Integrle Dento. ( Il prolem del clcolo delle ree Suddvsone dell ntervllo [,] n sottontervll che ne costtuscono un prtzone De. Prtzone S chm prtzone P dell ntervllo [,] un nseme d (n+ punt < <..< n, comunque scelt tr e. S pone:,..,n h De. nmento Un prtzone P è dett essere un rnmento (o pù ne dell prtzone P se: P P
Integrle Dento: Plurrettngol Assummo che l unzone s lmtt nell ntervllo [,]. Dt un determnt prtzone P d [,] consdermo per ogn ntervllno : m l estremo nerore ssunto dll unzone n M l estremo superore ssunto dll unzone n Costrumo l rettngolo nscrtto: d se ed ltezz m Ed ssocmo d esso l re (che può nche essere negtv se lo è l unzone dt d: ( m. L nseme de rettngol nscrtt costturà l plurrettngolo (o sclode nscrtto. Costrumo l rettngolo crcoscrtto: d se ed ltezz M Ed ssocmo d esso l re (che può nche essere negtv se lo è l unzone dt d: ( M. L nseme de rettngol nscrtt costturà l plurrettngolo (o sclode crcoscrtto.
Integrle Dento: Somme Superor ed Ineror ( De. Somme Superor S ( P, M Costtuscono un pprossmzone per eccesso dell re De. Somme Ineror s ( P, m Costtuscono un pprossmzone per detto dell re Amo che: s ( P, S ( P, ( E evdente che con pù rnmo l prtzone dell nseme [,], con pù ruscremo d vere un vlutzone precs dell re. Precsmente, pssndo d un prtzone P d un prtzone pù ne P notmo che le somme neror umentno mentre quelle superor dmnuscono rspettndo sempre l relzone (. Qund: se P P s( P, s( P, S( P, S( P, ( con s( P, S( P,
Integrle Dento: Somme Superor ed Ineror ( Aumentndo l numero d punt le somme neror umentno Aumentndo l numero d punt le somme superor dmnuscono 4
Integrle Dento d emnn: Costruzone Poché le somme neror sono sempre mnor od ugul lle somme superor, mo che: Sup P s In P S De. Funzone Integrle (secondo emnn L unzone è ntegrle (secondo emnn, o -ntegrle se (e solo se: Sup P s In P S De. Integrle Dento (d emnn Il numero rele precedentemente trovto rppresent l ntegrle dento dell unzone sull ntervllo [,] e s scrve: Not. L clsse delle somme neror e delle somme superor sono due clss d numer rel un mnore dell ltr dunque sono clss seprte. Esse possono vere un elemento seprtore (l unco numero compreso tr le somme neror e quelle superor. Se tle numero esste l unzone è dett emnn-integrle (o -Integrle su [,] 5 e tle numero è, per denzone, l ntegrle d emnn dell unzone dt su [,]. ( d
Integrle Dento d emnn: Osservzon ( d e sono dett estrem d ntegrzone è detto estremo nerore d ntegrzone è detto estremo superore d ntegrzone è dett unzone ntegrnd Not. L vrle d ntegrzone è un vrle mut. Per cu le seguent espresson ndcno sempre lo stesso numero: ( d ε > ( t dt S(P,-s(P, < ( y dy Teorem Un unzone lmtt su [,] è -ntegrle se esste un prtzone P d [,] tle che: Not. Il teorem precedente erm che le somme neror e superor, per unzon - ntegrl, sono due clss seprte m ndentmente rvvcnte (o contgue. ε 6
Funzone non -Integrle Not. Non tutte le unzon sono -ntegrl. Dremo pù vnt delle condzon sucent nché un unzone s -Integrle. Occupmoc d un esempo d unzone che NON è -ntegrle: L Funzone d Drchlet ( se Q se \Q S consder l ntervllo [,]. Ess è un unzon lmtt. Per ess, consderto l tto che qulunque s l prtzone P, nell ntervllno compono nnt numer rrzonl ed nnt rzonl, vremo: M S( P, Sccome: m s( P, In S( P, Sup s( P, L unzone non rsult -ntegrle. 7
