1 Scopi del corso Lo studente saprà analizzare circuiti elettrici dinamiciper determinare il loro comportamento nel dominio del tempo e per ricavare le proprietà essenziali nel dominio della frequenza, sia in regime sinusoidale, sia in regime generico. 2
Contenuti del corso Il corso siarticolerà nelle unità: reti in regime sinusoidale reti nel dominio del tempo reti nel dominio delle frequenze funzioni di trasferimento doppi bipoli 3 Elettrotecnica 2 4
Cosa c è nell unità 1 In questa sezione si affronteranno: introduzione alle reti in regime sinusoidale funzioni sinusoidali e fasori calcolo simbolico potenze in regime sinusoidale 5 Reti in regime sinusoidale 6
Campo di applicazione e(t) (in alternata) vt () = vt() t + vp() t transitorio regime it () = i() t + i () t t p t 7 Proprietà fondamentale Se la rete è passiva con ingressi sinusoidali: ( ω ϕ) et () = E cos t +, m Risulta un regime sinusoidale: v t V t () = cos ( ω + ϕ ) i () t = I cos( ωt+ ϕ ) p m v p m i 8
Reti in regime sinusoidale 9 Funzioni sinusoidali e fasori 10
Forma standard 1/2 funzione sinusoidale istante di osservazione f() t = Fm cos( ωt+ ϕ) valor max pulsazione fase 11 Forma standard 2/2 Fm 0 π < ϕ + π f F = e ω 2π = Frequenza (Hz) F m 2 Valore Efficace 12
Misura dei parametri Volmetro: misura valori efficacitensioni Amperometro: misura valori efficacicorrenti Frequenzimetro: misura frequenze 13 Funzioni sinusoidali: Importanza La distribuzione di energia elettrica è in alternata f= 50 Hz (in Europa), f= 60 Hz (negli Stati Uniti) Ogni segnale può essere decomposto come somma di funzioni sinusoidali (Integrale di Fourier) 14
Proprietà 1/2 L insieme delle funzioni sinusoidali isofrequenziali è chiuso: f() t = F cos( ωt+ ϕ ) + F cos( ω t+ ϕ ) +... = 1m 1 2m 2 = F cos( ωt+ ϕ ) m 15 Proprietà 2/2 La derivata di una funzione sinusoidale è sinusoidale ed isofrequenziale: df () t gt () = = ωfm sin( ωt+ ϕ) = dt π = ωfmcos( ωt+ ϕ + ) = Gmcos( ωt+ ϕg) 2 G = ω ϕg = ϕ + 90 m F m o 16
f () t = cos(2 t) + sin(2 t) = F cos(2 t+ ϕ ) m Esercizio 1/2 m F m? ϕ = ϕ F cos(2 t+ ϕ ) = F cos(2)cos( t ϕ ) F sin(2)sin( t ϕ ) m m m m m m F F m m cos( ϕ) = 1 sin( ϕ) = 1 m 17? Esercizio 2/2 Fm cos( ϕ) = 1 F 2 2 m = Fm = F sin( ) 1 o m ϕ = tan( ϕ) = 1 ϕ = 45,135 No! o ϕ = 135 o non è compatibile con F cos( ϕ ) = 1 m 18
Funzioni sinusoidali e fasori 19 Richiami numeri complessi 1/4 rappres. cartesiana rappres. trigonometrica rappres. esponenziale F = F' + jf" = F [cos( F) + jsin( F)] = F e parte reale parte immaginaria fase modulo π < F π F 0 j F 20
Richiami numeri complessi 2/4 F' = Re[ F], F" = Im[ F] F = F' + F" = FF 2 2 * * F = F jf ' " F " tan( F) = F ' 21 Esempi: F = 3 j2, G= 1+ j Richiami numeri complessi 3/4 F = G = 3 1 2 2 + 2 + 1 2 2 = = 13 = 3.61, 2 = 1.41 2 3 1 1 o o F = arctan = 33,69 G = arctan = 45 quarto quadrante primo quadrante 22
Richiami numeri complessi 4/4 Esempi F = 3 j2, G= 1+ j F * * = 3 + j2, G = 1 j ( 3 j2)( 1+ j) = 3 + j3 j2 + 2 = j F G = 5+ F G = 3 j2 1+ j = F G GG * * = ( 3 j2)( 1 j) 1 j5 1 5 = = j ( 1+ j)( 1 j) 2 2 2 23 Utilizzazione numeri complessi 1/2 Rappresentazione di funzioni sinusoidali con fasori: jϕ f() t = F cos( ωt+ ϕ) Fe = F m j F F = F e modulo fase m F = Fm F = ϕ fasore 24
Utilizzazione numeri complessi 2/2 Formula importante di inversione: j t f() t = F cos( ωt+ ϕ) = Re[ Fe ω ] m 25 Esempi 1/2 Trasformazione funzioni sinusoidali fasori: o j90 f () t = sin( ωt) = cos( ωt 90 ) F = 1e = j o o o f() t = 3cos( ωt+ 45 ) = 3cos( ωt 135 ) F = 3e o j135 26
Esempi 2/2 Trasformazione fasore-funzione sinusoidale: π 5π F j j 5π 6 6 F = 2e = 2 e f() t = 2cos( ωt ) 6 F oppure: π 6 π j 6 jωt () = Re[ 2 ] = 2cos( ω + ) f t e e t 27 Proprietà dei fasori 1/5 Linearità f () t = cf () t + c f () t +... F = cf + cf +... 1 1 2 2 1 1 2 2 esempio: f() t = 2sin( ωt) + cos( ωt+ 30 o ) cos( ωt) ( ) 0 j30 F = 2 j + e 1= 0.134 1.5 j 28
