LA LEGGE DI BENFORD: CONNESSIONE CON I NUMERI DI FIBONACCI E UN APPLICAZIONE CON LE TARGHE AUTOMOBILISTICHE

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1 Pagina 1 di 21 LA LEGGE DI BENFORD: CONNESSIONE CON I NUMERI DI FIBONACCI E UN APPLICAZIONE CON LE TARGHE AUTOMOBILISTICHE Ing. Pier Franz Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto Abstract: In this paper we show s connection between Benford s law and Fibonacci numbers. Also we study an application with license plates of Italian and German car.

2 Pagina 2 di 21 Indice: 1. LEGGE DI BENFORD E CONNESSIONE CON I NUMERI DI FIBONACCI ESEMPIO SULLE TARGHE AUTOMOBILISTICHE APPLICAZIONE SULLE TARGHE ITALIANE APPLICAZIONE SULLE TARGHE TEDESCHE CONCLUSIONI RIFERIMENTI... 21

3 Pagina 3 di LEGGE DI BENFORD E CONNESSIONE CON I NUMERI DI FIBONACCI In questo breve lavoro mostreremo una connessione tra la legge statistica di Benford ( o delle cifre iniziali) e i numeri di Fibonacci, con la possibilità, sia pure ancora soltanto teorica, di eventuali algoritmi per analizzare alcuni bigdata per estrarne informazioni utili ad eventuali previsioni e applicazioni. Qualcosa di simile, insomma, agli algoritmi hft ((high frequency trading) anche qui sono coinvolti i numeri di Fibonacci) per prevedere e sfruttare al meglio l andamento del mercato azionario da parte degli addetti ai lavori (brokers, ecc.) Recentemente abbiamo letto ( sulla nuova Garzantina di Matematica (Garzanti Ed.), a pag la voce Cifre iniziali dei numeri - (Frank Benford, 1938) e abbiamo scoperto una connessione con i numeri di Fibonacci, che esporremo in questo breve lavoro. Dalla relativa voce di Wikipedia riportiamo parzialmente : Legge di Benford Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. Vai a: navigazione, ricerca

4 Pagina 4 di 21 La distribuzione di Benford meglio nota come legge di Benford o legge della prima cifra è una distribuzione di probabilità che descrive la probabilità che un numero presente in molte raccolte di dati reali (p.es. popolazione dei comuni, quotazione delle azioni, costanti fisiche o matematiche, numero di strade esistenti nelle località) cominci con una data cifra, ad esempio "1", che secondo questa variabile casuale discreta dovrebbe essere nel 30,1% dei casi la prima cifra. La funzione di probabilità è data da ( n) = ( n + 1) log ( n) = log ( 1 1 n) P log / Una delle estensioni della legge di Benford, prende in considerazione la coppia delle prime due cifre (da 10 a 99 dunque), lasciando invariata la formula, ma semplicemente modificando l'intervallo di validità da [1,9] a [10,99]. Una breve e intuitiva spiegazione del perché in "natura" accade ciò, e che quindi la cifra 1 si presenti con maggior frequenza, poi la cifra 2 e così via, è dato dal fatto che noi contiamo a iniziare dal numero 1 in avanti sino al 9. Se proviamo a pensare alle cifre da 1 a 9 è chiaro che abbiamo le stesse probabilità che una cifra inizi con 1 o 2 o 3 o 9. Se, però, prendiamo già i numeri da 1 a 20 ecco che da 11 a 19 ho molti più numeri che iniziano con la cifra 1. Se prendiamo quelli da prima cifra prime due cifre n P(x=n) n P(x=n) 1 30,1% 10 4,1% 2 17,6% 11 3,8% 3 12,5% 12 3,5% 4 9,7% 13 3,2% 5 7,9% 14 3,0% 6 6,7% ,8% ecc. 8 5,1% ,6% 99 0,4% Diagramma a torta della distribuzione della prima cifra

