La stuttua stellae
La stuttua stellae Una stella è una sfea di gas tenuta insieme dall auto gavità ed il cui collasso è impedito dalla pesenza di gadienti di pessione. Con ottima appossimazione una stella è un sistema a simmetia sfeica, ovveo le gandezze fisiche sono funzione soltanto della distanza dal cento della stella. Pima di pocedee vediamo alcuni cenni di teoia del campo gavitazionale. Il campo gavitazionale in P geneato da una massa puntifome in P è ( x) = GM x x petanto il campo geneato da una distibuzione di massa è ( x) = G ( x )d x x d = d 3 x dm = ( x )d 2
La stuttua stellae ediamo oa di ottenee l enegia gavitazionale. Data una distibuzione di massa l elemento di massa in i è soggetto al campo gavitazionale geneato dall elemento di massa in j ovveo l enegia gavitazionale associata saà W ij = m i j ( x i )= ( x i ) j ( x i ) i W = 1 2 dove ϕj(xi) è il potenziale gavitazionale geneato dalla massa j in i ed il fattoe 1/2 è necessaio pe non contae due volte l enegia gavitazionale dell inteazione ij ovveo ΔWij e ΔWji sono la stessa cosa e devono contibuie una sola volta a W. Infine, passando al limite pe elementi di volume infinitesimi W = 1 2 ( x) ( x) d X che espime l enegia potenziale di una distibuzione di massa. i6=j ( x i ) j ( x i ) i 3
La stuttua stellae sostituiamo oa l espessione del potenziale in W W = 1 2 = 1 2 G d 3 x ( x) 1 2 x x 2 = 1 2 = 1 2 = 1 2 d 3 x " G ( x )d 3 x x x # d 3 x ( x) ( x ) x x 3 x x 2 X (x i x i)(x i x i) i X i X i x i (x i x i) 1 2 x i (x i x i)+ 1 2 X j x j(x j x j) X x j(x j x j ) j 4
La stuttua stellae ma siccome nell integale le vaiabili x e x sono pefettamente intescambiabili alloa posso scivee (sempe e solo ai fini dell integale) 1 2 x x 2 = X i x i (x i x i)=x (x x ) ovveo W = W = G d 3 x d 3 x ( x) x d 3 x ( x) ( x ) x x 3 x ( x x ) apple d 3 x G ( x ) x x 3 ( x x ) ma l espessione ta le paentesi quade è quella del campo gavitazionale geneato dalla stessa distibuzione di massa g( x) = G ( x )d 3 x x x 3 ( x x ) 5
Intoduzione alla stuttua stellae pe cui si ottiene un alta espessione pe l enegia potenziale gavitazionale Pe calcolae W si può adesso utilizzae una popietà notevole della foza gavitazionale ovveo il teoema di Gauss secondo cui, data una supeficie chiusa S, si ha W = S g nds = ( x) x gd 4 GM dove n è la nomale all elemento di supeficie ds, ed M è la massa contenuta all inteno di S. Questo teoema è l analogo di quello visto nel coso di Fisica II pe il campo elettostatico. 6
Intoduzione alla stuttua stellae Con una distibuzione sfeica di massa M(), se S è supeficie sfeica di aggio si ha ovveo g = g()u n = u 4 GM() = g nds = g() ds = g() S S petanto g a distanza dal cento dipende soltanto nella massa contenuta all'inteno della sfea di aggio ed è la stessa che si avebbe se questa massa fosse concentata nel cento della sfea stessa. Alloa l enegia potenziale di una distibuzione sfeica di massa è W = W = g() = GM() 2 ( x) x gd = GM() () d () u S GM() 2 ds = g()4 2 u d 7
Il tempo di fee fall edemo come questa elazione saà utile ta poco, ma pe adesso consideiamo solo la massa dm contenuta nell elemento di volume d a distanza dal cento (shell sfeica), la sua enegia potenziale gavitazionale è dw = GM( ) dm = ( )d dm Supponiamo che questo elemento di massa sia in caduta libea alloa dalla consevazione dell enegia meccanica, al aggio si avà 1 2 dm d dt 2 GM() dm = 1 2 dm d dt 2 GM( ) = Se tutta la massa è in caduta libea patendo da fema si ha M() = M() e d/dt = pe =. dm 8
Il tempo di fee fall Si ottiene 1 2 d dt d dt = 2 = GM( ) s 2GM( ) 1 GM( ) 1 il segno - è stato scelto dal fatto che il gas deve cadee veso il cento ( = ) pe cui d/dt <. Sepaando le vaiabili ed integando membo a membo si ottiene il tempo che la distibuzione di massa impiega a collassae nel cento ff dt = apple 2GM( ) 1 1 1/2 d 9
Il tempo di fee fall Ponendo x = /, d = dx si ottiene infine ff = apple 2GM( ) 3 1/2 1 l integale definito si calcola ponendo x 1 x 1/2 dx x =sin 2 dx =2sin cos d 1 1/2 x /2 sin 2 dx = 1 x cos 2 1/2 2 sin cos d = /2 2 sin 2 d = 2 Definendo la densità media = M( ) 4 3 3 1
Il tempo di fee fall si può espimee M()/ 3 in funzione di ρ ottenendo alla fine ff = 1/2 3 32G nel caso del Sole ff = 3 32 6.7 1 8 cgs 1.4 g cm 3 1/2 = 18 s quindi, in assenza di suppoto, il Sole collasseebbe nell aco di mezz oa. Questo non avviene peché il Sole è in equilibio idostatico. 11
