Capitolo II VETTORI GEOMETRICI E SISTEMI DI RIFERIMENTO

Capitolo II VETTRI GEMETRICI E SISTEMI DI RIFERIMENT 1. Vettori applicati Il lettore arà certamente familiarità col concetto di ettore, usato nei corsi di fisica per indiiduare alcune grandezze (elocità, accelerazione, forza, ecc.). Si ricordi che con il termine ettore o, più precisamente ettore applicato, si indica un oggetto che è completamente indiiduato da una direzione, un erso, una lunghezza (o modulo) e un punto di applicazione. Per fissare le notazioni, un ettore applicato errà denotato con B A, oe A e B sono due punti dello spazio (a olte anche con il simbolo AB); in tal caso la sua direzione è quella della retta per A e B, il suo erso è quello da A a B, il suo modulo, denotato usualmente con B A è la lunghezza del segmento AB (rispetto ad una fissata unità di misura), e A è il suo punto di applicazione. Indichiamo con W 3 (rispettiamente W 2 ) l insieme di tutti i ettori applicati nello spazio (rispettiamente nel piano), cioè, indicato con S lo spazio ordinario, si ha: W 3 = {B A A,B S}. Si può considerare il sottoinsieme V 3 A di W3 costituito da tutti i ettori aenti lo stesso punto di applicazione A: V 3 A = {B A B S}. Si osseri che W 3 = A S V 3 A. 1.1. sserazione. Fissato un punto dello spazio, è eidente che V 3 = {B B S} è naturalmente in corrispondenza biunioca con S, in quanto, ad ogni ettore B V 3 resta associato l estremo B, e iceersa. È noto che in V 3 è definita una somma di ettori, mediante la regola del parallelogramma. Più precisamente, (A )+(B ) = (C ), oe C è il quarto ertice del parallelogramma i cui altri tre ertici sono A,, B. B C Figura 2 Il ettore si dice ettore nullo e si denoterà con 0 (osseriamo che 0 ha direzione e erso indeterminati e modulo nullo). È eidente che V 3 A è chiuso rispetto alla somma di ettori; inoltre si ha la seguente: Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 1.10.2013 11

1.2. Proposizione. (V 3,+,0) è un gruppo abeliano. Dimostrazione. È chiaro che 0 è elemento neutro; per ogni ettore A, esiste il suo opposto A, doe A è il punto simmetrico di A rispetto ad. A' Figura 3 A La proprietà commutatia segue direttamente dalla definizione di somma di ettori. Resta da erificare la proprietà associatia di cui diamo una dimostrazione grafica. 1 1 + 2 2 3 + 2 3 Figura 4 Dalla fisica è ben noto che si possono considerare i multipli di ettori(ad esempio considerando un oggetto che si muoe a elocità doppia di un altro, ecc.). Questofattosi puòinterpretarenelgruppov 3 definendounasecondaoperazionechecoinolge gli elementi di V 3 e i numeri reali, che, in questo contesto, per differenziarli dai ettori, engono anche chiamati scalari (reali). 1.3. Definizione. Si dice prodotto di uno scalare λ R per un ettore A il ettore tale che : i) B, A, sono allineati; B = λ(a ), ii) B e A hanno lo stesso erso (e si dicono concordi) se λ > 0, B e A hanno erso opposto (e si dicono discordi) se λ < 0; iii) B = λ A. Esaminiamo le proprietà di tale operazione. 12 Capitolo II - Vettori geometrici e sistemi di riferimento

