Scomposizione in fratti semplici

0.0. 2.2 Scomposizione in fratti semplici La determinazione dell evoluzione libera e dell evoluzione forzata di un sistema lineare stazionario richiede l antitrasformazione di una funzione razionale fratta di questo tipo: N(s) D(s) := b ms m +b m s m +...+b s+b 0 s n +a n s n +...+a s+a 0 La differenza r = n m fra i gradi del denominatore e del numeratore prende il nome di grado relativo della funzione razionale Y(s). La funzione Y(s) può essere scomposta in fratti semplici solo se è strettamente propria, cioè se presenta un grado relativo r. Se la funzione Y(s) ha grado relativo r = 0 può essere scomposta nel seguente modo: y 0 +Y (s) dove la costante y 0 e la funzione Y (s), con grado relativo r, sono: y 0 = lim s Y(s), Y (s) = Y(s) y 0. La funzione Y(s) può sempre essere espressa anche in forma fattorizzata: K (s z )(s z 2 )...(s z m ) (s p )(s p 2 )...(s p n ) Le costanti complesse z,...,z m e p,...,p n vengono dette, rispettivamente, zeri e poli della funzione Y(s). Valutazione grafica della funzione Y(s):

2.2. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI 2.2 2 Ad ogni polo reale p i della funzione Y(s) viene associata una costante di tempo τ i così definita: Im τ i = p i p i = τ i Re La costante di tempo τ i è positiva solo se il polo reale p i è negativo. In modo analogo, per gli zeri reali z j vale la relazione: τ j = /z j. Nel caso di poli complessi coniugati, p,2 = σ ± jω, (σ è la parte reale e ω è la parte immaginaria del polo) si utilizza anche la seguente parametrizzazione di tipo polare : p,2 = σ ±jω = δω n ±jω n δ 2 = ω n cosϕ±jω n sinϕ p Im ω dove ω n è detta pulsazione naturale: ϕ ω n ω n = p = p 2 = σ 2 +ω 2 e δ è detto coefficiente di smorzamento: δ = cosϕ = σ σ2 +ω 2 p 2 σ Re Valgono le relazioni seguenti: σ = δω n, ω = ω n δ 2 In relazione all antitrasformazione si distinguono due casi: i) tutti i poli della funzione Y(s) sono semplici; ii) la funzione Y(s) ha anche poli multipli.

2.2. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI 2.2 3 Antitrasformazione nel caso di poli semplici Nel caso di poli semplici la funzione può essere scomposta come segue: N(s) n (s p )(s p 2 )...(s p n ) = i= K i s p i Le costanti K i (dette residui) sono reali in corrispondenza dei poli reali e complesse coniugate in corrispondenza delle coppie di poli complessi coniugati. Le costanti K i si ricavano utilizzando la seguente formula: K i = (s p i )Y(s) s=pi Una volta che la funzione Y(s) è stata scomposta in fratti semplici, è immediato antitrasformarla: y(t) = n K i e p it i= Esempio. Sia Y(s) := I residui si calcolano nel modo seguente: per cui si può scrivere e quindi 5s+3 (s+)(s+2)(s+3) = K s+ + K 2 s+2 + K 3 s+3 K = K 2 = K 3 = 5( )+3 ( +2)( +3) = 5( 2)+3 ( 2+)( 2+3) = 7 5( 3)+3 ( 3+)( 3+2) = 6 s+ + 7 s+2 6 s+3 y(t) = e t +7e 2t 6e 3t

