Conversione Analogico-Digitale

Capiolo 4 Conversione Analogico-Digiale I segnali del mondo reale sono analogici, menre un elaboraore digiale è in grado di memorizzare e raare esclusivamene sequenze finie di bi. Per raare con ecniche digiali i segnali analogici è allora necessario, in via preliminare, approssimare ques ulimi con segnali digiali. I sisemi che rasformano un segnale analogico nel corrispondene digiale sono dei converiori analogico-digiali (ADC), menre quelli che realizzano l operazione inversa, ossia rasformare un segnale digiale in un segnale analogico, sono dei converiori digiali-analogici (DAC). I principi di base che sovrinendono deo processo di conversione sono quelli espressi dalle operazioni di campionameno e di quanizzazione. Al campionameno è dedicao il primo paragrafo. Un sisema che realizzano l operazione di campionameno viene chiamao campionaore. Campionare un segnale a empo coninuo significa rilevare le ampiezze del segnale su un insieme discreo di empi: i frames caurai da una elecamera che inquadra una scena reale, ne cosiuiscono un esempio. Viene qui discusso il fondamenale eorema del campionameno: un segnale a banda limiaa da W Hz può essere perfeamene ricosruio dai suoi campioni presi con una frequenza di almeno 2W Hz; viene inolre sommariamene descrio il fenomeno dell equivocazione (aliasing), che si verifica quando la frequenza di campionameno è inferiore a 2W. La quanizzazione permee di rasformare un segnale a valori coninui in un segnale a valori su un insieme finio. Quesa operazione in generale inroduce un errore irreversibile nel segnale quanizzao: dao il segnale quanizzao, non è in generale possibile 117

118 Conversione Analogico-Digiale ricosruire il segnale originale. È uavia possibile conrollare come il segnale quanizzao risuli una buona approssimazione di quello analogico: un ipico indice di qualià è il rapporo segnale-rumore SQNR. I sisemi che realizzano l operazione di quanizzazione sono chiamai quanizzaori: nel secondo paragrafo viene inrodoo e sudiao il quanizzaore uniforme a n bi, mosrando in paricolare che ogni bi aggiuno al quanizzaore compora un migliorameno di 6 db nel rapporo segnale-rumore. Successivamene si moivano e si inroducono modelli di quanizzaori non uniformi. Un segnale di duraa limiaa nel empo, campionao e quanizzao, può essere raao con ecniche digiali: nel erzo paragrafo vengono sudiai i principali sisemi di conversione analogico-digiale (ADC) e digiale-analogico (DAC), che cosiuiscono il pone ra il mondo analogico e l elaboraore digiale. Viene in paricolare discussa la ecnica di sovracampionameno, che permee di migliorare il rapporo segnale-rumore ed una sua imporane applicazione: il converiore a 1 bi basao sulla sigma-dela modulazione. Viene infine analizzao il comporameno di un converiore digiale-analogico di ordine 0 (ZOH). Il capiolo ermina con una discussione sulle codifiche del livello di quanizzazione, che consene di rasformare il segnale in una sequenza binaria. Vengono infine presenae alcune codifiche, uili ai fini della rasmissione, di sequenze binarie in ermini di segnali a empo coninuo composi da reangoli. 4.1 Campionameno Campionare un segnale a empo coninuo significa rilevare le ampiezze del segnale su un insieme discreo di empi. Ad esempio, fissao un inervallo di empo di ampiezza τ, un campionameno uniforme con periodo τ di un segnale corrisponde all osservazione del segnale ai empi nτ ( < n < ); il segnale campionao può essere inerpreao come il segnale a empo discreo f(nτ). Il sisema campionaore uniforme con frequenza di campionameno ν s = 1/τ, rasforma quindiunsegnaleaempoconinuo nelsegnaleaempodiscreo f(nτ),comemosrao in Figura 4.1. Si osservi che il sisema campionaore è un sisema lineare. Campionaore f(nτ) ν s Figura 4.1 Sisema campionaore uniforme con periodo di campionameno τ = 1/ν s. Campionameno Ideale Il campionameno ideale è assimilabile ad un processo di modulazione in cui il segnale porane è definio dal reno di impulsi di Dirac δ τ () = + δ( nτ). n=

4.1. Campionameno 119 Il segnale modulao, denoao con f s (), risula essere perano f s () = δ τ () = + f(nτ)δ( nτ). (4.1) n= La Figura 4.2 illusra il processo di campionameno ideale della funzione modulao dal reno di impulsi. + n= δ( nτ) f s () f( τ) f(0) f(τ) 5τ 3τ 4τ 4τ 3τ 2τ τ τ 2τ 5τ f s () 5τ 3τ 4τ 4τ 3τ 2τ τ τ 2τ 5τ Figura 4.2 Campionameno ideale. È uile osservare che il segnale f s () non risula essere un modello per segnali reali così come il campionameno ideale non è un sisema fisicamene realizzabile; corrisponde invece ad un operazione realizzaa da sisemi campionaori reali la generazione della sequenza f(nτ) che qui rappresena il peso delle funzioni impulsive implicae nel campionameno idealizzao. La raazione qui esposa si basa su considerazioni ideali solo per convenienza maemaica ed esigenze di chiarezza esposiiva, specie se si pensa all analisi sperale che risula noevolmene semplificaa. Il passaggio successivo è l analisi nel dominio delle frequenze del sisema finora inrodoo. Innanziuo deriviamo lo spero del reno d impulsi impiegao nel rilevare i campioni della funzione. Ricordando che la rasformaa di Fourier della funzione impulsiva è la cosane uniaria e che la rasformaa di una funzione periodica è un reno di impulsi con ampiezza daa dai coefficieni della serie di Fourier associaa, moliplicai per

