Tecniche statistiche di analisi del cambiamento

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1 Tecniche statistiche di analisi del cambiamento 03-Ripasso inferenziale: T-test (v. 1.3, 19 dicembre 2018) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

2 La verifica d ipotesi Abbiamo visto che, se conosco media e dev.st. della popolazione posso chiedermi se un campione appartiene a quella popolazione La verifica d ipotesi sulla media di un campione si applica tramite un punto z fra la media del campione e quello della popolazione di riferimento z = X μ σ X = X μ σ N Quindi si trova l area corrispondente al punto z, che è la probabilità associata a quel valore (p) E si confronta con il livello di significatività (α arbitrario) Se p α rifiuto l ipotesi nulla (H 0 ) e accetto quella alternativa (H 1 ) Se p > α accetto l ipotesi nulla (H 0 ) e rifiuto quella alternativa (H 1 ) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

3 La verifica d ipotesi con σ sconosciuta Quando non si conosce la deviazione standard della popolazione, la si può stimare tramite la deviazione standard del campione X μ s X = X μ s N Tuttavia i valori ottenuti da questa formula non si distribuiscono esattamente come una normale (se non per campioni con N superiore a 30), perché s X è solo una stima di σ X La famiglia di distribuzioni basata su s X si chiama distribuzione t (di Student) Si tratta di una famiglia perché la curva di t cambia in base alla numerosità (o meglio ai gradi di libertà ) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

4 Distribuzioni t (di Student) Per fortuna ci sono le tavole di t Si usa la distribuzione t (con gl=n-1) Per N 30 la t si approssima alla normale (in rosso) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

5 Tavola di t (esempio 1) riga 1-2: valori α con H 0 monodirezionale riga 3-4: valori α con H 0 bidirezionale colonna 1: gradi di libertà colonne successive: t c per i vari livelli di α α a 5% α a 1% α a 1 G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

6 Tavola di t (esempio 2) colonna 1: gradi di libertà riquadro rosso: valori α e t c con H 0 monodirezionale riquadro verde: valori α e t c con H 0 bidirezionale G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

7 Tavola di t (esempio 3) Mono- Bi- G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

8 Gradi di libertà Il concetto di gradi di libertà (gl o df) è comune a tutta la statistica In linea di massima, i gl dipendono dalla numerosità o da altri fattori Tendenzialmente, sono un fattore di correzione In questo caso, usiamo la deviazione standard per ogni (X X) solo N 1 valori sono liberi di variare casualmente l ultima X, infatti, deve avere un valore tale che la somma di tutti gli scarti sia 0 G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

9 P e valore critico La tavola della normale ci forniva una probabilità che veniva confrontata con un livello di significatività (α) La tavola di t ci fornisce un valore critico per un determinato livello di significatività (sempre α) I due valori non sono antagonisti Il valore di p è la probabilità associata ad una certa statistica t (calcolato dai software) Il valore critico (v c) di t, è il valore della statistica associato ad un certo livello di significatività (α) Con p Se p < α, rifiuto H 0 Se p > α, accetto H 0 Con v c Se v c < t, rifiuto H 0 Se v c > t, accetto H 0 G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

10 Verifica d ipotesi con σ sconosciuta Ho un campione (N=35) su cui ho misurato il Fondamentalismo con M = 148. Conosco la media della popolazione (μ = 140) ma non conosco σ Ipotizzo che il campione sia stato estratto casualmente da quella popolazione H 0 : μ c = μ = 140 H 1 : μ c μ ipotizzando α =.05 (bidirezionale), per 34 gl (trovato 30), v c = se fosse vera l ipotesi nulla, un campione estratto da quella popolazione avrebbe il 5% di probabilità di avere un t entro ±2.042 in questo caso, non è così G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

