Fluidodinamica, mrcoldì 8 fbbraio 212 Part di Fluidodinamica I Domanda 1 L componnti cartsian dlla vlocità di una corrnt piana dipndnt dal tmpo sono dat dall rlazioni u(x, y, t) = x 1 + t v(x, y, t) = 2y 2 + t dov tutt l variabili sono adimnsionali. Dtrminar l traittori dll particll di fluido ch all istant inizial t = si trovano nlla posizion R = (x, y ). Domanda 2 Considriamo un campo di vlocità unidirzional u(x, t) = u(x, t) ˆx. La dnsità ρ dl fluido varia scondo la lgg ρ(t) = ρ [2 cos(ωt)] dov ρ ω sono costanti not. a) Trovar l andamnto dl campo di vlocità pr t > conoscndo la condizion u(x, t) = U ˆx, con U costant nota. b) Dtrminar la vlocità nl punto x = U/ω all istant t = 1/ω nl caso in cui U = 2.5 m/s. Esrcizio 1 Attorno a un cilindro circolar di raggio a rotant con vlocità angolar Ω un fluido viscoso ha inizialmnt un moto puramnt circolar con vlocità data dalla sgunt sprssion, in coordinat cilindrich, u θ (R) = Ω a 2 R, pr cui la circolazion lungo qualunqu prcorso attorno al cilindro val Γ = 2πΩ a 2. All istant inizial t = la rotazion dl cilindro è arrstata di colpo. Dall quazioni di Navir Stoks pr l corrnti incomprimibili si può ricavar l quazion ch govrna l voluzion dlla componnt dlla vlocità u θ (R, t) u θ t = ν ( ) 1 R R R (Ru θ) Dtrminar il modo in cui dcad il vortic assumndo com variabil incognita dl problma la variabil adimnsional γ = Ru θ /(Ω a 2 ) al posto di u θ, sapndo ch in trmini dlla nuova incognita γ il vortic volv con una dipndnza dal tmpo dalla coordinata radial R (distanza dall ass z) scondo la variabl di similarità ξ = R 2 /(νt). 1
Part di Arodinamica I Domanda 3 L quazioni dlla toria dllo strato limit di Prandtl, pr l corrnti bidimnsionali stazionari con gradint di prssion nullo, sono dat da u u x + v u y = ν 2 u y 2 u x + v y = con ovvio significato di simboli. Supponiamo ch la vlocità soluzion di tal quazioni sia di tipo similar in particolar ch la sua componnt x, parallla a una lastra, sia sprimibil nlla forma sgunt u(x, y) = h(η) dov η(x, y) = y g(x) con h(η) g(x) funzioni di una sola variabil, da dtrminar imponndo anch l condizioni al contorno u(x,) = v(x,) = sulla part dlla lastra. Dal procdimnto ch si sgu pr soddisfar la condizion d incomprimiblità mrg ch al posto dlla funzion h risulta convnint considrar com incognita un altra funzion dfinita dal suo intgral f(η) = η h( η) d η Dtrminar l quazion diffrnzial ch lga l du funzioni f(η) g(x) dllo strato limit similar. Domanda 4 Scriviamo l quazion di Navir Stoks dlla quantità di moto pr corrnti incomprimibili stazionari in forma adimnsional (ũ )ũ + P = 1 R 2 ũ, dov tutt l variabili gli opratori contrassgnati dalla tild sono stat rs adimnsionali nl modo consuto. Mostrar ch la traformazion introdotta da Prandtl pr l coordinat pr l componnti dlla vlocità x X = x ỹ Y = ỹ R ũ U = ũ ṽ V = ṽ R conduc a una forma dll quazion di Prandtl ch non dipnd dal numro di Rynolds. Esrcizio 2 Un cilindro di szion circolar di lunghzza L molto maggior dl diamtro D è invstito da una corrnt d aria