5 Pagina 5 di 21 1 a 30 ne ho molti che iniziano con 1 ma anche con 2. Come si può facilmente notare, per avere numeri che inizino con 9, ad es, devo andare molto in là con i numeri e quindi aumento anche la quantità di quelli che inizieranno con 1 o con 2 e quindi con cifre basse, per cui in una distribuzione di numeri legati a superfici, popolazioni, sarà più alta la probabilità di averne che inizino con 1 piuttosto che con 9. La cosa comunque singolare è che Benford riuscì a far vedere che, per molte distribuzioni, la probabilità che un numero inizi con una certa cifra tra 1 e 9 è sempre la stessa (30,1% per la cifra 1, 17,6% per la cifra 2, 4,6% per la cifra 9)... Connessione con il numero e : Funzione di probabilità La funzione di probabilità è ( x = n) = log ( n + 1) ( n) P 10 log10 Il valore atteso è E(X)=µ=3,44, la varianza pari a σ²=6,06 e l'asimmetria =0,79, nel caso che x debba essere compreso tra 1 e 9 (inclusi). Al di là delle spiegazioni "comuni", la v.c. di Benford può essere costruita facendo ricorso a ζ la funzione zeta di Riemann (vedasi pure variabile casuale Zeta). Invarianza di scala[modifica modifica wikitesto] Se un fenomeno segue la legge di Benford, allora moltiplicando tutti i valori per un numero prefissato, si ottiene una nuova raccolta di valori che seguono a loro volta la legge di Benford. Esempio: se le quotazioni espresse in Lire delle azioni quotate in borsa seguono la legge di Benford, allora le stesse quotazioni espresse in Euro seguono anch'esse la legge di Benford. L'invarianza di scala richiede che

6 Pagina 6 di 21 ( kx) f ( k) P( x) P = = Essendo richiesto che P( x) dx 1 e che anche P( kx) dev'essere del tipo 1/x. Effettivamente log x e ( x) = per 0,1 x 1 P 10 k dx = k 1 si ricava che la forma è una distribuzione continua di probabilità che produce valori casuali le cui prime cifre rispettano la legge di Benford..... Ma noi abbiamo trovato, come prima accennato, una nuova connessione anche con i numeri di Fibonacci. Prendiamo la tabella iniziale: TAB. 1 Se prendiamo i numeri della seconda colonna e li scriviamo in orizzontale e solo la

7 Pagina 7 di 21 loro parte intera, abbiamo: , con una prima e più debole connessione con i numeri di Fibonacci: = 5 = 5 4 3; ma se scriviamo sotto le loro differenze successive, e consecutive abbiamo, in rosso, in rosso, per esempio 30-17= 13, ecc: corrispondenti a numeri di Fibonacci, tranne il numero 8 tra 5 e 13 Scriviamo invece le differenze alternate, per es = 18, 17-9 = 8, ecc. avremo ora la serie di differenze Ora recuperiamo il numero 8, ma perdiamo il 13. Però lo recuperiamo, sia pure parzialmente, poiché 18 è circa la media tra 13 e 21 = 17, cosa che si verifica spesso in altri fenomeni naturali o matematici che coinvolgono i numeri di Fibonacci. I numeri di Fibonacci più piccoli sono ovviamente relativi alle cifre con minori frequenze percentuali, mentre i più grandi, 8 e 18 come circa la media tra 13 e

8 Pagina 8 di 21 21, sono relativi rispettivamente alle cifre 2 e 1 Le due tabelle seguenti rendono meglio l idea Tabella 1 Numeri interi di Benford Numeri interi di Benford slittati di un posto Tabella 2 Numeri interi di Benford Numeri interi di Benford slittati di due posti Differenze = Numeri di Fibonacci tranne l 8 Differenze = Numeri di Fibonacci tranne l = (13+21)/ Se ora invece prendiamo i piccoli numeri della tabella di Wikipedia (ultima