11 Stima intervallare Il test puntuale ci permette di accettare o rifiutare l ipotesi nulla Ma l ipotesi nulla è un singolo, specifico valore Se fossero possibili più ipotesi nulle, dovremmo calcolare più statistiche t L alternativa è usare la stima intervallare Il test viene effettuato sulla differenze fra μ e X che dovrebbe essere 0 l intervallo di confidenza perciò (se vera H 0 ) dovrebbe contenere lo 0 G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

12 Riportare i risultati Esempio Abbiamo confrontato la media del nostro campione (M=148.6, SD=10.79) con la media di una popolazione di riferimento (μ = 140). Dal confronto emerge una differenza statisticamente significativa (t(34)=4.714, p<.001), per cui è ragionevole pensare che il nostro campione abbia una media di fondamentalismo statisticamente più elevata. G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

13 SPSS: T-test campione singolo Analizza Confronta medie Test T: campione unico Scrivere un valore di media in Valore oggetto del test [attenzione al punto/virgola decimale] Infine OK G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

14 Risultati = G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

15 Come si riportano i risultati Ipotizzando di usare la frequenza cardiaca misurata sugli studenti di Sara e confrontandoli con un battito cardiaco medio di 70 Esempio Confrontando il battito cardiaco degli studenti di Sara, in situazione normale (prima e subito dopo il presunto esame) con il valore medio di 70, vediamo come le medie siano tutte significativamente superiori (p<.001) e quindi possiamo ipotizzare che la frequenza cardiaca degli studenti di Sara, già nella situazione di base è globalmente maggiore di quella normale. Esempio Il battito cardiaco degli studenti di Sara è statisticamente superiore a quello considerato normale nelle tre situazioni, misurazione di base (t(99)=7.059, p<.001), pre-esame (t(99)=7.503, p<.001) e post-esame (t(99)=5.908, p<.001) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

16 Applicabilità 1 Quando si conosce la media della popolazione (μ) ma non la deviazione standard (σ) 2 Per confrontare la media di un campione con i risultati di una precedente ricerca pubblicata (media usata come stima della media della popolazione) 3 Per confrontare un singolo soggetto (il suo punteggio diventa la stima della popolazione) con il campione Cosa si usa 1 variabile quantitativa dipendente su cui verrà calcolata la media 1 valore utilizzato come media della popolazione G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

17 Differenza di due medie Finora abbiamo visto la possibilità di verificare la media di un gruppo rispetto ad una popolazione di cui conosciamo i parametri (μ e σ) [situazione solo teorica] la media di un gruppo rispetto ad una popolazione di cui conosciamo solo il parametro della media (μ) Se non conoscessimo neppure la media della popolazione (situazione tipica in psicologia), non potremmo fare nessun tipo di inferenza Tuttavia, la maggior parte delle volte, noi non siamo interessati a sapere se un certo campione appartiene ad una certa popolazione, ma a sapere se due campioni provengono dalla stessa popolazione o da due popolazioni con parametri diversi In questo caso, l ipotesi sarebbe che la differenza delle medie sia nulla (X 1 X 2 = 0) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

18 Differenza di due medie Con lo stesso ragionamento fatto per la distribuzione campionaria delle medie, si può utilizzare la distribuzione campionaria della differenza di due medie. Se 2 campioni vengono estratti dalla stessa popolazione, la loro media dovrebbe tendere alla media della popolazione, qualunque essa sia. Se facciamo la differenza fra le due medie (ed entrambe tendono alla media della popolazione), la loro differenza dovrebbe tendere ad essere uguale a 0 (μ 1 μ 2 = 0). Dovrebbe, ma non sempre è così. G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

19 Differenza di due medie differenze di medie campionarie Media= 0.03 Distribuzione delle differenze delle medie Ma, se estraiamo molte coppie di medie, la distribuzione della differenza di queste medie graviterà attorno allo 0. La stessa cosa dovrebbe capitare se i due campioni vengono da due popolazioni diverse che hanno, però, la stessa media (μ 1 = μ 2 ) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