di dnsità ρ = 1. kg/m 3 ch si assum in moto irrotazional con vlocità asintotica V = 4 m/s uniform in dirzion normal all ass dl cilindro. La forza srcitata dalla corrnt su un tratto di lunghzza unitaria dl cilindro sia f = 3141 N/m i punti di ristagno si trovino su gnratrici ch formano un angolo φ = ±6 risptto a un diamtro prpndicolar alla dirzion asintotica dlla vlocità. Calcolar a) il diamtro dl cilindro, b) il cofficint dlla forza c f, c) la dirzion dlla forza. 2
Soluzioni: Part di Fluidodinamica I Domanda 1 L componnti cartsian dlla vlocità di una corrnt piana dipndnt dal tmpo sono dat dall rlazioni u(x, y, t) = x 1 + t v(x, y, t) = 2y 2 + t dov tutt l variabili sono adimnsionali. Dtrminar l traittori dll particll di fluido ch all istant inizial t = si trovano nlla posizion R = (x, y ). Soluzion Domanda 1 La traittoria di una particlla dl fluido ch all istant t = si trova nl punto R = (x, y ) è la curva R(t), t >, soluzion dl problma ai valori iniziali dr dt = u(r, t) R() = R Esprimndo la posizion dlla particlla in componnti cartsian, R = (X, Y ), utilizzando la forma dl campo di vlocità si ricava il sgunt sistma di du quazioni diffrnziali con l condizioni iniziali dx dt = X 1 + t dy dt = 2Y 2 + t X() = x Y () = y L du quazioni sono disaccoppiat inoltr ntramb sono a variabili sparabili, pr cui la loro intgrazion è immdiata. Pr l quazion dlla componnt x si vd ch dx X = dt 1 + t ch si intgra immdiatamnt, imponndo la condizion inizial X() = x : X(t) = x (1 + t) Pr la sconda componnt si ricava in modo analogo dy Y = 2 dt 2 + t la cui intgrazion conduc a Y (t) = y (2 + t)2 4 Pr ricavar l quazion dlla traittoria com funzion Y = Y (X) a prscidr dal tmpo, occorr liminar la variabil t fra l du quazioni. Risolvo allora la prima risptto a t ottnndo t = X/x 1 sostituisco nlla sconda Y (X) = y ) 2 (1 + Xx 4 La forma dlla traittoria è quindi parabolica. 3
Domanda 2 Considriamo un campo di vlocità unidirzional u(x, t) = u(x, t) ˆx. La dnsità ρ dl fluido varia scondo la lgg ρ(t) = ρ [2 cos(ωt)] dov ρ ω sono costanti not. a) Trovar l andamnto dl campo di vlocità pr t > conoscndo la condizion u(, t) = U ˆx, con U costant nota. b) Dtrminar la vlocità nl punto x = U/ω all istant t = 1/ω nl caso in cui U = 2.5 m/s. Soluzion Domanda 2 a) La lgg di consrvazion dlla massa richid ch in una corrnt unidirzional la dnsità ρ(x, t) la (componnt x dlla) vlocità u(x, t) soddisfino l quazion di continuità ch, pr con la dnsità considrata, divnta ρ t + (ρu) x = ρ ω sin(ωt) + ρ [2 cos(ωt)] u x = Qusta è una rlazion diffrnzial pr la vlocità u(xt) ch dv ssr intgrata lungo la dirzion x ond ricavar il suo andamnto dlla. L intgrazion è immdiata fornisc u(x, t) = ω sin(ωt) 2 cos(ωt) x + C(t) dov C(t) è la costant d intgrazion ch dipnd dal tmp t. Qusta funzion si ottin imponndo la condizion u(, t) = U ˆx ch fornisc Sostitundo qusto risultato si ottin subito u(, t) = C(t) = U u(x, t) = U ω sin(ωt) 2 cos(ωt) x b) La vlocità nl punto x = ω/u all istant t = 1/ω è data da ( ) ( ω sin1 U u(u/ω, 1/ω) = U 2 cos 1 ω = U 1 sin1 ) 2 cos1 da cui, sostitundo il valor numrico di U = 2.5 m/s, ottniamo il valor u = 1.59 m/s. 4