1.4. Proposizione. Comunque scelti λ,µ R e A,B V 3, algono i seguenti fatti: 1) λ(µ(a )) = (λµ)(a ); 2) 1(A ) = A ; 3) (λ+µ)(a ) = λ(a )+µ(a ); 4) λ((a )+(B )) = λ(a )+λ(b ). Dimostrazione. 1) Poniamo C = λ(µ(a )) e D = (λµ)(a ). Dalla definizione, C e D appartengono entrambi alla retta per e A, dunque C e D hanno la stessa direzione. Inoltre dall esame dei segni di λ e µ, si erifica facilmente che C e D sono concordi: ad esempio, se λ > 0 e µ < 0, segue che C è concorde con µ(a ), quindi è discorde con A ; d altra parte λµ < 0, dunque D è anch esso discorde con A. Infine C = λ µ A = λµ A = D. La proprietà 2) segue direttamente dalla definizione. 4) Poniamo C = (A )+(B ) e C = (A )+(B ), oe A = λ(a ) e B = λ(b ). Vogliamo erificare che λ(c ) = C. B C B' C' A Figura 5 Poiché A è parallelo a A per definizione, anche BC è parallelo a B C ; inoltre B è parallelo a B, dunque gli angoli BC e B C sono uguali. Inoltre λ = B /B = A /A = B C /BC. Quindi i triangoli BC e B C sono simili. Da cui i ettori C e C sono paralleli e concordi e C = λ C. Quindi C = λ(c). 3) Si dimostra in modo analogo alla 4). Quanto precede mette in eidenza che V 3, rispetto alle operazioni di somma e di prodotto per uno scalare, ha una struttura più ricca di quella di gruppo abeliano. Tale struttura prende il nome naturale di spazio ettoriale, nozione che errà trattata in dettaglio nel Capitolo III. A' 2. Sistemi di riferimento È ben noto il concetto di sistema di riferimento; riprendiamo breemente i punti fondamentali, utilizzando il linguaggio ettoriale. 2.1. Definizione. Data una retta r, un sistema di riferimento Λ su r è il dato di un punto r e di un ettore i = A, con A r e A. Il punto si dice origine del sistema di riferimento, la lunghezza del segmento A è l unità di misura di Λ e il erso di i si dice orientamento di Λ. Attraerso Λ si stabilisce una corrispondenza biunioca tra i punti di r e i numeri reali; più precisamente, ad ogni punto P r si associa il numero reale x tale che P = xi. Viceersa, dato x R, rimane indiiduato il punto P di r che è estremo del ettore xi. Il numero x si dice ascissa del punto P e si scrie P = (x). Il sistema di riferimento Λ si denoterà anche con (;x) oppure con (;i). Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 1.10.2013 13

2.2. Definizione. Dato un piano α, un sistema di riferimento Π su α è il dato di un punto α e di due ettori non nulli i = A e j = B, con A, B α, A = B e tali che i si sorappone a j ruotando di un angolo φ in senso antiorario, con 0 < φ < π. Il punto si dice origine del sistema di riferimento, la lunghezza del segmenti A e B è l unità di misura di Π. La retta orientata passante per e aente stessa direzione e stesso erso di i si dice asse x o asse delle ascisse. Analogamente, si definisce l asse y o asse delle ordinate come la retta orientata indiiduata da j. Analogamente a quanto isto in precedenza, attraerso Π si stabilisce una corrispondenza biunioca tra i punti di α e le coppie di numeri reali; più precisamente, ad ogni punto P α si associa la coppia ordinata (x,y) tale che P = xi+yj (regola del parallelogramma). Viceersa, dato (x,y) R 2, rimane indiiduato il punto P di α che è estremo del ettore xi+yj. yj P(x,y) j i xi Figura 6 I numeri x e y si dicono coordinate di P e, più precisamente x si dice ascissa e y si dice ordinata del punto P; scrieremo P = (x,y). I ettori i,j si dicono ersori fondamentali, doe la parola ersore indica un ettore di modulo 1. Il sistema di riferimento Π si denoterà anche con (;x,y) oppure con (;i,j). 2.3. Definizione. Un sistema di riferimento Π = (; i, j) su un piano α si dice sistema di riferimento cartesiano ortogonale se l angolo tra i e j (percorso i per sorapporsi a j ruotando in senso antiorario) è di π/2. Per definire un sistema di riferimento cartesiano nello spazio, introduciamo la seguente nozione. 2.4. Definizione. Una terna ordinata di ettori applicati non complanari u,, V 3 si dice destrorsa se, guardando il piano indiiduato da u e (risp. e, risp. e u) dalla parte di (risp. u, risp. ), u si sorappone a (risp. si sorappone a, risp. si sorappone a u) ruotando in senso antiorario di un angolo minore di π. 2.5. Definizione. Dato lo spazio S, un sistema di riferimento cartesiano Σ su S è il dato di un punto S e di tre ettori non nulli i = A, j = B e k = C con A,B,C S, A = B = C e tali che i,j,k formano una terna destrorsa. Il punto si dice origine del sistema di riferimento, la lunghezza del segmenti A, B e C è l unità di misura di Σ. La retta orientatapassanteper e aente stessa direzione e stesso erso di i si dice asse x o asse delle ascisse. Analogamente, si definiscono l asse y o asse delle ordinatee l asse z o asse delle quote. In particolare useremo la notazione P = (x, y, z), chiamando, rispettiamente, tali coordinate: ascissa, ordinata e quota del punto P. Porremo, infine, Σ = (;i,j,k) = (;x,y,z). I ettori i,j,k si dicono ersori fondamentali. Infine il sistema Σ si dice cartesiano ortogonale se i,j,k sono a due a due ortogonali. Come isto in precedenza, si stabilisce una corrispondenzabiunioca tra i punti di S e le terne di numeri reali, attraerso V 3 ; più precisamente: S V 3 R3, 14 Capitolo II - Vettori geometrici e sistemi di riferimento

