Facoltà d Ecooma - STATISTICA - Corso d Recupero a.a. 2012-13 Prof.ssa G. Balsamo CONCETTI d BASE Carattere X [o A ] caratterstca quattatva [o qualtatva] rappresetatva d u feomeo sottoposto ad dage Popolazoe Campoe Utà Statstca d Rlevazoe Modaltà x [o a ] co = 1, 2, 3, Frequeza Totale frequeze Frequeza relatva f = / =1 seme de soggett portator del carattere esame (ossa TUTTI gl elemet della popolazoe). parte degl elemet della popolazoe è u elemeto della popolazoe, ed è l soggetto su cu vee rlevata la caratterstca d teresse determazoe d u carattere, ossa l modo cu s mafesta l carattere stesso al mometo della rlevazoe [frequeza assoluta] = umero d cas cu s preseta ua data modaltà d u carattere: frequeza della modaltà x d X [ o della modaltà a d A] = N =1 dca l totale de cas frazoe d cas cu è stata rlevata la modaltà corrspodete x f = 1 = 1 Percetuale p frazoe d 100 soggett, su cu è stata rlevata la modaltà x. p = f x 100 G. Balsamo Dpartmeto d Sceze Statstche e Matematche S. Vaell Ateeo d Palermo 1
TIPOLOGIE d FREQUENZE Sulla base de dat rportat ella tabella seguete, s chede d calcolare le percetual d soggett corrspodet a cascua delle class d età cosderate; s chede oltre d calcolare valor accumulat delle frequeze assolute e spegare l sgfcato. Sulla base d quato rchesto utlzzamo l seguete prospetto d calcolo : Tav. 1 f = x 1 p = f x100 h h 1 F = 22 26 13 0,1857 18,57 13 26 30 22 0,3143 31,43 35 30 34 12 0,1714 17,14 47 34 38 10 0,1429 14,29 57 38 42 6 0,0857 8,57 63 42 46 2 0,0286 2.86 65 46 50 2 0,0286 2,86 67 50 54 3 0,0428 4,28 70 Total 70 1,0000 100,00 // Rcordado che le percetual vao calcolate moltplcado le frequeze relatve per 100, valor rchest soo rportat ella quarta coloa della tabella, dove : p = f 100 e p 1 = 100 G. Balsamo Dpartmeto d Sceze Statstche e Matematche S. Vaell Ateeo d Palermo 2
Sul sgfcato de rsultat otteut s può dre che: - Le frequeze assolute ( ) esprmoo l ammotare de soggett che possedoo la caratterstca espressa dalla corrspodete modaltà (x ). - Le frequeze assolute cumulate (F ) esprmoo l ammotare de soggett che possedoo la caratterstca fo alla modaltà posta al lmte superore della classe corrspodete: F 2 = 35 dca che soo 35 gl dvdu che o superao 30 a d età. - Le frequeze relatve (f ), esprmoo la frazoe d soggett che possedoo l carattere esame co modaltà compresa ell tervallo corrspodete [o par alla modaltà corrspodete, se tal modaltà soo espresse valor sgol ]: f 4 = 0,1429 dvdua la frazoe d soggett co età compresa tra 34 e 38 a. Le frequeze relatve possoo essere sfruttate ache el caso d varabl qualtatve, ma è scorretto cosderare le cumulate el caso cu l carattere cosderato è d tpo omale (ossa seza u orde). Ifatt, se s utlzzao dat dell esempo seguete (relatvo ad ua varable qualtatva omale), è lecto calcolare le frequeze relatve e le percetual (d cu s rporta l sgfcato); ma o s possoo predere cosderazoe le frequeze cumulate (F ): Tab.2 Sesso f p Mascho 7 0,470 47,0 Femma 8 0,530 53,0 Total 15 1,000 100,0 Cosderado le frequeze relatve, dremo che la frazoe de cas cu è stata rlevata la modaltà femma del carattere sesso è par a 0,53 [f 2 = 0,53]; ed, usado le percetual, s drà che è del 53% la percetuale d soggett d sesso femmle, all tero del gruppo cosderato. G. Balsamo Dpartmeto d Sceze Statstche e Matematche S. Vaell Ateeo d Palermo 3
