PROPRIETÀ DELLE POTENZE IN BASE Poteze i base co espoete itero positivo Prediamo u umero qualsiasi che deotiamo co la lettera a e u umero itero positivo che deotiamo co la lettera Per defiizioe (cioè per scelta ostra), il umero a (si legge a alla ee ) è quel umero che si ottiee moltiplicado per se stesso volte il umero a, cioè: a a a a a a volte Il umero a viee chiamato base metre il umero viee chiamato espoete Ioltre, sempre per defiizioe, si decide che u qualsiasi umero a elevato alla zero sia uguale a 9 6 7 0 I particolare, se la base della poteza è il umero otteiamo: 0 0 I geerale: 000 0000 zeri dopo l esempio: 6 000000 Poteze i base co espoete itero egativo Prediamo u umero qualsiasi che deotiamo co la lettera a e u umero itero positivo che deotiamo co la lettera Il umero ( ) sarà pertato u umero itero egativo Diamo di seguito la defiizioe della poteza: a (si legge a alla meo ) PER DEFINIZIONE: 9 ) ( ) ( a ( 8) 8 a I particolare, se la base della poteza è il umero otteiamo: 0, 0,0 0 0,00 00
I base a quato detto possiamo fare la seguete osservazioe: OSSERVAZIONE : esempio : esempio : quidi ua poteza co espoete egativo al deomiatore equivale a ua poteza co lo stesso espoete cambiato di sego (quidi positivo) al umeratore OSSERVAZIONE : Se la base di ua poteza è u umero positivo, tale poteza sarà sempre u umero positivo, sia se l espoete è positivo sia se l espoete è egativo Per esempio, se prediamo coma base i umero positivo, 8 (positivo) ma sarà ache positivo, per esempio, / /6 Se la base di ua poteza è ivece u umero egativo, allora tale poteza può essere sia positiva che egativa a secoda dell espoete Se quest ultimo, idipedetemete dal sego è pari, allora il risultato della poteza sarà u umero positivo, se ivece è dispari, sarà u umero egativo Per esempio, se prediamo coma base il umero egativo, ( ) 6, ( ) 8 (positivo), ( ) /6, ( ) / Prodotto tra poteze i base Facciamo subito degli esempi dai quali poi estrapoleremo la regola geerale ( ) ( ) otare che l espoete el risultato fiale (il ) è uguale alla somma degli espoeti dei fattori iiziali (il e il ) otare che l espoete el risultato fiale (l ) è uguale alla somma degli espoeti dei fattori iiziali (il e il ) otare che l espoete el risultato fiale (il ) è uguale alla somma degli espoeti dei fattori iiziali (il e il ) otare che l espoete el risultato fiale (il ) è uguale alla somma degli espoeti dei fattori iiziali (il e il ) Regola geerale: il prodotto tra due poteze i base è uguale alla poteza i base dieci avete come espoete la somma degli espoeti, cioè: m + m (dove m e possoo essere sia positivi che egativi) Quoziete tra poteze i base Facciamo subito degli esempi dai quali poi estrapoleremo la regola geerale otare che l espoete el risultato fiale (il ) è uguale alla differeza tra l espoete della poteza al umeratore (il ) e l espoete della poteza al deomiatore (il ) otare che l espoete el risultato fiale (il ) è uguale alla differeza tra l espoete della poteza al umeratore (il ) e l espoete della poteza al deomiatore (il ) Ifatti 7 otare che l espoete el risultato fiale (il 7) è uguale alla differeza tra l espoete della poteza al umeratore (il ) e l espoete della poteza al deomiatore (il ) Ifatti ( ) + 7
7 7 otare che l espoete el risultato fiale (il 7) è uguale alla differeza tra l espoete della poteza al umeratore (il ) e l espoete della poteza al deomiatore (il ) Ifatti 7 7 7 7 otare che l espoete el risultato fiale (il ) è uguale alla differeza tra l espoete della poteza al umeratore (il 7) e l espoete della poteza al deomiatore (il ) Ifatti 7 ( ) 7 + Regola geerale: il quoziete di due poteze i base è ua poteza i base avete come espoete la differeza tra l espoete della poteza che compare al umeratore e l espoete della poteza al deomiatore, cioè: / m m (dove m e possoo essere sia positivi che egativi) Poteza di ua poteza i base Facciamo subito degli esempi dai quali poi estrapoleremo la regola geerale ( ) 6 otare che l espoete el risultato fiale (il 6) è uguale al prodotto tra l espoete della poteza racchiusa tra paretesi (il ) e l espoete fuori della paretesi (il ) ( ) ( ) 6 6 otare che l espoete el risultato fiale (il 6) è uguale al prodotto tra l espoete della poteza racchiusa tra paretesi (il ) e l espoete fuori della paretesi (il ) ( ) ( ) otare che l espoete el risultato fiale (il ) è uguale al prodotto tra l espoete della poteza racchiusa tra paretesi (il ) e l espoete fuori della paretesi (il ) ( ) ( ) ( ) otare che l espoete el risultato fiale (il ) è uguale al prodotto tra l espoete della poteza racchiusa tra paretesi (il ) e l espoete fuori della paretesi (il ) Regola geerale: la poteza di ua poteza di base è ua poteza i base avete come espoete il prodotto degli espoeti, cioè: ( ) m m (dove e m possoo essere sia positivi che egativi) Esercizi: Eseguire le segueti poteze di poteze i base, esprimedo il risultato sempre sotto forma di ua poteza i base ( ) ( ) ( ) ( 6 ) 6 Notazioe espoeziale U umero si dice scritto i otazioe espoeziale quado si preseta ella forma: a dove è u itero positivo o egativo, metre il umero a, che viee detto parte sigificativa o matissa, è u umero decimale i umeri:,7 ( ) 6 ( 0,00) soo tutti scritti i forma espoeziale Alcue osservazioi: ache è scritto i otazioe espoeziale perché davati è come se ci fosse il umero a moltiplicare ( ) il umero,7 o è u umero egativo, è solo u umero miore di, lo è ivece il umero,