9 Pagina 9 di 21 colonna, parzialmente), relativi alla seconda cifra notiamo un altra piccola connessione di Fibonacci: i rapporti successivi sono mediamente lievemente superiori alla 2^3 -esima radice di 1,618 = numero aureo Tabella 3 Numeri di Benford Relativi alla seconda cifra Rapporti successivi 2^3 -esima radice di 1,618 1,0619 valore reale 4,1 4,1/3,8 = 1,078 1,0619 3,8 3,8/3,5= 1,085 1,0619 3,5 3,5/3,2= 1,093 1,0619 3,2 3,2/3,0 1,066 1,0619 La prima connessione con i numeri di Fibonacci tramite le differenze è evidentissima (la seconda un po meno). Ricordiamo che il numero aureo Φ = 1, è connesso con π e con i modi che corrispondono alle vibrazioni fisiche delle stringhe bosoniche, tramite le seguenti due formule: 3 = 2Φ R( q) exp 5 5 f ( t) dt 5 4 / f ( t 1/ ) t q 0 5 π, = 24 log π.

10 Pagina 10 di 21 che possono essere connesse nell unica formula: π = 24 log 142 π = 2Φ R( q) exp f ( t) dt 5 4 / f ( t 1/ ) t q 0 5 Con tale nuova nostra connessione, la scoperta di Benford, già nota in statistica e già usata per qualche applicazione, specialmente in campo fiscale, vedi Nota 3, potrebbe essere oggetto di altre possibili applicazioni pratiche, per esempio nel campo dei bigdata in ogni campo, per estrarre, dalla loro grande massa di informazioni, solo quelle più interessanti per fare previsioni utili sull andamento dei relativi fenomeni naturali ( per es. clima, epidemie, ecc. ecc.). Per esempio, già con la serie di Fibonacci, e dei relativi e potenti algoritmi, gli hft (high frequency trading), si è già in grado di prevedere in modo attendibile l andamento azionario e di sfruttarlo per speculazioni finanziarie, acquistando o vendendo azioni al momento opportuno, con relativi e lauti guadagni. Un nostro lavoro teorico in tal senso, già sul sito

11 Pagina 11 di 21 è Finanza aurea. Comunque, una maggiore conoscenza di questo argomento statistico ( legge di Benford) e, possibilmente, anche della nostra modesta correlazione con la serie di Fibonacci, potrebbe essere molto utile ai ricercatori sui bigdata, già richiestissimi e pagatissimi essendo ancora molto rari (ma già si stanno preparando appositi stage universitari), per poter spremere dai bigdata che essi studieranno in futuro, le informazioni necessarie per conoscere e prevedere meglio l andamento futuro del fenomeno studiato, sia esso naturale (per es. clima) o artificiale ( es. mercato azionario). Nota 3 sulla applicazione della legge di Benford in campo fiscale: La recente Garzantina di matematica (Garzanti), riporta a pag la voce Cifre iniziali dei numeri(frank Benford, 1938), con una breve nota finale, che riportiamo testualmente: La legge di Benford non costituisce solo un intrigante curiosità matematica, ma si presta anche a delle interessanti applicazioni pratiche. Per esempio, negli USA viene utilizzata per scovare gli evasori fiscali: tutte le dichiarazioni di reddito I cui importi non presentano un adeguata distribuzione delle prime cifre vengono considerate sospette e sottoposte ad un controllo più accurato: Si narra che, in un accertamento del genere, fosse incappato anche Clinton, prima di diventare presidente degli USA.

12 Pagina 12 di 21 Nostro commento. Ecco un esempio di buona applicazione della legge di Benford in campo fiscale, applicazione che potrebbe essere ancora migliorata, possibilmente e sperabilmente, anche con la nostra relazione con Fibonacci. E così pure per altre possibili applicazioni statistiche in altri campi. Ben 76 anni dopo l intuizione di Benford, la sua legge statistica è stata migliorata con la nostra osservazione, che la connette chiaramente ai numeri di Fibonacci, e con nuovi e possibili risvolti applicativi. Una volta tanto, nessuno si rivolta nella tomba, poichè pensiamo che a Benford la nostra connessione sarebbe proprio piaciuta.