VALORI MEDI Valore medo d ua sere ordata d valor è u valore compreso tra l pù pccolo ed l pù grade de valor osservat. È ua defzoe molto geerale. Per rspettare la atura del feomeo esame è preferble fare rfermeto ad ua classfcazoe pù vcolate. S può fare ua prma dstzoe tra valor med algebrc e valor med d poszoe. 1 - I Valor Med Algebrc Soo stetzzat tramte delle formule matematche, possoo essere usat solo per varabl d tpo quattatvo e predoo cosderazoe tutta la dstrbuzoe de valor osservata. La Meda Artmetca Se le modaltà d u feomeo X, soo legate da ua relazoe d tpo addtvo x 1 + x 2 + + x + + x = x = 1 La Meda Artmetca ( M) è quel valore costate che, sosttuto ad oguo de valor osservat, e lasca alterata la somma: M + M + + M + + M volte M = x = 1 Da cu s rcava la formula fale [1] : M = 1 x G. Balsamo Dpartmeto d Sceze Statstche e Matematche S. Vaell Ateeo d Palermo 4
- Nel caso cu dat osservat possoo essere stetzzat ua dstrbuzoe d frequeza : co modaltà : x 1, x 2... x... x e co frequeze : 1, 2...... la meda artmetca dveta: M = x 1 1 [2] ma, ache questa formulazoe «poderata», la meda artmetca è sempre esprmble come l rapporto tra l ammotare totale del feomeo, ossa x, dvso l umero totale de cas,. Tra le caratterstche della meda artmetca v è quello d mmzzare le dstorso o gl error accdetal coteut e dat x, otteut come msure rpetute d u carattere X. a) Propretà del Barcetro: la somma degl scart tra sgol valor e la propra Meda artmetca è ulla : e ( x - M ) = 0 =1 ( x - M ) = 0 =1 per dstrbuzo d frequeza b) Propretà del Mmo: la somma de quadrat degl scart tra sgol valor e la propra meda artmetca è u mmo, rspetto alla somma del quadrato degl scart de valor da u valore medo qualsas : e ( x - M ) 2 =1 = mmo ( x - M ) 2 = mmo per dstrbuzo d frequeza =1 G. Balsamo Dpartmeto d Sceze Statstche e Matematche S. Vaell Ateeo d Palermo 5
2- I Valor Med d Poszoe I valor med d poszoe soo dc che dvduao le modaltà che occupao ua poszoe be precsa all tero della sere ordata d modaltà. Rspodoo all esgeza d rpartre la dstrbuzoe part d eguale umerostà e possoo essere utlzzate su dat qualtatv ordat e su dat quattatv. - La Medaa Il valore medao o Medaa, fa parte de valor med d poszoe e pertato può essere utlzzata preseza d caratter ordabl, ache se qualtatv, ma solo dopo averl ordat orde crescete: essa bpartsce la dstrbuzo due part d eguale umerostà. Data ua sere ordata d modaltà: x 1 x 2 x 3 x.. x La Medaa è la modaltà che è preceduta e seguta dallo stesso umero d osservazo Per dvduarla s utlzza la poszoe occupata all tero della sere ordata d modaltà (o valor): - se N è dspar, l posto occupato dalla Medaa è dato da [(N + 1) / 2] e la medaa è l uca modaltà che occupa quel posto ; - se N è par, post soo due : [ N / 2] e [ (N / 2) + 1] e le medae soo due modaltà: ua preceduta da metà delle osservazo e la secoda seguta dall altra metà delle osservazo [ possoo essere due modaltà (o valor) cocdet]. Nel caso d dstrbuzoe d frequeza: x 1 x 2 x 3 x.. x co frequeze: 1 2 3 valgoo le stesse regole per dvduare l posto occupato dalla Medaa, ma occorre utlzzare le frequeze cumulate F, ossa: la F maggore o uguale al posto occupato dalla medaa, la dvdua Se F k Posto, allora M e = x k G. Balsamo Dpartmeto d Sceze Statstche e Matematche S. Vaell Ateeo d Palermo 6