2.2. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI 2.2 4 Quando si hanno coppie di poli complessi coniugati p = σ +jω, p 2 = σ jω anche i residui sono complessi coniugati p ϕ Im ω n ω K = u +jv, K 2 = u jv La somma di fratti semplici ad essi relativa è σ Re Posto u +jv s σ jω + u jv s σ +jω M := 2 K = 2 u 2 +v2, ϕ := argk = arg(u +jv ), p 2 si può scrivere ( M e jϕ e jϕ ) + 2 s σ jω s σ +jω da cui, antitrasformando, si ottiene M ( e σ t+j(ω t+ϕ ) +e ) σ t j(ω t+ϕ ), 2 funzione che può essere posta nella forma, Esempio. Sia: M e σ t cos(ω t+ϕ ) oppure M e σ t sen(ω t+ϕ +π/2) Y(s) := 7s2 8s+5 s 3 +2s 2 +5s = K s + K 2 s+ j2 + K 3 s++j2 I residui sono i seguenti: 7 0 8 0+5 K = (0+ j2)(0++j2) = e pertanto K 2 = 7( +j2)2 8( +j2)+5 ( +j2)( +j2++j2) = 3+j4 K 3 = 7( j2)2 8( j2)+5 ( j2)( j2+ j2) = 3 j4 s + 3+j4 s+ j2 + 3 j4 s++j2, da cui, antitrasformando, y(t) = +0e t cos(2t+ϕ), dove 0 = 2 K 2 = 2 3 2 +4 2 e ϕ=arctan(4/3)=53.3.

2.2. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI 2.2 5 Antitrasformazione nel caso di poli multipli Si suppone che la funzione razionale Y(s) abbia h poli distinti p i (i =,...,h), ciascuno caratterizzato da un ordine di molteplicità r i : N(s) h (s p ) r (s p2 ) r 2...(s ph ) = r h Le costanti K il si ricavano mediante la formula K il = (l )! i= r i l= d l [ (s p ds l i ) r i Y(s)] s=p i K il (s p i ) r i l+ dove (i =,...,h;l =,...,r i ). Antitrasformando la Y(s) si ottiene: y(t) = h i= r i l= K il (r i l)! tr i l e p it I coefficienti K il sono complessi coniugati in corrispondenza di poli complessi coniugati. I termini complessi coniugati corrispondono a prodotti di esponenziali reali e funzioni trigonometriche, e si ottengono con un procedimento del tutto analogo a quello seguito nel caso di poli distinti. Esempio: dove (s+2)(s+) 2 = K s+2 + K 22 s+ + K 2 (s+) 2 K = [(s+2)y(s)] s= 2 = K 22 = d [ (s+) 2 Y(s) ] = d ds s= ds [ s+2] s= = K 2 = [ (s+) 2 Y(s) ] s= = Antitrasformando si ottiene: y(t) = e 2t e t +te t

2.2. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI 2.2 6 Sviluppi in somme di fratti semplici Si consideri il rapporto di polinomi Valgono le seguenti proprietà: b ms m +b m s m +...+b s+b 0 a n s n +a n s n +...+a s+a 0 i) se è n=m+, la somma dei residui di Y(s) è b m an ; ii) se è n>m+, la somma dei residui di Y(s) è zero. Si ricorda che, nello sviluppo in fratti, i residui di Y(s) sono i coefficienti dei termini con polinomio a denominatore di primo grado. Esempio : s z (s p )(s p 2 )(s p 3 ) = A + B + C s p s p 2 s p 3 Calcolati A e B, il calcolo del residuo C è immediato: C = (A+B). Esempio 2: (s p ) 2 (s p 2 ) = A (s p ) + B + C 2 s p s p 2 Il coefficiente A e il residuo C si possono calcolare immediatamente: A = p p 2, C = Applicando la proprietà ii si deduce: B= C. Esempio 3: (p 2 p ) 2 s z (s p ) 3 (s p 2 ) = A (s p ) + B 3 (s p ) + C + D 2 s p s p 2 Il coefficiente A e il residuo D si calcolano immediatamente. Applicando la proprietà ii si deduce: C = D. Moltiplicando ambo i membri dello sviluppo per (s p ) si ottiene: s z A = (s p ) 2 (s p 2 ) (s p ) + B +C +D s p 2 s p s p 2 A = (s p ) + B + E 2 s p s p 2 da cui si calcola E = p 2 z (p 2 p ) 2 Applicando la proprietà ii al nuovo sviluppo, si ottiene B= E.