120 Conversione Analogico-Digiale 2π (vedi Esempio 2.5.7), si ha che: + δ( nτ) n= + F ω s δ(ω nω s ), n= dove ω s = 2πν s = 2π τ è la frequenza di campionameno in rad/sec. Teorema del Campionameno di Shannon Il problema che si inende affornare qui è il seguene: dao un segnale, sabilire con quale frequenza deve essere campionao affinché il segnale campionao f(nτ) ( < n < ) conenga la sessa informazione di, cioè sia possibile ricosruire a parire dalla sequenza f(nτ)? Per dare una risposa a quesa domanda occorre passare al dominio delle frequenze e dunque alla rasformaa di Fourier della (4.1). Se denoiamo con F s (ω) la rasformaa della funzione f s (), allora per la proprieà di dualià prodoo nel empo/convoluzione in fequenza vale: f s () = + n= δ( nτ) F 1 2π F(ω) ω s + n= δ(ω nω s ). Poiché + 1 2π F(ω) ω s δ(ω nω s ) = 1 n= τ dalla proprieà di convoluzione si ricava F(ω) δ(ω nω s ) = F(ω nω s ). + F(ω) δ(ω nω s ), n= Si conclude che la rasformaa di Fourier del segnale modulao dalla funzione impulsiva è F s (ω) = 1 τ + F(ω nω s ). n= Dunque lo spero del segnale campionao idealmene è cosiuio da repliche dello spero di raslae in frequenza di 2nπ/τ Hz e scalae in ampiezza secondo il faore 1/τ. Una relazione imporane sussise ra la frequenza di campionameno ω s e la massima frequenza ω B = 2πν B presene nello spero del segnale campionao. La Figura 4.3 fornisce un inerpreazione grafica di dea relazione: se il segnale è a banda limiaa, allora le repliche dello spero di non si sovrappongono in F s (ω) essendo soddisfaa con un cero margine la relazione di Nyquis ω s 2ω B o equivalen. ν s 2ν B, ovvero τ 1 2ν B. Dalla sessa figura si comprende che quano asserio è vero per un periodo di campionameno con limie inferiore τ B = 1 2ν B, menre per valori inferiori (dove la condizione di Nyquis non è verificaa) si hanno ineviabilmene sovrappasizioni delle repliche sperali. Quano deo sopra è asserio nel seguene

4.1. Campionameno 121 F(ω) 1 ω B ω B ω F s (ω) ω s > 2ω B 1/τ 2ω s ω s ω B ω B ω s 2ω s ω F s (ω) ω s = 2ω B 1/τ 3ω s 2ω s ω s ω B ω B ω s 2ω s 3ω s ω Figura 4.3 Analisi del campionameno nel dominio delle frequenze. Teorema 4.1 (Teorema del campionameno). Un segnale a banda limiaa da ν B Hz, la cui rasformaa di Fourier F(ω) è quindi nulla per ω > 2πν B rad/sec, può essere univocamene ricosruio dai suoi campioni f(nτ) ( < n < ) presi a frequenza ν s = 1 τ, se ν s 2ν B. La frequenza 2ν B Hz è dea asso o frequenza di Nyquis. Esempio 4.1.1. Un segnale coniene componeni in frequenza inferiori a 4 khz; deerminare la minima frequenza di campionameno che ne permea la ricosruzione priva di errore. Basa calcolare il asso di Nyquis 2 4 = 8 khz. Soo l poesi del eorema di Shannon (segnale a banda limiaa da ω B e frequenza di campionameno ω s 2ω B ), il segnale può essere ricosruio dalla sua versione campionaa f s () mediane l applicazione di un filro passabasso ideale avene guadagno τ e frequenza di aglio ω c ale che: ω B ω c ω S ω B.

122 Conversione Analogico-Digiale La Figura 4.4 illusra l inero processo che dal campionameno ideale operao da modulazione impulsiva pora alla ricosruzione del segnale originale mediane l applicazione di un filro ideale con caraerisiche sopra descrie. + n= δ( nτ) f s () H(ω) ω c F s (ω) 1/τ 2ω s ω s ω B ω B ω s 2ω s ω H(ω) τ ω c ω c ω F(ω) 1 ω B ω B ω Figura 4.4 Ricosruzione del segnale dai suoi campioni e filro ideale. Al fine di mosrare la famiglia di funzioni che, a parire dai campioni del segnale, consenono di oenere una perfea ricosruzione dello sesso, ricaviamo la risposa impulsiva h() del filro implicao nel processo di ricosruzione, avene come spero H(ω), frequenza di aglio ω s /2 e guadagno τ (vedi Figura 4.3). Dal capiolo precedene (Esempio 2.5.8) sappiamo che ( ) ωs sinc 2 F ( ) ω τrec. ω s

4.1. Campionameno 123 Dalla relazione precedene e per la proprieà di dualià prodoo/convoluzione si ricava = F 1 {H(ω)F s (ω)} = h() f s () ( ) + ωs = sinc 2 f(nτ)δ( nτ) n= + ( ) ωs = sinc f(nτ)δ( nτ) n= 2 + ( ) ωs ( nτ) = f(nτ)sinc. n= 2 La formula rovaa è riferia all inerpolazione ideale. Come discusso in precedenza, l aggeivo ideale iene cono del fao che il filro passabasso è ideale e di conseguenza la sua risposa all impulso è non causale e di duraa infinia; fao queso d alro cano ben evidene dalle funzioni inerpolarici sinc( ), la cui sovrapposizione ricosruisce il segnale desiderao, che sono infiniamene esese nel empo in ambedue le direzioni: in alre parole il filraggio di ricosruzione ideale non è fisicamene realizzabile. Aliasing Rimane infine da chiarire che cosa accade quando non sono soddisfae le condizione del eorema di Shannon, cioè quando la banda del segnale è illimia oppure il segnale è a banda limiaa ma la frequenza di campionameno è inferiore al asso di Nyquis: ν s < 2ν B o equivalenemene ω s < 2ω B. Risulaevidenecheilmeododiricosruzionesopradescrio perde la sua efficacia a causa delle sovrapposizioni che si creano nella ripeizione periodica del segnale rasformao, come mosrao in Figura 4.5. La sovrapposizione di alcune componeni in frequenza crea disorsioni irreversibili perché inroduce nuove componeni non preseni nello spero originale, rendendo impossibile il compio di ricosruzione del segnale dao ad opera del filro passabasso ideale. F s (ω) ω s < 2ω B 1/τ 2ω s ω s ω B ω B ω s 2ω s ω Figura 4.5 Tipica manifesazione del fenomeno dell aliasing. A causa di queso effeo, chiamao equivocazione o aliasing, non è in generale possibile ricosruire il segnale di parenza sulla base del segnale campionao. Per eviare queso fenomeno, un sisema campionaore a frequenza ω s viene normalmene fao precedereda un filro passabasso con frequenza di aglio ω c al più ω s /2, deo filro ani-aliasing, come mosrao in Figura 4.6.

