Corso d Statstca (canale P-Z) A.A. 2009/0 Prof.ssa P. Vcard VALORI MEDI Introduzone Con le dstrbuzon e le rappresentazon grafche abbamo effettuato le prme sntes de dat. E propro osservando degl stogramm o delle funzon d rpartzone che c s rende conto che molto spesso le osservazon tendono a raggruppars ntorno ad un valore centrale, coè s vede che c è una elevata frazone d untà statstche osservate che presenta certe modaltà. Dvene pertanto nteressante cercare d rassumere (sntetzzare) con un valore quanto osservato. E a questo che servono le mede e n generale le msure d poszone (o ndc d dmensone). ota: Vedremo n seguto che le msure d poszone non sono suffcent a descrvere n modo esaustvo la dstrbuzone d nteresse. In partcolare la msura d poszone (valore medo) dovrà essere accompagnata da msure della varabltà e da ndc d forma della dstrbuzone. I valor med hanno l obettvo d sostture alla dstrbuzone semplce (coè secondo un solo carattere) un unca modaltà, dcamo M, che sa n qualche modo una sntes rappresentatva dell ntera dstrbuzone d frequenza. Sntetzzare una dstrbuzone sgnfca sostture: alla dstrbuzone untara x, x 2,, x una dstrbuzone fttza M,, M n cu, coè, l valore M s rpete volte (ovvero tutte le volte untà presentano la stessa modaltà M) alla dstrbuzone d frequenza: x x x 2 x k f f f 2 f k una dstrbuzone fttza che assume l unca modaltà M con frequenza relatva x M f
Corso d Statstca (canale P-Z) A.A. 2009/0 Prof.ssa P. Vcard Propretà d cu dovrebbe godere un valore medo (condzon d coerenza) Quando defnamo un valore medo, cerchamo un valore che, n quanto rappresentatvo dell ntera dstrbuzone, goda d determnate propretà (condzon d coerenza). Le propretà vengono nel seguto llustrate a ttolo esemplfcatvo con rfermento ad una dstrbuzone per untà. Quanto detto è valdo anche nel caso n cu dat sano fornt medante dstrbuzone d frequenza. Un valore medo M d una dstrbuzone untara x, x 2,, x dovrebbe essere:. Consstente Un valore medo è detto consstente se, quando tutte le untà del collettvo presentano la stessa modaltà, allora essa è par propro a questa modaltà. In altr termn se x = x, x 2 = x,, x = x allora M = x 2. Monotono Supponamo d avere due dstrbuzon untare X e Y. Sano: x, x 2,, x le osservazon relatve alle untà osservate della popolazone X y, y 2,, y le osservazon relatve alle untà osservate della popolazone Y. Assumamo che entrambe le dstrbuzon sano state ordnate n modo non decrescente: X x x 2 x Y y y 2 y Dcamo che la dstrbuzone Y è statstcamente pù grande della dstrbuzone X se rsulta x y per ogn =,2,, e per almeno un j abbamo x j < y j. Per esempo supponamo d avere rlevato su 6 famgle del Pemonte (X) e su se famgle del Lazo (Y) l numero d fgl. S hanno le seguent dstrbuzon per untà Famgla 2 3 4 5 6 x 0 0 2 3 y 0 2 3 3 Vedamo che Y è statstcamente pù grande d X coè che la dstrbuzone relatva al Lazo è statstcamente pù grande d quella relatva al Pemonte. otate che le famgle (sa quelle del Pemonte che quelle del Lazo) sono state ordnate da quella con meno fgl a quella con pù fgl Un valore medo M è detto monotono se per ogn coppa d dstrbuzon X e Y con Y statstcamente pù grande d X rsulta: M(X) < M(Y)