2.2. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI 2.2 7 Approccio diretto all antitrasformazione: poli semplici Nel caso in cui la funzione Y(s) sia posta nella seguente forma: N(s) (s+a )...(s+a p )[(s+σ ) 2 +ω 2]...[(s+σ q) 2 +ωq 2] caratterizzatadappolirealisempliciinp i = a i edaqpolicomplessiconiugati semplici in p j = σ j ±jω j, la funzione antitrasformata y(t) = L - [Y(s)] può essere calcolata anche nel seguente modo: y(t)= p K i e ait + i= q j= H j ω j e σ jt sin ( ω j t+arg H j ) dove i coefficienti K i e H j si calcolano utilizzando le seguenti formule: K i = (s+a i )Y(s) s= ai H j = [(s+σ j ) 2 +ω 2 j ]Y(s) s= σj +jω j Esempio. Si calcoli la risposta al gradino unitario del seguente sistema: s 2 +2δω n s+ωn 2 Occorre antitrasformare la seguente funzione di uscita: G(s)X(s) = ω 2 n ω 2 n s(s 2 +2δω n s+ω 2 n ) La funzione Y(s) ha poli semplici in 0 e in δω n ±jω dove ω = ω n δ2. I coefficienti K e H hanno il seguente valore: K = sy(s) ω 2 n = s=0 (s 2 +2δω n s+ωn 2) = s=0 H = (s 2 +2δω n s+ω 2 n )Y(s) s= δωn +jω = ω 2 n δω n +jω = ω ne j( π+ϕ) dove ϕ = arctan δ 2 δ = arccosδ. Il calcolo di y(t) è ora immediato: y(t) = + ω n ω e δω nt sin(ωt π +ϕ) = e δω nt δ 2 sin(ωt+ϕ)

2.2. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI 2.2 8 Modi della risposta temporale L unica difficoltà nell antitrasformazione di funzioni razionali fratte Y(s) è la fattorizzazione del polinomio a denominatore. Il comportamento temporale della funzione antitrasformata y(t) è essenzialmente legato alla posizione dei poli p i della funzione Y(s). Ai poli semplici s i = σ e ai poli complessi coniugati s j = σ ± jω sono associati termini temporali y i (t) e y j (t), detti modi, del seguente tipo: (s+σ) (s+σ) 2 +ω 2 y i (t) = Ke σt y j (t) = M e σt sen(ωt+ϕ) Nel caso di poli multipli con grado molteplicitá r si hanno i seguenti modi: (s+σ) r y i (t) = r n=0 K nt n e σt [(s+σ) 2 +ω 2 ] r y j (t) = r n=0 M nt n e σt sen(ωt+ϕ) Nelcasodipoli semplici,imodiy i (t)ey j (t)tendonoazeroperttendente all infinito se la parte reale del polo è negativa ( σ < 0), restano limitati se essa è nulla (σ = 0) e divergono se essa è positiva ( σ > 0). Nel caso di poli multipli, i modi tendono a zero se la parte reale del polo è negativa ( σ < 0) e divergono se essa è positiva o nulla ( σ 0). L antitrasformata y(t) di una funzione razionale fratta Y(s) rimane limitata se e solo se la funzione Y(s) non presenta alcun polo a parte reale positiva e gli eventuali poli a parte reale nulla sono semplici. In caso contrario la funzione y(t) diverge. Ipolichecaratterizzanolarisposta G(s)X(s)diunlinearesistema G(s) ad un segnale in ingresso X(s) (come l impulso di Dirac, il gradino, la sinusoide) sono quelli della funzione di trasferimento G(s) più quelli relativi al segnale di ingresso X(s). Un sistema G(s) è asintoticamente stabile se tutti i suoi poli sono a parte reale negativa: in questo caso tutti i modi y i (t) e y j (t) associati ai poli della funzione G(s)tenderanno sicuramente a zero quando t tendente all infinito.