124 Conversione Analogico-Digiale Filro ani-aliasing Campionaore uniforme g(n) ω c ω s 2ω c Figura 4.6 Sisema campionaore preceduo da filro ani-aliasing. Esempio 4.1.2. In elefonia le più ale frequenze di ineresse sono 3.4 khz. Una conversazione può uavia conenere frequenze superiori ai 10 khz. Indicare come è possibile ricosruire il segnale di ineresse (cioè le componeni in frequenza inferiori a 3.4 khz) da un suo campionameno a 8 khz. Una semplice soluzione consise nel premeere a campionaore un filro passabasso con frequenza di aglio a 3 khz. Caraerisiche dei Filri Ani-Aliasing Reali Un filro ani-aliasing dovrebbe rimuovere ue le componeni del segnale a frequenze superiori o uguali alla meà della frequenza di campionameno: in linea di principio queso può essere oenuo da un filro ideale passabasso con frequenza di aglio pari alla meà della frequenza di campionameno. Come osservao nel Capiolo 3, ali filri non sono uavia realizzabili e possono solo essere approssimai con filri adeguai alla paricolare applicazione: in quesa sezione discuiamo l adeguaezza di un filro ani-aliasing rispeo alle caraerisiche di un converiore. Anicipando la discussione dei paragrafi segueni, supponiamo che il converiore sia composo da un campionaore a frequenza ν s e da un quanizzaore che approssima i valori del segnale uilizzando m bi (si veda la prossima sezione); consideriamo inolre filri passabasso caraerizzai dalla loro frequenza di aglio ν c a 3 db e frequenza di sop ν T. Il nosro problema richiede di scegliere ν s, ν c e ν T in modo ale da garanire la correa conversione di segnali con limie di banda ν B. Una possibile soluzione è daa da: 1. la frequenza di aglio ν c a 3 db può essere scela pari a ν B. 2. la frequenza di sop può essere scela in modo ale che la massima oscillazione in banda proibia sia confronabile con l errore inrodoo dalla quanizzazione o, equivalenemene, richiedendo che l aenuazione g(ν T ) sia uguale al rapporo segnale rumore SQNR, che per un quanizzaore a m bi vale 6m +1.7: 20log 10 H(ν T ) = 6m +1.7.

4.2. Quanizzazione 125 Esempio 4.1.3. Si uilizzi un filro di Buerworh di ordine 6 come filro ani-aliasing per un converiore con quanizzaore a 8 bi; si supponga che i segnali di ineresse abbianolimie di banda di f max = 300 Hz. Deerminare la frequenza di aglio a 3dB, la dimensione della banda di ransizione del filro e la frequenza di lavoro del converiore. Come viso in Sezione 3.2.1, il guadagno di un filro di Buerworh di ordine 6 con 1 frequenza di aglio a 3dB ν c è Osserviamo per prima cosa che la frequenza ννc )12. 1+( di aglio ν c può essere posa a 300 Hz. La frequenza di sop può ora essere deerminaa eguagliando l aenuazione al rapporo segnale rumore: ( νt ) ) 12 10log 10 (1 + = 6 8+1.7. 300 Si oiene una frequenza di sop ν T 783 Hz; la dimensione della banda di ransizione risula allora 483 Hz. La frequenza di sop del filro ani-aliasing è 783 Hz, e risula maggiore del asso di Nyquis pari a 600 Hz. Per garanire un correo funzionameno del converiore in presenza di segnali arbirari occorre allora campionare ad almeno 783 Hz, superiore al asso di Nyquis. 4.2 Quanizzazione La quanizzazione è il processo che permee di rasformare un segnale a valori coninui in un segnale che assume un numero finio di valori. Un modo semplice di quanizzare consise nel prefissare un un insieme finio di l valori numerici {x 1,...,x l } e di associare adogninumero x il valore numerico x k cheèpiù vicino a x. Ilpassoulerioreèquello della codifica dei valori dell insieme {x 1,...,x l } in parole binarie opporunamene codificae Se i segnali che prendiamo in considerazione hanno ampiezze comprese V 2 ra e V 2, queso può essere oenuo dividendo l insieme [ V 2, V ] 2 in l inervalli, dei livelli, ed aribuendo ad un puno x [ V 2, V ] 2 il cenro del livello in cui x cade. Dei {x1,...,x l } i cenri dei vari livelli, l operazione di quanizzazione può essere allora descria dalla funzione Q che ad ogni x associa il cenro più vicino: Q(x) = arg min x x i. x i {x 1,...,x l } Il sisema che realizza l operazione di quanizzazione è deo quanizzaore. Poiché {x 1,...,x l } non è uno spazio veoriale, il quanizzaore non è in generale un sisema lineare. Poiché inolre la quanizzazione Q è una funzione moli-uno, essa inroduce un errore irreversibile nel segnale quanizzao: dao il segnale quanizzao, non è possibile ricosruire in modo esao il segnale d origine. Nel prossimo paragrafo accenniamo ad un analisi quaniaiva di ale ipo di errore. 4.2.1 Quanizzaore Uniforme e Rumore di Quanizzazione Un sisema quanizzaore in cui l inervallo [ V/2, V/2] è suddiviso in l livelli di uguale ampiezza V/l è deo quanizzaore uniforme; il numero di = V l = x i x i+1, con 1 i l 1,

126 Conversione Analogico-Digiale è chiamao passo di quanizzazione. Se l = 2 m, gli elemeni {x 1,...,x l } possono essere codificai con parole dim bi: x i = b i1 b im, con b ik {0,1} (1 i l). Il sisema in queso caso è deo quanizzaore uniforme a m bi ed è mosrao in Figura 4.7. Quanizzaore uniforme Q() m Figura 4.7 Quanizzazione uniforme a m bi. La Figura 4.8 mosra il risulao del campionameno (pallino bianco) e campionameno più quanizzazione uniforme a quaro livelli (pallino nero) di un segnale. V/2 V/2 Figura 4.8 Campionameno e quanizzazione uniforme a quaro livelli di un segnale. Come ben evidenziao dalla Figura, la quanizzazione Q è una funzione moli-uno che inroduce un errore irreversibile nel segnale quanizzao. Una naurale misura dell errore sul numero x è la seguene: e(x) = Q(x) x. La Figura 4.9 mosra l errore di quanizzazione per un quanizzaore uniforme di due bi (quaro livelli). L errore di quanizzazione ha un comporameno ben differenziao in due zone: 1. Se x < V/2 oppure x > V/2, l errore può essere arbirariamene grande: in queso caso l errore è deo errore da sovraccarico (overload) e lo si conrolla cercando di garanire che i valori del segnale in ingresso al quanizzaore rienrino nel range del quanizzaore, cioè che V/2 V/2.

