Esercizi sulle reti elettriche in corrente alternata (parte ) Esercizio : alcolare l andamento nel tempo delle correnti i, i 2 e i 3 del circuito in figura e verificare il bilancio delle potenze attive e reattive. l circuito è alimentato da un generatore di tensione sinusoidale v g (t) di frequenza f = 5 Hz e valore efficace V g = V. Si suppone che il circuito operi in regime sinusoidale. i (t) v g (t) i 2 (t) R Ω R 2 2 Ω 6.4 mh 3.2 mf i 3 (t) N g = 48 j 3529 Erogata N = 294 j N 2 = 76 j 76 N 3 = j 476 ssorbite 5 5-5 - i i2 i3 vg Posto V g = v g (t)= 2 cos(34.6 t) i (t)= 2 54.2 cos(34.6 t.7) i 2 (t)= 2 24.2 cos(34.6 t.32) i 3 (t)= 2 68.6 cos(34.6 t.3) -5.5..5.2.25.3.35.4 time [s] a pulsazione è ω = 2πf = 34.6 rad/s. e reattanze sono quindi X = ω = 34.6 6.4 3 = 2. Ω ed X = /(ω) = /(34.6 3.2 3 ) =.995 Ω. l numero complesso rappresentativo della tensione impressa dal generatore è V g = V g,eff exp(j V g ). Posto V g =, che corrisponde a scegliere come istante iniziale quello corrispondente ad uno dei massimi della tensione impressa dal generatore, si ha quindi V g = j. Passando dal dominio del tempo al dominio simbolico il circuito equivalente è quello rappresentato in figura (tutte le grandezze sono espresse in unità S). Poste in serie le impedenze sul 2.j ramo centrale (Z 2 = 2 2.j), la tensione tra i nodi e si determina immediatamente applicando il 2.995j teorema di Millman: V = = 58.64 35.46j 2 3 2 2.j.995 j e correnti sui tre rami si possono dedurre dalle caratteristiche dei componenti:
= ( V )/ = 4.36 35.46j = 54.48, =.79 rad 4.6 2 = V /(22.j) = 5.723 23.48j 2 = 24.7, 2 =.33 rad 76.3 3 = V /(.995j) = 35.63 58.94j 3 = 68.87, 3 =.3 rad 58.8 andamento nel tempo delle tre correnti è quindi deducibile dai moduli (uguali ai valori efficaci) e dalle fasi tramite la relazione di definizione della trasformata di Steinmetz. Per quanto riguarda le potenze, utilizzando le potenze complesse si ha: Potenze assorbite dalle impedenze Potenza complessa Potenza ttiva Potenza Reattiva N = 2 = 2968 j 2.9 kw kvr N 2 = (2 2.j) 2 2 = 68 74j.2 kw.2 kvr N 3 = (.995j) 3 2 = 479j kw 4.7 kvr Potenza erogata dal generatore Potenza complessa Potenza ttiva Potenza Reattiva N g = V g ( )* = 436 3545j 4. kw 3.5 kvr l bilancio delle potenze per le potenze attive e reattive (e complesse) quindi è soddisfatto. (si noti che approssimando inizialmente le reattanze come X 2 Ω ed X Ω, si ottengono risultati simili, con un errore sulla terza cifra significativa, purché si effettuino le operazioni di calcolo almeno a tre cifre) Esercizio 2: alcolare il valore massimo e la fase (in gradi) della tensione tra i nodi e del circuito in figura, in regime sinusoidale a frequenza 5 Hz. a tensione v g (t) impressa dal generatore indipendente ha valore efficace V e fase zero; la corrente i g (t) impressa dal generatore di corrente ha valore efficace 5 e fase π/3. alcolare inoltre la potenza attiva e reattiva erogata dal generatore di corrente..8 mf v g (t) 2 Ω k i 2 (t) k = 3Ω Ω 4 Ω 3.2 mh i g (t) V max = 25 V V = 74 P gc(e) = 6.6 kw Q gc(e) = 2.2 kvr Ω i 