Lezione MEDIANA

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Gennaro Grilli
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1 Lezione 7-07 MEDIANA Considerando una distribuzione di valori X ordinata (in senso crescente o decrescente), la mediana è quel valore che divide la distribuzione in due parti uguali, tale cioè che al di sotto ci sia il 50% dei soggetti con valori X < mediana, e al di sopra il 50% dei soggetti con valori X > mediana. ) DATI NON RAGGRUPPATI X (età di N=7 soggetti): ) - ordinare in senso crescente i valori di X: ) - calcolare la posizione occupata dalla mediana (PosMe), cioè dove si trova la metà della distribuzione: PosMe PosMe per l esempio: n 7

2 3) - cercare, nella distribuzione ordinata, il valore X che occupa la posizione Pos mediana = 7 (metà dei soggetti ha valore X<7, l'altra metà ha valore X>7) Applicazione Dati i seguenti voti di laurea di soggetti, trovare la mediana: PosMe in 6 posizione troviamo 0 6 3bis) - se N è pari, per esempio aggiungiamo un soggetto di età X=8, quindi N=8: PosMe n Pos non troviamo un valore collocato alla Pos.5

3 - allora calcoliamo la mediana come media tra i valori X che occupano la Pos e la Pos 5 : Mediana metà dei soggetti ha valore X < 7.5, l altra metà ha valore X > 7.5 Applicazione Dati i seguenti voti di laurea di soggetti, trovare la mediana: Si ordinano i voti, in senso crescente PosMe n Mediana

4 ) MEDIANA: DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA Programma A Programma B X f f cum X f f cum n ) si calcola PosMe n 30 (per A e per B N=30; quindi PosMe 5. 5 ) ) si calcola la colonna delle f cum 3) si cerca in quest'ultima colonna il valore f cum che "contiene" PosMe: per A, 5.5 è in f cum 9 per B, 5.5 è in f cum 6 ) si vede a quale valore X corrisponde la f cum individuata mediana A = 5 mediana B = ProgA:

5 3) MEDIANA: DATI RAGGRUPPATI IN CLASSI classi f fcum n n 8 ) PosMe nell esempio PosMe (per N abbastanza elevato, >50, invece di N+, al numeratore N) ) si cerca sulla colonna delle fcum quella che contiene PosMe ( è contenuto in 53) 3) si individua la Classe corrispondente (3-) Ma, conoscendo la Classe che contiene la mediana, qual è il valore preciso della mediana? Si applica una formula per il calcolo preciso: Pos fllcum mediana X ll ( i) f i 5

6 classi f fcum Si calcola: mediana dove: X ll Pos fllcum f i ( i) X ll è il limite reale inferiore della Classe che contiene la mediana (in questo caso è.5) f ll cum è la f cum della Classe precedente quella che contiene la mediana (in questo caso è 33) i è l'ampiezza della Classe che contiene la mediana (in questo caso è ) fi è la frequenza della Classe che contiene la mediana (in questo caso è 0) Pos f llcum ( 33) mediana X ll (i) f 0 i 6

7 APPLICAZIONE A CLASSI DI AMPIEZZA UNITARIA Programma A X f fcum PosMe = 30+ = (limiti reali:.5-5.5) mediana Programma B X f f cum Pos ME = 5.5 Classe (.5.5) mediana

Altri indici di posizione QUARTILI, DECILI, PERCENTILI Ricordando che la MEDIANA è quel valore (uno solo) che divide la distribuzione in due parti (½ N)

8 Altri indici di posizione QUARTILI, DECILI, PERCENTILI Ricordando che la MEDIANA è quel valore (uno solo) che divide la distribuzione in due parti (½ N) Mediana definiamo i QUARTILI i Quartili sono 3 valori che dividono la distribuzione in quattro parti, ciascuna delle quali contiene il 5% dei soggetti (¼ N) 8

9 Q Q Q 3 Q primo quartile: valore al di sotto del quale si trova il 5% dei soggetti, che hanno quindi punteggio X Q Q secondo quartile: valore al di sotto del quale si trova il 50% dei soggetti, con X Q (coincide con la MEDIANA) Q 3 terzo quartile: valore al di sotto del quale si trova il 75% dei soggetti, con X Q 3 Come si trova la posizione di un quartile: N PosQ = N - PosQ = N - PosQ 3 = 3 ) Dati grezzi, ordinati, N= PosQ = 9 =.5 PosQ = =.5 9 PosQ 3 = 3 = Pos X

10 ) Distribuzioni di frequenza La procedura è la stessa che si usa per il calcolo della mediana, cambia solo la PosQ classi f a f cum a) primo quartile: PosQ 0. 5 N Q = X ll PosQ f llcum ( ampi ) f i Q = b) terzo quartile: PosQ Q 3 = N 0

11 ESERCIZI ) Calcolare la mediana dei seguenti punteggi di Q.I.: ) - Calcolare la mediana dei seguenti punteggi di Ansia : ) - Data la seguente distribuzione dei voti di laurea: Voto frequenza Calcolare: la mediana, il primo e il terzo quartile 7.) - In una prova per la valutazione dell Abilità Manuale (punteggio X, da = scarsa a 3 = alta), un gruppo di apprendisti ha ottenuto i seguenti risultati: Classi di X frequenza Calcolare la mediana e i quartili Q Q Q 3

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