4.2. Quanizzazione 127 e(x) /2 V/2 V/2 x /2 Figura 4.9 Errore di quanizzazione inrodoo dal quanizzaore uniforme a quaro livelli. 2. Se x è invece inerno all inervallo V/2 x V/2, l errore e(x) si maniene in valore assoluo minore o uguale a /2; ale errore è deo rumore granulare. In seguio supporremo che l unica sorgene di errore sia il rumore granulare. Una misura di presazione del quanizzaore è daa dal rapporo segnale-rumore di quanizzazione SQNR (Signal-o-Quanizaion-Noise Raio), espresso in scala logarimica e misurao in decibell (db): σ SQNR = 2 10log 10 db, dove σ 2 è la varianza (o poenza) del segnale e σ 2 e l errore di quanizzazione quadraico medio (varianza dell errore). Osserviamo che nelle nosre ipoesi l errore di quanizzazione è sempre limiao: σ 2 e 2 errore 2. Per moli segnali deerminisici inolre l errore è uniformemene disribuio in [ /2, /2]. Queso significa che la probabilià che l errore sia compreso fra e ed e +de è de/. L errore quadraico medio è allora: σ 2 e = 2 2 e 2de = 2 12. Ipoizziamo che il segnale di riferimeno sia Asin/2. La media di ale segnale è 0, poiché: lim T T T sind 2T = 0. La varianza σ 2 di ale segnale è invece A 2 /8. Infai: σ 2 = lim T T T (A 2 sin 0)2 d 2T = lim T A 2 8 T (1 +cos2)d T 2T = A2 8. In al caso: A 2 /8 SQNR = 10log 10 2 /12 = 10log V 2 A 2 10 2 V 2 +10log 3 10 2 = 20log 10 la +1.76 db. V

128 Conversione Analogico-Digiale Per quanizzaori a m bi vale l = 2 m, quindi: Si oiene allora: A SQNR = 6.02m +20log 10 +1.76 db. V Fao 4.1. In un quanizzaore ogni bi aggiuno compora un incremeno di 6.02 db al rapporo segnale rumore. Se inolre il range dinamico A del segnale sfrua uo il range V del quanizzaore (cioè A V) risula SQNR 6.02m +1.76 db. Esempio 4.2.1. Deerminare il numero di bi da aggiungere a un quanizzaore per migliorare il rapporo segnale-rumore da 40 db a 68 db. Osservando che la differenza ra le presazioni richiese è di 18 db e che ogni bi aggiuno al quanizzaore migliora SQNR di 6.02 db, concludiamo che basa aggiungere 3 18 6.02 bi. 4.2.2 Quanizzaore Non Uniforme Spesso per segnali reali la probabilià che un segnale abbia valore ra y e y +dy viene a dipendere da y. La Figura 4.10 mosra come in un classico segnale del parlao ampiezze elevae siano meno probabili di ampiezze piccole: È inuiivo che in queso caso una Ampiezza Figura 4.10 Probabilià di varie ampiezze (in grigio). quanizzazione più fine per ampiezze piccole migliori la qualià del segnale quanizzao, diminuendo l errore quadraico medio. Queso risulao può essere oenuo come segue: 1. Si applica al segnale (che per semplicià consideriamo normalizzao a valori in [0, 1]) un funzione F inveribile che comprime le ampiezze vicine a 1 (vedi Figura 4.11).

4.2. Quanizzazione 129 F 1 1 x Figura 4.11 Funzione di compressione F. 2. Si applica al segnale compresso un quanizzaore uniforme. 3. Il segnale quanizzao viene decompresso applicando la funzione F 1 inversa di F. Queso processo, deo companding (COMPressing and expanding) permee di realizzare un quanizzaore non uniforme, come schemaizzao in Figura 4.12. F F() Quanizzaore uniforme y() F 1 F 1 (y()) m Figura 4.12 Quanizzaore non uniforme. Esempio 4.2.2. Nelle applicazioni in elefonia viene usaa la famiglia di funzioni µ-law: F µ (f) = ln(1 + µ f ) ln(1 + µ) sgn(f), con 1 f 1, dove f è il segnale normalizzao e µ è un paramero opporuno (usualmene poso a 100 o più recenemene a 255). La funzione µ-law inversa F 1 µ (y) è daa da: Fµ 1 (y) = 1 ( ) (1 + µ) y 1 sgn(y). µ

130 Conversione Analogico-Digiale 4.3 Converiore Analogico-Digiale (ADC) Applicando un campionaore a frequenza ν s e consecuivamene un quanizzaore a m bi, un segnale osservao per un empo T può essere rasformao in un veore di Tν s componeni a m bi: esso può quindi essere memorizzao in forma digiale usando Tν s m bi ed evenualmene modificao. Il sisema che realizza quesa rasformazione è deo converiore analogico-digiale (ADC) e può essere descrio come in Figura 4.13. Filro ani-aliasing Campionaore uniforme Quanizzaore g(n) ν c ν s m Figura 4.13 Converiore analogico-digiale ADC. Ilfilroanialiasing infiguraèunfilropassabassoedhalafunzionediporreiningresso al campionaore un segnale a banda limiaa la cui frequenza di Nyquis non superi la frequenza di campionameno. Esisono essenzialmene due differeni ipologie di converiori analogico-digiale. Nel primo ipo, rappresenao nella figura precedene, il campionaore opera vicino alla frequenza di Nyquis del segnale e il quanizzaore è un quanizzaore ad m bi (m 1). Nel secondo ipo si usa un campionaore a frequenza molo superiore alla asso di Nyquis (sovracampionameno), un quanizzaore a 1 bi e varie operazioni digiali. Nei converiori analogico-digiali del primo ipo l elemeno criico è il quanizzaore. Fra i vari modelli disponibili, preseniamo qui il Flash ADC di cui riporiamo in Figura 4.14 la realizzazione del quanizzaore a 2 bi. V rif V in >= >= >= Decodifica b 0 b 1 Figura 4.14 Flash ADC (2 bi).