2 (t) a pulsazione è ω = 2πf = 34.6 rad/s. e reattanze sono quindi X = ω = 34.6 3.2 3 =.5 Ω Ω ed X = /(ω) = /(34.6 3.2 3 ) = 3.978 Ω. 4 Ω. l numero complesso rappresentativo della tensione impressa è V g = V g,eff exp(j V g ). Dato che V g =, si ha quindi V g =. l numero complesso rappresentativo della corrente impressa è g = g,eff exp(j g ). Dato che g = π/3, si ha quindi g = 5 exp(j π/3) = 5 [cos(π/3) j sen(π/3)] = 5 [/2 j 3 /2)] = 25 j 25 3. Passando dal dominio del tempo al dominio simbolico il circuito si rappresenta quindi come segue (tutte le grandezze sono espresse in unità S): 2
È possibile semplificare il circuito sostituendo il bipolo di Norton a destra (parallelo di una impedenza e di un generatore di corrente) con il suo equivalente di Thevenin: Z eq = 4j E eq = (4j) (25j25 3 ) = 56.798.2j 2 e potenze erogate dal generatore di 4j corrente sono calcolabili dalla potenza complessa: N gc(e) = V (25 j 25 3 )* Definendo sul ramo di destra si può dedurre la corrente sul ramo di sinistra applicando la K al nodo (o ). e correnti ed 2 sono determinabili risolvendo il sistema di due equazioni, ottenuto applicando le KT sulle maglie definite dalle correnti stesse: = 2 (2 4j) 2, = 3 2 (4j) 56.7 98.2j 2 2 4j 2 4j 2 3 2 3 2 4j 25j25 3 Quindi = (3 4j) 2 e, sostituendo nella seconda equazione: = 2 2 (6j) (6j)(3 4j) 2 43.398.2j 2 = 6.98 8.53j, = 4.93 27.7j, 56.7 98.2j Quindi V = (2 4j) 2 = 88. 9.45j. l 2 valore efficace coincide con il modulo, quindi V,eff = (88. 2 9.45 2 ) = 88.65 V da cui si deduce il massimo: V,max = V,eff 2 = 25.2 V Per quanto riguarda la fase, il fasore è nel terzo quadrante e quindi V = π rctan(9.45/88.) = 3.4 rad. l valore in gradi si ottiene moltiplicando per il fattore (8/π) ed è pari a 74. nfine V = (4j) 56.7 98.2j = 4 92.4j, e quindi N gc(e) = V (25 j 25 3 ) = 664 297j. e potenze, attiva e reattiva, erogate dal generatore di corrente sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria della potenza complessa erogata, quindi P gc(e) = 664 W 6.6 kw e Q gc(e) = 297 VR 2.2 kvr. Esercizio 3: determinare la potenza istantanea e media erogata dai generatori del circuito in figura (i g (t) sinusoidale, frequenza 5 Hz, valore efficace, fase nulla). Suggerimento: utilizzare il principio di sovrapposizione degli effetti. Ω 2 V.6 mf i g (t) potenze istantanee p vg (t) = 4 2 2 6.8 cos(ωt.26) p ig (t) = 2 2 cos(ωt) 2 24.4 cos(ωt.7) 2 cos(ωt) 3.2 mh 4 Ω 6 Ω.6 mf potenze medie P vg = 4 W P ig = 24.4 cos(.7 ) = 85 W 3
Dato che sono presenti un generatore a tensione impressa costante ed un generatore a corrente impressa sinusoidale a 5 Hz, il circuito è in regime periodico: tutte le variabile circuitali sono rappresentabili come la somma di un termine costante (D) e di un termine sinusoidale (). due termini sono calcolabili separatamente utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti. Quindi, azzerando la corrente impressa dal generatore di corrente si ottiene un circuito in regime stazionario (in cui induttori e condensatori sono equivalenti rispettivamente a cortocircuiti e circuiti