e tali corrispondenze sono definite da P P (x,y,z) doe P = xi+yj+zk, come nella figura sottostante. zk k P(x,y,z) i j yj xi Figura 7 2.6. Definizione. Con le notazioni precedenti, se P = (x,y,z), quindi P = xi +yj +zk, i numeri reali x,y,z si dicono componenti del ettore applicato P. Notazione. In generale, useremo anche la notazione per un ettore, = P, e aremo quindi = xi+yj+zk. Spesso è coneniente indicare le componenti di con x, y, z, quindi = x i+ y j+ z k. In seguito, per semplificare la notazione, scrieremo = ( x, y, z ), sottointendendo che tali componenti sono riferite al sistema di riferimento (; i, j, k). 2.7. sserazione. Mentre un ettore è un oggetto geometrico inariante, le sue componenti dipendono dal particolare sistema di riferimento fissato. 2.7.1. Esempi. 1)Ilettorenullo0 = hacomponenti(0,0,0)intuttiisistemidiriferimento di origine ed è l unico ettore che gode di tale proprietà. 2) I ersori fondamentali hanno le seguenti componenti: i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1) nel sistema di riferimento (;i,j,k). 3)Iettorideipiani coordinati(cioèipianiindiiduatidaunacoppiadiassi)sonodeltiposeguente: = (a,b,0), con a,b R, se appartiene al piano xy, = (0,b,c ), se appartiene al piano yz, = (a,0,c ), se appartiene al piano xz. 2.8. Proposizione. In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale (; x, y, z) si consideri un generico ettore = ( x, y, z ). Allora = x 2 +y 2 +z. 2 Dimostrazione. Segue immediatamente usando il teorema di Pitagora. Vediamo ora come la rappresentazione dei ettori attraerso le loro componenti ci permetta di esprimere algebricamente le operazioni tra ettori. Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 1.10.2013 15