Esemp Es. Calcolare la meda artmetca e la medaa de dat rportat ella seguete dstrbuzoe d frequeza del cosumo d gasolo sosteuto u ao da 155 Hotel. Tab.3 Cosumo Gasolo ( qutal) Numero d Hotel 148 14 152 26 156 31 160 37 164 38 168 9 Totale 155 I preseza d ua dstrbuzoe d frequeza, per l calcolo della meda artmetca s utlzza la formula poderata. Prospetto d calcolo Cosumo Gasolo x F x 148 14 2072 14 152 26 3952 40 156 31 4836 71 160 37 5920 108 164 38 6232 146 168 9 1512 155 Totale 155 24524 // G. Balsamo Dpartmeto d Sceze Statstche e Matematche S. Vaell - Ateeo d Palermo 7
Utlzzado la formula d seguto rportata ed calcol della terza coloa della tabella precedete, s pervee al valore fale: M = x 1 1 M = 24524 / 155 = 158,2 qutal Da otare che: - la meda è espressa ella stessa utà d msura del carattere; - l valore otteuto è compreso tra l pù pccolo (148) ed l pù grade (168) delle modaltà rportate tabella. Per l calcolo della medaa, essedo preseza d ua dstrbuzoe d frequeza, s utlzzao le frequeze cumulate, rportate ell ultma coloa della secoda tabella. La medaa è la modaltà preceduta e seguta dallo stesso umero d cas; tale modaltà, el caso cu l totale frequeze (N) è dspar, occupa l posto: (N + 1) / 2 = (155 + 1) / 2 = 78 posto La prma frequeza cumulata che supera questo valore è N 4 = 108 a cu corrspode la modaltà 160, che è la medaa della dstrbuzoe: M e = 160 qutal Da otare che, ache questo caso: - la medaa è espressa ella stessa utà d msura del carattere; - ache la medaa è compresa tra l pù pccolo ed l pù grade de valor osservat. G. Balsamo Dpartmeto d Sceze Statstche e Matematche S. Vaell - Ateeo d Palermo 8
Es. Su dat della Tab.1, calcolare la medaa della dstrbuzoe. Poché l totale delle frequeze è u umero par, v soo due Medae: la 1 medaa occupa l posto (N / 2) = (70 /2) = 35 che dvdua la classe medaa [ 26 30], corrspodete alla frequeza assoluta cumulata F 2 =35; metre la 2 medaa occupa l posto (N / 2) + 1 = 35 + 1 = 36, che dvdua la classe medaa adacete [ 30 34], corrspodete alla frequeza assoluta cumulata F 3 =47. Per dvduare ua modaltà medaa all tero della classe s utlzza la ota proporzoe: [L - l] : [M e l] = [ F S - F S - 1 ] : [ POSTO - F S - 1 ] - Nell esempo cosderato M e (I) : L = 30 l = 26 F s = 35 F s 1 = 13 Posto = 35 (30 26) : ( M e (I) - 26) = (35-13) : ( 35-13) M e (I) = 26 + [ (30 26) ( 35-13) ] / (35-13) M (I) e = 26 + 4 = 30 a soggett ) (età massma, ragguta dalla prma metà de - Aalogamete s calcola l 2 valore medao ( questo caso o cocdete co l 1 ): M e (II) L = 34 l = 30 F s = 47 F s 1 = 35 Posto = 36 (34 30) : ( M e (I) - 30) = (47-35) : ( 36-35) M e (II) = 30 + [ (34 30) ( 36-35) ] / (47-35) M e (II) = 30 + (4 / 12) = 33,33 33 a Ossa metà degl dvdu hao u età ferore a 30 a e l altra metà u età superore a 33 a. G. Balsamo Dpartmeto d Sceze Statstche e Matematche S. Vaell Ateeo d Palermo 9