Progettazione Funzionale di Sistemi Meccanici e Meccatronici

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1 Università degi studi di Bergamo Dipartimento di Ingegneria e Scienze Applicate Progettazione Funzionale di Sistemi Meccanici e Meccatronici Prof. Paolo Righettini Progetto del sistema di movimentazione di un anta 1 Obiettivi richiesti Questa esercitazione prevede la sintesi del sistema di movimentazione dell anta di chiusura di un vano. Il movimento richiesto dall anta in questione è di rototraslazione nel piano, in modo che si sollevi arretrando e contemporaneamente ruoti in senso antiorario di circa 80 gradi. Il movimento dell anta è descritto da alcune posizione successive raggiunte da un suo punto caratteristico, e dalle rotazioni che l anta deve compiere, a partire dalla posizione iniziale, per il raggiungimento dei punti citati. La figura 1 rappresenta le posizioni successive che il portello deve raggiungere. L anta parte dalla posizione verticale e via via ruota. Lo spigolo in alto a sinistra si sposta seguo una linea retta. La tabella seguente riposta i dati del movimento richiesto. L angolo θ rappresenta la rotazione richiesta all anta a partire dalla posizione iniziale per il raggiungimento della corrispondente posizione. L anta ha un altezza di 50mm. punto x y θ

2 2 Progetto del sistema di movimentazione anta chiusura vano Traccia di soluzione Figura 1: Movimenti successivi richiesti all anta Il sistema articolato da sintetizzare è un quadrilatero generatore di moto rigido piano. I dati di moto richiesti sono quindi lo spostamento di un punto di biella del quadrilatero da sintetizzare e le rotazioni successive che subisce la biella mentre il punto di biella si sposta dal primo punto di progetto ai successivi. Nel sistema reale dovranno essere utilizzati due sistemi articolati, fra loro uguali, uno posto ad un lato dell anta, il secondo posto sul lato opposto. La sintesi del quadrilatero generatore di moti rigidi piani può essere condotta faco riferimento alle diadi e ai dati di progetto proposti. La sintesi può essere condotta utilizzando 3 o 4 punti di precisione. Per ambedue le procedura di sintesi si può ottenere una rilevante quantità di soluzioni, tutte soddisfacenti i requisiti di progetto. Fra questo dovranno essere eliminati tutti quei meccanismi nei quali: il meccanismo, con lo stesso montaggio, non passa per i punti di precisione richiesti (questa verifica può realizzata utilizzando il modulo di analisi del quadrilatero articolato) le aste del meccanismo sono troppo lunghe rispetto ai movimenti richiesti la traiettoria del punto di riferimento dell anta si discosta eccessivamente dalla traiettoria rettilinea fissata 2.1 Programma di sintesi Il programma di sintesi deve contenere le seguenti parti: 1. calcolo delle soluzioni ottenibili per mezzo della sintesi diretta, utilizzando la sintesi per 3 o 4 punti di precisione

3 Prog. Funz. Sist. M.M θ 1 θ 3 θ ini θ 2 θ fin Figura 2: Distribuzione di Chebyshev 2. eliminazione delle soluzioni con aste di lunghezza eccessiva rispetto ai parametri di progetto 3. analisi del movimento di tutti i quadrilateri sintetizzati, impono alla biella le rotazioni di progetto. Dovranno essere scartate quelle soluzioni che non consentono lo spostamento da un punto al successivo con continuità 4. visualizzazione delle soluzioni trovate 2.2 Definizione dei punti di precisione I punti di precisione possono essere definiti utilizzando la distribuzione di Chebyshev. La figura 2 rappresenta le rotazioni da imporre per un problema a 3 punti di precisione. Fissata la rotazione complessiva dell asta, pari a θ fin θ ini, la relazione ci permette di definire gli angoli a cui fissare i punti di precisione. Gli angoli in questione sono le ascisse dei vertici del poligono rappresentato in figura. Il numero dei vertici del poligono dipe dal numero dei punti di precisione. La relazione generale per la determinazione egli angoli in questione è: ( ( )) π(2k 1) θ k = θ ini +0.5(θ fin θ ini ) 1 cos (1) Questi angoli possono essere utilizzati nella definizione dei punti di precisione fissando: 2n pt primo punto di precisione in corrispondenza dell angolo θ 1 (k=1) secondo punto di precisione in corrispondenza dell angolo θ 2 (k=2)