2.9. Proposizione. Dati lo scalare λ R e i ettori = x i+ y j+ z k e = x i+ y j+ z k, si ha: + = ( x + x )i+( y + y )j+( z + z )k e anche λ = λ x i+λ y j+λ z k. Dimostrazione. Poiché + = ( x i+ y j+ z k)+( x i+ y j+ z k), applicando opportunamente le proprietà commutatia e associatia della somma si ha: + = ( x i+ x i)+( y j+ y j)+( z k+ z k). Applicando infine la distributiità del prodotto rispetto alla somma si ha il risultato. In modo analogo si dimostra la seconda. 2.10. sserazione. Usando la notazione compatta = ( x, y, z ) e = ( x, y, z ), dalla proposizione precedente segue ( x, y, z )+( x, y, z ) = ( x + x, y + y, z + z ) λ( x, y, z ) = (λ x,λ y,λ z ). Dall osserazione precedente e dalla corrispondenza biunioca V 3 R3 si definiscono in modo naturale le seguenti operazioni in R 3 : 2.11. Definizione. Siano (x 1,x 2,x 3 ) e (y 1,y 2,y 3 ) due elementi di R 3 e sia λ R; allora (x 1,x 2,x 3 )+(y 1,y 2,y 3 ) = (x 1 +y 1,x 2 +y 2,x 3 +y 3 ); λ(x 1,x 2,x 3 ) = (λx 1,λx 2,λx 3 ). Queste operazioni erranno studiate più in dettaglio nel Capitolo III, 1.3. 3. Ulteriori operazioni tra ettori Nello studio della fisica, il lettore arà già incontrato i concetti di prodotto scalare, prodotto ettoriale e prodotto misto di ettori. In questo paragrafo riprendiamo breemente tali operazioni. 3.1. Definizione. Siano, V 3 due ettori. Si dice prodotto scalare di e e si indica con il numero reale = cosα doe α =, 0 α π, è l angolo formato da e. (Si tenga conto che la trattazione del prodotto scalare in V 2 è del tutto analoga.) 3.2. sserazione. Dalladefinizionesiha chiaramenteche, seèil ettorenullo, allora = 0. Inoltre si hanno immediatamente le ulteriori proprietà: i) se e sono due ettori non nulli, allora = 0 cosα = 0. 16 Capitolo II - Vettori geometrici e sistemi di riferimento

ii) Per ogni V 3 si ha = 2. In particolare = 0 = 0. Infine, da i) e ii) segue se (;i,j,k) è un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, allora: iii) i i = j j = k k = 1 e inoltre i j = j k = k i = 0. 3.3. Proposizione. Dati i ettori u,, V 3 e λ R, si hanno i seguenti fatti: i) = ; ii) (λ) = (λ) = λ( ); iii) u (+) = u +u. Dimostrazione. i) Segue dalla definizione e dalla proprietà commutatia del prodotto in R; infatti = cos = cosŵ =. ii) Posti: a = (λ), b = (λ), c = λ( ), dalla definizione di prodotto scalare e dalle proprietà del modulo di un ettore si hanno: a = (λ) = λ cosα = λ cosα b = (λ) = λ cosα = λ cosα c = λ( ) = λ( cosα) = λ cosα doe α = (λ), α = (λ) e α =. Si noti che, se λ = 0, a = b = c = 0. Mentre se λ > 0, allora λ = λ e α = α = α ; dunque, dalle proprietà commutatia e associatia del prodotto in R, si ottiene a = b = c. Infine, λ < 0, allora λ = λ e α = α = π α e quindi cosα = cosα = cosα. Pertanto, dalla commutatiità e associatiità del prodotto in R, si ottiene a = b = c. iii) Diamo un idea del caso generale supponendo che u,, siano paralleli. Si possono presentare ari casi, a seconda dei ersi dei tre ettori. Ad esempio, se sono tutti concordi, si ha: u (+) = u + = u ( + ) = = u + u = u +u. Se inece e sono concordi, ma discordi da u, si ha u (+) = u + = u ( + ) = = u u = u +u. Gli altri casi sono lasciati al lettore. Usando la rappresentazione di un ettore attraerso le sue componenti rispetto alla terna fondamentale i,j,k, si ha la seguente facile formulazione del prodotto scalare che si noti bene ale solo in un sistema di riferimento ortogonale. Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 1.10.2013 17