Proprietà dei fasori 2/5 Derivazione: d gt () = f() t G = jω F dt esempio: 3 d o f () t = 2sin(3 t) 4 cos(3t 30 ) = 3 3 dt 3 o j30 ( ) ( ) ( ω ) F = 2( j) 4 j3 e = 54+ j 54 3 2 = 54+ j91.53 29 Proprietà dei fasori 3/5 Impossibilità definizione fasori: f() t = 2cos(3 t) 2sin( t) F non esiste! cos(3 t) e sin( t) non isofrequenziali 30
Proprietà dei fasori 4/5 Calcolo veloce con fasori esempio: ( ) ( ) F s ( t ) f() t = cos ωt + sin ωt = co ω + ϕ F?, ϕ? F 1 j π j π F = 1 j = 2e 4 F m = 2, ϕ = 4 m m 31 Proprietà dei fasori 5/5 Calcolo veloce con fasori esempio: 10 d π f () t = sin 2t F cos 2 10 + = m t+ dt 4 ( ϕ ) π 3π j j 10 3 4 4 F = ( j2) ( je ) = 1024e F m = 1024, ϕ = π 4 32
Relazioni di fase 1/2 F 1, F 2 in fase F 1, F 2 in opposizione F 1, F 2 in quadratura F 1 in anticipo in ritardo F 2 33 Relazioni di fase 2/2 Osservazione (F1 e F2 non in fase): F = F + F F F + F 1 2 1 2 Attenzione! F F + F e 1e 2e 34
Reti in regime sinusoidale 35 Calcolo simbolico 36
Rete nel dominio del tempo A regime ( ) mcos2 ( ϕ0 ) ( ) cos2 ( ϕ) vt = V t+ V it = I t+ I m Idea fondamentale: introdurre i fasori come incognite 37 Calcolo simbolico 38
Rete nel dominio dei fasori I versi sono relativi alle grandezze istantanee v(t) ed i(t) rappresentate daifasori V ed I 39 Leggi di Kirchhoff 1/2 Legge di Kirchhoff sulle correnti Dominio tempo i () t + i () t + i () t = 0 1 2 3 linearità I + I + I = 0 1 2 3 Dominio fasori 40
Leggi di Kirchhoff 2/2 Legge di Kirchhoff sulle tensioni Dominio tempo v () t + v () t + v () t = 0 1 2 3 linearità V + V + V = 0 1 2 3 Dominio fasori 41 Impedenza Concetto fondamentale simbolo (convenzione utilizzatori) equazione costitutiva: V = ZI impedenza 42
Impedenza di un resistore 1/2 v(t)=r i(t) dominio tempo V=R I dominio fasore Z=R 43 Simbologia usata nel dominio dei fasori Impedenza di un resistore 2/2 oppure 44
Impedenza di un induttore 1/2 d vt () = L it () V = L( jω ) I = ZI dt V = ZI Z = j L ( ω ) 45 Impedenza di un induttore 2/2 Simbologia usata nel dominio dei fasori oppure 46
Impedenza di un condensatore 1/2 d 1 it () = C it () V = I = ZI dt jω C 1 1 V = ZI Z = = j jωc ωc 47 Impedenza di un condensatore Simbologia usata nel dominio dei fasori oppure 48
Impedenze ed Ammettenze 1/5 V=Z I. Rappresentazione alternativa I=Y V Z ed Y sono numeri complessi Bipolo di impedenza Z = R+ jx Resistenza Reattanza Conduttanza 1 Y = = G+ jb Z Suscettanza 49 Impedenze ed Ammettenze 2/5 La resistenza e la reattanza di una impedenza si misurano in ohm La conduttanza e la suscettanza si misurano in siemens R, X, G, B dipendono dalla pulsazione dalla frequenza di lavoro 50
Impedenze ed Ammettenze 3/5 Relazioni fondamentali 1 1 R X Y = G+ jb= = G =, B = Z R + jx R + X R + X 2 2 2 2 1 1 G B Z = R+ jx = = R =, X = Y G + jb G + B G + B 2 2 2 2 Errore gravissimo porre: G = 1, B = R 1 X 51 Impedenze ed Ammettenze 4/5 Casi particolari: resistore R=R, X=0, G=G, B=0 induttore R=0, X= L, G=0, B=- 1/( L) condensatore R=0, X=-1/( C) G=0, B= C ω ω ω ω 52
Impedenze ed Ammettenze 5/5 Alcune definizioni: R=0 o G=0 (bipolo puramente reattivo) X=0 o B=0 (bipolo puramente resistivo) X>0 o B<0 (bipolo induttivo) X<0 o B>0 (bipolo capacitivo) Proprietà delle reti passive: R 0 G 0 53 Esempio 1/2 Rete in regime sinusoidale nel dominio del tempo ω = 2 54
Esempio 2/2 Rete in regime sinusoidale nel dominio deifasori ω = 2 Impedenze: Resistore di 1 ohm 1Ω 1 1 Condensatore di 1 farad = j Ω j2 1 2 Resistore di 2 ohm 2Ω Induttore di 1 henry j2 1= j2ω Condensatore di 2 farad 1 1 = j Ω j2 2 4 Fasore generatore: cos(2t) 1 55 Calcolo simbolico 56