L equilibio idostatico Nel caso di equilibio idostatico, si è visto nel coso di Fluidi che P = g dove P è la pessione del gas, ρ la densità e g l acceleazione di gavità (il campo gavitazionale). Nel caso semplificato di simmetia sfeica che si applica alle stelle, solo la componente adiale di quella equazione vettoiale non è identicamente nulla pe cui si ha dp () d = GM() 2 () questa è l equazione dell equilibio idostatico ed è la pima equazione utilizzata pe deteminae la stuttua delle stelle. Si noti come il gadiente di pessione è negativo, poiché la pessione deve aumentae veso l inteno pe bilanciae la foza di gavità che tendeebbe a fa collassae gli stati esteni. 12
Il teoema del viiale Dall equazione dell equilibio idostatico è possibile impaae molte cose. Moltiplicando membo a membo pe 4π 3 d ed integando ta = e =? 4 3 dp d d =? GM() () 4 2 d icodando che l elemento di volume è d = 4π 2 d e l espessione pe l enegia potenziale gavitazionale W, si nota come il secondo membo è popio pai a W. Integando il pimo membo pe pati si ottiene? 4 3 dp d d =3 apple 4 3 3 P ( )? P 4 2 d ma P( )= poiché è la pessione alla supeficie della stelle, inolte definendo la pessione media P = R? P d R? d = R? P d 13
Il teoema del viiale si ottiene? 4 3 dp d d = 3 P quindi integando l equazione dell equilibio idostatico si è giunti alla elazione 3 P = W che appesenta una delle molte fome del Teoema del iiale che, in geneale, si applica ai sistemi legati gavitazionalmente. Supponiamo che il gas sia ideale, non elativistico (v c) e composto di paticelle uguali, alloa P = nrt dove Δ è un volume di gas, P pessione, T tempeatua e Δn il numeo di moli. Ricodando che n = N/NA (NA numeo Avogado) e R/NA = k (k costante di Boltzmann) si ha P = NkT 14
Il teoema del viiale L enegia cinetica pe paticella dovuta all agitazione temica è 3/2 kt (gas pefetto monoatomico) pe cui l enegia totale in Δ è E th =3/2 NkT ovveo P = 2 3 E th = 2 3 E th cioè pe un gas ideale non elativistico la pessione è 2/3 della densità di enegia temica. Questa elazione vale in ogni punto della stella, dove posso definie pessione e tempeatua (equilibio temodinamico locale). Moltiplicando membo a membo pe d = 4π 2 d e integando sul volume della stella otteniamo? 4 2 P ()d = 2 3? E th d 15
Il teoema del viiale ovveo nella notazione di pima P = 2 3 ETOT th dove Eth TOT è l enegia temica totale immagazzinata nella stella. Sostituendo nel teoema del viiale si ottiene infine E TOT th = 1 2 E gav foma altenativa del teoema del viiale. Ricodiamo che Egav < poichè il sistema è legato. Se una stella si contae, Egav diminuisce (ovveo diventa più negativa) e, di conseguenza, la sua enegia temica aumenta. In patica una stella ha una capacità temica negativa, e questo fatto è alla base di tutta l'evoluzione stellae. 16
Il teoema del viiale Alte fome del teoema del viiale sono E TOT = Eth TOT + E gav = Eth TOT = 1 2 E gav Siccome tutte le stelle iaggiano (pedono) enegia sono destinate pima o poi a collassae (Egav diventa sempe più negativo). Consideiamo nuovamente P = 1 3 E TOT gav e supponiamo, in pima appossimazione, che ρ sia costante, alloa si ha E gav =? GM() 4 2 d =? G 4 3 3 4 2 d = G 4 3 2 4? 4 d 17
Il teoema del viiale ovveo E gav = 3 5 G 4 3 3 4 3 3 = 3 5 GM 2 dove M è la massa della stella e ρ è costante. Se ρ decescesse con, Egav saebbe più negativo (sistema più legato) con un coefficiente > 3/5. In conclusione, a meno di una costante, il valoe caatteistico dell enegia gavitazionale di una stella è E gav = GM 2 ovveo P = 1 3 E gav = GM 2 4 4 nel caso del Sole si avebbe P = GM 2 4 4 115 dyne cm 2 18
Il teoema del viiale icodiamo che 1 dyne cm -2 = 1 g cm s -2 cm -2 = 1-1 (kg m s -2 ) m -2 = 1-1 Pa. Poichè 1 5 Pa 1 atm isulta infine P = 1 14 Pa = 1 9 atm ovveo la pessione media del Sole è 1 9 volte quella dell atmosfea teeste Pe stimae il valoe tipico della tempeatua E TOT th = 1 2 E gav 3 2 NkT vi 1 2 GM 2 kt vi GM 2 3N con N numeo totale di paticelle nella stella. M = m N dove m è la massa media delle paticelle. 19
Il teoema del viiale Se il gas è fatto di solo H, ad 1 potone coisponde un elettone ovveo m = m p + m e 2 = 1 2 m p 1+ m e m p ' 1 2 m p poiché me/mp ~ 1/2. Sostituendo pe N si ottiene infine kt vi GM m p 6 Nel caso del Sole kt vi 5.4 1 1 eg =.34 ke con k = 1.4 1-16 eg K -1 si ha T vi 4 1 6 K si icoda che questa è una tempeatua media (viiale) della stuttua stellae ed è ovviamente divesa dalla tempeatue supeficiali stimate dagli spetti stellai e che si utilizzano pe ottenee la luminosità della stella con la fomula del copo neo. Come vedemo più avanti, a tempeatue di questo odine di gandezza possono ave luogo le eazioni di fusione temonucleae. 2