {(x, y, c) R 3 : f (x, y) = c}. L unione degli insiemi Ω c {c} al variare di c R descrive Graf(f ). Riccarda Rossi (Università di Brescia) Funzioni di più variabli Analisi Matematica B 12 / 64

Esempio Sia f (x, y) = x 2 y. Allora Dom(f) = R 2 e gli insiemi di livello sono le parabole date dall equazione y = x 2 c. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Funzioni di più variabli Analisi Matematica B 13 / 64

Esempio Sia f (x, y) = xy. Allora Dom(f) = R 2 e gli insiemi di livello sono le iperboli date dall equazione y = c x per c 0, e dall equazione per c = 0. xy = 0, cioè x = 0 o y = 0 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Funzioni di più variabli Analisi Matematica B 14 / 64

Funzioni continue Definizione Siano Ω R n, x Ω e sia f : Ω R m una funzione. Diciamo che f è continua in x se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che y B δ (x) Ω : f (y) f (x) < ε. Diciamo che f è continua su Ω se f è continua in ogni x Ω. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Funzioni di più variabli Analisi Matematica B 15 / 64

Proprietà delle funzioni continue Teorema (Teorema di Weierstrass) Sia Ω R n un insieme chiuso e limitato e sia f : Ω R. Se f è continua in Ω, allora assume massimo e minimo in Ω. In particolare, ogni funzione continua su un insieme chiuso e limitato è limitata. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Funzioni di più variabli Analisi Matematica B 17 / 64

Proprietà delle funzioni continue Teorema (Continuità di somme e prodotti) Sia Ω R n un aperto e siano f, g : Ω R m. Se le funzioni f e g sono continue in Ω, allora vi sono continue anche la funzione somma f + g : Ω R m, x f (x) + g(x) e la funzione prodotto scalare f g : Ω R, x f (x) g(x). Riccarda Rossi (Università di Brescia) Funzioni di più variabli Analisi Matematica B 18 / 64

Dimostrazione Riccarda Rossi (Università di Brescia) Funzioni di più variabli Analisi Matematica B 19 / 64

Teorema (Continuità della composizione) Siano Ω R n, E R m e siano f : Ω R m e g : E R k due funzioni tali che f (Ω) E. Sia inoltre x Ω tale che f è continua in x e g è continua in f (x). Allora la funzione composta g f : Ω R k, x g(f (x)) è continua in x. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Funzioni di più variabli Analisi Matematica B 26 / 64

La condizione che entrambe le funzioni f e g siano continue è sufficiente ma NON necessaria. Infatti, la composizione g f può essere continua anche se una delle funzioni f, g non lo è : consideriamo le funzioni f, g : R R definite da x + 1 x 0 g(y) = y 2, f (x) = x 1 x > 0 In questo caso la funzione composta g f : R R data da (x + 1) 2 x 0 (g f )(x) = g(f (x)) = (x 1) 2 x > 0 è continua su tutto R nonostante la funzione f abbia una discontinuità di tipo salto nel punto x = 0. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Funzioni di più variabli Analisi Matematica B 30 / 64

Limiti Definizione Sia Ω R n e sia f : Ω R m una funzione. Sia in oltre x 0 R n un punto di accumulazione per Ω. Diciamo che L R m è il limite di f per x tendente a x 0 e scriviamo lim f (x) = L, x x 0 se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che x B δ (x 0 ) (Ω \ {x 0 }) : f (x) L < ε. A differenza della continuità, il limite può essere definito anche nei punti in cui la funzione non è definita, ad esempio: sin x lim x 0 x = 1. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Funzioni di più variabli Analisi Matematica B 31 / 64

Teorema (Unicità del limite) Siano Ω R n, f : Ω R m una funzione e x 0 R n un punto di accumulazione per Ω. Se esistono L 1, L 2 R m tali che allora L 1 = L 2. lim f (x) = L 1 e lim f (x) = L 2, x x 0 x x0 Dimostrazione Riccarda Rossi (Università di Brescia) Funzioni di più variabli Analisi Matematica B 32 / 64

Direttamente dalla definizione della continuità e del limite discende il seguente teorema: Teorema (Limiti e continuità) Siano Ω R n, f : Ω R m una funzione e x 0 Ω. Se x 0 è un punto di accumulazione per Ω, allora f è continua in x 0 se e solo se lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Funzioni di più variabli Analisi Matematica B 36 / 64