Integrle Dento: le somme d emnn Not. Consderndo unzon lmtte non possmo ermre che vlor m ed M sono vlor ssunt dll unzon nell ntervllno. Se l unzone è contnu l teorem d Weerstrss sscur l tto che l unzone ssume n tl vlor, che concdono con l mnmo ed l mssmo dell unzone stess (n. Al posto delle somme neror e superor è llor possle consderre le seguent somme d emnn: con σ ( P, ( t t De. P M( Per esse vle l seguente teorem: Teorem é -ntegrle lmσ ( P, P nto (d E vle lmσ(p, P 8
Integrle Dento: Sgncto Geometrco. ( Se l unzone ntegrnd è postv su [,] (< llor ( d ppresent l re dell regone d pno delmtt dll sse delle, dl grco dell unzone e dlle rette vertcl ed. E rsult: ( d > + Se l unzone ntegrnd è negtv su [,] (< llor ( d ppresent l re dell regone d pno n senso lgerco (n qunto negtv delmtt dll sse delle, dl grco dell unzone e dlle rette vertcl ed. E rsult: ( d < 9
Integrle Dento: Sgncto Geometrco. ( Se l unzone ntegrnd non h segno sso su [,] (< llor l ntegrle dento può essere postvo, negtvo o nullo. ( d ( d? +.. rctn( ~.7 > d + + π sen ( d + π cos( d
Integrle Dento: Sgncto Geometrco. ( ( d g( d Può essere pensto come re dell regone d pno compres tr le due unzon e g. g( d.. ( ( ( d g (
Integrle Dento: Condzon Sucent Integrle Dento: Condzon Sucent per l per l -Integrltà. ( Integrltà. ( Teorem. Se l unzone è contnu su [,] llor è -Integrle. Dm. Per l teorem d Weerstrss mmette mssmo M e mnmo m n ogn ntervllno. Esstono qund n due punt t e t * tl che (t m e (t * M. Poché è contnu, dll denzone d lmte mo che: t t t t se < < ε δ δ ( ( : * * Scelto: ε ( ( t t m M P s P S ( (, (, ( * t t t t se < < δ δ ( ( : Fccmo n modo che P <δ llor: ( ε ε ε < ( ( ( * t t Per l teorem l unzone è -Integrle. Scelto:
Teorem 4. Integrle Dento: Condzon Sucent per l -Integrltà. ( Se l unzone è lmtt su [,] e possede un numero nto (o l pù un nntà numerle d dscontnutà llor è -Integrle. Teorem 5. Se l unzone è monoton (crescente o decrescente su [,] llor è -Integrle.
Integrle Dento: Propretà ( Convenzone ( d ( d ( d d Propretà d lnertà Propretà d ddtvtà ( ( + g( d ( d + g( d Propretà d ( ( d ( d omogenetà 4
Integrle Dento: Propretà ( ( d ( d se < ( d ( d Propretà d ddtvtà rspetto ll ntervllo d ntegrzone ( d ( d + c ( d c Propretà d monoton se ( ( n [, ] d ( d ( 5
Integrle Dento: Teorem dell med ntegrle Teorem 6 (dell Med Integrle o d Lgrnge. S consder l unzone contnu n [,]. Allor esste lmeno un punto c n [,] tle che: Dm. ( d ( c( Sccome è contnu è -ntegrle. Per l teorem d Weerstrss se m ed M sono l mnmo ed l mssmo dell unzone n [,] mo m ( M vld per ogn n [,]. Dll propretà d monoton dell ntegrle segue:: md ( d Md m( ( d M ( m ( d ( M ( d ( con m M Il teorem d Drou sscur che esste c n [,] tle che (c ( d ( ( c c.v.d. De. Med Integrle ( d ( 6
Integrle Dento: Funzone Integrle S consder l unzone, -ntegrle su [,]. Consdermo due punt d [,] : ed. Costrumo l seguente ntegrle dento: ( t dt Consdermo l unzone che d ogn numero (n [,] ssoc l numero rele dento dll relzone precedente: tle unzone è l unzone Integrle d n [,]. De. Funzone Integrle S un unzone -ntegrle su [,] s densce unzone ntegrle F d su [,] (con orgne n F( ( t dt 7
