MATEMATICA FINANZIARIA E. Michetti Esercitazioni in aula MOD. 1 E. Michetti (Esercitazioni in aula MOD. 1) MATEMATICA FINANZIARIA 1 / 24
Introduzione e principali grandezze finanziarie Esercizio 1.1 Due parti, A e B, si accordano affinchè A ceda a B 1000 euro fra 3 mesi per riavere 1200 euro fra 15 mesi. Rappresentare tale OF nei due modi e dire di che tipo di OF si tratta, dal punto di vista del soggetto B. E. Michetti (Esercitazioni in aula MOD. 1) MATEMATICA FINANZIARIA 2 / 24
Introduzione e principali grandezze finanziarie Esercizi 1.2 1. Si consideri una OF di investimento che preveda di investire oggi 2100 euro per ottenere 2340 euro fra 18 mesi. (1) Rappresentare tale OF sull asse reale e mediante i vettori flussi-scadenze, (2) Calcolare: l interesse maturato nel periodo, il tasso d interesse associato all operazione, il fattore di capitalizzazione, l intensità d interesse. 2. Si consideri una funzione valore tale che w(5) = 1800 e d(1,5) = 0.1. Si calcoli l importo finanziariamente equivalente al tempo t = 1. Si calcoli inoltre il fattore di montante nel periodo. 3. Sia i(0,3) = 0.08. Calcolare r(0,3), d(0,3), v(0,3) e γ(0,3). 4. Si vogliono investire 100 euro per due anni. Sono date le due alternative: (a) OF con fattore di sconto riferito al periodo pari a 0.9; (b) OF con tasso d interesse riferito al periodo pari a 0.1. Quale è più conveniente? (E da intendersi più conveniente quella che permette di ottenere dopo due anni un importo maggiore) Si svolgano gli esercizi 1.1 della scheda. E. Michetti (Esercitazioni in aula MOD. 1) MATEMATICA FINANZIARIA 3 / 24
Leggi e regimi finanziari Esercizi 1.3 1. Stabilire se r α (t) = 1+αt 3, α > 0, t 0 è un regime di capitalizzazione. 2. Sia r(t) = 1+ln(t 2 +t +1), t 0. Stabilire se r(t) è una legge di capitalizzazione. In caso affermativo, sia w(0) = 100, calcolare il montante prodotto dopo 3 anni nell ipotesi in cui il tempo misuri gli anni. 3. Stabilire se la legge r(t) = 1+t 2 t, t 0 è una possibile funzione fattore di montante. 4. Stabilire per quali valori di α R la seguente famiglia di funzioni descrive un regime di capitalizzazione: r α (t) = 3 2 αt+1. (Si ricorda che la derivata di f(x) = a x è f (x) = a x lna e che la derivata di f(x) = log a (x) è f (x) = 1 x lna ). Si svolgano gli esercizi della scheda, parte 1.2, 1-2. E. Michetti (Esercitazioni in aula MOD. 1) MATEMATICA FINANZIARIA 4 / 24
Leggi e regimi finanziari Esercizi 1.4 1. Sia r(x,y) = e 2(y x), 0 x y. (1) Stabilire se essa è una legge di capitalizzazione a due tempi; (2) scrivere, se possibile, la corrispondente legge di capitalizzazione a un tempo. 2. Sia r(x,y) = (5+y 2 x 2 ) 2 24, 0 x y. (1) Stabilire se essa è una legge di capitalizzazione a due tempi; (2) scrivere, se possibile, la corrispondente legge di capitalizzazione a un tempo. 3. Determinare α R tale che la seguente famiglia di funzioni definisce un regime di capitalizzaione: r α (x,y) = ln[(α(y x)+1) 2 ]+1, 0 x y. Si svolgano gli esercizi della scheda, parte 1.2, 3-5. E. Michetti (Esercitazioni in aula MOD. 1) MATEMATICA FINANZIARIA 5 / 24
