Analisi Matematica 1 Tredicesima lezione

Analisi Matematica 1 Tredicesima lezione prof. Claudio Saccon Dipartimento di Matematica Applicata, Via F. Buonarroti 1/C email: saccon@mail.dm.unipi.it web: http://www2.ing.unipi.it/ d6081/index.html Ricevimento: ogni lunedì, dalle 8.30 alle 11.30 19 novembre 2009 Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Tredicesima lezione 19 novembre 2009 1 / 13

Teorema (di composizione o di cambio di variabile) Siano f : A B e g : B R dove A e B sono sottoinsiemi di R, siano x 0 un punto di accumulazione per A e y 0 un punto di accumulazione per B. Supponiamo che f (x) = y 0, x x 0 g(y) = l y y0 dove l R. Supponiamo ancora che valga UNA TRA LE DUE ipotesi ALLORA g(x) y 0 per x vicino a x 0 y 0 B e g(y 0 ) = l g(f (x)) = l x x 0 Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Tredicesima lezione 19 novembre 2009 2 / 13

Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Tredicesima lezione 19 novembre 2009 3 / 13

Osservazione Il teorema di composizione nei iti può essere interpretato come un teorema di cambio di variabile nei ite. Per esempio dimostriamo che ln(x) x 1 x 1 = 1 Se chiamiamo g(x) = x 1 il ite sopra si presenta come ln(1 + f (x)) ln(1 + y) = = 1 x 1 g(x) y 0 y dove nella prima eguaglianza si sfrutta il teorema di composizione notiamo che f (x) x 1 0 (quindi il ite per x 1 si è trasformato in un ite per y 0) e che f (x) 0 per x 1 (e quindi risulta verificata l ipotesi del teorema suddetto). Formalmente si può dire: pongo y = x 1, noto che per x 1 si ha y 0 e y 0; allora posso sostituire x 1 con y e fare il ite per y 0 Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Tredicesima lezione 19 novembre 2009 4 / 13

Teorema (iti destro e sinistro per funzioni monotone) Sia f : I R una funzione crescente (decrescente) dove I è un intervallo di estremi a < b (anche infiniti). Allora per ogni x 0 con a x 0 < b esiste ( ) f (x) = inf f (x) = sup f (x). x x 0 + x>x 0 x>x 0 Analogamente per ogni x 0 con a < x 0 b esiste ( ) f (x) = sup f (x) = inf f (x). x x0 x<x 0 x<x 0 Di conseguenza, se a < x 0 < b e se f è crescente mentre se f è decrescente f (x) f (x 0 ) f (x) x x0 x x 0 + f (x) f (x 0 ) f (x) x x0 x x 0 + Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Tredicesima lezione 19 novembre 2009 5 / 13

Limiti notevoli x + x ax k + potenze di grado minore di k 0 se k < h bx h + potenze di grado minore di h = a b se k = h a b + se k > h ax k + potenze di grado minore di k 0 se k < h bx h + potenze di grado minore di h = a b se k = h ( 1) k h a b + se k > h A x x + x α = + x xα A x = 0 x + se A > 1 e α R ln(x) x ε = 0 se ε > 0 x 0 xε ln(x) = 0 se ε > 0 + se 0 < A < 1 e α R Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Tredicesima lezione 19 novembre 2009 7 / 13

Limiti notevoli ( (1 + x) 1 x = 1 + 1 ) x = e x 0 x + x e x 1 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 = 1 x ln(1 + x) = 1 x (1 + x) α 1 = α se α R x sin(x) = 1 x 1 cos(x) x 2 = 1 2 Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Tredicesima lezione 19 novembre 2009 8 / 13

Ordine di infinitesimo per funzioni Definizione f e g definite vicino a x 0 in R. Diremo che f e g sono a asintotiche in x 0 se f (x) x x 0 g(x) = 1 Diremo che che f è un o piccolo di g in x 0 e scrivendo f (x) = o(g(x)) se f (x) x x 0 g(x) = 0 Diremo anche che f è un o grande di g e scrivendo f (x) = O(g(x)) se f (x) g(x) è itata vicino a x 0. ATTENZIONE - in queste definizioni il punto x 0 CONTA. Spesso però, quando x 0 è chiaro dal contesto x 0 viene sottinteso Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Tredicesima lezione 19 novembre 2009 9 / 13

Teorema (Proprietà de gli o piccoli/ o grandi per funzioni) Siano f e g due funzioni definite vicino a un punto x 0. 1 f g f = g(1 + o(1)) f = g + o(g) f = O(g) g + o(g) = O(g); 2 f = o(g) f = O(g) o(g) = O(g); 3 Se f 1 = O(g),f 2 = O(g) f 1 + f 2 = O(g) O(g) + O(g) = O(g); 4 Se f 1 = o(g),f 2 = O(g) f 1 + f 2 = O(g) o(g) + O(g) = O(g); 5 Se f 1 = o(g),f 2 = o(g) f 1 + f 2 = o(g) o(g) + o(g) = o(g); 6 Se f 1 = O(g 1 ),f 2 = O(g 2 ) f 1 f 2 = O(g 1 g 2 ) O(g 1 )O(g 2 ) = O(g 1 g 2 ); 7 Se f 1 = o(g 1 ),f 2 = O(g 2 ) f 1 f 2 = o(g 1 g 2 ) o(g 1 )O(g 2 ) = o(g 1 g 2 ); 8 Se f 1 = o(g 1 ),f 2 = o(g 2 ) f 1 f 2 = o(g 1 g 2 ) o(g 1 )o(g 2 ) = o(g 1 g 2 ); 9 Se f = O(g),h = O(f ) h = O(g) O(O(g)) = O(g); 10 Se f = o(g),h = O(f ) h = o(g) O(o(g)) = o(g); 11 Se f = O(g),h = o(f ) h = o(g) o(o(g)) = o(g); 12 Se f = o(g),h = o(f ) h = o(g) o(o(g)) = o(g). Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Tredicesima lezione 19 novembre 2009 10 / 13

Limiti notevoli in termini di ordine di infinitesimo e x = 1 + x + o(x) ln(1 + x) = x + o(x) (1 + x) α = 1 + αx + o(x) sin(x) = x + o(x) cos(x) = 1 x2 2 + o(x2 ) Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Tredicesima lezione 19 novembre 2009 11 / 13

esercizi x 0 x 0 ( 1 + x 2 cos(x)) xsin(x) ln(cos(x)) x cos(x) 1 x 2 x 0 1 + x 1 x/2 x 0 x 2 Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Tredicesima lezione 19 novembre 2009 12 / 13

Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Tredicesima lezione 19 novembre 2009 13 / 13