13 Pagina 13 di ESEMPIO SULLE TARGHE AUTOMOBILISTICHE Vediamo come si comporta la legge di Benford o legge della prima cifra, considerando l esempio delle targhe automobilistiche e precisamente facciamo un confronto tra quelle italiane e quelle tedesche per sapere qual è il metodo migliore. 2.1 APPLICAZIONE SULLE TARGHE ITALIANE Dal 1994 la targa automobilistica italiana è stata rivoluzionata con un nuovo sistema di numerazione: scompare la sigla della provincia e la targa si compone di una combinazione di sette caratteri alfanumerici costituiti da lettere nelle prime due e nelle ultime due posizioni e numeri nelle tre posizioni centrali (Esempio: AB123CD). L'ordine è seriale per i tre numeri e poi per le quattro lettere, cosicché la targa AA999AA segue la targa AA998AA e precede la targa AA000AB. Vengono utilizzate in totale 22 lettere (quelle dell'alfabeto inglese ad esclusione di I, O, Q e U) che formerebbero un totale di 22^4*1000 = possibili combinazioni. Rappresentazione schematica: AB 123 CD Le targhe vengono assegnate alle province a lotti, seguendo indicativamente la frequenza di immatricolazioni. In virtù della distribuzione a lotti delle targhe anche questo sistema di numerazione consente di risalire alla provincia di prima immatricolazione, sempre che non vi siano stati "prestiti" fra le province per sopperire a ritardi nelle consegne o a consumi anomali.

14 Pagina 14 di 21 In questo caso la prima cifra è una lettera, che varia dalla lettera A alla lettera Z, e quindi per poter applicare la legge di Benford si deve introdurre un sistema numerico a base B=23. Dobbiamo far corrispondere alla lettera A la cifra 1, alla lettera B la cifra 2 e così via fino all ultima lettera Z la cifra 22. La probabilità della prima "lettera o cifra corrispondente" diventa ( 1 1/ d )/ ln B ln + ln(1 + 1/d)/ln 23 dove d indica la prima "lettera o cifra corrispondente" e ln il logaritmo naturale di base e (vale a dire ln=log e )

15 Pagina 15 di 21 Avremo i seguenti valori: TAB. 2 1! cifra Probabilità lettera A 1 22,1 B 2 12,9 C 3 9,2 D 4 7,1 E 5 5,8 F 6 4,9 G 7 4,3 H 8 3,8 J 9 3,4 K 10 3,0 L 11 2,8 M 12 2,6 N 13 2,4 P 14 2,2 R 15 2,1 S 16 1,9 T 17 1,8 V 18 1,7 W 19 1,6 X 20 1,6 Y 21 1,5 Z 22 1,4

16 Pagina 16 di APPLICAZIONE SULLE TARGHE TEDESCHE Le targhe automobilistiche tedesche sono formate da una, due o tre lettere iniziali, seguite da un trattino, poi vengono una o due lettere e infine ancora una, due, tre o quattro cifre. I caratteri sono di colore nero su fondo bianco. Le lettere iniziali corrispondono al circondario rurale o città extracircondariale in cui il veicolo è stato registrato, mentre le altre combinazioni di lettere o numeri sono del tutto casuali, non identificano alcuna appartenenza ad una località (una lettera in genere per area rurale, due lettere per area urbana). Le maggiori città hanno una sola lettera iniziale identificativa della località, mentre le città più piccole possono avere due o tre lettere identificative. Analizziamo bene le combinazioni che ne derivano in quanto si tratta di un sitema mobile e non fisso come quello italiano. Vengono utilizzate in totale: Le 3 lettere iniziali coprono in questo momento 383 circondari Una o 2 lettere che seguono coprono ^2 = 702 combinazioni Una o due o tre o quattro cifre coprono = 9999 combinazioni Infatti: Gruppo a: 1 lettera, 1 3 cifre, da A 1 a Z = combinazioni