Descrizione metodo 1/2 Rete di resistori Reti nel dominio del tempo formati da generatori e resistori Rete di impedenza Reti nel dominio dei fasori formati da generatori e bipoli di impedenza 57 Descrizione metodo 2/2 Tutti i metodi di calcolo sviluppati per le reti di resistori valgono per le reti di impedenza purché si sostituisca alla parola resistenza la parola impedenza ed alla parola conduttanza la parola ammettenza 58
Serie e parallelo di impedenze Serie e parallelo di bipoli di impedenze 1 j 1 1 j = = + j 1+ j 2 2 59 Partitori e Millman 1/3 V j+ 1 1 j = j = + 1 j+ j+ 1 2 2 Partitore tensione 60
Partitori e Millman 2/3 I = j 2 2j j+ 1 j = Partitore corrente 61 Partitori e Millman 3/3 V 1 2j + + j 1+ 2j j = = 3j 1 1 + 1+ 2j j Millman 62
Sovrapposizione effetti I 2j 2j = + ( 1 j) = 2 1+ 2j 1+ 2j 2 j 1- j 63 Rappresentazione Thevenin ( j) ( j) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 V0 = j = + j 1+ 2 j 1 j 1 j 3 3 1 1 Ze = (( 1 2 j) j) 1= j 2 6 64
Rappresentazione Norton 1 1 Ze = (( 1 2 j) j) 1= j 2 6 A 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 j j j 4 2 = = + j 1+ 2 j j j 5 5 65 Fasi del metodo Rappresentare la rete nel dominio deifasori Calcolare i fasori delle uscite con metodi circuitali Passare daifasori alle grandezze sinusoidali istantanee 66
Esempio 1/4 Calcolare v(t) nella rete indicata: 67 Fase 1: rappresentare la rete nel dominio deifasori Esempio 2/4 68
Fase 2: calcolare V nel dominio dei fasori usare partitore di tensione Esempio 3/4 V 1 1 j2 2 j2 + + j4 = 1= 0.27 j0.37 1 1 1 + j2 2 j2 + + j4 69 Esempio 4/4 Passare daifasori alle grandezze istantanee V = 0.27 j0.37 ω = 2 j t ( ) ( ) vt () Re Ve Re 0.27 j0.37 e 2 j2t = = = ( t) ( t) = 0.27cos 2 + 0.37sin 2 70
Calcolo simbolico 71 Attenzione Il valore efficace non è la somma dei valori efficaci Il modulo della somma di due numeri complessi non è la somma dei moduli F = F + F F F + F 1 2 1 2 72
Esempio 1/2 V ACe =30 V, V CBe =40 V. Calcolare V ABe V = V + V 2 2 ABe CBe ACe Nota: nel circuito il bipolo indicato con simbolo volmetro. La corrente che lo percorre è nulla V è un 73 Esempio 2/2 V= V AC + V CB dove V AC e V CB sono in quadratura: V = V + V = 30 + 40 = 50V 2 2 2 2 ABe ACe CBe VACe + VCBe = 30 + 40 = 70 V 74
Esempi 1/2 Serie di impedenze reattive Z = j j = 0 j + j = 2! 75 Esempi 2/2 Parallelo di impedenze reattive ( ) Z= j j = = Y = 1 1 0 j + j = 1 1 + = 2! j j 76
Dipendenza dalle frequenze 1/2 Parallelo di un resistore con un induttore 2 jω ω ω Z = Z( jω) = 1 ( jω 1) = = + j 1+ jω 1+ ω 1+ ω 2 ω ω R =, X = 1+ ω 1+ ω 2 2 2 2 77 Dipendenza dalle frequenze 2/2 2 ω ω 1 1 R =, X =, G=, B = 1+ 1+ Alcuni valori: 2 2 ω ω R ω se ω= 1 rads / R= 0.5 Ω, X= 0.5Ω G = 1 S, B= 1S se ω= 2 rads / R= 0.8 Ω, X= 0.4Ω G = 1 S, B= 0.5S 78
Applicazione 1/5 Calcolare v(t) a regime con il metodo simbolico 1 2 ( ) = 100cos( 1000t) e t ω = 1000 ( ) = 100sin( 1000 ) e t t 79 Applicazione 2/5 Fase 1: fasori associati ai generatori ω = 1000 ( ) ( ) e () t = 100cos 1000t E = 100, 1 1 e () t = 100sin 1000t E = 100( j) = 100 j 2 2 80
Applicazione 3/5 Fase 1: impedenze associate ai bipoli 3 10Ω 10, 10mH j10 1000 10 = j10 1 50µ F = j20 6 j50 1000 10 81 Applicazione 4/5 Fase 2: rete nel dominio dei fasori E E 1 2 = 100 = 100 j Millman V 100 100 j + 10 j20 j10 = = 1 1 + 10 j20 j10 j200 82
Applicazione 5/5 Fase 3: passaggio daifasori alle grandezze istantanee V = j200 ω = 1000 ( ) vt Ve t V j1000t () = Re[ ] = 200sin 1000 [ ] 83 Calcolo simbolico 84
Amplificatori operazionali Gli amplificatori operazionali hanno nel dominio dei fasori le stesse relazioni costitutive che si hanno nel dominio del tempo. Mantengono quindi lo stesso simbolo Dominio del tempo: it () = 0, it () = 0 + vt () vt () = 0 + Dominio dei fasori: I = 0, I = 0 + V V = 0 + 85 Trasformatori ideali I trasformatori ideali hanno nel dominio dei fasori le stesse relazioni costitutive che si hanno nel dominio del tempo. Mantengono quindi lo stesso simbolo 1 1 1 2 1 2 Dominio del tempo: Dominio dei fasori: vt () = kvt () 1 2 kit () = it () 1 2 V= kv 1 2 ki = I 1 2 86