Corso d Statstca (canale P-Z) A.A. 2009/0 Prof.ssa P. Vcard Tornando al nostro esempo, dal momento che Y è statstcamente pù grande d X, quando calcoleremo un valore medo c attenderemo che M(X) < M(Y), ovvero che l valore che sntetzza la dstrbuzone relatva alle famgle del Lazo sa pù grande del valore che sntetzza la dstrbuzone relatva alle famgle del Pemonte. Un valore medo M è detto debolmente monotono se per ogn coppa d dstrbuzon X e Y con Y statstcamente pù grande d X rsulta: M(X) M(Y) 3. Interno In realtà questa propretà è una conseguenza delle propretà d consstenza e d monotona. Un valore medo M è detto nterno se xmn M xmax dove x mn =mn{x, x 2,, x } e x max = max{x, x 2,, x }. Tornando all esempo sopra e consderando la sola dstrbuzone A (numero d fgl n 6 famgle del Pemonte) s ha che M è nterna se 0 M 3. Dmostrazone della propretà d nternaltà (facoltatva). Dmostramo che la propretà d nternaltà è una conseguenza della consstenza e della monotona. Data la dstrbuzone x, x 2,, x, d meda M, consderamo altre due dstrbuzon: Una dstrbuzone n cu tutt gl element sono par ad x max, coè ; graze alla propretà d consstenza, sappamo che la meda d questa dstrbuzone è x max Una dstrbuzone n cu tutt gl element sono par ad x mn, coè propretà d consstenza, sappamo che la meda d questa dstrbuzone è x mn x max,.,x max volte x mn,.,x mn volte ; graze alla Per defnzone delle dstrbuzon, sappamo che x max,.,xmax è statstcamente pù grande (o al pù volte uguale) alla dstrbuzone x, x 2,, x che, a sua volta, è statstcamente pù grande (o al pù uguale) alla dstrbuzone x mn,.,x mn. volte Pertanto dalla monotona della meda segue quanto dovevamo dmostrare, e coè che x mn M x max
Corso d Statstca (canale P-Z) A.A. 2009/0 Prof.ssa P. Vcard LA MEDIA ARITMETICA (Caratter quanttatv) Consderamo l seguente esempo: Un azenda famlare n cu lavorano 5 fratell adult, produce n un anno un reddto netto d 50 mla Euro. Supponamo che fratell non contrbuscano n ugual msura alla produzone del reddto, ma che reddt prodott sano: 9000, 5000, 2000,7000 e 7000. Se ora c chedamo: se fratell avessero contrbuto nella stessa msura al reddto, quale sarebbe stato l reddto netto ndvduale? Il reddto complessvo è: 9000+5000+2000+7000+7000=50000. Indchamo con x l reddto netto ndvduale uguale per ogn fratello, che dobbamo calcolare. Dobbamo avere che x+x+x+x+x = 50000 = 9000+5000+2000+7000+7000 Pertanto 5x = 9000+5000+2000+7000+7000 9000 + 5000 + 2000 + 7000 + 7000 50000 x = = = 0000 5 5 coè s avrebbe avuto lo stesso reddto complessvo se ogn fratello avesse prodotto un reddto netto d 0000. Il valore x=0000 è la meda artmetca coè l valore che equrpartsce fra le untà l reddto prodotto. Consderamo una dstrbuzone per untà x, x 2,, x ; con l esempo vsto sopra abbamo vsto che calcolare la meda artmetca equvale a calcolare quel valore x che, sosttuto a cascun valore x, x 2,, x della dstrbuzone è tale che x + x 2 + + x = x+x+ +x = x Defnzone: La meda artmetca d x, x 2,, x è quel valore x tale che, applcando l operazone d somma anzché a x, x 2,, x ad valor ugual ad x, l rsultato della somma è lo stesso, coè x = x x = = = Il valore x prende l nome d meda artmetca e s ndca con µ. La defnzone data sopra è la defnzone d meda artmetca secondo Chsn. Importante: La meda artmetca, come tutte le altre mede che s vedranno, è espressa nelle stessa untà d msura con cu sono espresse le modaltà del carattere. Vedamo come s calcola la meda artmetca. per una dstrbuzone untara 2. per una dstrbuzone d frequenze