17 Pagina 17 di 21 Gruppo b: 2 lettere, 1 2 cifre, da AA 1 a ZZ = combinazioni Gruppo c: 2 lettere, 3 cifre, da AA 100 a ZZ = combinazioni Gruppe d: 1 lettera, 4 cifre, da A 1000 a Z = combinazioni Gruppo e: 2 lettere, 4 cifre, da AA 1000 a ZZ = combinazioni In totale avremo 383*702*9.999 = possibili combinazioni. La prima cifra da considerare è in questo caso la prima lettera dopo il circondario e in questo caso abbiamo 26 lettere. Applicando la legge di Benford la probabilità della prima "lettera o cifra corrispondente" diventa ( 1 1/ d )/ ln B ln + ln(1 + 1/d)/ln 27 dove d indica la prima "lettera o cifra corrispondente"

18 Pagina 18 di 21 Avremo i seguenti valori: TAB. 3 1! cifra Probabilità lettera A 1 21,0 B 2 12,3 C 3 8,7 D 4 6,8 E 5 5,5 F 6 4,7 G 7 4,1 H 8 3,6 I 9 3,2 J 10 2,9 K 11 2,6 L 12 2,4 M 13 2,2 N 14 2,1 O 15 2,0 P 16 1,8 Q 17 1,7 R 18 1,6 S 19 1,6 T 20 1,5 U 21 1,4 V 22 1,3 W 23 1,3 X 24 1,2 Y 25 1,2 Z 26 1,1

19 Pagina 19 di CONCLUSIONI Il sistema fisso delle targhe italiane si rivela decisamente peggiore di quello mobile delle targhe tedesche. In primo luogo si hanno circa 12 volte più combinazioni teoriche possibili. Teoriche perché alcune possibilità non sono permesse né nel sistema italiano né in quello tedesco. Per la legge di Benford il sistema italiano avrebbe il 22,1% di probabilità (vedi TAB. 2) di iniziare con la prima lettera A ma purtroppo le targhe vengono distribuite non in maniera sequenziale ma a gruppi o lotti fissi alle diverse provincie italiane in maniera del tutto casuale. Quindi purtroppo la legge di Benford non ci può, in alcun modo, aiutare per individuare più facilmente le targhe. Invece per il sistema tedesco la legge di Benford ci è di grande aiuto. Innanzitutto la prima lettera, dopo il circondario che aiuta a capire la provenienza dell auto, ha una probabilità del 21% di essere la lettera A (vedi TAB. 3) Anche la prima cifra numerica ha la consueta probabilità del 30,1 % di essere il numero 1 (vedi TAB. 1). E quindi molto probabile che una qualsiasi targa di un qualsiasi circondario, di cui peraltro già conosciamo le prime 1-3 lettere, dopo inizi con: <circondario: 1-3 lettere> Ax 1xxxx La probabilità che si verifichi la combinazione congiunta della lettera A con la cifra 1 è circa del 6,3%, che è già molto mentre prese singolarmente la lettera A e lacifra 1 abbiamo visto che sono rispettivamente del 21% e del 30,1%. Inoltre nel sistema tedesco sappiamo anche che nel proprio luogo di abitazione circolano, con grande probabilità, automobili di quel luogo, così evitiamo di dover ricordare a memoria lettere diverse all inizio della targa come capita invece in quelle italiane. Abbiamo quindi che potendo applicare la legge di Benford nelle targhe tedesche e non

20 Pagina 20 di 21 in quelle italiane si hanno una serie di vantaggi non indifferente. Se dobbiamo ricordarci una targa è molto più facile il sistema tedesco dove è anche permesso speculare sulle prime lettere o cifre che dovrebbero comparire con maggiore frequenza.

21 Pagina 21 di 21 1) Wikipedia, Legge di Benford 2) Finanza aurea, file : 3. RIFERIMENTI 3) Garzantina di matematica, Ed. Garzanti