Esempio con amplificatore 1/5 Calcolodi rete con amplificatore operazionale et () = 100cos(5 t) ω = 5 A REGIME Rete nel dominio del tempo v() u t =? i i + = 0 = 0 v = 0 d 87 Esempio con amplificatore 2/5 Fasori associati ai generatori ( ) et () = 100cos 5t E = 100 Impedenze in gioco: ω = 5 1Ω 1,1H j5 1= j5,2h j5 2= j10 88
Esempio con amplificatore 3/5 Rete nel dominio dei fasori V u =? I I + d = 0 = 0 V = 0 89 Esempio con amplificatore 4/5 Calcolodella rete nel dominio dei fasori: imporre con Millman l annullarsi della tensione differenziale 100 Vu Vd = 0 + = 0 Vu = 196.15 j19.24 1+ j5 1+ j10 ω = 5 90
Esempio con amplificatore 5/5 Passare daifasori alle grandezze istantanee ( ) ( ) j5t vu() t = Re Vu e = 196.15cos 5t + 19.24sin 5t 91 Esempio con trasformatore 1/4 Calcolo di rete con trasformatore ideale Rete nel dominio del tempo. Calcolare i(t) a regime 92
Esempio con trasformatore 2/3 K=2 Rete nel dominio dei fasori ( ω = 2) cos( 2t) 1 1 1F = j0.5 j21 1Ω 1, 1H j21 = j2 Circuito equivalente 1 I1 = I I = 2I1 K 93 Esempio con trasformatore 3/4 Calcolo uscita mediante l impedenza totale ed un partitore di corrente ( ) ( ) ( j0.5) 1 I = 2I1 = 2 = 0.104 j0.055 1+ j0.5 j8 j0.5+ j8 corrente totale fattore di partizione 94
Esempio con trasformatore 4/4 I = 2I = 0.104 j0.055 1 I Modulo e fase della uscita = 0.118 I = 151.9 o Uscita istantanea ( o ) [ ] it () = 0.118cos 2t 151.9 A 95 Presenza di generatori pilotati 1/3 Nel dominio dei fasori, le relazioni costitutive dei generatori pilotati si ottengono a partire da quelle che si hanno nel dominio del tempo e mantengono lo stesso simbolo. Esempio: et ˆ( ) = 5 vt () Eˆ = 5V 96
Presenza di generatori pilotati 2/3 Calcolo di rete con generatore pilotato ingresso ed uscita: a= at () = 10sin( t). vt () =? dominiodel tempo dominiodei fasori 97 Presenza di generatori pilotati 3/4 Calcolo dell uscita V e del pilota V 2 con Millman V 2V V 2V j = = 1 1 1 1 + + j 1 j0.5 1 j0.5 2 2 10 1 j 0.5 1 j 0.5 V2 98
Presenza di generatori pilotati 4/4 Calcolo dell uscita V con la soluzione del sistema: V = 5.06 j4.24 Uscita v(t) nel dominio del tempo: vt () = 5.06cos( t) + 4.24sin( t) 99 Calcolo simbolico 100
Effetti di fulminazione 1/4 Modello di fulminazione elettrica Rete nel dominio del tempo Bipolo che modella il corpo umano et () = 220cos( ωt) f = 50 Hz, ω = 314 rad/s 101 Effetti di fulminazione 2/4 Rete nel dominio del fasori et () = 220cos( ωt) 220 300 Ω 300 3 100mH j314 100 10 = j31.42 1 1 = j1592 6 2µF j314 210 102
Effetti di fulminazione 3/4 Calcolodella corrente di fulminazione attraverso l impedenza totale vista dal generatore: 220 I = = 0725+ j0.062 ( j1592 ) ( 300+ j31.42) o I = 0.728 I = 4.91 103 Effetti di fulminazione 4/4 Corrente istantanea di fulminazione o ( π ) [ ] it () = 0.728cos 2 50t+ 4.91 A 104
Calcolo simbolico 105 Presenza di generatori non isofrequenziali 1/7 Se nella rete da studiare a regime sono presenti generatori non isofrequenziali conviene usare il principio di sovrapposizione degli effetti esempio o Dati:() it = 4cos 2t 30 A, ( )[ ] o ( )[ ] et () = 10sin 4t+ 60 V v () t =? aregime AB 106
Presenza di generatori non isofrequenziali 2/7 Principio di sovrapposizione degli effetti V V ' " AB AB v t v t v t ' " AB() = AB() + AB () ω et () a( t) = 4 ω = 2 1 2 107 Presenza di generatori non isofrequenziali 3/7 Effetto di e(t) circuito nel dominio dei fasori ω 1 = 4 108