Corso d Statstca (canale P-Z) A.A. 2009/0 Prof.ssa P. Vcard. Dstrbuzone untara Data la dstrbuzone untara x, x 2,, x, la meda artmetca è data dalla somma delle osservazon dvsa per, coè x + x2 + + x µ = = x (3) = Esempo. Tempo mpegato per recars a lavoro n metropoltana nel corso d una settmana. Tempo mpegato (n mnut) 22 2 24 3 22 4 33 5 26 6 3 7 24 8 28 9 32 0 3 37 2 24 TOTALE 334 C ponamo l seguente questo: qual è l tempo medo per recars a lavoro? µ = 22 + 24 + 22 + 33 + 26 + 3+ 24 + 28 + 32 + 3+ 37 + 24 334 = = 27.83 2 2 2. Dstrbuzone d frequenze Data la seguente dstrbuzone d frequenze x n f x n f x 2 n 2 f 2 x k n k f k La meda artmetca è µ x n x n x n + 2 2 + + K K K K K = = xn = x = x f = = = n (4) Esempo: consderamo la dstrbuzone untara relatva alle ore d straordnaro fatte da un nfermere ne 2 mes dell anno: 0, 2,, 5, 7, 0, 5, 0, 7, 0, 7, 2. Il numero medo d ore, applcando la (3) è dato da µ = (0+ 2+ + 5+ 7+ 0+ 5+ 0+ 7+ 0+ 7+ 2)/2 = 96/2 = 8 ore Scrvamo adesso la nostra dstrbuzone n forma d dstrbuzone d frequenze:
Corso d Statstca (canale P-Z) A.A. 2009/0 Prof.ssa P. Vcard Ore d straordnaro x n x n 0 0 5 2 0 7 3 2 0 3 30 2 2 24 Totale 2 96 0 + 5 2 + + 2 2 96 Pertanto, applcando la (4) µ = = = 8 2 2 Caso delle dstrbuzon n class. Quando abbamo una dstrbuzone n class per calcolare la meda artmetca è necessaro usare nuovamente l potes d equdstrbuzone delle untà all nterno delle class. Questo perché d ogn untà abbamo solo l nformazone relatva alla classe d appartenenza ma non conoscamo l valore esatto che l carattere assume nelle untà. el calcolo della meda artmetca assumere l potes d equdstrbuzone equvale ad assumere che tutte le untà d una classe assumono l valore centrale della classe cu appartengono. Questo perché l valore centrale della classe concde (sotto potes d unforme dstrbuzone all nterno delle class) con la meda artmetca della classe. In sostanza data l -esma classe, d estrem c e c, se ne calcola l valore centrale come segue: c c c x = +. La meda artmetca pertanto s calcola così 2 2 2 K K c x n + c x n + + c xknk µ = = c xn = c x f = = Quando la classe è aperta allora s fanno opportune potes sul valore rappresentatvo della classe. Esempo: Dstrbuzone n class d statura. Classe c c c x f c x f 55-65 55 65 60 0.093 4.880 65-70 65 70 67.5 0.94 32.495 70-75 70 75 72.5 0.290 50.025 75-80 75 80 77.5 0.248 44.020 80-85 80 85 82.5 0.26 22.995 85-95 85 95 90 0.049 9.30 Totale 73.725 µ = 4.880+32.495+50.025+44.020+22.995+9.30 = 73.725
Corso d Statstca (canale P-Z) A.A. 2009/0 Prof.ssa P. Vcard Esempo: consderamo la seguente dstrbuzone d 90 clent d una banca n base al tempo d attesa. Ammontar Mnut d Attesa Meda delle n f F c attesa µ f c x n totale class ( µ ) -3 5 0.056 0.056 2 0 2 2.400 0.34 3-5 23 0.256 0.3 4 92 98 4.26.09 5-0 4 0.456 0.767 7.5 307.5 280 6.829 3.4 0-20 3 0.44 0.9 5 95 20 6.54 2.326 20-40 8 0.089 30 240 203 25.375 2.258 90 844.5 8.924 S trova che 5 µ = 90 = 844. 5 xn = 90 c = 9. 