4 4 Progetto del sistema di movimentazione anta chiusura vano terzo punto di precisione in corrispondenza dell angolo θ 3 (k=3) rotazione dal primo punto di precisione al secondo punto di precisione θ 1 = θ 2 θ 1 rotazione dal primo punto di precisione al terzo punto di precisione θ 2 = θ 3 θ Risoluzione del problema per 4 punti di precisione La sintesi del meccanismo ottenuta impono il passaggio per quattro punti di precisione, porta alla scrittura di 3 equazioni di congruenza degli spostamenti per ciascuna diade del meccanismo. Per la diade composta dai vettori 1 e 2 risulta z 1 (e i θ 1,1 1)+z 2 (e i θ 2,1 1) = S 1 z 1 (e i θ 1,2 1)+z 2 (e i θ 2,2 1) = S 2 (2) z 1 (e i θ 1,3 1)+z 2 (e i θ 2,3 1) = S 3 Analogamente per la seconda diade. In questo sistema, nel caso in esame, sono noti gli spostamenti S i e le rotazione θ j,i. La soluzioni in z 1 e z 2 possono essere determinate impono che il determinante della matrice dei coefficienti, orlata della colonna dei termini noti, ha determinante uguale a zero: (e i θ 1,1 1) (e i θ 2,1 1) S 1 det (e i θ 1,2 1) (e i θ 2,2 1) S 2 = 0 (3) (e i θ 1,3 1) (e i θ 2,3 1) S 3 La prima colonna della matrice contiene i termini incogniti. Sviluppando il determinante lungo la prima colonna della matrice si determina la relazione fra le rotazioni θ 1,i. Si ottiene: (e i θ 1,1 1)M 1,1 +(e i θ 1,2 1)M 2,1 +(e i θ 1,3 1)M 3,1 = 0 (4) in cui M i,j rappresenta il minore complementare dell elemento i,j della matrice. Tutti i minori complementari sono noti. Con questa equazione, fissando il valore di θ 1,1, è possibile calcolare le altre due rotazioni. Le diadi che soddisfano il problema imposto si determinano al variare di θ 1,1, imposto ad arbitro. La soluzione di questa equazione complessa non lineare può essere ottenuta per via numerica utilizzando una funzione di ricerca del minimo. La soluzione è quella cercata se la funzione te a zero. Nell ambiente Matlab è possibile raggiungere questo risultato con la funzione fminsearch. X0 = [0;0]; k=1; opt = optimset( display, off, tolfun,1e-9, tolx,1e-9); sol = zeros(1,3); for da=0:pi/10:2*pi %determino la relazione fra gli angoli alpha_1, alpha_2, alpha_3 %la funzione inserita nel file quad_compat.m % impone che il determinante della matrice %sviluppato lungo la prima colonna sia nullo [X,FVAL,EXITFLAG] = fminsearch( quad_compat,x0,opt,d11,d21,d31,da); if( EXITFLAG > 0 & FVAL < 1e-3 ) %ok, trovata soluzione affinche il determinante sia nullo

5 Prog. Funz. Sist. M.M sol(k,1) = da; %alpha_1 sol(k,2) = X(1); %alpha_2 sol(k,3) = X(2); %alpha_3 disp([ funzione quad_comp num2str(fval)]); k=k+1; X0 = X; %break; else disp( soluzione non trovata ); % La funzione quad comp consente la valutazione del determinante citato. function err=quad_compat(x,d1,d2,d3,alpha1) %X: vettore con le soluzioni (2) %D1, D2, D3: minori complementari % degli elementi della prima colonna della matrice alpha2 = X(1); alpha3 = X(2); Zerr = (exp(i*alpha1)-1)*d1 + (exp(i*alpha2)-1)*d2 + (exp(i*alpha3)-1)*d3; err = abs(zerr); 3 Risultati da proporre L esercitazione dovrà portare ai seguenti risultati: scelta della migliore soluzione fra tutte quelle individuate definizione della posizione dell anta relativamente alla biella del meccanismi sintetizzato visualizzazione del movimento dell anta