Integrle Dento: Teorem d Torrcell-Brrow Teorem 7 (d Torrcell - Brrow S un unzone contnu su [,]. Allor l unzone ntegrle F d su [,] (con orgne è (contnu e dervle n per ogn d [,] e vle F (( Dm. S consder: F( + h F( + h + h F ( t dt ( t dt ( t dt ( t dt [, + h] + h ( t dt ( c h con c Applcndo l teorem 6 dell med ntegrle. F'( lm h F h lm h ( c h h lm h ( c ( + Per l contnutà d c.v.d. L unzone ntegrle F rsult nelle potes del teorem (contnutà d un prmtv d. In generle s può dmostrre che: Teorem 8 Se è -ntegrle llor F è contnu Se è contnu llor F è dervle Se è dervle llor F è dervle con dervt contnu 8
Integrle Dento: Teorem ondmentle del clcolo ( Teorem 9 (Fondmentle del Clcolo S un unzone contnu su [,]. S F un su prmtv, llor: Dm. S consder: ( d ( d + ( d ( d F( F( F( + F( F( F( ( d + ( d c.v.d. Convenzone [ F( ] : F( F( ( d 9
Integrle Dento e unzon prmtve [ F( ] : F( F( ( d Not. Gl ntegrl delle unzon contnue possono essere clcolt con le unzon prmtve (se queste s possono esprmere per v elementre. Se l unzone ntegrnd non è contnu m solo -ntegrle, l prmtv potree non esstere perché, d esempo, non esstono unzon dervl che hnno dervte con dscontnutà slto. Tuttv può esstere l ntegrle. Es. ( per < per < per ( d + + 6 Non esste tuttv un unzone dervle n tutto [,] che ( come unzone dervt
Integrle Dento: Integrzone per prt Teorem '( g( d [ ( g( ] ( g'( d Es. Clcolre l re compres tr l sse delle e l grco dell unzone ln( tr punt d scss e ln( d [ ln( ] d ln( d ln( ~.86
Integrle Dento: Integrzone per sosttuzone Teorem Sno :[,] contnu, Φ :[,] contnu,dervle,con dervt contnu e con Φ ( n [,]. Allor se g è l unzone nvers d Φ, mo ( d Φ( Φ( ( g( t g'( t dt Es. g ( t sen ( t Φ ( rcsen ( cos d ( t dt rcsen( rcsen( sen t + sen( tcos( t ( t cos( t dt π π rcsen( π π rcsen( 4 Are qurto d cercho d rggo
Integrle Dento: Are tr grc d unzon ( [ ( g( ] A d g( ( d + A g( d ( ( c d ( 4 d + ( d + ( d + A ( d c d ( 4 ( c d
Integrl mpropr d spece ( Amo snor prlto d ntegrl d unzon lmtte (n prtcolre contnue su ntervll lmtt [,]. Esstono delle estenson s per unzon non lmtte che per ntervll non lmtt. Integrzone Funzon non lmtte su ntervll lmtt Integrl IMPOPI d SPECIE S consder : (,] non lmtt (d es / n (,] tle che s -ntegrle su ogn ntervllo dell orm [+ε,] e tle che : Denmo llor: lm + ( d ( ± lm ε + ε + ( d Se l lmte (* esste nto llor s dce ntegrle n [,] e che l ntegrle IMPOPIO d SPECIE è convergente Se l lmte (* è ± llor s dce che l ntegrle IMPOPIO d SPECIE è dvergente Se l lmte (* non esste llor s dce che l ntegrle IMPOPIO d SPECIE non esste (* 4
Es. S clcol: Integrl mpropr d spece ( d lm lm + + d ε ε ε ε ε + ε Es. S clcol: d lm + + d lm ln ε ε ε Es. S clcol: + + [ ] [ ] lm d se se + > + < d [ ] + ε Per lm + d + lm+ + ε ε ε < > + se se Per ved es. precedente. Glolmente: + > + ε < + ε lm + + + ε 5
Integrl mpropr d spece ( ( d lm ε + ε + ( d (* Ad es. /(- n [, Teorem dvergente + se d é ( ( convergente se < Vle un rsultto perettmente nlogo per: ( d L ntegrle converge se l unzone è nnt d ordne < ltrment dverge. 6
Integrl mpropr d spece ( Anlogmente nel cso n cu s : lm ( ± S densce: ( d lm ε ε + ( d (** Ad es. /(- n [, Vle un rsultto perettmente nlogo quello enuncto nel teorem : Teorem -s dvergente + se d é ( ( convergente se < L ntegrle converge se l unzone è nnt d ordne < ltrment dverge. 7
Integrle Dento: Integrl mpropr d spece ( Integrzone Funzon su ntervll llmtt Integrl IMPOPI d SPECIE S consder : [,+ contnu. Ponmo: + + ( d : lm ( d Anlogmente, se :(-,] contnu. Ponmo: ( d : lm ( d Se :(-,+ contnu. Ponmo: + ( d ( d : ( d + ( d lm ( d + lm h + + h ( d 8