Esrcizio 1 Attorno a un cilindro circolar di raggio a rotant con vlocità angolar Ω un fluido viscoso ha un moto inizial puramnt circolar con vlocità data dalla sgunt sprssion, in coordinat cilindrich, u θ (R) = Ω a 2 R, pr cui la circolazion lungo qualunqu prcorso attorno al cilindro val Γ = 2πΩ a 2. All istant inizial t = la rotazion dl cilindro è arrstata di colpo. Dall quazioni di Navir Stoks pr l corrnti incomprimibili si può ricavar l quazion ch govrna l voluzion dlla componnt dlla vlocità u θ (R, t) u θ t = ν ( ) 1 R R R (Ru θ) Dtrminar il modo in cui dcad il vortic assumndo com variabil incognita dl problma la variabil adimnsional γ = Ru θ /(Ω a 2 ) al posto di u θ, sapndo ch in trmini dlla nuova incognita γ il vortic volv con una dipndnza dal tmpo dalla coordinata radial R (distanza dall ass z) scondo la variabl di similarità ξ = R 2 /(νt). Soluzion Esrcizio 1 Trasformiamo l quazion ch govrna la vlocità nll quzion pr la variabil adimnsional γ sostitundo u θ = Ω a 2 γ/r. Dopo avr smplificato la costant Ω a 2 si ottin 1 γ R t = ν ( ) 1 γ R R R Ma la nuova incognita γ dipnd dall variabili R t solo attravrso la variabil di similarità ξ = R 2 /(νt), ovvro γ(r, t) γ(ξ), pr cui l drivat risptto a t R sono dat rispttivamnt da γ t R2 νt 2 γ (ξ) Sostitundo nll quazion prcdnt si ottin R νt 2 γ (ξ) = 2 t γ (ξ) R γ R 2R νt γ (ξ) = 4R νt 2 γ (ξ) L quazion ch govrna γ risulta quindi ssr molto smplicmnt γ + 1 4 γ = È un quazion diffrnzial ordinaria dl scondo ordin, linar a cofficinti costanti, snza trmin non drivato inoltr omogna. L condizioni al contorno pr l incognita γ(ξ) drivano da qulla di vlocità nulla sulla suprfici dl cilindro, u θ (a, t) =, ch implica ( ) a 2 γ = νt dalla condizion (inizial) dl campo di vlocità a grand distanza dal cilindro, u θ (R, t) Ω a 2 /R, pr R, ossrvando ch ξ = R 2 /(νt) quando t, ch implica lim γ(ξ) = 1 ξ La doppia intgrazion è lmntar fornisc γ(ξ) = C + D ξ/4. L du costanti d intgrazion C D si ricavano imponndo l condizioni al contorno, ottnndo C = 1 D = a2 /(4νt). La soluzion si trova quindi ssr ( ) γ(ξ) = 1 xp a 2 4νt ξ 4 da qusta si ricava l andamnto dlla vlocità u θ = Ω a 2 γ/r u θ (R, t) = Ω a 2 R [ ( 1 xp R2 a 2 4νt )] 5
Soluzioni: Part di Arodinamica I Domanda 3 L quazioni dlla toria dllo strato limit di Prandtl, pr l corrnti bidimnsionali stazionari con gradint di prssion nullo, sono dat da u u x + v u y = ν 2 u y 2 u x + v y = con ovvio significato di simboli. Supponiamo ch la vlocità soluzion di tal quazioni sia di tipo similar in particolar ch la sua componnt x, parallla a una lastra, sia sprimibil nlla forma sgunt u(x, y) = h(η) dov η(x, y) = y g(x) con h(η) g(x) funzioni di una sola variabil, da dtrminar imponndo anch l condizioni al contorno u(x,) = v(x,) = sulla part dlla lastra. Dal procdimnto ch si sgu pr soddisfar la condizion d incomprimiblità mrg ch al posto dlla funzion h risulta convnint