3.4. Proposizione. Nello spazio con sistema di riferimento cartesiano ortogonale (; i, j, k) si considerino due ettori = ( x, y, z ) e = ( x, y, z ). Allora = x x + y y + z z. Dimostrazione. Poiché = x i+ y j+ z k e = x i+ y j+ z k, per 3.3, ii) e iii), si ha = ( x i+ y j+ z k) ( x i+ y j+ z k) = = x x i i+ y x j i+ z x k i+ x y i j+ y y j j+ z y k j + x z i k+ y z j k+ z z k k Per 3.2, iii) si ha che i j = = j k = 0, mentre i i = j j = k k = 1. Sostituendonell espressione precedente, si ha la tesi. 3.4.1. Esempio. Vogliamo erificare che i ettori = (2,3,1) e = (1, 1,1) sono ortogonali. Per 3.2 i) basta proare che = 0. D altra parte, per 3.4 si ha: = 2 1+3 ( 1)+1 1 = 0. La seguente nozione, legata a quella di prodotto scalare, tornerà utile negli spazi euclidei. 3.5. Definizione. Dati due ettori e non nulli, si dice proiezione ortogonale di su il ettore (parallelo a ) definito da = 2 e illustrato dalla seguente figura: Figura 8 Con le proprietà del prodotto scalare iste nella Proposizione 3.3. si ha direttamente il seguente risultato: 3.6. Lemma. Comunque scelti i ettori u,, V 3, algono i seguenti fatti: a) (u+) = u +. b) = =. La seguente figura illustra il punto (a) del precedente lemma: u A B u C A' u B' Figura 9 18 Capitolo II - Vettori geometrici e sistemi di riferimento

3.7. sserazione. Il prodotto scalare tra ettori dello spazio è sostanzialmente un applicazione σ : V 3 V3 R definita da σ(,) =. Analogamenteilprodottoscalaretraettoridelpianoindiiduaun applicazioneσ : V 2 V2 R. 3.8. Definizione. Siano, V 3 due ettori. Si dice prodotto ettoriale di e e si indica con il ettore il cui modulo ale = sinα doe α =, 0 α π, è l angolo formato da e ; la sua direzione è ortogonale sia a che a e il suo erso è tale che,, è una terna destrorsa. 3.9. sserazione. Dalladefinizionesihachiaramenteche,seèilettorenullo,allora = 0. Inoltre si hanno immediatamente le ulteriori proprietà: i) se e sono due ettori non nulli, allora = 0 sinα = 0. In particolare = 0. ii) Se i, j, k è la terna fondamentale di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale allora: i j = k = j i, j k = i = k j, k i = j = i k. mettiamo la dimostrazione delle seguenti proprietà (le prime due sono facili erifiche). 3.10. Proposizione. Dati i ettori u,, V 3 i) = ; ii) (λ) = (λ) = λ( ); iii) u (+) = u +u. e λ R, si hanno i seguenti fatti: 3.11. Proposizione. Siano = ( x, y, z ) e = ( x, y, z ) due ettori di V 3. Allora = ( y z z y, z x x z, x y y x ). Dimostrazione. Del tutto analoga a quella di 3.4, tenendo conto di 3.10 e di 3.9 ii). 3.11.1. Esempio. Vogliamo erificare che i ettori = (1,0, 1) e = ( 2,0,2) sono paralleli. Per 3.9 i) basta erificare che = 0. D altra parte, per l espressione 3.11 si ha: = (0,0,0). 3.12. sserazione. Il prodotto ettoriale tra ettori dello spazio è un applicazione tra insiemi τ : V 3 V3 V3 definita da τ(,) =. Contrariamente al prodotto scalare, non ha senso definire il prodotto ettoriale tra ettori del piano in quanto il risultato non sarebbe nel piano. 3.13. Definizione. Dati i ettori u,, V 3, si definisce prodotto misto di u,, il numero reale u ( ) = u. Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 1.10.2013 19

3.14. Proposizione. Siano u = (u x,u y,u z ), = ( x, y, z ) e = ( x, y, z ) tre ettori di V 3 ; allora u = u x ( y z z y )+u y ( z x x z )+u z ( x y y x ). Dimostrazione. Segue immediatamente da 3.4 e 3.11. C è una interpretazione del prodotto ettoriale e del prodotto misto, rispettiamente, come area di un parallelogramma e olume di un parallelepipedo. 3.15. Proposizione. Dati i ettori u,, V 3, 1) posto α = l angolo formato da e e posta A l area del parallelogramma che ha tali ettori come lati, si ha: A = sinα =. 2) Posto θ = u( ) l angolo formato dai ettori u e e posto V il olume del parallelepipedo che ha come spigoli u,,, si ha: V = A u cosθ = u. Dimostrazione. I due risultati sono eidenti dalle due figure seguenti. α θ α 20 Capitolo II - Vettori geometrici e sistemi di riferimento