aperti), come mostrato (tutte le grandezze sono espresse in unità S). Ω 6 2 4 V gc(d) gt(d) a corrente circolante sul resistore da Ω è nulla, dato che è in serie ad un circuito aperto. a corrente circolante sul generatore di tensione si ottiene applicando la KT all unica maglia presente. Pertanto = 2 4 gt(d) 6 gt(d) ottenendo gt(d) = 2. a tensione sul generatore di corrente è ottenibile dalla caratteristica del resistore da 6 Ω: V gc(d) = 6 gt(d) = 2 V nalogamente, le componenti si ottengono azzerando il generatore di tensione. Si ottiene pertanto un circuito in regime sinusoidale alla frequenza di 5 Hz. a pulsazione è ω = 34.6 rad/s. e reattanze sono quindi X = ω = 34.6 3.2 3. Ω ed X = /(ω) = /(34.6.6 3 ) 2 Ω. l numero complesso rappresentativo della corrente impressa dal generatore è gc() = exp(j). Si ha quindi gc() = j. Passando dal dominio del tempo al dominio simbolico il circuito si rappresenta quindi come segue (unità S). V gc() e due impedenze tra i nodi e (o ', che è alla stessa tensione di ) sono in parallelo. a loro 2j impedenza equivalente è pari a: Z eq, = ( 2j )/ ( 2j ) = 2j (2j )/5 = gt() = (4 2j)/5 =.8.4j ' nalogamente le tre impedenze tra i nodi (o ') e (o ') sono in parallelo. a loro ammettenza 6 j 4 equivalente è pari a: 2j Y eq,2 = / (6 j) /4 /( 2j) = ' = (6 j)/37 /4 j/2 =.422.473j Quindi la loro impedenza equivalente è pari a: Z eq,2 =.47.22j.8.4j.47.22j V gc() l circuito ottenuto sostituendo le impedenze equivalenti è rappresentato a lato. a sua soluzione è ovvia dato che la corrente circolante nella maglia è definita dal generatore di corrente. Pertanto: V gc() = 8.47 6.2j = 24.44 exp(.744j) Per quanto riguarda la corrente gt(), essa si determina utilizzando la K applicata al nodo dello schema precedente: gt() = V / V /(6 j) = = (.8.4j) (.47.22j) /(6 j) = = 6.627.768j = 6.859 exp (.267j) Nel dominio del tempo si ottiene quindi, anti trasformando i fasori e sommando la componente D: 4
v gc (t) = v gc(d) 2 V gc() cos(ωt V gc() ) = 2 2 24.44 cos(ωt.744) [V] i gt (t) = i gt(d) 2 gt() cos(ωt gt() ) = 2 2 6.859 cos(ωt.267) [] e potenze istantanee erogate dai generatori sono immediatamente determinabili come: p gc (t) = v gc (t) i gc (t) = 2 2 cos(ωt) 2 24.4 cos(ωt.74) 2 cos(ωt) [W] p gt (t) = v gt (t) i gt (t) = 4 2 2 6.86 cos(ωt.26) [W] Per quanto riguarda le potenze medie erogate dai generatori si ha: ( ωt ) 2 24.4cos( ωt.74) 2cos( ωt) pgc = 2 2cos = 85 W 442444 3 4444444 244444443 = (alternata) (. 74 ) = 24. 4 cos = 85 (definizione di potenza attiva) ( ωt.26) 4 W pgt = 4 2 2 6.86cos = { 4444244444 3 = 4 (costante) = (alternata) Esercizio 4: l circuito di figura è alimentato da un generatore di corrente sinusoidale di valore efficace g = e frequenza khz e da un generatore di tensione operante alla stessa frequenza e avente valore efficace V g = 2 V. a tensione impressa è in anticipo di π/6 rispetto alla corrente impressa. Determinare l andamento nel tempo della corrente i(t) e della tensione v(t) a regime ai terminali del bipolo R nei tre casi decritti di seguito, supponendo v g =. Determinare