20 Differenza di due medie Anche in questo caso abbiamo che per N 30, la distribuzione campionaria della differenza delle medie tenderà a distribuirsi normalmente e anche in questo caso potremo calcolare un errore standard della differenza delle medie un valore piccolo dell errore standard indica una piccola oscillazione delle differenze campionarie attorno allo 0 e un valore grande indica una grossa oscillazione attorno allo 0 Se potessimo estrarre un numero infinito di coppie di campioni, potremmo calcolare l errore standard esatto Non potendo farlo, lo stimiamo a partire dalle deviazioni standard dei due campioni G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

21 Differenza di due medie Si pongono adesso due possibilità: la varianza nelle due popolazioni è uguale la varianza nelle due popolazioni è diversa se la varianza è uguale potremmo semplicemente sommare le singole varianze (in particolare se le numerosità dei due campioni sono uguali) più spesso non possiamo ipotizzare che le varianze siano uguali e, ancora più spesso, i due campioni non hanno la stessa numerosità la varianza verrà perciò calcolata usando formule diverse nei due casi G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

22 Differenza di due medie La più semplice da capire è la varianza combinata s 2 comb = (N 1 1)s (N 2 1)s 2 2 N 1 + N 2 2 la varianza di ciascun gruppo (s 2 i ) viene moltiplicata per la numerosità quindi sommate fra loro e divise per l intero campione Mettendo assieme le due formule abbiamo (N 1 1)s1 2 s X 1 X 2 = + (N 2 1)s2 2 ( ) N 1 + N 2 2 N 1 N 2 G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

23 Differenza di due medie: test Il test sulla differenza delle medie si baserà sulla formula di z, ma produrrà una statistica t t = (X 1 X 2 ) (μ 1 μ 2 ) s X 1 X 2 Anche se è teoricamente possibile ipotizzare che la differenza di due medie corrisponda ad un certo valore (ad es. 5), la maggior parte delle volte si ipotizzerà che la differenza delle medie sia nulla; in questo caso μ 1 μ 2 = 0 e la formula si riduce alla sola differenze delle medie dei campioni In ogni caso, la statistica t calcolata avrà gradi di libertà pari a (N 1 1) + (N 2 1) = N 1 + N 2 2 G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

24 Test della differenza delle medie Conosciamo: M 1, M 2, s 1 e s 2 allora poniamo: H 0 : μ 1 = μ 2 H 1 : μ 1 μ 2 (oppure > oppure <) scegliamo α e troviamo il t critico applichiamo la formula se t M1 M 2 < t c (in valore assoluto) accetto H 0 se maggiore (in valore assoluto), rifiuto H 0 (e accetto quindi H 1 ) oppure confrontiamo direttamente P(t) con α t M1 M 2 = (N 1 1)s 2 1 +(N 2 1)s 2 2 N 1 +N 2 2 M 1 M 2 ( ) N1 N2 con gdl = N 1 + N 2 2 G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

25 Test della differenza delle medie Abbiamo misurato l ortodossia in un campione di Testimoni di Geova e ci chiediamo se vi è differenza fra maschi (N=23) e femmine (N=12) 14, , 5 = 1, facciamo le due ipotesi, nulla e alternativa H 1 : μ m μ f con α =.05 bidirezionale il t critico con gdl = = 33 è t c = 2.04 applichiamo la formula a mano o tramite software G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

26 Test della differenza delle medie t = 1.63 (rosso) α =5% (bi) t c = 2.04 (nero) Accetto H 0 perché t < t c t cade nell area di accettazione di H 0 (verde) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

27 Due approcci all inferenza puntuale 1 Uso delle tavole per trovare un valore critico Si applicano le formule e si trova la statistica (z o t) Si decide un livello α e si cerca un valore critico sulle tavole (eventualmente usando i gdl) Confrontando la statistica trovata con il valore critico, accettiamo o rifiutiamo l ipotesi nulla v t < v c accetto H 0 2 Calcolo diretto della probabilità Si applicano le formule e si trova la statistica (z o t) Usando la distribuzione di probabilità di quella statistica si calcola direttamente la probabilità associata Confrontando la probabilità trovata con l α scelto, accettiamo o rifiutiamo l ipotesi nulla P(v t ) > α accetto H 0 G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