La otazioe espoeziale è molto usata i tutte le disciplie scietifiche poiché la maggior parte delle quatità che si icotrao soo o molto gradi o molto piccole Per esempio, la distaza media tra la Terra e il Sole è 9600000000 m, metre la carica elettrica di u elettroe risulta 0,000000000000000006 coulomb Vedremo che umeri così gradi o così piccoli possoo essere scritti i maiera più semplice e comoda usado la otazioe espoeziale ESEMPIO 0,000 0 0000000 7 0, 8 7 Notazioe scietifica È u particolare tipo di otazioe espoeziale, quidi sempre della forma: a (co itero che può essere sia positivo che egativo) la particolarità è che la parte sigificativa (che oi abbiamo chiamato a) è compresa tra: a < è scritto i otazioe scietifica (perché davati alla poteza è come se ci fosse il umero a moltiplicare, cioè è come se fosse ), è scritto i otazioe scietifica 9,87 è scritto i otazioe scietifica, o è scritto i otazioe scietifica 0,76 o è scritto i otazioe scietifica L importaza di tale otazioe risiede el fatto che da u umero scritto i forma scietifica risulta subito evidete quale sia l ordie di gradezza del umero stesso, come vedremo più avati el paragrafo : Ordie di gradezza di u umero 8 Prodotto tra due umeri scritti i otazioe espoeziale Facciamo ua premessa Poiché i geerale la moltiplicazioe gode della proprietà commutativa e associativa, se abbiamo il prodotto di quattro umeri possiamo procedere el seguete modo: 6 0 0 allo stesso modo facciamo quado abbiamo due umeri scritti i otazioe espoeziale: a b m (a b) ( m ) (a b) +m ( ) ( ) ( ) (+) 6 7 ( ) ( ) ( ) [ +( )] 7
9 Quoziete tra due umeri scritti i otazioe espoeziale Facciamo ua premessa Se abbiamo u rapporto tra due umeri ciascuo dei quali è il prodotto di due fattori, possiamo procedere el seguete modo: 6 6 : : 8 allo stesso modo facciamo quado abbiamo due umeri scritti i otazioe espoeziale: a b : : m (a/b) ( / m ) (a/b) m / ( ) (/) ( ) 0, / ( ) ( /) ( ) + 6 Per quato detto fiora occorre ricordare che le scritture segueti soo equivaleti:, 6, 6 ovvero che la poteza i base può essere spostata dal umeratore al deomiatore o viceversa semplicemete cambiado il sego del suo espoete Poteza di u umero scritto i otazioe espoeziale I geerale, se abbiamo la poteza del prodotto di due umeri a e b, cioè se abbiamo u operazioe del tipo (a b), questa espressioe è ache uguale a: (a b) a b ( ) 9 6 perciò, se abbiamo la poteza di u umero scritto i forma espoeziale procederemo el seguete modo: (a ) m (a) m ( ) m a m +m ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) 9 6 ( ) ( ) ( ) /( ) 6 (/ 8) 6 /8 6 Coversioe di u umero dalla otazioe espoeziale alla forma decimale Se l espoete della poteza i base che moltiplica la parte sigificativa è positivo si sposta la virgola a destra ella parte sigificativa evetualmete aggiugedo gli zeri,6,6, 000 Se l espoete della poteza i base che moltiplica la parte sigificativa è egativo si sposta la virgola a siistra ella parte sigificativa evetualmete aggiugedo gli zeri,6,6 0, 0,00,7 0,007 Somma e differeza tra due umeri scritti i forma espoeziale Se le poteze di che moltiplicao le parti sigificative soo le stesse si sommao tra loro le parti sigificative, cioè: (a ) + (b ) (a + b),8 6 78 6 (,8 78) 6, 6,7, (,7,),
altrimeti, se le poteze di che moltiplicao le parti sigificative o soo le stesse si coverte uo dei due umeri co la poteza di uguale a quella dell altro 7 0,0 9 7 7 ( ) 7 7 + 900 7 + 9 ( + 9) Ordie di gradezza di u umero Si defiisce ordie di gradezza di u umero la poteza i base più vicia a quel umero Esempi :,6 ordie di gradezza 789 ordie di gradezza 0,0 ordie di gradezza 0,097 ordie di gradezza I geerale, il procedimeto per determiare l ordie di gradezza di u umero è questo: umero scriverlo i otazioe scietifica come a co a < approssimare il valore di a alle uità (cioè al umero itero più vicio) se tale valore approssimato (che chiamiamo m) è m l ordie di gradezza è, se ivece < m < l ordie di gradezza è + 789 6 7,89 8 poiché 7,89 approssimato alle uità da 8 e l 8 è maggiore di l ordie di gradezza risulta 9 9, 8 poiché, approssimato alle uità da il è miore di l ordie di gradezza risulta 8 0,0, poiché, approssimato alle uità da l ordie di gradezza risulta 0,06,6 poiché,6 approssimato alle uità da 6 l ordie di gradezza risulta Esercizi di riepilogo Scrivi i segueti umeri i forma espoeziale: 0,000000 0,000 00000 000000 0,00 Determia il risultato delle segueti espressioi: ( ) / ( ) ( ) / ( ) Determia il risultato delle segueti espressioi: (0,000) (000) (0,0000) 00000 (0,0000) (000) (0000) (0,000000) (0,0000 : 0,00000000) 8 60000 0,009 000000 6 ( ) ( ) ( ) 9 ( 8 ) ( ) 0, 8