Prof. Marco La Fata La Retta nel piano Cartesiano La retta nel piano cartesiano è rappresentata da un'equazione di primo grado a due incognite del tipo : a + b + c = 0 ( ) Forma implicita Questa è in forma implicita in cui tutti i termini dell equazione si trovano al primo membro, mentre al secondo membro si ha solo lo zero. Dalla ( ) se b 0 isolando la al primo membro avremo: b = a c b b = a b c b = a b c b = m + q dividendo tutto per b si ha: quindi poniamo : a b = m e c = q si avrà: b Forma esplicita Questa è l equazione della retta in forma esplicita dove m è chiamato coefficiente angolare che in forma esplicita indica il coefficiente della mentre q è chiamato intercetta o termine noto. Coefficiente angolare Il coefficiente angolare m indica l inclinazione della retta sull asse delle ascisse. Se m > 0 la retta forma un angolo acuto con il semiasse positivo delle ascisse; Se m < 0 la retta forma un angolo ottuso con il semiasse positivo delle ascisse; Se m = 0 la retta è parallela all asse delle e la sua equazione esplicita diventa = q m > 0 m < 0 m=0
Intercetta o termine noto Il termine noto corrisponde all ordinata del punto in cui la retta interseca l asse delle. se q = 0 la retta ha il grafico che passa per l origine degli assi, e la sua equazione è = m. Equazioni di rette particolari asse la sua equazione è = 0 asse la sua equazione è = 0 retta parallela all asse la sua equazione è = q retta parallela all asse la sua equazione è = h retta bisettrice del I e III quadrante la sua equazione è = retta bisettrice del II e IV quadrante la sua equazione è = - =0 =0 =q = h = =- Rappresentazione di una retta sul piano cartesiano nota la sua equazione Per rappresentare una retta sul piano, nota la sua equazione, basta individuare due punti appartenenti alla retta. Per individuare i due punti: si porta l equazione in forma esplicita si attribuiscono a due valori qualunque, e si determinano i relativi valori di. Le due coppie di valori così determinati rappresentano le coordinate dei due punti cercati. Rappresentare sul piano cartesiano la retta di equazione 2 + 3 = 0 Portiamo l equazione in forma esplicita: 2 + 3 = 0 = 2 + 3 Attribuiamo alla due valori arbitrari quindi la retta passerà per i punti A ( 0 ; +3 ) B ( ; ) 0 +3 + +
3. B. A 0 ESERCIZI SVOLTI Scrivi in forma esplicita l equazione della retta 2 + 3 5 = 0 isoliamo la 3 = 2 + 5 Dividiamo tutto per 3 ( coefficiente della ) e semplifichiamo 3 3 = 2 3 + 5 3 cioè Data la retta di equazione + 3 determina il coefficiente angolare m e l intercetta q. La retta è in forma implicita e poiché sappiamo che m = a b e q = c, dove a e b rappresentano b rispettivamente i coefficienti di e di, si avrà : Data la retta di equazione + 6 = 2 determina il coefficiente angolare e il termine noto dopo averla trasformata in forma esplicita. La retta è in forma implicita, per portarla in forma esplicita isoliamo la 6 = + + 2 6 6 = 6 + 2 6 3 dividiamo tutto per 6 ( coefficiente della ) e semplifichiamo Poiché la retta è in forma esplicita il coefficiente angolare ( m ) rappresenta il coefficiente della mentre l intercetta q ( ) rappresenta il termine noto dell equazione quindi:
Appartenenza di un punto ad una retta Per stabilire se un punto appartiene ad una retta, si sostituisce, nell equazione della retta, ad la prima coordinata del punto e ad la seconda. L equazione, priva di lettere, è diventata un uguaglianza. Se risulta vera il punto appartiene alla retta, se risulta falsa non appartiene alla retta. Data la retta di equazione 3 = 9, verificare se i punti A(4; 3) e B(3; ) vi appartengono. Punto A: sostituiamo nell equazione della retta ad la prima coordinata di A (cioè 4) e ad la seconda (cioè 3). Si ottiene: 3 4 3 = 2 3 = 9 2 3 = 2 3 9 = 9 Dal momento che il primo e il secondo termine sono uguali, l uguaglianza è vera e quindi A appartiene alla retta. Punto B: sostituiamo sempre nell equazione 3 = 9 nell equazione della retta ad la prima coordinata di B (cioè 3) e ad la seconda (cioè ). Si ottiene: primo termine: 3 3 = 9 9 = 9 8 = 9 Dal momento che il primo e il secondo termine sono diversi, l uguaglianza è falsa e quindi B non appartiene alla retta. Intersezione della retta con gli assi cartesiani Come già detto, il termine noto ci indica il punto in cui la retta interseca l asse delle ordinate. Per trovare l intersezione della retta con l asse delle ascisse ( ) basta porre, nell equazione della retta, = 0 e risolvere l equazione Data la retta : 3 9 = 0 trovare l intersezione con gli assi cartesiani. Sappiamo già che il termine noto - 9 rappresenta il punto in cui la retta interseca l asse delle ordinate. Per trovare l intersezione della retta con l asse delle ascisse poniamo = 0 e quindi l equazione diventa 3 9 = 0 3 = 9 = 9 = 3 Quindi la retta interseca l asse delle nel punto 3 e l asse delle nel 3 punto 9.
Rette parallele Due rette si dicono parallele se non si intersecano mai. Per essere parallele due rette devono avere la stessa pendenza e quindi lo stesso coefficiente angolare. Vale quindi la seguente: Condizione di parallelismo fra due rette. Due rette sono fra loro parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare : m = m Determinare se la retta r di equazione = 2 3 e la retta s di equazione 4 2 5 = 0 sono parallele fra loro. Soluzione La retta r è in forma esplicita e quindi è immediato determinare il coefficiente angolare che è 2. La retta s non è in forma esplicita. Portiamola in tale forma: 4 2 5 = 0 2 = 4 + 5 divido tutto per il coefficiente della cioè per 2 2 2 = 4 2 + 5 2 Semplifico e cambio di segno e ottengo: = 2 + 5 sono parallele. anche la retta s ha coefficiente angolare 2 Quindi le due rette r ed s Rette perpendicolari Due rette sono perpendicolari se e solo se i loro coefficienti angolari sono uno il reciproco e opposto dell'altro, in generale m = m Dire se sono fra loro perpendicolari la retta r di equazione = 2 3 e la retta s di equazione 2 + 4 5 = 0 Risolvo La retta r è in forma esplicita e quindi è immediato determinare il coefficiente angolare che è 2 La retta s non è in forma esplicita. Portiamola in tale forma: 2 + 4 5 = 0 4 = 2 + 5 4 4 = 2 4 + 5 4 Semplificando : = 2 + 5 4 Quindi la retta s ha coefficiente angolare che è il reciproco e opposto di 2 quindi le due rette 2 r ed s sono fra loro perpendicolari