28 Stima intervallare Anche per la differenza delle medie, possiamo calcolare un intervallo di confidenza, sempre usando il valore critico di t al 5% o all 1% per avere intervalli di fiducia pari al 95% o al 99% Applicandolo all esempio dei Testimoni di Geova: Poiché l intervallo include anche il valore 0 (H 0 : μ 1 μ 2 = 0) corrispondente alla nostra ipotesi nulla, la accettarla come vera. G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

29 Assunti del t-test 1 Le misure della variabile dipendente di ciascun gruppo a) sono indipendenti tra di loro b) sono indipendenti dall altro gruppo 2 La variabile dipendente si distribuisce normalmente 3 Le varianze dei due gruppi sono uguali La condizione 2 può essere ignorata, perché il test t non è molto sensibile alle violazioni di normalità La condizione 3 può essere ignorata se i due campioni hanno uguale numerosità; il test t, in questo caso, non distorce troppo e si può usare la distribuzione di t senza problemi G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

30 Numerosità diverse Se i due campioni non hanno uguale numerosità Si può usare anche con campioni con N diverse (ignorando assunti 2 e 3) Si può usare se è vero l assunto di normalità (ignorando ass. 3) I 2 gruppi possono essere considerati uguali se la N del campione più grande non è più di una 1 volta e mezzo di quello più piccolo (es. 150 vs 100) una soluzione è di ridurre il campione più numeroso ed equiparare le numerosità (ad es. selezione casuale di un sottocampione) Meglio utilizzare una stima robusta (test di Welch) o con bootstrap Usare sempre il test di Welch anziché il t-test (v. più avanti) che usa la stima di varianza separata, ovvero il test t diventa t = X 1 X 2 s 2 1 N 1 + s2 2 N 2 G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

31 Assunti del t-test Se la variabile dipendente NON si distribuisce normalmente: Con campioni con N moderate o grandi ( 30) non ci sono problemi Se N molto piccole (vicine a 7-10) usare il test di Wilkoxon Una violazione dell asimmetria è più grave di quella della curtosi Provare a sottoporre la variabile a trasformazioni che mantengono la linearità, ma cambiano la distribuzione (le vedremo nel Trattamento dei dati) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

32 Inferenza con programmi statistici Nell uso normale, sono i computer a fare i conti per il confronto di medie: t di Student (o T-Test) per campioni indipendenti. Le formule usate sono quelle indicate in precedenza e prevedono una formula che ipotizza che i campioni abbiano varianza uguale (varianza combinata, slide 22) un altra formula che ipotizza che abbiano varianza diversa (Varianze separate, formula di Welch slide 30) Viene applicato un test per l omogeneità delle varianze (test di Levene) e in base ai risultati si sceglie il test appropriato G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

33 Inferenza con programmi statistici Il test di Levene è basato sul rapporto delle due varianze: se sono simili tenderà a 1 al test è associato un valore di probabilità (Sig.) Se Levene non è significativo (Sig. >.05) allora si legge la riga corrispondente a Varianze uguali presunte Se Levene è significativo (Sig. <=.05) allora si legge la riga corrispondente a Varianze uguali non presunte (che utilizza la stima robusta di Welch) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

34 SPSS: 2 campioni indipendenti Analizza Confronta medie Test T: campioni indipendenti Trascinare una o più variabile dipendente (quantitativa) in Variabili oggetto del test Trascinare una variabile qualitativa (con 2 o più valori possibili) in Variabile di raggruppamento Premere Definisci gruppi e inserire i due valori della qualitativa da usare. Quindi Infine OK Continua G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