4.3. Converiore Analogico-Digiale(ADC) 131 Nel caso generale di un quanizzaore a m bi, la ensione del segnale di ingresso V im viene confronaa con 2 m 1 ensionidi riferimeno oenuecon un sisema di 2 m resisenze uguali pose in serie. Le uscie binarie dei comparaori (indicai col simbolo >= in figura) vengono poi rasformae negli m bi di codifica da un opporuno circuio booleano (chiamao Decodifica in figura). Il flash ADC è sicuramene il più veloce converiore disponibile, ma è cosiuio da un numero elevao (2 m ) di resisenze che devono essere molo accurae: queso rende difficile e cososa la realizzazione per ali valori di m (m 8). Queso fao è una caraerisica dei converiori analogico-digiali di queso ipo, che richiedono un esrema accuraezza nella cosruzione del sisema quanizzaore. Risula allora conveniene un diverso ipo di converiore, basao sull idea di operare con frequenze di campionameno molo superiori al asso di Nyquis uilizzando però un quanizzaore a pochi bi. Il vanaggio oenuo è duplice: 1. operando a frequenze molo superiori al asso di Nyquis, il filro anialiasing divena meno criico di quano non lo sia nei converiori del primo ipo, e può essere progeao con maggior facilià; 2. l aumeno della frequenza di campionameno si può radurre in un migliorameno del SQNR del converiore. La prossima sezione è dedicaa ad un analisi quaniaiva di queso fenomeno. 4.3.1 Sovracampionameno nella Conversione Analogico-Digiale Il eorema del campionameno garanisce la possibilià di ricosruire un segnale a banda limiaa da ν B Hz dal suo campionameno a frequenze almeno pari al asso di Nyquis, che è 2ν B. Sovracampionare significa operare un campionameno con frequenza ν s molo superiore al asso di Nyquis; il asso di sovracampionameno è dao dal rapporo ra frequenza di campionameno e asso di Nyquis: asso di sovracampionameno = ν s 2ν B. Una caraerisica degli auali ADC è quella di uilizzare al massimo le poenzialià del sovracampionameno, oenendone due vanaggi rilevani: 1. possibilià di uilizzo di filri ani-aliasing con presazioni non elevae, poiché un filro passabasso,lavorando afrequenze ν s 2 molomaggioridella suafrequenzadiaglio ν B, è in grado di garanire una miglior aenuazione, come mosrao in Figura 4.15. 2. migliorameno del rapporo segnale-rumore SQNR dovuo al sovracampionameno. A queso riguardo, per gran pare dei segnali si può infai osservare che il rumore di quanizzazione σe 2, dovuo a quanizzazione preceduo da un campionameno a frequenza ν s, si disribuisce uniformemene su ue le frequenze ν [ ν s /2, ν s /2]. Le componeni del segnale con frequenze ra ν e ν +dν porano un conribuo al rumore pari a αdν per una opporuna cosane α. Poiché il rumore complessivo è σe, 2 segue che: σ 2 e = νs 2 νs 2 αdν = αν s,

132 Conversione Analogico-Digiale H(ν) ν c ν s /2 ν (Hz) Figura 4.15 Aumenare la frequenza di campionameno migliora l aenuazione del filro. queso compora che α = σ 2 e/ν s, come evidenziao in Figura 4.16. Il rumore che si sovrappone al segnale uile, che è a banda limiaa da f max, è quello prodoo dalle componeni in frequenza comprese ra f max e f max. Tale rumore equivale all area segnaa in grigio in Figura 4.16 e risula essere 2f max /F s, inversamene proporzionale al asso di sovracampionameno. Il rapporo segnale-rumore di quanizzazione, in presenza di sovracampionameno, risula allora essere: SQNR = 10log 10 F s σ 2 2f max σe 2 Per quanizzaori uniformi a m bi, si può quindi concludere: Teorema 4.2. Per un ADC con frequenza di campionameno e campionaore a m bi, vale: SQNR = 10log 10 F s 2f max +6m +1.7 In paricolare, raddoppiare la frequenza di campionameno pora a un migliorameno di 3 db in SQNR. Esempio 4.3.1. E dao un ADC per il raameno di segnali audio 0 20 khz con quanizzaore di 8 σ 2 e ν s ν s /2 ν c ν c ν s /2 ν Hz Figura 4.16 Disribuzione del rumore alle varie frequenze.

4.3. Converiore Analogico-Digiale(ADC) 133 bi. Deerminare la frequenza di campionameno necessaria perché il converiore oenga mediane sovracampionameno presazioni equivaleni a quelle di un quanizzaore a 12 bi. Poiché ogni bi aggiuno al quanizzaore pora un migliorameno di SQNR di 6 db, è richieso un aumeno oale di (12 8) 6 = 24dB. Ricordando che raddoppiare la frequenza di campionameno pora ad un aumeno di SQNR di 3 db, per oenere il migliorameno di 24 db bisogna raddoppiare la frequenza 8 vole. Il asso di Nyquis di segnali a banda limiaa da 20 KHz è 40 KHz: la frequenza richiesa risula allora 2 8 40 KHz, cioè 10.24 MHz. 4.3.2 Sovracampionameno: ADC con Quanizzaore di 1 Bi Le specifiche di ala qualià degli auali sisemi audio digiali rendono criiche le componeni analogiche degli ADC convenzionali. La disponibilià di h/w digiale di ale presazioni permee la realizzazione di eccelleni ADC che, grazie al sovracampionameno, possono lavorare con un quanizzaore di un solo bi. Il cuore di queso ipo di converiore è dao dal modulaore sigma-dela (SDM), rappresenao nella semplice versione di SDM del primo ordine in Figura 4.17. x(n) d(n) s(n) Campionaore 0 y(n) ν s y(n 1) Z 1 SDM Figura 4.17 SDM del primo ordine. Il segnale analogico, con banda limiaa da ν B, viene sovracampionao a frequenza ν s, dando luogo al segnale x(n) = f(nτ) con τ = 1/ν s. Il modulaoresigma-dela riceve in ingresso il segnale x(n) e dà in uscia un segnale binario y(n). Tale segnale viene riardao e sorao all ingresso; la differenza d(n) viene posa in ingresso ad un inegraore la cui uscia s(n) = n k= d(k) viene elaboraa da un quanizzaore a 1 bi con uscia: { +δ se s(n) > 0 y(n) =. δ alrimeni Il modulaore sigma-dela abbae il rumore di quanizzazione per due ragioni: 1. il sovracampionameno riduce il rumore nella banda di ineresse; 2. il modulaore sigma-dela, come mosreremo in Sezione 8.4.3, agisce da filro passaalo sul rumore di quanizzazione, riducendo il rumore nella banda di ineresse. Come mosreremo in Sezione 8.4.3, vale in paricolare:

134 Conversione Analogico-Digiale Teorema 4.3. Il modulaore sigma-dela del primo ordine a un asso di sovracampionameno ν s 2ν B migliora il rapporo segnale-rumore di quanizzazione di 30log 10 ν s 2ν B 9 db. Raddoppiare la frequenza di campionameno in un SDM del primo ordine provoca dunque un migliorameno del rapporo segnale rumore di 9 db, di cui 3 db sono dovui al sovracampionameno e 6 db all azione del modulaore che abbae il rumore alle basse frequenze e lo aumena alle ale frequenze(noise shaping). L applicazione successiva di un filro passabasso elimina le componeni di rumore alle ale frequenze. L usciadiunsdmrisulaessereunflussodibi adalafrequenza; peroenereunafrequenza di campionameno pari al asso di Nyquis si applica un processo di decimazione, che uleriormene consene di rasformare il segnale digiale a 1 bi in un segnale digiale a m bi. La effeiva lunghezza di parola m del converiore è quella equivalene alla risoluzione oenibile con il migliorameno in SQNR offero dal modulaore e dalla decimazione. In Figura 4.18 sono rappresenai i principali passi di un ADC con quanizzaore a 1 bi. Campionaore x(n) SDM y(n) Filro e Decimaore f(n) ν s Figura 4.18 ADC con quanizzaore a 1 bi. Esempio 4.3.2. Un sisema audio per il raameno di segnali con frequenze 0 20 KHz è basao su ecniche di sovracampionameno ed uilizza un SDM del primo ordine. Il segnale analogico viene rasformao prima in una correne di bi a una frequenza di 3 MHz e poi, conun processodi decimazione, in unsegnale mulibi a una frequenzadi 48KHz. Deerminare, in bi, la risoluzione del converiore. Se il asso di Nyquis è di 48 KHz, campionando a 3 MHz si ha un asso di sovracampionameno pari a 3 106 48 10 3 83. L aumeno in SQNR offero da un SDM di ordine 1 è pari a 30log 10 83 9 48.6 db. Un ADC con risoluzione di m bi, lavorando al asso di Nyquis, ha un SQNR pari a 6m +1.7; ipoizzando che il migliorameno in SQNR sia dovuo essenzialmene al modulaore, la risoluzione m è oenua risolvendo l equazione 6m +1.7 = 48.6, ciò che compora m = 7.8 bi. 4.4 Converiore Digiale-Analogico (DAC) Il converiore digiale-analogico (DAC) rasforma un segnale digiale, a empo e valori discrei, in un segnale analogico. Un modo semplice per converire un segnale digiale x(n) a frequenza ν s (i cui valori sono specificai da parole di m bi) è quello di rasformarlo nel segnale analogico g(), dove: g() = x(n) per nτ < (n +1)τ, con τ = 1/ν s.

4.4. Converiore Digiale-Analogico (DAC) 135 Queso ipo di converiore è deo di ipo ZOH (Zero-Order-Hold): la parola binaria al empo nτ è converia nel corrispeivo valore analogico, e ale valore viene manenuo per uo l inervallo seguene di ampiezza τ. Il segnale oenuo è descrio da una funzione a scala, che può essere lisciaa applicando un opporuno filro passabasso, come mosrao in Figura 4.19. x(n) 001 010 011 100 100 010 000 ZOH ν s Filro passa-basso Figura 4.19 Converiore digiale-analogico. 4.4.1 Analisi in Frequenza di un Converiore ZOH Un segnale digiale x(n) può essereinerpreaocome segnale analogico + n= x(n)δ(nτ), in cui ua l energia del segnale è concenraa ai empi discrei nτ. Da queso puno di visa, il converiore ZOH può essere viso come un sisema lineare empo-invariane in cui la risposa all impulso δ() è il reangolo (vedi Figura 4.20): h() = 1 ( ) τ/2 τ rec. τ δ() h() 1 τ ZOH 0 τ Figura 4.20 Risposa all impulso di un DAC ZOH. La funzione di rasferimeno H(ω) di queso sisema è dunque la rasformaa di Fourier di h(), cioè: H(ω) = e i τ ω2sin τ 2 2 ω τω. Il modulo e la fase della funzione di rasferimeno del DAC di ipo ZOH a frequenza ν s = 1/τ risulano allora: H(ω) = 2sin τ 2 ω τω, H(ω) = τ 2 ω.

136 Conversione Analogico-Digiale Osserviamo che la fase è lineare, con coefficiene angolare τ 2. Il grafico del modulo, limiao alla frequenza di Nyquis πν s rad/sec, è mosrao in Figura 4.21. H(ω) 1 0.66 0 πν s ω Figura 4.21 Modulo della funzione di rasferimeno del DAC. Si osserva che il guadagno, per le componeni ad ala frequenza (ω πν s ) è significaivamene minore che per quelle a bassa frequenza (ω π): queso fao può provocare noevoli disorsioni nel segnale. Per ricosruire il segnale in modo fedele è allora uile meere in sequenza al DAC un sisema lineare empo invariane EQ con funzione di rasferimeno 1/H(ω), in modo che il sisema complessivo (DAC + E) risuli avere guadagno G(ω), con: G(ω) = H(ω) 1 2 H(ω) = 1. Il circuio che realizza E viene deo equalizzaore ed è caraerizzao da una funzione di rasferimeno H 1 (ω) il cui modulo, mosrao in Figura 4.22, è H 1 (ω) = τω 2sin τ 2 ω. 1 H(ω) 1.5 1 0.66 0 πν s ω Figura 4.22 Modulo della funzione di rasferimeno dell equalizzaore. Realizzare un equalizzaore, in quesa applicazione, equivale quindi a deerminare un sisema LTI il cui modulo, nella zona di lavoro, sia almeno approssimaivamene 1/ H(ω). Il sisema complessivo necessario ad elaborare digialmene i segnali viene mosrao in Figura 4.23.