Leggi e regimi finanziari Esercizi 1.5 1. Sia v(x,y) = e 0.2(x y), 0 x y. (1) Verificare che è una possibile legge di attualizzazione. (2) Si consideri una somma di 200 euro disponibile fra 14 mesi. Si calcoli l equivalente finanziario fra 2 mesi nell ipotesi che il tempo sia misurato in trimestri. (3) Si scriva, se possibile, la corrispondente legge ad un tempo e si risolva il problema precedente: quale è lo sconto applicato? 2. Sia v α (x,y) = 2 α(y2 x 2), 0 x y. (1) Dire per quali valori di α è definito un regime di attualizzazione; (2) sia α = 0.5 e sia w(3) = 200, calcolare w(1) Si svolgano gli esercizi della scheda, parte 1.2, 6-7. E. Michetti (Esercitazioni in aula MOD. 1) MATEMATICA FINANZIARIA 6 / 24
Leggi e regimi finanziari Esercizio 1.6 Sia r(t) = 1+0.2t 2, t 0. (1) Verificare che è una possibile legge di capitalizzazione. (2) Determinare la legge di attualizzazione ad essa coniugata. (3) Sia w(20) = 100, determinare w(18). Si svolgano gli esercizi della scheda, parte 1.2, 8-9. E. Michetti (Esercitazioni in aula MOD. 1) MATEMATICA FINANZIARIA 7 / 24
Leggi e regimi finanziari Esercizi 1.7 Stabilire se le seguenti funzioni sono leggi finanziarie (di capitalizzazione o di attualizzazione); stabilire inoltre (in base a definizione) se sono traslabili ed in caso affermativo scrivere la corrispondente legge ad un tempo. (a) r(x,y) = 1+ y x, (b) v(x,y) = e (y x)2, (c) v(x,y) = e y2 +x 2. Si svolgano gli esercizi della scheda, parte 1.2, 10. E. Michetti (Esercitazioni in aula MOD. 1) MATEMATICA FINANZIARIA 8 / 24
Leggi e regimi finanziari Esercizi 1.8 Stabilire se le seguenti funzioni sono leggi finanziarie (di capitalizzazione o di attualizzazione); stabilire inoltre (in base a definizione) se sono scindibili. (a) r(x,y) = (1.5) 2(y x), (b) v(x,y) = 1 (y x)+1. Si svolgano gli esercizi della scheda, parte 1.2, 11. E. Michetti (Esercitazioni in aula MOD. 1) MATEMATICA FINANZIARIA 9 / 24
Leggi e regimi finanziari Esercizi 1.9 1. Calcolare la forza d interesse associata alle seguenti leggi di capitalizzazione: (a) r(t) = 1+3t 2, (b) r(t) = e t3 t 2. 2. Date le seguenti forze d interesse calcolare il regime di capitalizzazione associato: (a) δ(t) = t +1, (b) δ(t) = 6. Si svolgano gli esercizi della scheda, parte 1.2, 12-14. E. Michetti (Esercitazioni in aula MOD. 1) MATEMATICA FINANZIARIA 10 / 24
Leggi e regimi finanziari Esercizi 1.10 1. Data r(x,y) = e 1/2(y x), dire se è scindibile e in caso affermativo verificare che la forza d interesse associata non dipende da x. 2. Data r(x,y) = 1+y x dire se è traslabile e in caso affermativo verificare che la forza d interesse associata dipende da t. Si svolgano gli esercizi della scheda, parte 1.2, 15. E. Michetti (Esercitazioni in aula MOD. 1) MATEMATICA FINANZIARIA 11 / 24
Regime degli Interessi Semplici (RIS) Esercizi 1.11 1. Sia w(0) = 1000 euro il capitale iniziale. Esso è investito per 9 mesi nel RIS al tasso semestrale del 6%. Calcolare il montante prodotto. 2. Una somma di 2000 euro è investita nel RIS al tasso d interesse semestrale del 1%. Stabilire dopo quanto tempo tale investimento produce un montante pari a 2500 euro. E. Michetti (Esercitazioni in aula MOD. 1) MATEMATICA FINANZIARIA 12 / 24
Regime degli Interessi Semplici (RIS) Esercizi 1.12 1. Sia A = {( 100,110);(1,2)} e B = {( 1000,1200);(1/2,1 +7/12)}. Confrontare nel RIS i tassi d interesse riferiti a ciascuna OF (si faccia uso della proprietà di traslabilità). 2. Si determini il montante che si ottiene investendo 100 euro fra 4 mesi al tasso d interesse i 4 = 0.001 con scadenza fra 2 anni nel RIS. 3. Si determini il montante prodotto da un investimento di 100 euro per due mesi essendo la forza d interesse δ(t) = 0.05 1+0.05t (t misura gli anni). E. Michetti (Esercitazioni in aula MOD. 1) MATEMATICA FINANZIARIA 13 / 24