Integrle Dento: Integrl mpropr d spece ( Es. S clcol: + [ ] [ ] d lm lm + d lm + + + Es. S clcol: Es. S clcol: + Es. S clcol (per n : + d n d lm [ ] [ ] + + d lm ln lm ln( + + + d lm lm lm + + d + + n n lm d lm lm + n + n + n n + n se se n n > < n n < > Per n ved es. precedente. Glolmente: + d n + n se se n n > L ntegrle converge se l unzone è nntesm d ordne n> ltrment dverge. 9
Integrle Dento: Integrl mpropr d spece ( Es. Andmento grco
Integrle Dento: Integrl mpropr d spece (4 Es. S clcol: + + d lm lm h h + h [ rctn( ] ( d lm lm h + π π [ rctn( h rctn( ] π lm lm h +
Integrle Dento: Lunghezz d un curv ( Consdermo un unzone y(. S un unzone contnu con dervt contnu n [,]. Voglmo clcolre l lunghezz dell curv rppresentt dl grco dell unzone tr punt d scss e. Per ncrement nntesm dell vrle ( d +d l vrle y h un ncremento dy che possmo pprossmre con dy (d (derenzle. Allor l lunghezz nntesm dell curv dl può essere scrtt ttrverso l teorem d Ptgor: ( d + ( dy ( d + ( '( d d ( '( dl + dl + [ ] ' ( d Ne segue: ( + d ( dl d dy lunghezz + ( '( d + d
Integrle Dento: Lunghezz d un curv ( Es. Lunghezz Crconerenz ( d rggo l ( 4 4 + '( ( '( d 4 d 4 t + dt 4 d L lunghezz dell crconerenz ( d rggo vle: 4 d [ rcsen( t ] 4[ rcsen( rcsen( ] 4 π π Es. Lunghezz Arco d Prol ( ( + y dy ' l + ( '( d + 4 d y + y + SettSh( y 5 + ln( + 4 5 ~.47894
Integrle Dento: Lunghezz d un curv ( Es. Lunghezz Ctenr ( curv lungo l qule s dspone un une pesnte omogene, nel cmpo d grvtà, sst gl estrem. ( Ch( '( Sh( l + Sh ( d Ch( d Sh( Sh( Sh( e e 4
Integrle Dento: Superce sold d rotzone ( ( dl L superce del soldo d rotzone vene clcolt come somm (ntegrle delle superc lterl de tronch d cono nntesm d ltezz d. L superce lterle d un tronco d cono vle: S lt π( + r d Essendo l potem ed, r rgg delle s. Il prmo teorem d Pppo-Guldno sscur che l clcolo dell superce d rotzone può essere ttuto moltplcndo l lunghezz del segmento dl (che gener l superce d rotzone per l lunghezz dell crconerenz che l rcentro del segmento percorre durnte l rotzone. Percò: ds lt π ( dl S lt ( dl ( + π π [ ] ' ( d 5
Integrle Dento: Superce sold d rotzone ( Es. Superce Ser y ( ' ( [ ] ' + ( S ser π d S ser 4π d 4π 6
Integrle Dento: Volum sold d rotzone ( ( d Il volume del soldo vene costruto come somm (ntegrle d clndrett nntesm s spessore (ltezz d e superce d se π [(]. dv π [ ( ] d V π [ ( ] d Es. Volume Cono P ( h, h rett : y ( V h h π d π h h h π h V π h 7
Integrle Dento: Volum sold d rotzone ( Integrle Dento: Volum sold d rotzone ( Es. Volume Ser ( ser d d V π π d dy y ( y 8 [ ] 4 y y dy y π π π π
y y' ( Studo Funzone Fre l grco qulttvo dell unzone e clcolre l vlore dell ntegrle nel trtto Asntot vertcle : - e ( ( ( + y'' ( d d d + + ln d + c Asntot Olquo : y + [ ] ln + [ln( ln(] + ln 5, 5 9
Studo Funzone g Fre l grco qulttvo dell unzone seguente e clcolre l vlore dell ntegrle nel trtto y e e y' e e ( e y'' 4 ( e e t e e d e t dt d t e t t d t dt dt t + t + Punto tngente vertcle nell orgne Flesso per ln( + d t t + dt + dt t t dt + t rctn( t + c e rctn( e + c
Studo Funzone g Fre l grco qulttvo dell unzone seguente e clcolre l vlore dell ntegrle nel trtto y e [ ] [ ] e d e rctn( e [ ] [ ] e rctn(,78 e