4.4. Converiore Digiale-Analogico (DAC) 137 ADC Elab. Digiale DAC Equalizzaore filro passa basso g() Figura 4.23 Elaborazione digiale di segnali. Ricordiamo che se in una sequenza di sisemi LTI modifichiamo l ordine dei soosisemi, il risulao non cambia: in mole applicazioni risula uile aneporre l equalizzaore al DAC. Nelle applicazioni risulano allora possibili due approcci. 1. Il filro equalizzaore viene poso in uscia del DAC. 2. Il filro equalizzaore precondiziona il segnale prima che esso enri nel DAC. In al caso l equalizzaore sarà realizzao da un filro digiale (si veda in Sezione 8.2.3 per una semplice soluzione). Esempio 4.4.1. Un esempio del secondo approccio si rirova nella produzione di CD commerciali. Il processo in queso caso è caraerizzao da due fasi ben disine: la produzione avviene in uno sudio che si può permeere grandi invesimeni, ammorizzai dall alo numero di CD vendui, menre la fruizione avviene a casa dell acquirene del CD, mediane un sisema che deve avere un coso sopporabile. Di conseguenza, nello sudio di produzione vengono usai microfoni di ala qualià per generare segnali con basso rumore. I segnali vengono inviai ad un filro ani-aliasing e quindi ad un ADC, venendo poi memorizzai in un maser sereo in formao digiale; mediane un paricolare processo, il conenuo del maser viene poi riprodoo nei vari CD da commerciare. Per la fruizione del CD, esso viene inserio in un leore: qui l informazione digiale viene lea da un laser e i campioni sono inviai a vari DAC per le uscie sereo, opporunamene filrae ed amplificae. L inero processo è schemaizzao nella Figura 4.24: filro ani aliasing ADC CD... Leore CD DAC filro passa basso Microfono Copia maser CD Aloparlane Figura 4.24 Sisema di produzione di CD commerciali. Come abbiamo viso, il DAC aenua le frequenze più ale e quindi per migliorare la qualià del segnale è necessario aggiungere un equalizzaore. In queso caso, invece di aggiungere in ogni leore un cososo equalizzaore, è vanaggioso precondizionare il segnale prima che venga memorizzao nel CD.

138 Conversione Analogico-Digiale 4.4.2 Sovracampionameno nella Conversione Digiale-Analogica Le moivazioni che inducono ad esplorare gli effei del sovracampionameno nella conversione analogico-digiale sono quelle già analizzae per la conversione digiale-analogica. Ci limiiamo qui a illusrare un esempio d impiego di quesi principi nei leori di CD. Esempio 4.4.2. Una semplificazione dei blocchi cosiueni il leore è mosrao in Figura 4.25. x(n) 16 bi (44.1 khz) Sovracampionaore filro a 12 bi y(n) 28 bi (176.4 khz) Modulaore (noise shaping) z(n) 14 bi DAC filro passa basso Aloparlane Figura 4.25 Leore per CD commerciali. Il segnale di ingresso x(n) è un segnale digiale con parole di 16 bi a frequenza di 44.1 KHz. Il segnale viene sovracampionao con asso 4 e filrao digialmene con un filro FIR con coefficieni di 12 bi, oenendo un segnale y(n) con parole di 16 +12 = 28 bi a una frequenza di 4 44.1 = 176.4 KHz. Il segnale viene inviao a un modulaore che, come nel caso del SDM, sposa il rumore alle ale frequenze ed infine quanizzao per arroondameno ai primi 14 bi. Il DAC seguene, con risposa in frequenza ipo sin x/x, ha l uleriore effeo di abbaere il rumore alle ale frequenze del 34%. Anche se il DAC lavora a 14 bi, l effeo è quello di un DAC a 16 bi: i due bi guadagnai sono prodoi da un migliorameno in SQNR di 12 db, di cui 6 dovui al sovracampionameno e 6 al modulaore. 4.5 Trasmissione di Segnali Digializzai Le comunicazioni a disanza sono un elemeno prioriario della via moderna. Grandi quanià di dai vengono scambiai per mezzo di rei elefoniche, radio o TV; in ques oica, problemaiche di grande ineresse sono da un lao lo sudio e lo sviluppo di nuovi canali fisici di rasmissione, dall alro le ecniche di codifica dei dai per una loro efficiene rasmissione sui canali fisici disponibili. Un imporane paramero di efficienza è il asso di compressione: dai compressi possono essere rasferii a assi di rasmissione meno elevai. In queso coneso, un vanaggio dell elaborazione digiale è quello di poer applicare ai dai algorimi di codifica efficieni. Un uleriore richiesa è la possibilià di correggere, in ricezioni, evenuali errori di rasmissione. Analizziamo qui brevemene alcune problemaiche sulla rasmissione di segnali digializzai. E conveniene considerare separaamene due fasi: 1. riduzione del segnale ad una sequenza, dea flusso (sream) di bi; 2. associazione ad ogni sequenza di bi di un segnale composo da reangoli (codifica di linea).

