ESERCIZI SULLE SERIE. Dimostrare che la serie seguete è covergete: =0 + + A questa serie applichiamo il criterio del cofroto. Dovedo quidi dimostrare che la serie è covergete si tratterà di maggiorare il termie geerale della serie data co il termie geerale di ua serie covergete. Osserviamo che vale la maggiorazioe: + + 4 N, > k co k N sufficietemete grade. Il termie geerale della serie data è quidi maggiorato (defiitivamete) dal termie geerale della serie :, che è ua serie armoica co espoete α =, quidi risulta covergete (le serie armoiche =0 soo covergeti se α >.) α Il criterio del cofroto ci assicura quidi che ache la serie di parteza è covergete.. Dimostrare che la serie seguete è covergete: =0 + 5 4 + Applichiamo il criterio della radice eesima : sia a = L, se L < allora la serie =0 a è covergete. Quidi dobbiamo calcolare il seguete ite: + 5 4 + Come fa a veire i mete questa maggiorazioe, direte voi. Basta osservare che il valore di ua frazioe aumeta se dimiuisce il valore del deomiatore (prima maggiorazioe), metre u espoeziale è defiitivamete maggiore di qualuque poteza (secoda maggiorazioe).
al umeratore della frazioe sotto radice mettiamo i evideza 5, metre al deomiatore mettiamo i evideza 4, cioè i etrambi i casi abbiamo messo i evideza gli ifiiti di ordie maggiore: Ifatti: ( ) 5 = 4 ( ) 5 + ( 5 ) 4 + = () 4 + 5 = () + 4 4 =, + 5 =, + 4 =, perchè: = 0 e 5 4 = 0. Cocludedo, la serie data è covergete i quato applicado al suo termie geerale il criterio della radice eesima otteiamo che il ite L risulta uguale a 4 che è miore di uo.. Dimostrare che la serie seguete è covergete: =0 + + 5 a Applichiamo il criterio del rapporto : sia + a = L, se L < allora la serie =0 a è covergete. Quidi dobbiamo calcolare il seguete ite: +(+) + +(+) 5 + + + 5 Risolviamo il ite proposto mettedo i evideza gli ifiiti di ordie maggiore ella maiera seguete: (+) (+) 5 + 5 (+) + + (+) 5+ + = + 5 +
5 = 5 + (+) + + (+) 5+ + = + 5 + Perchè: = 5 (+) + + (+) 5+ + = + 5 + 5 Ifatti: ( + ) = 0 + ( + ) 5 + = 0 5 = = 0 5 = 0 ( ) = 0 5 I quato ( 5) = 0, essedo a = 0 se a <. Cocludedo, la serie data è covergete percè applicado al suo termie geerale il criterio del rapporto otteiamo che il ite L risulta uguale a 5 che è miore di uo. 4. Dimostrare che la serie seguete è covergete: =0 + 4 4 + 6 Applichiamo il criterio del ite: sia a b = L, se L R {0} allora le serie =0 a e =0 b hao lo stesso comportameto, cioè la prima è covergete se e solo se lo è la secoda. La difficoltà del percorrere questa strada sta ell idividuare ua serie giusta co la quale cofrotare la serie data. Osserviamo che al deomiatore del termie geerale della serie che dobbiamo studiare l ifiito di ordie maggiore è 6, metre al umeratore è ovviamete deve essere a 0, b > 0
ovviamete 4. Di cosegueza, possiamo applicare il criterio del ite, cosiderado come a il termie geerale della serie data e come Quidi: b = 4 6 = 6. = = + 4 4 + 6 6 = + 4 4 + 6 6 = 4 + 4 6 + 4 6 4 6 = Perchè: = 0 4 4 6 = 0 (ifatti abbiamo già osservato i precedeza che l espoeziale tede a zero se la base è i valore assoluto ( miore di uo: 4 6 = ) = 0) Il risultato del ite che abbiamo calcolato è L = che è u umero reale o ullo, quidi la serie data si comporta come la serie =0 6 Questa risulta covergete, ad esempio, per il criterio della radice eesima: 6 = 6 <. Di cosegueza, i virtù del criterio del ite sopra citato, ache la serie data risulta covergete. 5. Studiare al variare di x R la covergeza della serie: x6 = + x 6 4. Osserviamo che il ite della successioe {x 6 } N dipede dal valore assuto da x, più precisamete: + se x > se x = ± 0 se x < 4