Presenza di generatori non isofrequenziali 4/7 effetto sull uscita nel dominio dei fasori: o j ( ) ' j2 60 VAB = j10e = 7.07 75 2 j2 o effetto sull uscita nel dominio del tempo: ' AB ( ) v () t = 7.07cos 4t 75 o 109 Presenza di generatori non isofrequenziali 5/7 Effetto di i(t) ω 1 = 2 110
Presenza di generatori non isofrequenziali 6/7 effetto sull uscita nel dominio dei fasori: o j ( ) ( ) " 30 o VAB = 2 j4 4e = 7.155 56.57 effetto sull uscita nel dominio del tempo: " AB o ( ) v () t = 7.155cos 2t 56.57 111 Presenza di generatori non isofrequenziali 7/7 Effetti simultanei dei due generatori o o ( ) ( ) v () t = 7.07cos 4t 75 + 7.155cos 2t 56.57 AB Attenzione: sommare i fasori è un errore gravissimo perchè essi sono relativia pulsazioni diverse: V = V + V ' " AB AB AB non ha senso! 112
Reti in regime sinusoidale 113 Potenze in regime sinusoidale 114
Espressione potenza istantanea 1/2 potenza istantanea: [ ] pt () = vtit ()() W Con la convenzione di utilizzatore la potenza è entrante 115 Espressione potenza istantanea 2/2 Inconveniente: la potenza instantanea varia nel tempo in regime sinusoidale ( ω ϕ ) ( ω ϕ) vt () = V cos t+, it () = I cos t+ m v m i 1 1 pt () = VI m m cos( ϕv ϕi) + VI m mcos(2 ωt + ϕv ϕi) 2 2 valor medio valor fluttuante 116
Potenze in regime sinusoidale 117 Definizione potenza attiva La potenza attiva P è il valor medio della potenza istantanea 1 T 2π P = vtitdt ()() [ watt], T T = 0 ω Significato fisico di P: l energia W che la rete in alternata fornisce ad un bipolo nell intervallo di tempo t ( t >> T) è data da: W = P t 118
Esempio Si consideri una stufa elettrica di 1.2 kw funzionante per 2 ore. Si calcoli l energia totale W fornita dalla rete. la potenza P= 1.2 kw è la potenza attiva fornita dalla rete alla stufa t = 2 h essendo : W = 1.2 2= 2.4kilowattore 119 Formula più popolare Espressioni potenza attiva 1 P= VI cosϕ= VI cosϕ 2 m m e e ϕ = V I (sfasamento bipolo) cos ϕ (fattore di potenza) Formula più importante P = 2 1 Re[ * VI ] 120
Potenza attiva nei Bipoli fondamentali 1/2 Resistore 2 2 2 Ve 1 2 Vm P= RIe = = RIm= R 2 2R Induttore P = 0 Un induttore non assorbe potenza attiva 121 Potenza attiva nei Bipoli fondamentali 2/2 Condensatore P = 0 Un condensatore non assorbe potenza attiva Bipolo di impedenza P= VI cos Z e e 122
Esempio 1/2 Nella rete indicata le tensioni sono in volt e le impedenze in ohm Calcolare la potenza attiva assorbita dal resistore di 1 ohm 123 Esempio 2/2 Corrente I del circuito: I o j20 10e = 1 + j 3 Valor massimo I m della corrente I: Im 10 = = 5 [ A] 1+ 3 Potenza attiva P fornita al resistore di 1 ohm 1 2 1 1 5 2 m 12.5 [ ] P = RI = = W 2 2 124
Esempio 1/2 Nella rete indicata le tensioni sono in volt, le correnti sono in ampere e le impedenze in ohm Calcolare la potenza attiva P sul resistore di 2 ohm in serie al condensatore -j 125 Esempio 2/2 Si calcoli la tensione V AB con Millman: 2 j 1+ j VAB = = 2 2j 1 1 + 1+ j 2 2j La corrente I che percorre la serie resistore-condensatore vale: V AB I = = 1 2 2j La potenza attiva entrante nelresistore vale: 1 2 1 2 1 2 m 1 [ ] P = RI = = W 2 2 -j 126
Conservazione e misura della potenza 1/3 Le potenze attive si conservano Lo strumento che misura la potenza attiva in un bipolo è il wattmetro 127 Conservazione e misura della potenza 2/3 Nella rete indicata un wattmetro misura una potenza di 1 kw uscente dalgeneratore Cosa misura un amperometro inserito in serie sul resistore di 1 ohm? 128
Conservazione e misura della potenza 3/3 Per il principio di conservazione la potenza di 1 kw erogata dal generatore va a finire tutta sul resistore: RI = 1kW = 1000W I = 31.62A 2 e e 129 Potenze in regime sinusoidale 130