35 Esempio in SPSS - Medie Pagina 1 - Medie e deviazioni standard suddivise per genere Religiosità Genere N Mean SD SE Mean Intrinseca Maschio ,24 5,82 0,46 Femmina ,60 5,52 0,41 Estrinseca sociale Maschio 160 5,79 3,09 0,24 Femmina 179 6,07 2,94 0,22 Estrinseca personale Maschio 160 9,46 3,52 0,28 Femmina ,89 2,98 0,22 Dalle medie possiamo vedere ( a naso ) che non ci sono grosse differenze fra i sessi nelle prime due variabili. Forse, nell ultima c è una differenza. G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

36 Esempio in SPSS: risultati t indipendente Levene s Test t-test F Sig. t df Sig. (2-tailed) Orientamento Eq 0,816 0,367-0, ,553 Intrinseco Not -0, ,157 0,554 Estrinseco Eq 1,146 0,285-0, ,395 sociale Not -0, ,503 0,396 Estrinseco Eqa 8,847 0,003-4, ,000 personale Not -4, ,273 0,000 Eq=Varianze uguali Not=Varianze diverse Il test di Levene ci dice se i due gruppi A questo punto possiamo leggere e hanno la stessa varianza (F vicina a 1, con interpretare l esatto t e confrontare la Sig superiore ad α) oppure no (F molto probabilità associata (Sig) a quel t, con grande, con Sig inferiore ad α). quei gradi di libertà (df) direttamente con l α scelto. G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

37 Riportare i risultati Esempio Per quanto riguarda l orientamento intrinseco e quello estrinseco sociale non sembrano esserci effetti del genere (rispettivamente t(337)=-.594, p=.553, t(337)=-,592, p=.395) in quanto è abbastanza probabile che le medie siano uguali fra loro. Al contrario, per quanto riguarda la religiosità estrinseca personale, il gruppo femminile mostra una media (10.89) più alta del gruppo maschile (9.46). La differenza è statisticamente significativa t(313,27)=-4.013, p <.001. G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

38 Applicabilità Per confrontare la media di una variabile fra due gruppi Cosa si usa 1 variabile qualitativa (indipendente) che viene usata per suddividere il campione in 2 gruppi 1 variabile quantitativa (dipendente) su cui vengono calcolate le media (una per ciascun gruppo) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

39 Effect size (Ampiezza dell effetto) Tramite il test della differenza delle medie (t-test) abbiamo visto se due medie sono diverse ovvero se i campioni su cui le medie sono state calcolate provengono da popolazioni con parametri statistici uguali o diversi questa informazione però è solamente vero/falso: o c è differenza oppure no e l eventuale differenza delle medie va interpretata come relativa se la religiosità estrinseca personale è diversa in base al genere e vediamo che la media dei maschi è minore di quella delle femmine non possiamo interpretare nulla di più della diversità. G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

40 Effect size (Ampiezza dell effetto) L effect size indica invece di quanto due medie differiscono fra loro e se l ampiezza dell effetto trovato è piccolo, medio o grande Cohen ha proposto una formula generica (teorica) simile ad una z: d = μ 1 μ 2 σ Questa formula suggeriva di standardizzare la differenza fra le due medie e ha dato origine a delle formule chiamate genericamente d (in inglese: d-family) Un altro approccio è quello della correlazione, che funziona nello stesso modo (r-family) In entrambi i casi, indica quanto è grande l effetto studiato G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

41 t-test: Ampiezza dell effetto come d Ci sono diverse formule per calcolare la d Una formula per il t-test (per campioni indipendenti) è stata proposta da Hedge, usando la varianza combinata: g = X 1 X 2 (N1 1)s 2 1 +(N 2 1)s 2 2 N 1 +N 2 2 Dal momento che sia g sia t usano la varianza combinata, conoscendo le numerosità e il valore di t, si può calcolare g anche come: g = t N1 N 2 N 1 +N 2 = t N 1 + N 2 N 1 N 2 G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

