Le disequazioni di primo grado Prof. Walter Pugliese
Concetto di disequazione Consideriamo la seguente disuguaglianza: 2x 3 < 5 + x Procedendo per tentativi, attribuiamo alla lettera x alcuni valori e verifichiamo se la disuguaglianza che otteniamo è vera o falsa: x = 2: 4 3 < 5 + 2 vera x = 7: 14 3 < 5 + 7 vera x = 8: 16 3 < 5 + 8 falsa x = 9: 18 3 < 5 + 9 falsa Come si può intuire, la disuguaglianza è vera per tutti i valori di x minori di 8, mentre è falsa per i valori x maggiori o uguali a 8. La disuguaglianza considerata è una disequazione. Tutti i valori che soddisfano una disequazione costituiscono l insieme delle soluzioni. Tali valori vengono solitamente ricercati nell insieme dei numeri reali. Nel nostro esempio l insieme delle soluzioni è x R/x < 8, che per brevità indicheremo con: x < 8
Definizione di disequazione Se la parola equazione significa uguaglianza, la parola disequazione significa disuguaglianza. In maniera analoga a quanto detto per le equazioni, possiamo dire quindi: DEF.: Una disequazione è una disuguaglianza fra due espressioni letterali per la quale si vuole stabilire per quali valori di una o più lettere la disuguaglianza data è vera.
Simboli usati Nelle disequazioni può comparire uno di questi simboli: < minore minore o uguale > maggiore maggiore o uguale Esempio: La disequazione: x + 1 < 3 è verificata da tutti i numeri minori di 2. La disequazione: x + 1 3 è verificata, invece, da tutti i numeri minori di 2 e anche dal numero 2.
La rappresentazione delle soluzioni Per rappresentare le soluzioni di una disequazione possiamo usare una retta orientata, i cui punti corrispondono ai numeri reali. Sulla retta orientata faremo uso delle seguenti convenzioni: Una linea continua rappresenta l insieme delle soluzioni della disequazione; Non disegniamo le parti della retta che non corrispondono a soluzioni; Un cerchietto pieno su un punto indica che il valore corrispondente è una soluzione; Un cerchietto vuoto su un punto indica che il vaslore corrispondente non è una soluzione.
I vari tipi di disequazioni Buona parte della terminologia e delle definizioni usate per le disequazioni è analoga a quella usata per le equazioni. Esempio: 2x > 89: ; : 8 > ; = > >?:@8 > 0 A@: A > a : disequazione numerica intera disequazione letterale intera disequazione numerica fratta disequazione letterale fratta
Le disequazioni equivalenti Anche in questo caso, in analogia a quanto detto per le equazioni, diremo che: DEF.: due disequazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. Esempio: Le disequazioni: x + 1 < 3 e x + 3 < 5 sono due disequazioni equivalenti poichè entrambe sono soddisfatte per tutti i valori di x minori di 2.
Primo principio di equivalenza Data una disequazione, si ottiene una disequazione a essa equivalente aggiungendo a entrambi i membri uno stesso numero o espressione. Esempio: La disequazione 2x 3 > x + 5 è equivalente alla disequazione x 3 > 5 0ttenuta aggiungendo x a entrambi i membri. Possiamo anche dire che il termine x è stato trasportato al primo membro, con il segno cambiato
Secondo principio di equivalenza Per trasformare una disequazione in una equivalente si può: Moltiplicare (o dividere) entrambi i membri per uno stesso numero positivo Moltiplicare (o dividere) entrambi i membri per un numero negativo e cambiare il verso alla disequazione. Esempio: La disequazione 3x < 6 è equivalente alle disequazioni x < 2 ottenuta dividendo entrambi i membri per 3 (o moltiplicando entrambi i membri per A ) 8 x > 2 ottenuta dividendo entrambi i membri per 3 (o moltiplicando entrambi i membri per A 8 ) e cambiando il verso della disequazione Osservazione: In particolare, se si cambia il segno di tutti i termini di una disequazione e s inverte il suo verso, si ottiene una disequazione equivalente x < 2 è equivalente a x > 2 Questa operazione corrisponde alla moltiplicazione per 1 dei membri della disequazione.