Regime degli Interessi Semplici (RIS) Esercizi 1.13 1. Si consideri una somma di 1000 euro disponibile fra 6 anni. Si calcoli il valore attuale fra 3 anni nel RIS essendo il tasso d interesse bimestrale pari al 1%. 2. Siano 1000 euro il valore attuale ad un certo tempo t di 5000 euro disponibili fra 10 anni. Sia inoltre il tasso effettivo di sconto mensile d 12 = 0.1. Si calcoli t nel RIS. Si svolgano gli esercizi della scheda, parte 1.3, 1-2. E. Michetti (Esercitazioni in aula MOD. 1) MATEMATICA FINANZIARIA 14 / 24
Regime degli Interessi Anticipati (RIA) Esercizi 1.14 1. Dato un capitale iniziale di 1000 euro da investire per 5 anni nel RIA si calcoli il montante prodotto nelle due seguenti ipotesi: (a) è impiegato un tasso di sconto annuale del 10%; (b) è impiegato un tasso d interesse annuo del 10%. 2. Dato un capitale iniziale di 200 euro, calcolare il montante prodotto dopo tre anni nel RIA essendo il tasso di sconto semestrale del 5%. E. Michetti (Esercitazioni in aula MOD. 1) MATEMATICA FINANZIARIA 15 / 24
Regime degli Interessi Anticipati (RIA) Esercizi 1.15 1. Calcolare la forza d interesse nel RIA essendo i = 2% il tasso d interesse riferito ad una unità temporale. 2. Avendo 500 euro fra 11 mesi, sia il suo valore attuale ad oggi pari a 420 euro. Calcolare il tasso effettivo d interesse mensile applicato nel RIA. 3. Sia w(23) = 2000 (t misura i mesi). Si dica in quale momento il suo valore attuale è di 1800 euro essendo il tasso di sconto mensile del 2% (nel RIA). E. Michetti (Esercitazioni in aula MOD. 1) MATEMATICA FINANZIARIA 16 / 24
Regime degli Interessi Anticipati (RIA) Esercizi 1.16 1. Si calcoli il valore fra 3 mesi di 1000 euro disponibili fra 11 mesi nel RIA, essendo i 2 = 0.05. 2. Si hanno 1200 euro fra 4 mesi. Si calcoli il montante prodotto dopo 6 bimestri nel RIA essendo d = 3%. 3. Confrontare nel RIA il tasso d interesse annuo applicato nelle due seguenti OF: A = {( 2000,2400);(27/360,1 +80/360)} e B = {( 100,180);(20/12,34/12)}. Si svolgano gli esercizi della scheda, parte 1.3, 3-4. E. Michetti (Esercitazioni in aula MOD. 1) MATEMATICA FINANZIARIA 17 / 24
Regime degli Interessi Composti (RIC) Esercizi 1.17 1. Fra 18 mesi viene investita una somma di 1000 euro. Calcolare il montante che si ottiene dopo 5 mesi nel RIC essendo il tasso d interesse mensile pari al 1%. 2. 100 euro impiegati oggi producono dopo 6 anni un montante pari a 130 euro. Calcolare il tasso annuale di sconto impiegato nel RIC. 3. Determinare dopo quanto tempo un investimento di 100 euro nel RIC al tasso i=8% produrrà un montante pari a 130 euro. E. Michetti (Esercitazioni in aula MOD. 1) MATEMATICA FINANZIARIA 18 / 24
Regime degli Interessi Composti (RIC) Esercizi 1.18 1. Si calcoli il tasso di sconto semestrale che permette di realizzare dall investimento di 1200 euro per 16 mesi un montante pari a 1400 euro nel RIC. 2. Siano A = {(100, 110);(3/12,17/12)} e B = {(500, 580);(0,1)}. Si confrontino i tassi d interesse annuali nel RIC applicati alle due OF (si consideri che si tratta di OF di provvista). E. Michetti (Esercitazioni in aula MOD. 1) MATEMATICA FINANZIARIA 19 / 24