inoltre le potenze attiva e reattiva assorbite dal ramo R. (aso. = 7.5 µf; aso 2. = 26.6 µf; aso 3. = 62.2 µf) 5 i (t) 59 µh i (t) 4 Ω 8 µf v g (t) Ω i g (t) R 2 Ω 38 µh i(t) 2 µh Soluzione (Thevenin) V Z = R j(ω /ω) Z eq = E eq = 6.7e j2.9 aso aso 2 aso 3 i(t)= 2 5.3 cos(ωt.87) v(t)= 2.8 cos(ωt 2.34) P = 56.2 W Q = 28. VR i(t)= 2 5.6 cos(ωt 2.9) v(t)= 2.2 cos(ωt 2.9) P = 62.3 W Q = VR i(t)= 2 5.3 cos(ωt 2.52) v(t)= 2.8 cos(ωt 2.5) P = 56.2 W Q = 28. VR 2 5 i v 2 5 i v 2 5 i v 5 5 5-5 -5-5 - - - -5-5 -5-2.5.5 2 2.5 3 t [ms] -2.5.5 2 2.5 3 t [ms] -2.5.5 2 2.5 3 t [ms] 5
a pulsazione è ω = 2πf = 6283.2 rad/s. e reattanze sono quindi X = ω = 6283.2 59 6 Ω, X = ω = 6283.2 38 6 2 Ω ed X = /(ω) = /(6283.2 8 3 ) 2 Ω. l numero complesso rappresentativo della tensione impressa è V g = V g,eff exp(j V g ). Dato che V g =, si ha quindi V g = 2. l numero complesso rappresentativo della corrente impressa è g = g,eff exp(j g ). Dato che V g g = π/6, si ha g = π/6, e dunque g = exp( j π/6) = [cos(π/6) j sen(π/6)] = ( 3 j)/2 = 5 3 5j. 4 j 2 2j 5 5 3 5j Z 2j l circuito equivalente (passando dal dominio del tempo al dominio simbolico) è rappresentato a lato (unità S), dove Z = R j(ω /ω) è l impedenza del ramo R. Dato che Z è differente nei tre casi descritti, conviene determinare l equivalente (di Thevenin o di Norton) del bipolo complementare a Z, che invece non cambia. 4 j Z eq E eq 2 2j 5 5 3 5j 4 j 2j 5 Z V 2j 2j Determiniamo quindi i parametri del bipolo di Thevenin (se non sono determinabili, si passa l equivalente di Norton). Si consideri il bipolo a lato. a tensione impressa dal generatore nel bipolo di Thevenin è per definizione la tensione a vuoto, in questo caso V. Dalla KT si ha: V = ( 2j) 2j (5 3 5j). Dalla K applicata al nodo si ha: = 5 (5 3 5j). Pertanto: = ( 5 3 5j)/6 e dunque: E eq = V = 9.78 3.6j = 6.75 exp( j 2.9) Per quanto riguarda l impedenza equivalente, è necessario determinare il rapporto tra i fasori di tensione e di corrente, con i generatori indipendenti azzerati. on riferimento allo schema a lato: Z eq = V /. Si noti che dalla K applicata al nodo si ha: = 5. Pertanto = e dunque la corrente circola sulla maglia di destra. Quindi V = ( 2j) 2j = e risulta Z eq =. nfine, collegando il bipolo di Thevenin alla impedenza Z, si ottiene il circuito a lato. a corrente circolante nella maglia è = E eq /(Z eq Z). Quindi V = Z e la potenza complessa assorbita dall impedenza è N = Z 2 = P j Q. è la stessa nei tre casi, quindi ω = 6283.2 2 6.257 Ω. Pertanto si ottiene: aso aso 2 aso 3 /(ω) 2.257 Ω Z = R j(ω /ω) = 2 j =.57 5.6j = 5.3 e j.87 V = 8.2 8.54j =.8 e j2.34 N = 56.2 28.j /(ω).257 Ω Z = R j(ω /ω) = 2 = 3.26 4.53j = 5.6 e j2.9 V = 6.52 9.7j =.2 e j2.9 N = 62.3 j /(ω).257 Ω Z = R j(ω /ω) = 2 j = 4.29 3.j = 5.3 e j2.52 V = 5.48.5j =.8 e j2.5 N = 56.2 28.j 6