Le disequazioni numeriche intere La strategia risolutiva delle disequazioni intere è simile a quella utilizzata per le equazioni. Esempio 1: Risolviamo la disequazione: 1 3 + x x 4 + 2x > 3 2 riducendo tutti i termini della disequazione allo stesso denominatore (6 che è il m.c.m. dei denominatori) e moltiplicando entrambi i membri per 6, si ottiene: 2x 24 + 12x 6 D > 9 + 3x D 6 6 6 2x 24 + 12x > 9 + 3x trasportiamo i termini con l incognita al primo membro, quelli noti al secondo membro e poi sommiamo i termini simili: 2x + 12x 3x > 24 + 9 11x > 33 Dividiamo entrambi i membri per 11, cioè il. coefficiente di x: x > 3 l intervallo delle soluzioni è dunque: 3; +
Le disequazioni numeriche intere Esempio 2: Risolviamo la disequazione: 3 x 2 x 4 < + 6x + 3 2 2 5 riducendo tutti i termini della disequazione allo stesso denominatore (10 che è il m.c.m. dei denominatori) e moltiplicando entrambi i membri per 10, si ottiene: 15x 40 5 x 2 + 2(6x + 3) 10 D < D 10 10 10 15x 40 < 5x 10 + 12x + 6 trasportiamo i termini con l incognita al primo membro, quelli noti al secondo membro e poi sommiamo i termini simili: 15x 5x 12x < 40 10 + 6 2x < 36 Dividiamo entrambi i membri per 2 ; dato che 2 è un numero negativo, cambierà anche il verso della disequazione: x > 18 l intervallo delle soluzioni è dunque: 18; +
Le disequazioni numeriche intere Esempio 3: Risolviamo la disequazione: 3 x 2 x 4 < + 5x + 3 2 2 5 riducendo tutti i termini della disequazione allo stesso denominatore (10 che è il m.c.m. dei denominatori) e moltiplicando entrambi i membri per 10, si ottiene: 15x 40 5 x 2 + 2(5x + 3) 10 D < D 10 10 10 15x 40 < 5x 10 + 10x + 6 trasportiamo i termini con l incognita al primo membro, quelli noti al secondo membro e poi sommiamo i termini simili: 15x 5x 10x < 40 10 + 6 0 D x < 36 qualunque valore sostituiamo a x, il prodotto 0 D x vale sempre 0. Poiché 0 < 36 è vera, la disequazione risulta sempre verificata. In tal caso l intervallo delle soluzioni è tutto R; come soluzione scriviamo x R
Le disequazioni numeriche intere Esempio 4: Risolviamo la disequazione: 3x 2 x > 4 + 2x + 1 3x x 2x > 2 + 4 + 1 0 D x > 7 qualunque valore sostituiamo a x, il prodotto 0 D x vale sempre 0. Poiché 0 < 7 è falsa, la disequazione non risulta mai verificata. In tal caso l intervallo delle soluzioni è l insieme vuoto: la disequazione è impossibile.
Lo studio del segno di un prodotto Consideriamo la disequazione seguente, in cui il primo membro è un prodotto di polinomi: x 3 2x + 5 > 0 Per risolverla bisogna studiare il segno del prodotto al variare dell incognita x. Studiamo il segno dei due fattori singolarmente e rappresentiamo i risultati in uno schema grafico: x 3 > 0 x > 3 2x + 5 > 0 x > 5 2 La disequazione data, per essere soddisfatta, richiede che il prodotto sia positivo, quindi l insieme delle soluzioni è dato da. x < 5 2 x > 3
Le disequazioni fratte Le disequazioni fratte sono quelle che contengono l incognita in almeno un denominatore. Le disequazioni fratte sono sempre riconducibili in una forma del tipo: L(:) M(:) < 0, L(:) > 0, oppure L(:) 0, L : 0 M(:) M(:) M : dove N(x) e D(x) rappresentano due polinomi nella variabile x. Esempio: ;:@Q 1 > 0 ;:@Q@A A@: A@: A@: > 0 ;:@Q@A9: A@: > 0 8:@? A@: > 0 Quando abbiamo una disequazione nella forma L(:) > 0, non possiamo eliminare il M(:) denominatore, come quando operiamo con le equazioni, perché il segno complessivo della frazione dipende anche dal segno del denominatore. Per risolvere la disequazione dobbiamo studiare il segno della frazione, cioè dobbiamo determinare per quali valori di x la frazione è positiva, nulla o negativa.
Lo studio del segno di una frazione Per esaminare il segno di una frazione del tipo L(:), occorre studiare M(:) separatamente il segno del polinomio al numeratore e quello del polinomio al denominatore. Studiare il segno di un polinomio significa determinare per quali valori di x il polinomio è negativo, nullo o positivo.
La risoluzione di una disequazione fratta Esempio: Risolviamo la seguente disequazione: Studiamo il segno del numeratore N, ponendo N > 0: 3x 5 1 x > 0 N > 0 3x 5 > 0 x > 5 3 Analogamente, studiamo il segno del denominatore D, ponendo D > 0: D > 0 1 x > 0 x < 1 Rappresentiamo i risultati in uno schema grafico: La disequazione richiede che la frazione sia positiva, quindi l insieme delle soluzioni è dato da: 1 < x < 5 3
I sistemi di disequazioni DEF.: Un sistema di disequazioni è un insieme di due o più disequazioni, in cui compaiono le stesse incognite, per il quale si cercano i valori da attribuire alle incognite che verificano contemporaneamente tali disequazioni. Esempio 1: Consideriamo le disequazioni x 1 > 0 e 4 x > 0 esistono valori di x che soddisfano contemporaneamente le due disequazioni. Per esempio, 2 è soluzione di entrambe le disequazioni. Per cercare tutte le altre eventuali soluzioni comuni senza dover procedere per tentativi, risolviamo il seguente sistema di disequazioni: T x 1 > 0 4 x > 0 Ux > 1 x < 4 Rappresentiamo graficamente le soluzioni di ogni disequazione in modo da poter individuare gli intervalli di soluzioni comuni a tutte le disequazioni: Le due disequazioni sono soddisfatte contemporaneamente nell intervallo aperto 1; 4. Diremo quindi che i valori di x che risolvono il sistema formato dalle due disequazioni sono tali che 1 < x < 4
Sistemi di disequazioni Esempio 2: Risolviamo il seguente sistema di disequazioni: 2x + 4 > 0 V x 3 0 5 x > 0. 2x + 4 > 0 V x 3 0 5 x > 0 2x > 4 X x 3 x > 5 x > 2 V x 3 x < 5 Le soluzioni del sistema di disequazioni sono date dall intervallo 3; 5, ossia dai valori di x tali che 3 x < 5