Regime degli Interessi Composti (RIC) Esercizio 1.19 Si hanno due proposte alternative di investimento nel RIC. (a) E applicato un tasso nominale annuo convertibile tre volte del 5%. (b) E applicato un tasso nominale annuo convertibile due volte del 7%. Quale proposta conviene? E dovendo indebitarsi? E. Michetti (Esercitazioni in aula MOD. 1) MATEMATICA FINANZIARIA 20 / 24
Regime degli Interessi Composti (RIC) Esercizi 1.20 1. Fra 28 mesi scade una cambiale di 5000 euro. E portata allo sconto e la banca propone due alternative (nel RIC): (a) sconto con tasso di sconto quadrimestrale del 3%, (b) sconto con tasso d interesse nominale convertibile due volte l anno del 7%. Scegliere l alternativa più conveniente. 2. Data una cambiale di 1000 euro che scade fra 10 anni ed essendo dato un tasso nominale annuo convertibile 2 volte del 8%, si dica in quale momento il valore scontato di tale cambiale e pari a 950 euro. Si svolgano gli esercizi della scheda, parte 1.3, 5-6. E. Michetti (Esercitazioni in aula MOD. 1) MATEMATICA FINANZIARIA 21 / 24
Confronto fra regimi Esercizi 1.21 1. Dovendo investire una certa somma per 18 mesi, stabilire quale regime conviene se è fissato un comune tasso di interesse biennale. 2. Dovendo portare allo sconto una cambiale che scade fra 4 mesi ed essendo fissato un comune tasso d interesse semestrale, stabilire quale regime conviene. E. Michetti (Esercitazioni in aula MOD. 1) MATEMATICA FINANZIARIA 22 / 24
Confronto fra regimi Esercizi 1.22 1. Stabilire quale OF di investimento di durata biennale produce un maggiore interesse. (a) Investire 2000 euro per un anno nel RIC al tasso di sconto semestrale del 2% e per l anno successivo investire la somma realizzata nel RIS al tasso d interesse mensile dello 0.5%. (b) Investire 1800 euro per 18 mesi al regime associato ad una forza d interesse δ(t) = 0.03 (t misura gli anni). L importo realizzato è investito per i successivi 6 mesi nel RIA essendo il tasso di sconto bimestrale del 1%. 2. Confrontare le due seguenti OF di sconto. (a) Sconto di 1000 eurodisponibili fra 15 mesi nel RIC essendo il tasso nominale annuo convertibile 3 volte pari al 5%. (b) Sconto di 1200 euro disponibili fra 15 mesi nel RIA essendo il tasso di sconto bimestrale pari al 7%. E. Michetti (Esercitazioni in aula MOD. 1) MATEMATICA FINANZIARIA 23 / 24
Confronto fra regimi Esercizi 1.23 1. Avendo a disposizione 10000 euro da investire per 42 mesi, si scelga la più conveniente fra le seguenti alternative (a) E assegnata una legge di attualizzazione v(t) = 2 2+0.1t ove t misura gli anni. (b) Si utilizza una legge di capitalizzazione associata ad una forza d interesse δ(t) = 0.01t, ove t misura un biennio. (c) Si impiega il capitale nel RIS per i primi 18 mesi al tasso d interesse trimestrale dello 0.8%; la somma realizzata è reinvestita per il tempo restante nel RIC al tasso di sconto biennale del 5%. 2. Si presenta allo sconto una cambiale di 2000 euro che scade fra 60 giorni. Si scelga la proposta più conveniente fra le seguenti. (a) Sconto nel RIA con tasso d interesse mensile del 2%. (b) Sconto nel RIC essendo la forza d interesse pari al 3% e il tempo misurato in anni. Si svolgano gli esercizi della scheda, parte 1.3, 7-17. E. Michetti (Esercitazioni in aula MOD. 1) MATEMATICA FINANZIARIA 24 / 24