Prof.. Di Muro Operatore delta Introduciamo un operatore che rappresenta una piccola variazione della grandezza fisica F. F = F fale F iziale se n è una costante n = 0 fatti la costante non varia. Questo operatore è un operatore leare, ovvero un operatore che soddisfa la seguente proprietà: ( m + n B ) = m + n B con m ed n costanti fatti ( m + n B ) = ( m + n B ) f ( m + n B ) i = ( m f + n B f ) ( m i + n B i ) = m ( f i ) + n ( B f B i ) = m + n B c.v.d. zione dell operatore sul prodotto: ( B) = (B) f (B) i Ricordando che f = i + e ponendo semplicemente i = si ha ( i + ) ( B i + B ) (B) i = B + B + B B + B Perché B è trascurabile rispetto agli altri termi quanto prodotto due piccole variazioni Interpretazione geometrica: Considerando un rettangolo di lati e B, effettuando una variazione dei lati, il rettangolo aumenta la sua area. Se la variazione è sufficientemente piccola si può trascurare rispetto all area totale l area colore. In defitiva B B B B B ( B) = B + B nalogamente per un prodotto di tre fattori: ( B C) = [( B ) C] = ( B) C + C ( B) = B C + C B + B C zione dell operatore sul rapporto: ( B ) = ( B1 ) = B 1 + B 1 = B B +B 1 = B B B In defitiva ( B ) = B B B
Prof.. Di Muro zione dell operatore sulla potenza: In defitiva ( n ) = ( n ) = n n 1 Portar fuori............... = n n 1 n volte n-1 volte n-1 volte n-1 volte n volte Esempio: per portar fuori dall operatore delta una potenza di una grandezza fisica si applica la regola vista x 5 = 5 x x Portar dentro È l operazione versa della precedente Da n n 1 = ( n ), posto m = n 1 si ha ( ) m = ( m+1 ) e qudi, m = Esempio: per portar dentro all operatore delta una potenza di una grandezza fisica si applica la regola vista x x = x. Occorre tuttavia fare attenzione perché se aggiungiamo una costante nell operatore delta a secondo membro, il risultato non cambia x = x x Ma anche ( x + 7 ) = x x = x = x x In defitiva la regola è m = ( + C ) con C costante. Per cui l esempio precedente deve essere corretto così: x x = ( x + C ) Esempi: x = ( x + C ) ( x + ) x = ( x + x + C ) Sommatoria dell operatore : = 0 1 i f = n f = 1 + +..+ n = 1 0 + 1 + +.+ n n 1 = = n 0 = f. In defitiva f f
Prof.. Di Muro Derivata Quando la variazione di una grandezza fisica è fitesima ( piccola, ma proprio piccola ), i matematici usano una notazione ed un nome diverso per la variazione. La notazione è d ( di ) ed il nome è differenziale. Riscriviamo le regole viste con la nuova notazione: 1. d( m + n B ) = m d + n d B con m ed n costanti. d( B) = d B + B d. d( n ) = n n 1 d In particolare l ultima relazione può essere scritta come: d( n ) d = n n 1 che si legge la variazione della grandezza n rispetto ad una variazione fitesima della grandezza è uguale ad n n 1, oppure modo più breve la derivata della grandezza n rispetto ad è uguale ad n n 1. In generale potremmo considerare, anziché la potenza ennesima di una qualsiasi funzione di che cos dicheremo con f ( ), p. es. f( ), tal caso si avrà 5 d f ( ) derivata di f ( ) rispetto ad d Il simbolo d significa derivata rispetto ad, ciò che deve essere derivato, ovvero f ( ), sta alla d destra del simbolo. Esempio: d ( x ) 1x f( x) df ( x) Da un punto di vista matematico, il passaggio da a è dato da un operazione detta limite, x f ( x) df ( x) e si scrive: lim, ciò significa che se la variazione x diventa piccolissima o meglio x 0 x f( x) tende a zero ( da cui la scrittura x 0 ), allora il rapporto detto rapporto crementale è x df ( x) proprio la derivata.