considrar com incognita un altra funzion dfinita dal suo intgral f(η) = η h( η) d η Dtrminar l quazion diffrnzial ch lga l du funzioni f(η) g(x) dllo strato limit similar. Soluzion Domanda 3 La prima dll du quazioni dllo strato limit contin la componnt dlla vlocità v ch può ssr dtrminata a partir dalla sconda. Calcoliamo la drivata u/ x quando la componnt dlla vlocità u è sprimibil nlla forma similar considrata: u h(η(x, y)) = = h (η) x x x ( y g(x) ) = h (η) ( y g (x) [g(x)] 2 ovvrosia u x = (x) g g(x) ηh (η) Qusta sprssion è sostituita nl condizion d incomprimibilità ottnndo l quazion v y = g (x) g(x) ηh (η) ch può ssr intgrata risptto a y, sfruttando la condizion al contorno v(x,) =, pr cui risulta v(x, y) = y ovvro, grazi al cambiamnto di variabili y η, g (x) g(x) ηh (η)dy = g (x) v(x, y) = g (x) η y ηh ( η)d η ηh (η) dy g(x) L intgral può ssr calcolato ricorrndo all intgrazion pr parti ch fornisc [ η ] v(x, y) = g (x) ηh(η) h( η) d η In trmini dlla variabil f(η) = η h( η)d η, pr cui risulta f = h, la rlazion prcdnt divnta v(x, y) = g (x)[ηf (η) f(η)] ch può ssr sostituita nlla prima quazion dllo strato limit, assim all rlazioni u/ y = h /g(x) = f /g(x) 2 u/ y 2 = f /[g(x)] 2. In qusto modo si ottin [ ] f g (x) ηf + g (x)[ηf f] f g(x) g(x) = ν f [g(x)] 2 Du trmini dl mmbro di sinistra si lidono, dopo avr smplificato un fattor comun, si ottin l quazion g (x)g(x)ff = ν f ch è il lgam diffrnzial richisto fra l du funzioni f(η) g(x). ) 6
Domanda 4 Scriviamo l quazion di Navir Stoks dlla quantità di moto pr corrnti incomprimibili stazionari in forma adimnsional (ũ )ũ + P = 1 R 2 ũ, dov tutt l variabili gli opratori contrassgnati dalla tild sono stat rs adimnsionali nl modo consuto. Mostrar ch la traformazion introdotta da Prandtl pr l coordinat pr l componnti dlla vlocità x X = x ỹ Y = ỹ R ũ U = ũ ṽ V = ṽ R conduc a una forma dll quazion di Prandtl ch non dipnd dal numro di Rynolds. Soluzion Domanda 4 A sguito dlla trasformazion dll coordinat, l drivat in dirzion normal risptto all du variabili ỹ Y sono lgat dall rlazioni ỹ = R Y 2 2 = R ỹ2 Y 2, mntr l drivat parziali risptto a X sono idntich a qull risptto a x. Riscriviamo ora l quazion dlla quantità di moto adimnsional in trmini dll componnti cartsian dlla vlocità dlla posizion ũ ũ x + ṽ ũ ỹ + p x = 1 R ũ ṽ x + ṽ ṽ ỹ + p ỹ = 1 R ( 2ũ x 2 + 2 ũ ỹ 2 ( 2ṽ x 2 + 2 ṽ ỹ 2 Considriamo l quazion dlla componnt dlla quantità di moto parallla alla lamina. Si ottin U U X + V U R R Y + P X = 1 ( 2 ) U R X 2 + R 2 U Y 2, dov si è scritto P = p pr uniformità di notazion, da cui si ricava immdiatamnt Prndndo il limit pr R si ottin U U X + V U Y + P X = 1 R ), ). 2 U X 2 + 2 U Y 2. U U X + V U Y + P X = 2 U Y 2. Infin, l quazion trasformata rlativa alla componnt dlla quantità di moto prpndicolar al piano dlla lamina assum la forma sgunt U 1 V R X + 1 R V R V Y + R P Y = 1 ( 1 2 V R R X 2 + 1 ) R 2 V R Y 2 ch divisa pr R divnta 1 R Prndndo il limit pr R si ottin ( U V X + V V ) + P Y Y = 1 2 V R 2 P Y =. 7 X 2 + 1 2 V R Y 2.