38 Osservazone: Se avessmo saputo per ogn classe quanto tempo aspettano complessvamente le untà che cadono n quella classe (formalmente, se avessmo conoscuto gl ammontar delle class) allora non avremmo avuto bsogno d ntrodurre l potes d unforme dstrbuzone all nterno delle class ma avremmo potuto calcolare la meda artmetca relatva a ogn sngola classe (e la ndchamo con µ ) come segue: µ = (attesa totale della classe )/n calcolare la meda artmetca della dstrbuzone con una delle formule K K µ = µ n = µ f = = dove µ è l tempo medo d attesa d ogn sngola classe calcolato esattamente sulla base degl ammontar. el nostro esempo s trova 5 µ = µ f = 8.92 =
Corso d Statstca (canale P-Z) A.A. 2009/0 Prof.ssa P. Vcard Propretà della meda artmetca Tutte le propretà verranno esposte n termn d dstrbuzone untara; esse (tutte) sono valde anche quando dat sono n forma d dstrbuzone d frequenza e le dmostrazon sono del tutto analoghe. Vedamo, ora, se la meda artmetca gode delle tre propretà che abbamo elencato sopra. La meda artmetca è:. consstente In una dstrbuzone untara del tpo x = x, x 2 = x,, x = x allora: µ = x = x = x = x = = Se consderamo l esempo de 5 fratell e supponamo che tutt producano lo stesso reddto (par a 0000 ). Allora l reddto medo prodotto da fratell è propro par a 50000/5 = 0000 2. monotona Infatt sano X e Y due dstrbuzone untare rportate d seguto X x x 2 X Y y y 2 Y Con Y dstrbuzone statstcamente pù grande d X, allora x < y perché Y è statstcamente pù grande d X, e = = µ = x < y = µ X Y = = Consderamo l esempo delle famgle del Pemonte e del Lazo e verfchamo che la meda artmetca è monotona. Abbamo gà vsto che la dstrbuzone Y (quella che s rfersce al Lazo) è statstcamente pù grande della dstrbuzone X (quella che s rfersce al Pemonte). Calcolamo le mede artmetche: 7 0 µ X = =. 7 e µ Y = =. 67 coè vedamo che è verfcato che l numero medo d fgl per 6 6 famgla nel Lazo è maggore del numero medo d fgl per famgla nel Pemonte (n smbol µ Y µ X ). 3. nterna (conseguenza d e 2) Vedamo altre propretà molto mportant della meda artmetca. 4. La somma degl scart dalla meda artmetca è nulla. Dmostrazone: ( x µ ) = = 0
Corso d Statstca (canale P-Z) A.A. 2009/0 Prof.ssa P. Vcard ( ) x µ = x µ = µ µ = 0 = = = Questa propretà può essere utlzzata per verfcare l esattezza del calcolo della meda artmetca. Esempo: consderamo d nuovo la dstrbuzone untara relatva alle ore d straordnaro fatte da un nfermere ne 2 mes dell anno, dove µ=8 ore: x 0 2 5 7 0 5 0 7 0 7 2 x -µ 2 4 3-3 - 2-3 -8-2 - 4 Allora s verfca faclmente che n ( x µ ) = = 2 + 4 + 3 3 + 2 3 8 + 2 + 4 = 0 5. La somma de quadrat degl scart da una costante c è mnma quando c è la meda artmetca Dmostrazone (facoltatva): ( ) = 2 2 2 ( x c) ( x µ ) = = x c = (aggungendo e sottraendo µ ) dove l segno = s ha solo quando c=µ 2 ( x ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 µ µ c x µ µ c x µ µ c 2( x µ )( µ c) = + = + = + + = = = = 2 2 2 2 ( x µ ) ( µ c) 2 ( x µ )( µ c) ( x µ ) ( µ c) 2( µ c) ( x µ ) = + + = + + = = = = = = = ( x µ ) ( µ c) = 2 2 + + 0 essendo (µ c) 2 0 s ha che 2 2 2 2 ( x c) = ( x µ ) + ( µ c) ( x µ ) = = = dove l uguaglanza s ha solo quando c=µ. = 0 per la propretà 4 Esempo: consderamo d nuovo la dstrbuzone untara relatva alle ore d straordnaro fatte da un nfermere ne 2 mes dell anno, dove µ=8 ore e consderamo per esempo una costante c=9 x 0 2 5 7 0 5 0 7 0 7 2 x -µ 2 4 3-3 - 2-3 -8-2 - 4 (x -µ) 2 4 6 9 9 4 9 64 4 6 x -c 3 2-4 -2-4 -9-2 -2 3 (x -c) 2 9 4 6 4 6 8 4 4 9 Trovamo che ( x 8) 2 = 38 e ( x ) 2 = = 9 = 50