Esercizio 5: Determinare le potenze assorbite dai resistori R, R 3 e R 6 del circuito in figura. Suggerimento: valutare il valore delle impedenze delle serie e dei paralleli rispetto ai valori delle resistenze. v g (t) Dati: = 25 µh = µf v g (t)= 2 cos ωt i g (t)= 2 cos ωt f = /(2π ) = 66 Hz Soluzione P = 5 W, P 3 = W, P 6 = W a frequenza a cui funziona il circuito è la frequenza di risonanza delle serie - e del parallelo - (le reattanze dei due elementi sono X = X = 5.8 Ω). impedenza della serie e l ammettenza del parallelo sono nulle (Z = jx jx =, Y = j/x j/x = )e quindi sono rispettivamente equivalenti ad un cortocircuito ed a un circuito aperto. Passando al dominio simbolico il circuito si rappresenta come segue (tutte le grandezze sono espresse in unità S): R 2 Ω R 3 Ω R 6 Ω i g (t) resistori R 3 ed R 6 sono pertanto soggetti a tensione nulla e quindi assorbono potenza attiva nulla (P 3 = W, P 6 = W). 2 l resistore R è soggetto alla tensione impressa dal Generatore di tensione e quindi assorbe la potenza attiva P = 2 /2 = 5 W Esercizio 6: alcolare valore efficace e fase della corrente del circuito in figura; calcolare la potenza reattiva assorbita dall induttore. Nota: sullo schema del circuito sono riportati i valori delle resistenze e delle reattanze degli induttori (ω) e dei condensatori (/ω in modulo) alla frequenza di funzionamento, e i numeri complessi rappresentativi (valori efficaci) delle forme d onda prodotte dai generatori di tensione. 2 Ω 5 Ω 4. 45 V 2 V Ω 3 Ω 2 Ω 4 Ω Soluzione eff = 2.53 =.9 rad Q = 2.8 VR Passando al dominio simbolico il circuito si rappresenta come segue (tutte le grandezze sono espresse in unità S): 7
52j (j) 4j j 2 2 3 Si noti che non viene richiesto di calcolare nulla relativamente ai componenti interni ai bipoli ed 2. Essi possono quindi essere sostituiti con i loro equivalenti di Thevenin per ottenere un circuito più semplice. 2 E eq, 52j E eq,2 a corrente si deduce dunque applicando la KT all unica maglia presente: = (52j) E eq,2 Z eq,2 Z eq, E eq, Z eq, Z eq,2 Mentre la potenza richiesta è deducibile dalla parte immaginaria della potenza complessa assorbita dall impedenza 52j: N = (52j) 2 Dato che i bipoli ed 2. hanno la stessa struttura (tipo di componenti e connessioni) il bipolo equivalente si può determinare nello stesso modo per entrambi. E a Z a Z b Per determinare i parametri del bipolo equivalente di Thevenin è sufficiente applicare le definizioni: Z eq = (V / ) generatori ndipendenti spenti n questo caso rimangono solo le due impedenze Z a e Z b collegate in parallelo, e quindi Z eq = Z a Z b /(Z a Z b ) Per quanto riguarda la tensione impressa equivalente: E eq = V a vuoto.(ovvero con = ) n tal caso è applicabile il Teorema di Millman: E eq = V = (E a /Z a /Z b )/(/Z a / Z b ). Sostituendo i dati si ha quindi: Z eq, = 2 4j/(24j) =.6.8j Z eq,2 = 3 ( j)/(3 j) =.3.9j. E eq, = ((j)/2)/(/2 /(4j)) = 4 2j E eq,2 = (2/3)/(/3 /( j)) = 2 6j Z eq E eq Sostituendo nella KT e risolvendo per, si ha: =.937 2.35j da cui = (.937 2 2.35 2 ) = 2.53 Per quanto riguarda la fase, il fasore è nel primo quadrante e quindi = rctan (2.35/.937) =.9 rad (circa 68 ). nfine la potenza complessa assorbita dall impedenza 52j è: N = (52j) 2 = (52j) (2.53) 2 = 32 2.8j Quindi la potenza reattiva assorbita dall induttore è Q = 2.8 VR. 8