4.5. Trasmissione di Segnali Digializzai 139 4.5.1 Modulazione a Impulso Unaprima soluzione al problemadirasformareun flussodibi in un renodiimpulsi può essere oenua uilizzando un ADC con quanizzaore a m bi, che rasforma un segnale in una sequenza x(n) di parole binarie di m bi. L accosameno di ali parole realizza un flusso di bi, che può essere codificao dal segnale a componeni reangolari come in Figura 4.26. Campionaore f(k τ) x(km)x(km+1)... x(km+m 1) Quanizzaore a m bi PCM y() Periodo di campionameno = τ y() +δ 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 τ Periodo di impulso = 3 δ Figura 4.26 Modulazione a Impulso con m = 3. Quesa paricolare codifica di segnali con forme d onda digiali è dea Modulazione a Impulso (PCM - Pulse Coded Modulaion). Variani possono essere oenue con diverse codifiche dei livelli di quanizzazione. Daounquanizzaoreambi,sonoinfaipossibilimolecodifichedisinedei2 m livelli di quanizzazione. Tre comuni codifiche sono mosrae in Tabella 4.1 per un quanizzaore a 8 livelli (m = 3). La codifica naurale coincide con l usuale rappresenazione binaria dei numeri ineri Tabella 4.1 Codifiche del livello di quanizzazione. N o livello Codifica naurale Codifica con segno Codifica di Gray 1 000 011 010 2 001 010 011 3 010 001 001 4 011 000 000 5 100 100 100 6 101 101 101 7 110 110 111 8 111 111 110

140 Conversione Analogico-Digiale 0,1,...,2 n 1. Nella codifica con segno il primo bi significaivo rappresenail segno; essa corrisponde all usuale codifica dei numeri ineri relaivi 2 n 1 +1,...,2 n 1 1. Una erza rappresenazione è la codifica di Gray, in cui le parole binarie che idenificano due livelli consecuivi differiscono di un solo bi; quesa codifica è ineressane perché un errore sulla codifica di un livello k dà luogo in generale a livelli mediamene vicini a k, rendendopiù semplice il meccanismo di rilevameno e correzione di errore in ricezione. 4.5.2 Dela-Modulazione Una seconda soluzione può essere oenua con una ecnica dea Dela-Modulazione (DM). Essa è realizzaa dal converiore analogico-digiale con quanizzaore a 1 bi mosrao in Figura 4.27. Quanizzaore a 1 bi Campionaore f(k τ) x(k) DM y() f(k τ) Z 1 Σ f(k τ) Periodo di campionameno = τ +δ y() +δ 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 Periodo di impulso = τ δ Figura 4.27 Dela-Modulazione (DM). Il segnale analogico viene campionao con periodo τ e ai empi kτ viene poso in uscia un segnale binario x(k), dove x(0) = 0 e: { +δ se f(kτ) k 1 j=0 x(k) = x(j). δ alrimeni Si osservi che la dela-modulazione richiede di rasmeere solo 1 bi per ogni campione, menre la PCM richiede di rasmeere m bi per ogni campione. Tuavia la DM presena uno svanaggio: fissao δ, essa può raare efficacemene segnali di opporuna pendenza e ampiezza, alrimeni si generano errori sisemaici, come illusrao in Figura 4.28. Essa richiede dunque preliminarmene di conoscere alcune caraerisiche del segnale. Allo scopo di ridurre la dipendenza di quesa ecnica dal ipo di segnale, sono sae sudiae e inrodoe variani della PM, più cosose ma più flessibili, come la DPCM (Differenial Pulse Coded Modulaion) o la DPCM adaaiva.

4.5. Trasmissione di Segnali Digializzai 141 Figura 4.28 Errori inrodoi dalla DM. Nauralmene è possibile accoppiare le ecniche di modulazione con algorimi di compressione. Un esempio imporane sarà mosrao in Sezione 5.4.2. 4.5.3 Codifica di Linea Una vola che il segnale è sao codificao con una sequenza di 0 e 1, esso può essere elaborao o rasmesso su un opporuno canale. Se si vuol rasmeere l informazione direamene in forma digiale, senza modulazione analogica, è necessario assegnare ad ogni simbolo 0 o 1 del messaggio da rasmeere un opporuno segnale reangolare all inerno di una duraa di τ secondi. Ques operazione, che fa corrispondere ad ogni parola di 0 e 1 un segnale composo da reangoli, viene dea codifica di linea. Vi sono varie possibili codifiche di linea; di alcune di esse diamo qui una descrizione sommaria. 1. Nella codifica unipolare NRZ, 1 viene rappresenao col valore +V per la duraa di uo l inervallo τ, menre lo 0 col valore 0 per uo l inervallo τ. Qui unipolare significa che i valori possibili del segnale sono 0, +V; NRZ (NonReurn o Zero) significa che il segnale corrispondene a 1 non riorna mai a 0 nell inervallo τ. 2. Nella codifica polare RZ, 1 viene rappresenao col segnale che vale +V per la prima meà dell inervallo τ e vale 0 nella seconda meà, menre 0 viene rappresenao col segnale che vale -V per la prima meà dell inervallo τ e vale 0 nella seconda meà. Qui polare significa che i valori possibili del segnale sono +V, 0, -V; RZ (Reurn o Zero) significa che il segnale nell inervallo di ampiezza τ orna a 0. 3. Nella codifica bipolare 0 viene rappresenao col valore 0 per la duraa di uo l inervallo τ, menre 1 viene rappresenao alernaivamene col segnale che vale +V per la prima meà dell inervallo τ e vale 0 nella seconda meà, o -V nella prima meà e 0 nella seconda. La Figura 4.29 mosra il segnale che corrisponde nelle varie codifiche di linea al messaggio 10110100111. Vi sono nauralmene imporani differenze ra le varie codifiche. Ad esempio, dal puno di visa dell errore di rasmissione, si può osservare che la codifica bipolare permee di rilevare un errore di rasmissione, a causa dell alernanza delle polarià nella codifica degli 1.

142 Conversione Analogico-Digiale +v 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1τ 2τ 3τ 4τ 5τ 6τ 7τ 8τ 9τ 10τ 11τ (a) +v 0 -v 0 1τ 2τ 3τ 4τ 5τ 6τ 7τ 8τ 9τ 10τ 11τ (b) +v 0 -v 0 1τ 2τ 3τ 4τ 5τ 6τ 7τ 8τ 9τ 10τ 11τ (c) Figura 4.29 Codifiche di linea: (a) unipolare NRZ, (b) polare RZ, (c) bipolare RZ. Dal puno di visa dell analisi sperale, si può dimosrare che l energia del segnale associao alla codifica bipolare è concenraa per frequenze minori di 1/τ, che è il asso di rasmissione, menre per la codifica polare RZ ale energia è concenraa soo il doppio del asso di rasmissione.