Corso d Statstca (canale P-Z) A.A. 2009/0 Prof.ssa P. Vcard 6. La meda artmetca è lneare coè è nvarante per trasformazon lnear de dat. Sa x, x 2,, x una dstrbuzone untara d meda µ X. Effettuamo una trasformazone lneare delle osservazon, coè y = c x + d =,, dove c e d sono due costant (c ndca l cambamento d untà d msura e d ndca la traslazone) S ha che µ Y = c µ X + d Dmostrazone: µ = y = c x + d = c x + d = c x + d = cµ + d ( ) Y X = = = = = Esempo (cambo d untà d msura): Gulo, Marco e Paola non rescono propro a ragonare n Euro. Alla fne d ogn mese guardano quanto hanno guadagnato n meda. Alla fne del mese d gennao 2002, quando rcevono la loro prma busta paga con lo stpendo scrtto solo n Euro, per calcolare la meda hanno bsogno d convertre loro stpend n lre. I loro stpend n Euro sono: 050,00 30,00 099,00 Gulo conosce la propretà d lneartà della meda artmetca qund prma calcola lo stpendo medo n Euro: µ = (050,00+30,00+099,00)/3=3279,00/3=093,00 e po fa la conversone n Lre coè applca µ Y = c µ X + d con c=936,27 e d=0 ovvero trova µ = 936,27 093 =26343 Lre. Marco e Paola non conoscono la lneartà della meda artmetca e mpegano pù tempo (e fanno pù cont) per arrvare allo stesso rsultato d Gulo. Vedamo. Prma convertono loro stpend e po ne calcolano la meda. Verfchamo che l rsultato è lo stesso. I tre stpend n lre sono: 936,27 050,00 = 2033083.5 936,27 30,00 = 287985. 936,27 099,00 = 227960.73 La loro meda è 2033083.5 + 287985.+ 227960.73 6349029.33 = = 26343 Lre 3 3 7. La meda artmetca è assocatva Vedamo nnanztutto cosa s ntende per propretà assocatva d una meda. Data una dstrbuzone untara x, x 2,, x ed una sua partzone n due dstrbuzon parzal x, x 2,, x m e x m+, x m+2,, x, consderamo l valore medo M della prma dstrbuzone parzale e M 2 della seconda dstrbuzone parzale. Prendamo po la dstrbuzone untara d termn de qual m ugual a M e -m ugual a M 2, ottenuta coè sosttuendo la modaltà d ogn untà con la meda del sotto-collettvo a cu appartene. M,, M, M,, M 2 2 m volte m volte
Corso d Statstca (canale P-Z) A.A. 2009/0 Prof.ssa P. Vcard Indchamo, nfne con M la meda d x, x 2,, x. Dremo che la meda M è assocatva se rsulta M = M ( x,x 2,,x ) = M M,M,,M,M 2,M 2,,M 2 m volte m volte Sosttuamo, ora, la generca M con la defnzone d meda artmetca Infatt, ne termn della defnzone prma fornta, abbamo m m µ ( x,x 2,...,x ) = x = x x x m x ( m) + = + = = = = m+ m = m = m+ = [ µ m + µ 2( m )] Questa propretà è vera anche quando suddvdamo l nostro nseme d osservazon n pù d due sottonsem dsgunt, dcamo L, d numerostà,, L (con rspettvamente µ,, µ L. Allora s ha L hh h= µ = µ La propretà assocatva consente anche d rsolvere problem del tpo seguente. L h= h = ) e con mede Esempo: S consder la seguente dstrbuzone congunta d 37 student (9 d Economa e 8 d Socologa) secondo l voto rportato all'esame d statstca e l'ndrzzo d studo (Economa o Socologa) Voto Indrzzo d studo Economco (E) 8 5 9 0 20 3 0 2 0 22 0 23 0 24 3 25 2 0 26 3 2 27 0 2 28 0 2 29 0 30 3 2 3 2 Socologco (S)
