Svolgimento degli esercizi del Capitolo 5

5. a) Per 0 + Analisi Matematica a edizione Svolgimento degli esercizi del Capitolo 5 e sin3) cos sin3) + o)) 3) + o)) + o)). b) Per, 3 + ) ) ) + o)) 3 ) + + ) 3 ) + o)), sin 3 + ) cos 3 ) sin ) + o))) cos3 ) + o))) ) 3 + o)) )) 9. c) Per +, α + o)) se α > α + se α + o)) se α < e log e α + log + e α ) α + o)) se α > 0, log + e α ) log se α 0 e α + o)) se α < 0 α α + o)) + se α > α + log + e α ) 0 + o)) se α α α + o)) 0 se 0 < α < +o) log log se α 0 α + )e α + o)) + se α < 0. d) Posto y, y 0 per e y +. Perciò, per, ) ) ) e + e e + e y+ + e y log log log e + log ) y + o)) + log + + y + o)) + ) + o)) 0, McGraw-Hill

Svolgimento degli esercizi del Capitolo 5 e α α + y) α + y) α + αy + o)) αy + o))) 3αy + o)) 3α ) + o)), log ) e+e + o)) α α 3α 6α. e) Posto y 4, y 0 + per 4 + e y + 4. Perciò, per 4 +, f) Per 0, log4e 4 ) log4 6) log4e y ) y) log4y) 3y + o)) log3y + o))) log4y) log log3/4). 4y log ) 3 log + ) ) ) / 3 ) log ) 3 log 3 + 6 ) log + 6 ) 6 ) + o)). g) Per +, 4 + 3 ) + 9 4 + 3 ) + 9/ ) ) 4 + 3 9 + o)) ) + 4 9 + o)) ) + o)) h) Per n +, n /n n e /n ) 3/. n /n ) n 3/ + o)) + o)). i) Per n +, cosn α ) /n α ) + o)) poiché α > 0). Si scrive Poiché n log cos n α)) n log cosn α )) n e n logcosn α )). n ) + o)) α 0 se α > / n α + o)) / se α / se 0 < α < / si conclude che se α > / cosn α )) n e / se α / per n +. 0 se 0 < α < / Analisi matematica, a ed., MacGraw-Hill, 0 0, McGraw-Hill

Svolgimento degli esercizi del Capitolo 5 3 5. a) Posto f ) per, + f ha un asintoto verticale per : f ) ± per ) ±. Inoltre f ) + e f ) + + y è l asintoto obliquo per ±. b) Posto f ) e 4 e 4 ) per 0,, per ±, f ha un asintoto verticale per 0 e per + : f ) + per 0 e per + si osservi che f ) 0 per 0 + e per ). Inoltre y /e è un asintoto orizzontale per ± : f ) e per ±. c) Posto ) + f ) log 3 per >, f ha un asintoto verticale per ) e per + : f ) per ) e f ) + per +. Inoltre y 0 è un asintoto orizzontale per ± : f ) log 3 0 per ±. d) Posto f ) + 4 per 5 oppure + 5, si cercano degli asintoti obliqui: f ) + 4/) / ) ± per ± f ) ±) + 4/) / ) ) + o)) ± Perciò y ± + ) è un asintoto obliquo per ±. e) Posto per ±. f ) 5 + per ±, f ha un asintoto verticale per ±: f ) + per ) + e per + e f ) per ) e per. f non ha asintoti orizzontali e obliqui: f ) 3 + o)) per ±. f) Per ±, si ha 0 + 9 0 + o)), e 0 +9 e 0 +o)) + 0 ) + o)) + 0 + o)), y + 0 è un asintoto obliquo della funzione per ±. Analisi matematica, a ed., MacGraw-Hill, 0 0, McGraw-Hill

Svolgimento degli esercizi del Capitolo 5 4 g) Posto f ) + 7 log e 3 ) log per 7, > 3, f ha asintoti verticali per 7 e per ± log )/3 ) ±. Osservando che, per ±, log e 3 ) log e 3 e 3)) 3 + log e 3) 3 + o), si ottiene che, per ±, f ) 3 e f ) 3 3 + o) 3 + 7 ovvero y 3 è l asintoto obliquo per ±. h) Si osservi che e f ) : 5 + 5 + 5 + 5, + 5 per R, f ) 5 + 5 + 6 ) + o)) per + 5 f ) 5 + + 5 + 6 ) + o)) 0 + + o)) per. 5 Perciò f ha un asintoto orizzontale, y, per + e un asintoto obliquo, y 0 +, per. i) Si osservi che e f ) 5 + 5 + 5 + 5 f ) 5 + 5 + 6 ) + o)) 4 5 5 + 5 per R, per + f ) 5 + + 5 + 6 ) + o)) 0 + 6 + o)) per. 5 5 Perciò f ha un asintoto orizzontale, y 4/5, per + e un asintoto obliquo, y 0 + 6/5), per. Analisi matematica, a ed., MacGraw-Hill, 0 0, McGraw-Hill

