1 9. Sistemi di Modulazione Numerica in banda traslata
Modulazione QAM (analogica) 2 Modulazione QAM (Quadrature Amplitude Modulation; modulazione di ampiezza con portanti in quadratura) è un tipo di modulazione analogica di ampiezza definito dallo schema seguente: (t) cos(2πf 0 t) (t) (t) cos(2πf 0 t) (portante in fase) sfasatore cos(2πf 0 t + π/2) π/2 (portante in quadratura) oscillatore frequenza f 0 2 segnali modulanti, in banda base [- f m,f m ] (t) cos(2πf 0 t + π/2) + s(t) segnale modulato QAM : s(t) = (t) cos(2πf 0 t) + + (t) cos(2πf 0 t + π/2) somma di due segnali che occupano la stessa banda: f 0 ± f m
Occupazione di Banda di s(t) 3 t () 1 1 t ()cos(2 π ft 0 ) = [ e + e ] = te () + te () 2 2 2 j2π f t j2π f t j2π f t j2π f t 0 0 0 0 1 1 F { t ()cos(2 π ft 0 )} = X( f f0) + X( f+ f0) 2 2 1 1 ()cos(2 t f0t+ /2) = e Y( f f0) + e Y( f + f0) 2 2 jπ /2 jπ /2 F { π π } 1 jπ /2 1 jπ /2 S( f ) F { st ( )} = [ X( f f0) + e Y( f f0)] = [ X ( f + f0) + e Y( f + f0)] 2 2 Conclusione: s(t) occupa la banda ed è quindi un segnale di banda traslata, con banda centrata intorno a e di larghezza di banda pari a: 2. f m [ f f, f + f ] [ f f, f + f ] 0 m 0 m 0 m 0 m f 0
Demodulazione del segnale QAM in assenza di rumore (1/2) 4 2cos(2πf 0 t) 2s(t) cos(2πf 0 t) passabasso ideale [- f m,f m ] (t) Segnale QAM s(t) ricostruzione portante f 0 sfasatore π/2 2cos(2πf 0 t+π/2) 2s(t) cos(2πf 0 t + π/2) passabasso ideale [- f m,f m ] (t)
Demodulazione del segnale QAM (2/2) 5 Segnale all ingresso del demodulatore: π s() t = () t cos( 2πf 0t) + () t cos 2πf 0t + 2 Segnale all uscita del moltiplicatore (relativo al segnale (t)): 2 π 2s() t cos( 2π ft 0 ) = 2() t cos( 2πft 0 ) + 2() t cos 2π ft 0 + cos( 2π ft 0 ) = 2 1 1 1 π 1 π = 2t () + cos( 4π ft 0 ) + 2( t) cos 4π ft 0 + + cos = 2 2 2 2 2 2 π π = () t + () t cos( 4 π ft 0 ) + () t cos 4 π ft 0 + + () t cos 2 2 Termine proporzionale al segnale modulante (t) Termini che occupano la banda 2f 0 ± f m (eliminati dal filtraggio) [Trattazione identica per il demodulatore relativo al segnale (t)] termine nullo
Modulazione QAM numerica 6 Si ottiene utilizzando due modulatori PAM numerici, i cui segnali di uscita (t) e (t) costituiscono i due segnali modulanti di un modulatore QAM analogico: + conversione di alfabeto 2 α = 2 υ PAM ad α livelli () t a ( n) g( t nt ) = n= conversione serie/parallelo segnale binario (velocità di simbolo binario f b ) segnali binari f b /2 conversione di alfabeto 2 α = 2 υ velocità di simbolo: 1 fb fb = = T 2υ 2log α 2 PAM ad α livelli modulatore QAM analogico = + () t a ( n) g( t nt ) n= s(t)=(t)cos(2πfot)+ (t)cos(2πf0t+π/2) segnale modulato QAM
Costellazione di Segnale (Signal Set) (1/7) 7 Sia ((t),(t)) il punto del piano avente come coordinate i valori assunti dai due segnali PAM. Al variare di t il punto seguirà un percorso curvilineo nel piano. Negli istanti caratteristici di campionamento t = kt ciascuna delle due coordinate di ((kt),(kt)) assume una delle α ampiezze di impulso possibili. Risulta così individuato un insieme di α 2 punti, detto costellazione di segnale (signal set) relativa al segnale QAM.