Unità logaritmiche 1/2 Le unità di misura logaritmiche rappresentano meglio delle misure lineari i valori massimi od efficaci delle grandezze sinusoidali Le più importanti unità di misura logaritmiche sono i decibel (db) 131 Unità logaritmiche 2/2 Si misurano in decibel sia grandezze dimensionate quali tensioni, correnti e potenze; sia grandezze adimensionate Nel caso di grandezze dimensionate è obbligatorio indicare con un pedice l unità di misura della grandezza che è stata espressa in db 132
db di tensione 1/2 Le tensioni sono misurate in volt o in multipli o sottomultipli di volt. Se non è specificato diversamente si fa riferimento ai valori massimi: m [ ] V = V volt La misura in db delle tensioni è definita da: V = 20log ( V ) db m db 10 m V V 133 db di tensione 2/2 Esempio supponiamo: Vm risulta: V m = 2 V db V = 20log (2) = 6dB 10 V misura lineare 2 3 7 10 13 db 6 10 13 20 22 134
Esempi 1/5 Sia dato il valore efficace: V = 0.001V = 1mV e risulta: V e db V = 60dB V oppure: V e db mv = 0 db mv 135 Esempi 2/5 Sia dato il valore 10 F = 5 µ V = µ V 2 risulta: F db µ V = 20 6= 14 db µ V 136
Esempi 3/5 Sia dato il valore: 3 F = 47mV 48mV = 2 3 2 mv risulta: ( ) F = 6+ 10+ 18= 34dB valore esatto: 33.44dB db µ mv V mv mv 137 Esempi 4/5 Una misura di tensione è: 15dB µ V quale è la misura in db mv? risulta: 15 dbµ V =? dbmv = 15 60= 45dBmV µ V 138
Esempi 5/5 Una misura di tensione è: 34dBV quale è la misura lineare in mv? 34 db = ( 34+ 60) db = 20dB + 6dB V mv mv mv ciò porta al risultato: 34 db? mv = 10 2= 20mV V (valore esatto 19.95 mv) 139 db di corrente I db di corrente si misurano come i db di tensione esempio: quale è la misura in dbmicroa di 630 ma?: si ha: 630 ma? db µ A 6 630 10 2 (20+ 6 6) dbma = 56 db ma aggiungendo 60 db si ottiene la misura in db microa : 56+ 60 = 116 db (valore esatto 115.99 db ) µ A µ A 140
Esempi 1/2 Una misura di corrente è: 25A qual è la misura in db µ A risulta: 25 A? db µ A 3 25 3 2 (10 6 3) + db = = (28+ 120) db = 148dB µ A µ A (valore esatto 147.96 db ) µ A A 141 Esempi 2/2 Una misura di corrente è: 86dBmA qual è la misura lineare in A? 86 db =? A ma si ha: 4 86 4 20 6 10 2 = + ma = = 20 A(valore esatto 19.95 A) 142
db di potenza 1/3 La misura in db delle potenze è definita da: [ ] = 10log[ ] Pwatt P P db db W W Si usa il fattore 10 anziché 20 per fare in modo che nelle applicazioni il numero di db che misura attenuazioni o guadagno di potenze sia uguale al numero di db che misura attenuazioni o guadagno di tensioni o di corrente db mw si scrive semplicemente db m 143 db di potenza 2/3 Esempio: esprimere in db W la potenza di 2 W P = 2W 2 = 3dB db W W Esempio: esprimere in db m la potenza di 0.001 W P= 0.001W = 1mW 30dB = 0dB W m 144
db di potenza 3/3 Misura lineare di potenza 2 3 7 10 db di potenza 3 5 6.5 10 13 11 145 Potenze in regime sinusoidale 146
Definizione di Potenza disponibile Generatore di segnale Zg = Rg + jxg Potenza disponibile Standard industriale P d Z V V = = 4R 8R g 2 2 oe om g = R = 50Ω g g 147 Esempio Calcolare la potenza disponibile in db m di un generatore di segnale avente valor massimo di tensione di 0 db mv ed impedenza: risulta: Zg = 1 + j [ Ω] V = mv = V R = Z = + j = Ω 3 om 1 10, g Re[ g] Re[1 ] 1 ne consegue: V 1 P (10 ) 0.125 W 9 db 39 db 2 om 3 2 d = = = µ = µ W = m 8Rg 8 1 148
Potenza su un carico arbitrario 1/2 Il circuito rappresenta un generatore di segnale di impedenza Z g che alimenta un carico arbitrario Z c Zg = Rg + jxg Zc = Rc + jxc 149 Potenza su un carico arbitrario 2/2 La corrente I del circuito vale: I = Z g V o + Z Ne consegue la seguente potenza P attiva fornita al carico: c 1 2 R Re[ ] c Vo R V c P = Z I = = c 2 2 Z + Z 2 g c R X X 2 ( Rg + c) + ( g + c) 2 o 2 2 150