Corso d Statstca (canale P-Z) A.A. 2009/0 Prof.ssa P. Vcard Calcolamo vot med condzonatamente a due ndrzz e da ess rcavamo la meda della dstrbuzone margnale senza rfare calcol ma a partre dal voto medo degl economst e dal voto medo de socolog. 482 Calcolamo l voto medo rportato dagl student d economa: µ E = = 25. 37 9 429 Calcolamo l voto medo rportato dagl student d socologa: µ S = = 23. 83 8 Per calcolare l voto medo complessvo basta applcare la propretà assocatva della meda artmetca e s ha E µ E + S µ S 9 25.35 + 8 23.83 µ = = = 24.62 + 9 + 8 E S dove E e S ndcano l numero d student rspettvamente d economa e d socologa. ell esempo precedente abbamo vsto che con la propretà assocatva abbamo composto rsultat relatv allo stesso carattere rlevato su due popolazon dverse (gl student n economa e n socologa). Questo vale n generale anche quando abbamo pù d due collettv. In generale, dat L collettv (L 2) dstnt d numerostà,, L e con mede rspettvamente µ,, µ L, s ha L µ + + µ LL µ = L µ hh = h= + + L h= h Esempo: voglamo calcolare l reddto medo pro capte d Roma e Vterbo complessvamente. A dsposzone abbamo solo l nformazone relatva al reddto pro capte d Roma ed a quello d Vterbo separatamente. el comune d Roma l reddto medo annuo pro capte è d 30 (mlon d lre) mentre nel comune d Vterbo è d 25 (mlon d lre). I resdent nel comune d Roma sono l 70% de resdent della regone e quell d Vterbo l 0%. Detto l numero de resdent nella regone, l reddto medo annuo pro capte de resdent ne due comun rsulta: 30 (0.7 ) + 25 (0. ) 30 0.7 + 25 0. = = 30 0.875 + 25 0.25 = 29.375 0.8 0.8
Corso d Statstca (canale P-Z) A.A. 2009/0 Prof.ssa P. Vcard Meda artmetca ponderata In alcun cas è opportuno o s rtene d dover dare un peso dverso alle dverse modaltà rlevate del carattere. Consderamo la seguente dstrbuzone relatva al prezzo medo all ngrosso e alle quanttà trattate de seguent tp d agrum Agrum Prezz n Lt (al quntale) Quanttà (n mglaa d quntal) Arance 23695 5528 Lmon 43280 2235 Mandarn 3750 59 Totale 98725 9354 Voglamo calcolare l prezzo medo al quntale. Potremmo calcolare la meda artmetca, ottenendo così che l prezzo medo al quntale è par a 98725/3 = 32908 Lre Ma n questo modo non abbamo tenuto conto delle quanttà trattate all ngrosso vsto che ogn tpo d prezzo ha contrbuto n msura (quanttà) dversa alla determnazone del prezzo medo. Ovvamente dovrà avere maggore peso nella determnazone del prezzo medo, l prezzo d quel prodotto che è stato scambato n maggore quanttà (nel nostro esempo le arance). Dobbamo qund nnanztutto valutare l valore complessvo delle merc trattate. Tale valore complessvo è dato da 23695 5528 + 43280 2235 + 3750 59 = 2782300 Lre Pertanto l prezzo medo per quntale è 23695 5528 + 43280 2235 + 3750 59 2782300 = = 29745 5528 + 2235 + 59 9354 Lre La meda che abbamo calcolato è la meda artmetca de prezz degl agrum ponderata con le quanttà. Come gà potevamo mmagnare l prezzo medo così calcolato rsulta pù basso del prezzo medo calcolato dando (I MODO ERRATO!) uguale peso a tre tp d agrum. In generale la meda artmetca ponderata de valor x, x 2,, x K, con pes p, p 2,, p K è data da x p + x 2 p2 + + xk pk µ = p + p + + p 2 K S vedrà nel seguto del corso che le mede ponderate sono utl anche nel calcolo degl ndc de prezz.