Costellazione di Segnale (Signal Set) (2/7) 8 La costellazione di segnale costituisce la rappresentazione geometrica delle forma d onda in un uscita dal modulatore QAM. Il piano di coordinate ((t), (t)) è detto Digramma delle Costellazioni A ciascuna forma d onda QAM è associato nel diagramma delle costellazioni un punto di coordinate ((kt), (kt)) corrispondente ai valori che le forme d onda assumo negli istanti caratteristici Tali valori appartengono ai due alfabeti di sorgente utilizzati dai due modulatori PAM (in banda base) presenti rispettivamente nel ramo in fase e nel ramo in quadratura del modulatore QAM α e α, Siano rispettivamente la cardinalità della sorgente PAM del ramo in fase e del ramo in quadratura. Il numero di simboli assumibili dal segnali QAM è dato dal prodotto α α
Costellazione di Segnale (Signal Set) (3/7) 9 Esempio 1: α = α = α = 4 α = 2 2 = 4 livelli, con ampiezze di impulso +1, +1/3, -1/3, -1 per ciascuno dei due segnali PAM La costellazione è costituita da un 2 insieme di α = 16 punti disposti a forma di reticolo regolare a maglie quadrate. (Non è l unica forma possibile ) + 1 +1/3-1 -1/3 0 +1/3 +1-1/3-1 modulazione 16-QAM Negli istanti caratteristici di campionamento (t=kt), ciascuna coordinata (kt) e (kt) assume uno 2i dei seguenti a valori: [ ] mi = 1, i = 0, 1, 2,..., α - 1, α = 4 α 1
Costellazione di Segnale (Signal Set) (4/7) 10 Esempio 2: α = α = α = 2; 2 α = 4. 2i m = [ = α ] α = i 1, i 0, 1, 2,..., - 1, 2 α 1 Modulazione 4-QAM ( 4-PSK, QPSK ) + 1 3 Esempio 3: α = α = α = 2 = 8; 2 α = 64 2i m = 1, [ i = 0, 1, 2,..., α - 1 ], α = 8 i α 1 Modulazione 64-QAM + 1-1 0 +1-1 0 +1-1 -1
Costellazione di Segnale (Signal Set) (5/7) 11 ν Nel caso particolare in cui α, gli α 2 =2 2υ = α = α = 2 punti della costellazione QAM sono in corrispondenza biunivoca con le 2 2υ parole binarie distinte formate da 2υ bit, ( υ = α). log 2 Ogni T secondi vengono trasmessi 2υ bit del segnale di ingresso. υ bit υ bit una ampiezza di impulso PAM (α = 2 υ livelli) (kt) una ampiezza di impulso PAM (α = 2 υ livelli) (kt) un punto della costellazione ((kt),(kt))
Costellazione di Segnale (Signal Set) (6/7) 12 Esempio 4: codifica di costellazione: Modulazione 32-QAM parola binaria a=(kt) a=(kt) 00000-1,5 d +2,5 d 00001-0,5 d +2,5 d 00010 +0,5 d +2,5 d 00011 +1,5 d +2,5 d 00100-2,5 d +1,5 d 00101-1,5 d +1,5 d......... 11110 +0,5 d -2.5 d 11111 +1,5 d -2,5 d d 00100 00101 00000 00001 00010 00011 d 11110 11111
Costellazione di Segnale (Signal Set) (7/7) 13 Modulazione QAM numerica con signal set a 8 punti disposti su una circonferenza di raggio 1, equidistanziati. Il nome 8-PSK (analogamente al 4-PSK) deriva dal fatto che le posizioni dei punti, in coordinate polari (r,ϕ) sono differenziate soltanto in base alla fase ϕ (r = 1 = cost). Una possibile codifica di costellazione è: parola di ingresso a=(kt) a=(kt) 000 001 011 010 110 111 101 100 +1 2 + 1 0 +1 1 2 + 1 1 0 1 2 1 0 1 +1 2 1 +1 0 2 2 2 2 010 110 Modulazione 8-PSK 011 111 001 1 101 000 100
Schema per la trasmissione di segnale numerico in banda traslata 14 al demodulatore canale lin. e perm. passa-banda ideale (banda f 0 ± f m ) segnale modulato: s(t) = (t) cos(2πf 0 t) + (t) cos(2πf 0 t + π/2) t = + a n g t nt s(t) CANALE DI TRASMISSIONE () ( ) ( ) n= + () t a ( n) g( t nt ) = n= + n(t) rumore gaussiano bianco con spettro di densità di potenza W n (f) = N 0 /2 costante banda: [-f m, f m ] filtro di ingresso al demodulatore passa-banda ideale (banda f 0 ± f m ) segnale ricevuto: z(t) = s(t) + η(t) rumore gaussiano filtrato banda: [f 0 ± f m ]U [-f 0 ± f m ]
Componenti del rumore gaussiano 15 Per il rumore gaussiano limitato in banda, η(τ), di spettro di densità di potenza N0/2 W η (f) N0/2 f -(f 0 + f m ) - f -(f 0 0 -f m ) 0 (f 0 -f m ) f (f 0 0 -f m ) vale la seguente decomposizione: η(t) =η (t) cos(2πf 0 t) + η (t) cos(2πf 0 t + π/2) η (t) e η (t) due processi aleatori Gaussiani statisticamente indipendenti tra loro detti componenti analogiche di bassa frequenza di η(t), aventi uguale spettro di densità di potenza, uniforme nella banda [-f m,f m ] (banda base); uguale potenza σ η2, uguale a sua volta alla potenza di η(t). ll rumore gaussiano η(t) è interpretabile come segnale modulato QAM, in cui η (t) e η (t) sono i segnali modulanti.