Calcoliamo il ite del termie geerale della serie el caso i cui x >. + x 6 = +. 4 No è soddisfatta la codizioe ecessaria per la covergeza di ua serie (cioè il termie geerale deve essere ifiitesimo), quidi la serie, essedo a termii positivi, diverge se x >. Se x si ha: + x 6 4 = 0. Il fatto che il termie geerale della serie sia ifiitesimo, come abbiamo osservato sopra è ua codizioe ecessaria per la covergeza, ma o sufficiete. Ricorriamo quidi ad uo dei criteri elecati, ad esempio il criterio del rapporto. + a + a = + +x 6(+) (+) 4 +x 6 4 = = + + x 6(+) 4 ( + ) 4 = + x6 + + x 6(+) + x 6 4 4 ( + ) 4 =. Quado applicado il criterio del rapporto (ma ache quello della radice) il ite dà come risultato, si devoo utilizzare altri criteri. Ifatti può succedere che la serie sia covergete come ad es.:, o divergete come. I etrambi i casi se si applicao i criteri del rapporto o della radice si ottiee che il ite ha come risultato. Osserviamo che ache il criterio della radice eesima, applicato alla serie proposta, ha come risultato. Ifatti : + + x 6 4 = + + x 6 4 =, Perchè: + 4 =, metre dalle maggiorazioi < + x 6, si deduce che: + + x 6 =. Dobbiamo quidi ricorrere ad u altro criterio, ad esempio quello del cofroto: + x 6 4 4 La serie che ha come termie geerale a = 4 è covergete, perchè, serie armoica co espoete α = 4 >. Quidi ache la serie data risulta covergete quado x. 6. Studiare al variare di x R la covergeza della serie: 5
x8 = + x 8 5. Osserviamo che il ite della successioe {x 8 } N dipede dal valore assuto da x, più precisamete: + se x > se x = ± 0 se x < Calcoliamo il ite del termie geerale della serie el caso i cui x >. + x 8 = +. 5 No è soddisfatta la codizioe ecessaria per la covergeza di ua serie (cioè il termie geerale deve essere ifiitesimo), quidi la serie, essedo a termii positivi, diverge se x >. Se x si ha: + x 8 5 = 0. Il fatto che il termie geerale della serie sia ifiitesimo, come abbiamo osservato sopra è ua codizioe ecessaria per la covergeza, ma o sufficiete. Ricorriamo quidi ad uo dei criteri elecati, ad esempio il criterio del cofroto. Poichè x possiamo maggiorare il termie geerale della serie data el modo che segue: + x 5 + 5 Cosideriamo la serie : 4 5 = 4 5. Questa è ua serie armoica co espoete α = 5 >, quidi è covergete. Per il criterio del cofroto ache la serie data é covergete. 7. Studiare al variare di x R la covergeza della serie: x 4 + 5. Ragioado come egli esercizi precedeti si stabilisce che, se x >, la serie data è divergete. Cosideriamo allora il caso i cui x. Applichiamo il criterio del ite prededo come serie test:. Quidi: + x 4 +5 { 6 se x = ± = + x4 + 5 = 5 se x < 6
Da cui si deduce che la serie proposta è covergete, perchè ha lo stesso comportameto della serie, che è covergete, i quato serie armoica co espoete α = >. 8. Studiare al variare di x R la covergeza della serie: x +. Ragioado come egli esercizi precedeti si dimostra che, se x >, la serie è divergete. Se ivece x, utilizzado il criterio del cofroto o il criterio del ite, si dimostra che la serie è covergete. Altri esercizi sulle serie. Studiare la atura delle segueti serie. ) cos 4 + ; ) + si ; ) + ()! 4) ( ) 5) ( ) + + 6) ( ) + + + 7) ( log ) 8) ( ) + 9) log! 0)! Studiare al variare di x i R la atura delle segueti serie: ) x ) x x I risultati e le soluzioi soo elle pagie successive. 7
RISPOSTE CONVERGENTI:,,, 5, 6, 7, 9, 0 DIVERGENTI: 4, 8 ASSOLUTAMENTE CONVERGENTI:,, 5 SVOLGIMENTO DEGLI ESERCIZI ) La serie data o è a termii di sego costate perchè cos 4 cambia di sego al variare di. Cosideriamo allora la seguete serie: ) cos 4 + Osserviamo che valgoo le maggiorazioi: cos 4 + < (perché: cos 4 metre + <.) Dal teorema del cofroto per le serie, otteiamo che *) coverge, duque la serie di parteza è covergete assolutamete, perció covergete, per il criterio della covergeza assoluta. ) Si tratta di ua serie a termii di sego costate, ifatti 0 < < π, N, per cui si > 0. Vale ache si <, (per la maggiorazioe si x x, co x ( π, π ).) Possiamo duque applicare il criterio del cofroto per le serie a termii di sego costate maggiorado la serie data el modo che segue: si < = Osserviamo che ( ) + è il termie geerale della serie geometrica =0 x di ragioe x = ( ) <, che come è oto coverge. Quidi, per il criterio del cofroto la serie data coverge. ) Si tratta di ua serie a termii positivi. Applichiamo il criterio del rapporto. = + + (+)! (+) (+) ()! = + ( ). ( + )! ( + ) (+) ()! = ( ) = + ( + )( + ) ( + ) ( + ) = + + + [( ) ] [ ] = 4 + + = 4 ( ) + + = 4 e <. Quidi la serie risulta covergete. 4) Osserviamo che il termie geerale della serie o è ifiitesimo, o è duque verificata la codizioe ecessaria per la covergeza della serie. Poiché 8