Teorema (Teorema della limitatezza locale) Siano Ω R n, f : Ω R m una funzione e x 0 R n un punto di accumulazione per Ω. Se esiste finito lim f (x) = L, x x 0 allora esiste un intorno U R n di x 0 tale che f ristretta a U Ω è limitata. Dimostrazione: Riccarda Rossi (Università di Brescia) Funzioni di più variabli Analisi Matematica B 40 / 64

Algebra dei limiti Teorema (Limiti di somme e prodotti) Sia Ω R n e siano f, g : Ω R m due funzioni. Sia inoltre x 0 R n un punto di accumulazione per Ω. Se f e g ammettono limite finito in x 0, allora anche le funzioni somma f + g e la funzione prodotto scalare f g ammettono limite in x 0 e vale lim x x 0 (f (x) + g(x)) = lim x x0 f (x) + lim x x0 g(x) (1) lim f (x) g(x) = lim f (x) lim g(x) (2) x x 0 x x0 x x0 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Funzioni di più variabli Analisi Matematica B 45 / 64

Nella definizione di limite viene chiesto che la distanza tra f (x) tenda a L quando x tende a x 0 indipendentemente da come x si avvicina a x 0. Questo rende il calcolo dei limiti di funzioni di più variabili in generale più complicato rispetto al caso n = m = 1. D altra parte, per dimostrare che una funzione non ammette limite in un punto assegnato, basta trovare due curve lungo le quali la funzione f tende a due valori diversi: Esempio Consideriamo la funzione f (x, y) = x 2 x 2 + y 2, Dom(f) = R2 \ {(0, 0)}. Vediamo che f NON AMMETTE limite per (x, y) (0, 0). Riccarda Rossi (Università di Brescia) Funzioni di più variabli Analisi Matematica B 46 / 64

Teorema (Teorema della permanenza del segno) Siano Ω R n, f : Ω R un campo scalare e sia x 0 R n un punto di accumulazione per Ω. Se esiste lim x x0 f (x) = L R, L 0, allora esiste un intorno U R n di x 0 tale che f ristretta a U (Ω \ {x 0 }) ha lo stesso segno di L. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Funzioni di più variabli Analisi Matematica B 49 / 64

Teorema (Confronto dei limiti) Sia Ω R n e siano f, g : Ω R due campi scalari. Sia inoltre x 0 R n un punto di accumulazione per Ω. Se f, g ammettono limite per x x 0 e se f (x) g(x) vale per ogni x Ω, allora si ha lim x x 0 f (x) lim g(x). x x0 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Funzioni di più variabli Analisi Matematica B 52 / 64

Teorema (Teorema dei due carabinieri) Sia Ω R n e siano f, g, h : Ω R tre campi scalari. Sia x 0 R n un punto di accumulazione per Ω. Supponiamo che per ogni x Ω Se h(x) f (x) g(x). (3) lim h(x) = lim g(x) = L x x 0 x x0 allora f ammette limite per x x 0 e vale lim f (x) = L. x x 0 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Funzioni di più variabli Analisi Matematica B 53 / 64

Esempio Consideriamo la funzione f (x, y) = x y x 2 + y 2 Dom(f) = R 2 \ {(0, 0)}. Dimostriamo che lim f (x, y) = 0 (4) (x,y) (0,0) Riccarda Rossi (Università di Brescia) Funzioni di più variabli Analisi Matematica B 57 / 64

Campi scalari in R 2 : coordinate polari Qualunque punto (x, y) R 2 può essere rappresentato nel modo seguente: x = ρ cos θ y = ρ sin θ, dove ρ 0 e θ [0, 2π). I numeri (ρ, θ) si dicono coordinate polari del punto (x, y). Geometricamente ρ rappresenta la distanza tra (x, y) e l origine: ρ = x 2 + y 2, e θ è l angolo fra i vettori (1, 0) e (x, y). Riccarda Rossi (Università di Brescia) Funzioni di più variabli Analisi Matematica B 60 / 64

Esempio Calcoliamo il limite lim f (x, y), f (x, y) = x 2 y (x,y) (0,0) x 2 + y 2 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Funzioni di più variabli Analisi Matematica B 61 / 64

Esempio Consideriamo il limite x y lim f (x, y), f (x, y) = (x,y) (0,0) x 2 + y 2 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Funzioni di più variabli Analisi Matematica B 63 / 64