Svolgimento degli esercizi del Capitolo 5 5 5.3 a) Falso: b) Vero: c) Vero: log + ) log log + ) e / + o) log + per 0+. + o)) e/ 0 per 0. cos ) 4 4 4 + o)) + 4 + o)) 4 0 per 0. d) Falso: e 6 3 6 6 / non è infinitesimo per /. 8 + o) / per, 5.4 5.5 a) Non si può determinare il limite: b) c) Poiché α > 0, f ) g) 4 o ) + o) per 0 +. f ) g) 4 o ) + o) 0 per +. f ) α + o3 ) α + o3 α ) + α o3 α ) + o)) 0 per + se α 3 e non si può determinare il limite se 0 < α < 3. d) Per 0 +, e f ) sing)) α f ) + o)) g) + o)) α e non si può determinare il limite se α >. a) Si tratta di infinitesimi per 0 + : e / o n ) per ogni n > 0 log + 3 ) 3 + o)) o) α o α ) 0 se α / e log )/ + cos + + o)) + + o)) + o)). Analisi matematica, a ed., MacGraw-Hill, 0 0, McGraw-Hill

Svolgimento degli esercizi del Capitolo 5 6 Poiché inoltre log )/ o/) per 0 +, l ordine crescente è: + cos, log + 3 ), /, e /. b) Si tratta di infiniti per 0 + : + arcsin ) e π/)+o)) log 3 ) + 3 + o)) arctg 3/ + o)) + o)) e poiché < 3/ < π/, l ordine crescente è 3 + +, arctg, arcsin ). 5.6 a) Non esiste l ordine di infinito: per +, log )/ α α log converge a 0 se α > e diverge a + se α, non converge per alcun α > 0 ad un numero reale diverso da zero. b) arctg3/) 3/) + o)) per +, è un infinitesimo di ordine. c) Per +, log 3 + ) log 3 log 3 ) + sin cos + sin log 3 + log 3 + / ) log 3 + log 3, cos ) + o)), + + + + + ) 3/ + o)), log 3 + ) log 3 + + sin cos ) log 3 ) + 7/ + o)) è un infinito di ordine 7/. d) Per + la funzione è infinita se α > 0 e infinitesima se α < 0. Si ha α + sin α + o)) se α > / α + / + o)) / + o)) se α / / + o)) se α < /. Perciò se α > 0 si tratta di un infinito di ordine α, mentre se α < 0 si tratta di un infinitesimo di ordine α se / < α < 0 e di ordine / se α /. Analisi matematica, a ed., MacGraw-Hill, 0 0, McGraw-Hill

Svolgimento degli esercizi del Capitolo 5 7 e) Per +, + α ) cos ) + α + o)) α + o)) se α > 0 + o)) se α 0 + o)) se α < 0, è un infinito di ordine α se α >, un infinitesimo di ordine α se 0 < α <, e un infinitesimo di ordine se α 0. 5.7 a) Per n +, e /n sin 4 3/n /n 4 + o)) 3/n 4 3 n /4 + o)), è un infinitesimo di ordine /4. b) Per +, tg 4 e è un infinito di ordine /4. 4 + o)) ) /4 + o)), c) È un infinito ma non esiste l ordine rispetto al campione : per ogni α > 0, si ha log + ) α log + o)) α 0 per +. d) Per 0, log + ) + o)), è un infinitesimo di ordine. e) Per +, 5 3 + arctg log ) e cos/)) 5 π e) + o)), è un infinitesimo di ordine. f) Per n +, ) n + n α + ) log n nα + + o)) n n α + o)) se α > 0 3n + o)) se α 0 n + o)) se α < 0. Perciò la funzione in esame è: un infinito di ordine α se α > ; un infinitesimo di ordine α se 0 < α < ; un infinitesimo di ordine se α 0. Analisi matematica, a ed., MacGraw-Hill, 0 0, McGraw-Hill

Svolgimento degli esercizi del Capitolo 5 8 5.8 g) Per +, log 3 3 / arctg α ) elog 3)/ π + o)) se α > 0 4 log 3 arctg α ) π + o)) se α 0 log 3) α + o)) se α < 0. Perciò la funzione in esame è: un infinito di ordine α se α < ; un infinitesimo di ordine α + se < α < 0; un infinitesimo di ordine se α 0. h) Per +, + α + + Perciò, per + α + o)) se α > + o)) se α + α + α + o)) se < α < ++ + o)) se α ++ + α + o)) se α <. ++ + α ) log + α + + è un infinito di ordine α se α > 0; è un infinitesimo di ordine α se α < 0 e α <, ovvero se /) < α < 0; è un infinitesimo di ordine se α /. Un sottoinsieme di R è compatto se e solo se è limitato. Perciò: a) [, 3] [4, 5] è compatto; b) { n+ : n N} non è chiuso 0 è un punto di accumulazione che non appartiene all insieme), non è compatto; c) [, 3] \ {} [, ), 3] non è chiuso, non è compatto; d) N non è compatto non è limitato); e) {00} è chiuso e limitato, compatto; f) { R : } { R : 4 00}, ] [, + )) [ 0, 0] [ 0, ] [, 0] è compatto; g) { n+ : n N} {0} è chiuso l unico punto di accumulazione, 0, appartiene all insieme) e limitato essendo un sottoinsieme di [0, ]), è compatto. Analisi matematica, a ed., MacGraw-Hill, 0 0, McGraw-Hill