si tratta di serie a termii positivi questa divergerà a +. Verifichiamo duque che il termie geerale o tede a zero: + ( ) = + Perché se + a = ± allora: + [ ( + ) ] = e ( + ) a = e a 5) Si tratta di ua serie a termii di sego altero, (serie altera) possiamo applicare il criterio di covergeza relativo a questo tipo di serie deducedoe la sua covergeza, ifatti si verifica che: i)la successioe a = + + è decrescete ii) + a = 0 La verifica di i) è semplice. Dimostriamo ii): + + == + + + + = 0 Perché: + = 0 e + = 0, + = 0. Possiamo arrivare a dimostrare che la serie coverge ache utilizzado il criterio della covergeza assoluta, ifatti: ( ) + + + = + + Si dimostra che quest ultima coverge, utilizzado il criterio della radice eesima, ifatti: + + + = + + = + < (Il termie sotto la radice eesima tede a ). 6) Si dimostra facilmete che la serie è covergete applicado il criterio delle serie altere, ifatti: a) la successioe a = + ++ è decrescete; + b) + ++ = 0, perché: + + == + + + ( + ) ( + + ) = + = 0 7) Possiamo dimostrare che la serie coverge applicado il criterio del cofroto perchè si tratta di ua serie a termii positivi. A tale scopo utilizziamo la maggiorazioe: log x < x, i questo modo: 9
log = log( 4 ) 4 = 4log 4 < 4 4 (dove x = 4 ). Applichiamo questo risultato per maggiorare il termie geerale della serie data: ( ) ( ) log 4 4 < = = 6 = 6 La successioe a = 6 è il termie geerale di ua serie armoica co espoete p = >, che risulta duque covergete. 8) La serie è divergete perché è a termii positivi ed il termie geerale o tede a zero, cioé o è verificata la codizioe ecessaria per la covergeza di ua serie, ifatti: ( ) ( ( ) (( ) + + + = )) + + ( = ( )) + = ( ) + ( = ( ) + == + ) ( + ) = e. + (per l ultimo passaggio vedi lo svolgimeto dell esercizio N. 4). 9) I termii della serie data soo o egativi. Possiamo applicare il critrio del cofroto, utilizzado la maggiorazioe!, e la proprietá di mootoia della fuzioe logaritmo: x < x log x < log x, 4 otteiamo: (vedi esercizio N. 7) La successioe: a = log! = log( ) log = log = = è il termie geerale di ua serie armoica co p = >, che quidi è covergete. 0) La serie è a termii positivi, si utilizza il criterio del cofroto. Ricordiamo la diseguagliaza: (!), che equivale alla seguete:!. Quidi! = 4 ricordiamo che i logaritmi che cosideriamo soo i base e: log = log e 0
Si coclude ello stesso modo dell esercizio N. 9. ) Determiiamo per quali valori di x R la serie coverge assolutamete, cioé studiamo la atura della serie: x Questa è a termii positivi, possiamo applicare il criterio della radice eesima: + x = x La serie coverge assolutamete, quidi coverge (criterio della covergeza assoluta) per i valori di x tali che x <, ossia: x <. Cosideriamo ora i valori del parametro x. x = La serie diveta: x = che è ua serie armoica divergete (p = ). x > I questo caso si tratta di ua serie a termii positivi co il termie geerale che o tede a zero. Quidi la serie risulta divergete. Ifatti + x = + ( x ) = + a (ricordare il ite otevole + x = La serie diveta: = +, per a >. ( ) Coverge per il criterio delle serie altere perchè a =, risulta decrescete e ifiitesima. x < Poiché x < 0 possiamo scrivere (per defiizioe di valore assoluto): x = x, duque :x = ( x ) = ( x ) = ( ) x. Sostituedo ella serie: ( ) x I questo caso il termie geerale o è ifiitesimo (vedi sopra), poiché la serie è a termii di sego altero, possiamo cocludere che è idetermiata.
) Determiiamo per quali valori del parametro reale x la serie coverge assolutamete, cioé cosideriamo la serie: x x. Applichiamo il criterio della radice eesima: x + x x = x + x x = x Per i valori di x tali che x < la serie risulta assolutamete covergete e duque covergete. Cosideriamo i valori di x tali che: x >. x = La serie diveta: = = +. Perché è a termii positivi ed il termie geerale o è ifiitesimo. Stesso discorso el caso seguete: x > x = Allora: x + x x = + ( ) = ( ) Coverge per il criterio delle serie alterate. x < Ragioado come ell esercizio precedete: x < 0 implica x = x. Sostituedo ell espressioe della serie: x ( x ) == ( ) x x La serie otteuta ha i termii a sego altero, ma o tedoo a zero, duque risulta idetermiata (vedi ache esercizio precedete).