Prof.. Di Muro Dalla regola N 1. supponendo che e B dipendano dalla variabile x, cioè ( x ) e B ( x ), dividendo tutto per si ha: d d db ( m nb) m n ciò significa che la derivata è un operatore leare. Dalla regola N. con la stessa ipotesi, dividendo tutto per si ha: d B d B d B che costituisce la regola per derivare un prodotto di funzioni. Esercizi: derivare la funzione: 5 y x x dy 5x 9x derivare la funzione: y ( x x )( x x 1) dy d( x x ) d( x x 1) ( x x 1) ( x x ) ( 6x 1)( x x 1) ( x x )( x 1)
Prof.. Di Muro Integrale Consideriamo ora le restanti regole m = ( + C ) f f La prima scritta con i differenziali diventa m d = d ( + C ) e la seconda f d f. Il simbolo sommatoria quando la grandezza varia modo contuo. è il simbolo di tegrazione e sostituisce la Infatti quando i d l tervallo p. es. = 1 diventa via via più piccolo fo ad essere fitesimo; ciò comporta che aumenta il numero di parti cui l tervallo f è suddiviso, questo numero di suddivisioni cresce e, nel limite, al dimuire di i diventa fitamente grande. = 0 1 i f = n = 0 1 i m > n f = m Il tutto, matematicamente, viene espresso con: i n 1 f lim d n La f d si legge, tegrale da a f d. a f sono detti estremi di tegrazione, è l estremo feriore ed f l estremo superiore. Esercizio: 5 5 Quando un tegrale presenta gli estremi di tegrazione viene detto tegrale defito. Quando vece non presenta gli estremi di tegrazione viene detto tegrale defito.
Si presenta, generale, il problema di tegrare una funzione: b a f ( x) Prof.. Di Muro Come si vede la funzione f ( x ) è posta tra il simbolo d tegrale ed il differenziale ed è detta funzione tegranda. Nell esercizio precedente f ( x ) = 1 è ciò ha comportato una facile risoluzione, ma non è sempre così. È bene specificare che il simbolo non è l tegrale, ma solo il simbolo d tegrale, se si parla di tegrale il simbolo è sempre associato ad un differenziale. Lavorando con l operatore delta si era detto che l operazione del portar fuori.era l versa dell operazione del portar dentro., ma l operazione del portar fuori.corrisponde alla derivazione mentre l operazione del portar dentro. corrisponde all tegrazione, qudi l tegrazione è l operazione versa della derivazione, un po come la radice quadrata è l operazione versa del quadrato. Quando ad una funzione si applica un operatore e qudi si applica l operatore verso la funzione resta alterata, p. es. ( f ( x) ) f ( x) nello stesso modo x oppure d pplichiamo ora il simbolo di tegrale alla prima regola, che ricordiamo è: m d = d ( + C ) m1 m1 m1 m d( C) 1 m1 C Si ha: d d( C) C ' m 1 m 1 m 1 m 1 C ricordando che le costanti possono essere portate fuori e ridefendo la costante C '. m 1 bbiamo ricavato qudi una regola per tegrare i polomi: m1 m d C m 1 Sia l operatore derivata che l operatore tegrale sono operatori leari ( ciò discende dal fatto che, come abbiamo dimostrato precedentemente, l operatore delta è leare ). Ciò significa che: con m ed n costanti. d d db ( m nb) m n e che ( m nb) m n B Esercizio: Data la funzione f ( x) x x calcolare la sua derivata rispetto ad x. df ( x ) d (x x ) d ( x ) d 6x 1 Data la funzione g x ( ) 6x 1 tegrarla rispetto ad x e calcolare la costante per riottenere la f ( x ). x (6x 1) 6 x 6 x C x x C Confrontando con la f ( x ) deve essere C =.
Prof.. Di Muro Schema riassuntivo La derivata e l tegrale sono operatori leari: con m ed n costanti. d d db ( m nb) m n e ( m nb) m n B La derivata di un prodotto segue la regola: d B d B d B nota bene: l tegrale di un prodotto non segue la stessa regola. La derivata di una potenza segue la regola: d n n n1 L tegrale di una potenza segue la regola: m1 m d C m 1 Esercizi: tegrare la funzione: y 5x 9x 5 x x 5 (5x 9 x ) 5 x 9 x 5 9 x x C 5 Integrare nell tervallo [, ] la funzione y x x 7 8 8 x x ( ) Integrare la funzione y x x sapendo che per x 1 l tegrale vale ( ) x x x x x x C Ponendo la condizione detta condizione iziale si ha: 1 1 C da cui 1 C per cui l tegrale è x x 1.