Potenza su un carico adattato La potenza di un generatore di segnale risulta massima quando: R = R, X = X oppure Z = Z * c g c g c g In tali condizioni il carico si dice adattato e la potenza fornita (che è la massima) coincide con la potenza disponibile del generatore di segnale: 2 1 Vo P = P e Max = = 4 R g P d 151 Esempio Si vuole valutare l impedenza di carico che, alimentato da un generatore di segnale con potenza disponibile di 20dBm, assorba una potenza di 10 W La potenza disponibile del generatore di segnale espressa in unità lineari vale: P = 20dB = 100mW = 0.1W d m Poiché la potenza richiesta (10 W) è maggiore di quella disponibile (0.1 W), non esiste nessun carico che consenta l erogazione della potenza richiesta 152
Applicazione Un generatore con resistenza molto piccola può presentare potenze disponibili elevate vista da una presa di corrente domestica la rete di distribuzione di energia elettrica equivale (Thevenin) ad un generatore con valore efficace di 220 V e resistenza molto piccola. Per esempio se R rete =0.1 ohm la potenza disponibile della rete è 121 kw la rete elettrica è quindi capace di erogare qualsiasi potenza richiesta dall utente nei contratti di fornitura è tuttavia stabilito un limite massimo di potenza erogabile (esempio 3 kw) 153 Esempio 1/4 Calcolare R e L del carico nel circuito in figura in modo che il generatore di segnale eroghi la max potenza Calcolare la potenza massima B 154
Esempio 2/4 Parametri del generatore di segnale Vm = 1 V, ω = 800 rad/ s 1 2µ F = j625ω 6 j800 2 10 [ ] Z = 500 ( j625) = 305 j244 Ω g B 155 Esempio 3/4 Ne consegue: Z = Z = 305+ j244 [ Ω ] = R+ j800l c * g I parametri del carico risultano quindi: 244 R = 305Ω L= = 0.305 H B 800 156
Esempio 4/4 La potenza max erogata (che è coincidente con la potenza disponibile del generatore) vale: 1 1 P = P = = 0.41mW 10+ 6= 4dB valore esa db 8305 ( tto 3.87 ) Max d m m 157 Applicazione 1/3 Un generatore di segnale con impedenza di 50 ohm e potenza disponibile di 20dB m alimenta un carico di impedenza Z c =10-j10 calcolare la potenza fornita al carico 158
Applicazione 2/3 Espressa in unità lineari la potenza disponibile del generatore vale: P = 20dB = 0.1W d L espressione della potenza disponibile m P d 1 V 2 o = 8 R g porge il valore massimo della tensione del generatore: V = 8RP = 6.32V o g d 159 Applicazione 3/3 Ne consegue: ( Rg + Rc) + ( Xg+ Xc) 2 R V c o P= 2 2 = 54mW = 17.32dB 2 m 160
Potenze in regime sinusoidale 161 Definizione di adattore Adattatore è un doppio bipolo che, inserito tra il generatore di segnale e il carico, consente il trasferimento di tutta la potenza disponibile sul carico 162
Utilizzazione di trasformatori ideali Nel caso di impedenze di generatori e carichi puramente resistivicome adattore si può utilizzare un trasformatore ideale Indicando con R g e con R c le impedenze del generatore e del carico, il rapporto di trasformazione k del trasformatore vale: k = R R Il trasformatore ideale essendo senza perdite trasferisce tutta la potenza uscente dal generatore di segnale al carico g c 163 Esempio 1/3 Il circuito in figura illustra l alimentazione diretta di un generatore di 50 ohm con un carico di 1 ohm Senza adattatore la potenza fornita è: 2 10 P= 1 = 0.0384W = 15.85dB m ( 50+ 1) 2 164
Esempio 2/3 La potenza disponibile è: 2 2 Ve 10 Pd = = = 0.5 W = 27dB 4R 4 50 Usiamo un adattatore g m 165 Esempio 3/3 Con adattatore costituito da trasformatore ideale con k= 50 il generatore vede un impedenza di 50 ohm (è adattato) e la potenza che eroga è quella disponibile: 2 110 P = Pd = = 0.5W = 27dB 450 Il trasformatore ideale, essendo senza perdite, trasferisce tutta la potenza uscente dal generatore di segnale al carico m 166