42 Ampiezza dell effetto: interpretazione La g (di Hedge) o d (di Cohen) dovrebbe oscillare fra 0 e 1, ma spesso supera il valore 1 Cohen propose una interpretazione generica di d che viene tutt ora utilizzata d =.20, effetto piccolo d =.50, effetto medio d =.80, effetto grande in letteratura si trovano d superiori a 1 che vengono generalmente considerati giganti (huge) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

43 t-test: Ampiezza dell effetto come r L ampiezza dell effetto si può anche esprimere in termini di correlazione, usando solo il valore di t e i gradi di libertà: t r = 2 t 2 + gl L interpretazione è pressapoco la stessa della correlazione: Valore di r Ampiezza dell effetto.10 Piccola.30 Media.50 Grande.70 Molto grande / Gigante G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

44 Esempio di uso di d Primo Secondo Test t M s M s p d Fondamentalismo 75,35 32,03 81,7 31, Intrinseco 21,37 5,41 23,4 5,66 < Estrinseco 15,94 5,29 16,1 5,21 n.s. Estrinseco Personale 9,45 3,12 10,21 3, Estrinseco Sociale 6,45 3,13 5,94 3,01 n.s..17 Esempio I risultati del nostro campione sono stati confrontati con quelli di un campione italiano precedente. Attraverso il test t osserviamo che vi sono tre variabili statisticamente diverse nei due campioni. Tuttavia le differenze riscontrate sono minime, infatti l effect size più elevato è di solo.36, quindi l ampiezza degli effetti sono tutte piccole. Questo ci permette affermare che potrebbe esiste comunque una somiglianza tra i 2 campioni italiani, la cui diversità potrebbe anche essere casuale. G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

45 Confronti dipendenti o appaiati Alcune volte può capitare di confrontare fra loro due variabili misurate sullo stesso campione (ad es. situazioni prima/dopo) Oppure capita di lavorare con campioni appaiati (due campioni in cui i casi sono simili a coppie [moglie-marito] oppure sono stati appaiati a posteriori) Si può usare una versione del t-test che si basa sulle differenze fra i punteggi dei singoli casi La differenza sostanziale è che si usa la media delle differenze D i = (X 1 X 2 )/N anziché la differenza delle medie X 1 X 2 si fa poi riferimento alla distribuzione campionaria della media delle differenze G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

46 Confronti dipendenti o appaiati La distribuzione campionaria della media delle differenze si approssima a una t con gl=n-1 dove N equivale al numero di coppie appaiate per la statistica si usa D i = X i1 X i2 l ipotesi nulla è che μ D = 0 la statistica puntuale si calcola con con df = N 1 t = D μ D = sdn 2 D N D 2 D 2 ( N ) (N 1)N G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

47 SPSS: Campioni appaiati Analizza Confronta medie Test T: campioni appaiati In Variabili appaiate bisogna inserire due variabili quantitative che verranno confrontate fra loro a coppie. Infine OK G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

48 SPSS: Campioni appaiati Per ogni coppia di variabili c è una sola riga di statistiche G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

49 t-test: Ampiezza dell effetto la formula derivata dalla d di Cohen è basata sulle differenze: d = X 1 X 2 s D = M D s D Anche con il t-test appaiato si può usare la formula t r = 2 t 2 + gl Le interpretazioni sono le stesse date in precedenza effectsize Tipo Piccolo Medio Grande Molto grande d-family d, g r-family r G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

50 t-test: Ampiezza dell effetto Calcolare a mano l effect size è facile. Partiamo dalla tabella dei risultati: d = M D s D d 1 = = d 2 = = G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

51 Applicabilità Per confrontare la media di due variabili misurate in uno stesso gruppo Cosa si usa 2 variabili quantitative (entrambi dipendenti) su cui vengono calcolate le media (una per ciascun gruppo) il motivo per cui la variabile è stata misurata due volte, è la variabile indipendente G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52

52 t-test: Ampiezza dell effetto per campione unico Anche per il t-test a campione singolo è facile calcolare a mano l effect size. Partiamo dalla tabella dei risultati (slide 10): d = t N = = G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 52