L du quazioni rlativ all componnti cartsian dlla quantità di moto sono quindi U U X + V U Y + P X = 2 U Y 2, P Y =. La prima quazion corrispond proprio all quazion dllo strato limit di Prandtl la sconda implica ch la prssion varia solo nlla dirzion parallla alla lastra, com richisto nlla toria dllo strato limit. È inoltr immdiato vrificar ch il vincolo d incomprimibilita sprsso pr l variabili adimnsionali originari mantin la stssa forma anch pr l variabili dfinit dalla trasformazion di Prandtl. 8
Esrcizio 2 Un cilindro di szion circolar di lunghzza L molto maggior dl diamtro D è invstito da una corrnt d aria di dnsità ρ = 1. kg/m 3 ch si assum in moto irrotazional con vlocità asintotica V = 4 m/s uniform in dirzion normal all ass dl cilindro. La forza srcitata dalla corrnt su un tratto di lunghzza unitaria dl cilindro sia f = 3141 N/m i punti di ristagno si trovino su gnratrici ch formano un angolo φ = ±6 risptto a un diamtro prpndicolar alla dirzion asintotica dlla vlocità. Calcolar a) il diamtro dl cilindro, b) il cofficint dlla forza c f, c) la dirzion dlla forza. Soluzion Esrcizio 2 Considrato il basso valor dlla vlocità asintotica la corrnt ral attorno al cilindro di lunghzza finita può ssr rapprsntata da una corrnt incomprimibil irrotazional piana attorno a un cilindro infinito, val il torma di Kutta Joukowski, pr cui la forza ch la corrnt srcita su un tratto unitario dl cilindro è data dlla rlazion: f = ρu Γ dov Γ è un vttor in dirzion dll ass dl cilindro con modulo Γ = Γ pari alla circolazion dlla corrnt intorno al cilindro. La dirzion dlla forza è quindi prpndicolar sia alla dirzion dlla vlocità asintotica U sia all ass dl cilindro. In forma scalar la rlazion dlla forza si riduc a f = ρ UΓ La posizion angolar θ r di punti di ristagno sul cilindro nlla corrnt con circolazion Γ è data dalla rlazion sinθ r = Γ 4πaU dov a è il raggio dl cilindro circolar θ è l angolo dll coordinat polari. Prtanto si vd ch sistranno punti di ristagno solo s è soddisfatta la condizion sgunt Γ 4πaU < 1. Dai valori φ r = ±6, si dduc ch l gnratrici passanti pr i punti ristagno sono θ r = 3 θ r = 15 s Γ > (corrnt dportant) oppur θ r = 3 θ r = 21 s Γ < corrnt portant. Considriamo pr smplicità il caso Γ 4πaU = sin3 = 1 2 sostituiamo nl primo mmbro la circolazion Γ = f/(ρ U) ricavata dalla lgg di Kutta Joukowski: f 4πρ au 2 = 1 2 In qusta rlazion è incognito solo il raggio a pr cui si ottin a = f 2πρ U 2 = 3141 2π 1. 4 2 =.3125 m quindi il diamtro è D = 2a =.625 m. Il cofficint dlla forza c f è smplicmnt la vrsion adimnsional dlla forza pr unità di lunghzza f quindi è dato da f c f = 1 2 ρ U2 D = 2 3141 1. 16.625 = 6.28 La circolazion Γ attorno al cilindro val prtanto Si vrifica infin ch Γ = f ρ U = 3141 1. 4 = 78.5 m2 /s Γ 4πaU = 78.5 =.5 < 1. 4π.3125 4 9