Schema adattatore In presenza di impedenze di generatore e di carico non puramente resistive, bisogna introdurre nello schema dell adattore altri elementi reattivi oltre che il trasformatore ideale. Per esempio con impedenze di generatore e di carico induttive lo schema è: 167 Esempio 1/5 Un generatore di segnale con impedenza Z g deve fornire la sua potenza disponibile ad un carico con impedenza Z c et E t () = cos ( ω ) m Z = R + jωl Z = R + jωl g s s c 168
Esempio 2/5 Si ha adattamento se il rapporto di trasformazione k e la capacità C dell adattatore sono tali da soddisfare la relazione: Impedenza vista all'ingresso dell'adattatore = 1 k + R+ jωl = Z = R jωl jωc 2 * g s s 169 Esempio 3/5 L equazione precedente porta ai seguenti valori dei parametri dell adattatore: R k = = 2 s, R C 2 ω 2 k L L k ( + s ) 170
Applicazione numerica Dati: f = 1 MHz, E = 10VL = 3 µ H, R = 2 Ω, R = 8 Ω, L= 20 µ H, m s s Esempio 4/5 Risulta: k = 0.5, C = 0.792nF 171 Esempio 5/5 potenza erogata al carico senza adattatore 2 m R E P = = 19.1mW = 12.81dB 2 2 2 ( R + R) + ( X + X ) s s m potenza erogata con adattatore (potenza disponibile) 2 Em P= Pd = = 6.25W = 37.96dB 8R s m 172
Potenze in regime sinusoidale 173 Espressione della potenza reattiva La potenza reattiva entrante in un bipolo funzionante in regime sinusoidale viene definita da: 1 Q = Im VI VAR 2 * ( ) [ ] L espressione alternativa piùpopolare è: 1 Q= VI sinϕ = VI sinϕ VAR 2 m m e e [ ] 174
Potenza reattiva nei bipoli fondamentali 1/3 Resistore Q = 0 Il resistore non assorbe nè eroga potenza reattiva 175 Potenza reattiva nei bipoli fondamentali 2/3 Induttore 1 Q = ω LI = ω L I 2 2 2 e L induttore assorbe potenza reattiva 176
Potenza reattiva nei bipoli fondamentali 3/3 Condensatore 1 1 1 Q= I = I ωc 2 ωc 2 2 e Il condensatore eroga potenza reattiva Impedenza arbitraria Q = VI sin Z e e 177 Esempio 1/4 Nella rete in figura sono dati: et () = 10cos(314)[ t V] at () = 8sin(314 t)[ A] R = R = 1 Ω, L = 0.01H 1 2 calcolare la potenza reattiva fornita all induttore 178
Esempio 2/4 Parametri nella rete nel dominio dei fasori et () = 10cos(314)[ t V] at () = 8sin(314 t)[ A] R = R = 1 Ω, L = 0.01H 1 2 Con la pulsazione di 314 rad/s la reattanza dell induttore vale: X = 314 0.01= 3.14Ω I fasoriassociati ai generatori valgono: E = 10, A= j8 179 Esercizio 3/4 Nella rete nel dominio deifasori, calcoliamo la tensione V AB con Millman: V AB 10 j8 = 1 1 + 1 + j 3.14 180
Esercizio 4/4 La corrente I che percorre l induttore vale: V 10 j8 1 AB I = = = 0.369 j3.42 1+ j3.14 1 1+ 1+ j3.14 1+ j 3.14 Ne consegue la potenza reattiva Q erogata a L: 1 2 2 Q= X I = 18.58VAR 181 Conservazione e misura 1/3 Le potenze reattive siconservano Lo strumento che misura la potenza reattiva in un bipolo è il varmetro 182
Conservazione e misura 2/3 La potenza reattiva uscente dal generatore e misurata con un varmetro è nulla. Noti X = 1 Ω, X = Ω 2, I = 1A L C 1e calcolare I 2e 183 Conservazione e misura 3/3 Per il principio di conservazione la potenza reattiva fornita dal condensatore va a finire tutta sull induttore Q = X I + X I = 2 2 C 1e L 2e 0 da cui: X = 1 Ω, X = Ω 2, I = 1A L C 1e I X I 2 C 1e 2e = = 2 X L A 184
Potenze in regime sinusoidale 185 Potenza complessa La potenza complessa S in un bipolo funzionante in regime sinusoidale viene definita da: 1 2 [ ] * S = VI = P+ jq VA Teorema di Boucherot: la potenza complessa si conserva Corollario: la somma delle potenze complesse relative a tutti i bipoli di una rete di bipoli è nulla 186
Potenza apparente In un bipolo funzionante in regime sinusoidale la potenza apparente è definita da: 1 A= S = VI e e= V I VA 2 [ ] La potenza apparente non si conserva 187 Triangolo delle potenze Per un bipolo funzionante in regime sinusoidale le potenze attive e reattive costituiscono i cateti mentre la potenza apparente è l ipotenusa di un triangolo rettangolo A= S = P + Q 2 2 L angolo ϕ è lo sfasamento del bipolo 188