Demodulazione in presenza di rumore gaussiano 16 Il segnale ricevuto ha l espressione: z(t) = s(t) + η(t) = [(t) + η (t)] cos(2πf 0 t) + [(t) + η (t)] cos(2πf 0 t + π/2) All uscita dei due demodulatori sono presenti i segnali: d (t) = (t) + η (t), d (t) = (t) + η (t) Negli istanti di campionamento t=kt (e in assenza di ISI) si ha d (kt) = a (k) +η (kt), d (kt) = a (k) + η (kt) Sul piano della costellazione di segnale il punto ricevuto R=( d (kt), d (kt)) differisce in generale dal punto trasmesso T=(a (k), a (k) )
Decisione in presenza di rumore gaussiano 17 Maimum Likelihood Decision Criterion( MLD) Ricevuto il punto R, si decide in favore del più verosimile punto trasmesso T ovvero quello a cui corrisponde la massima probabilità condizionata Ma {p [R T i ], i=0,.. α 2-1 }. Ancora una volta si può dimostrare che ciò corrisponde ad assumere come trasmesso quel punto della costellazione che ha la minima distanza di Euclide dal punto ricevuto R. O T R T vettore rappresentativo del punto trasmesso T R vettore rappresentativo del punto ricevuto R TR vettore rappresentativo del rumore
Regioni di decisione 18 L applicazione del criterio di decisione MLD individua nel piano del signal set delle regioni di decisione associate ai punti della costellazione. La generica regione di decisione associata a un punto T è costituita da tutti i punti del piano più vicini a T che a tutti gli altri punti del signal set. Esempio: P Modulazione QAM Q Punto Q Punto P (regione illimitata)
Regioni di decisione e probabilità di errore 19 Si ha una decisione errata (corrispondente a uno o più bit errati nel segnale binario demodulato) quando il vettore di rumore è tale da far cadere il punto ricevuto R al di fuori della regione di decisione relativa al punto trasmesso T. Esempio: Punto trasmesso: T Vettore rumore: TR Punto ricevuto R Regione a cui appartiene R: Punto ipotizzato come trasmesso: T (decisione errata) T T R La probabilità di decisione errata diminuisce con l ampliamento delle regioni di decisione (maggiore potenza trasmessa e/o minore potenza di rumore).
Banda occupata dal segnale modulato QAM (1/2) 20 L intervallo T tra istanti caratteristici dei due segnali PAM è legato alla velocità di simbolo f b del segnale binario da trasmettere come segue: dove 2ν è il numero di simboli binari associati alla trasmissione di un singolo simbolo QAM (cioè di un punto della costellazione che contiene N = 2 2ν punti). f 2ν 1 b T = La frequenza massima f m (ossia la banda occupata dal ciascuno dei due segnali PAM) vale quindi f f = f 1+γ = 1+γ = b 1+γ ν ( ) 1 ( ) ( ) m N 2T 2(2 ) dove γ è il roll-off del filtro sagomatore
Banda occupata dal segnale modulato QAM (2/2) 21 Nella successiva modulazione QAM di ampiezza i due segnali modulati PAM (e quindi anche la loro somma che costituisce il segnale modulato QAM) occupano una banda di estensione 2f m intorno a f 0. Quindi la banda WQAM del segnale modulato QAM è pari a W QAM f = 2 f = b m 1 log 2 N ( + γ ) f b (1 + γ) 2ν