2.2. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI 2.2 9 Modi della risposta nel caso di poli distinti (r = ): Modi della risposta nel caso di poli multipli (r = 2):

2.2. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI 2.2 0 Esercizi sulla scomposizione in frati semplici Calcolare la risposta impulsiva g(t) delle seguenti funzioni G(s):. Somma di funzioni note. 3+ 0 (s+5) 3 g(t) = 3δ(t)+5t 2 e 5t 2. Funzione razionale fratta a grado relativo r = 0. s+0 s+a = g 0 +G (s) In questo caso la funzione G(s) va riscritta come somma di una costante g 0 e di una funzione G (s) a grado relativo r : g 0 = lim s, Si procede quindi ad antitrasformare i singoli termini: G (s) = G(s) g 0 = (0 a) s+a + (0 a) s+a 3. Funzione con ritardo puro. g(t) = δ(t)+(0 a)e at e t 0s s 2 g(t) = { 0 t < t0 t t 0 t t 0 In questo caso si calcola l antitrasformata g (t) = t della funzione G (s) = s 2 che si ottiene dalla G(s) togliendo il ritardo. La funzione cercata g(t) di ottiene traslando nel tempo la funzione g (t) di una quantità pari al ritardo t 0 e ricordando che la funzione g(t) dovrà essere nulla per t t 0. 4. Funzione G(s) posta nella forma fattorizzata poli-zeri. 2 s(s+)(s+2) = K s + K 2 s+ + K 3 s+2 In questo caso è possibile scomporre la funzione in fratti semplici utilizzando la regola dei residui: K = sg(s) =, K 2 = (s+)g(s) = 2, K 3 = (s+2)g(s) = s=0 s= s= 2 In questo caso in cui il grado relativo della funzione G(s) è maggiore o uguale a 2, si può verificare che la somma dei residui è nulla: K +K 2 +K 3 = 0. Antitrasformando si ottiene quindi che: s 2 s+ + s+2 g(t) = 2e t +e 2t

2.2. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI 2.2 5. Funzione G(s) posta nella forma fattorizzata mista. 7 (4s+)(s+2) 2 In questo caso, per non commettere errori, prima di antitrasformare è bene porre la funzione G(s) nella forma fattorizzata poli zeri: 7 4(s+0.25)(s+2) 2 = K s+0.25 + K 2 s+2 + K 3 (s+2) 2 In questo caso i termini più facili da calcolare sono K e K 3 : K =(s+0.25)g(s) 7 = s= 0.25 4( 0.25+2) 2=4 7, K 3 = (s+2) 2 G(s) = s= 2 7 4( 2+0.25) = Il termine K 2 può essere facilmente calcolato ricordando che, in questo caso, la somma dei residui è nulla, K +K 2 = 0, per cui si ha che K 2 = K = 4. Antitrasformando si ottiene quindi che: 7 4 7(s+0.25) 4 7(s+2) (s+2) 2 g(t) = 4 7 e 0.25t 4 7 e 2t te 2t 6. Funzione G(s) caratterizzata solo da 2 poli complessi coniugati. as+b (s+σ) 2 +ω 2 In questo caso si cerca di scomporre la funzione G(s) in due termini, uno proporzionale al seno e l altro proporzionale al coseno: = a a(s+σ σ)+b (s+σ) 2 +ω 2 = a(s+σ)+(b aσ) (s+σ) 2 +ω 2 (s+σ) (s+σ) 2 +ω + (b aσ) ω 2 ω (s+σ) 2 +ω 2 Il fatto che ad ogni termine in s sia associato un termine additivo +σ indica che le corrispondenti funzioni sin(ωt) e cos(ωt) devono essere moltiplicate per un termine esponenziale e σt. Antitrasformando si ottiene quindi la seguente funzione: g(t) = ae σt cos(ωt)+ (b aσ) ω e σt sin(ωt) 7. Funzione G(s) espressa come somme e prodotto di fattori. [ ] 3b (s+a) +4 2 (s+a) 2 In questo caso si riscrive la funzione G(s) come somma di fattori e poi si antitrasforma: 3b (s+a) + 4 g(t) = 3b 4 (s+a) 2 6 t3 e at +4te at