Dalle funzioni paraboliche generalizzate alle definizioni di quelle canoniche e relativo software (download Guido Carolla 1

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1 Dalle funzioni araboliche generalizzate alle definizioni di quelle canoniche e relativo software (download Guido Carolla 1 Sunto. Partendo dalla arabola trigonometrica ( ) + y = si sono trovati il raggio vettore e le funzioni araboliche generalizzati, così chiamati er >1 e da questi si è otuto definire le funzioni canoniche er =1. Un software con inut e outut conclude l'argomento. Abstract. Using the trigonometric arabola ( ) y = + we defined the vector radius and the generalized arabolic functions for any >1 and from these we identified the canonical functions for =1. At the end of work, some eamles of inuts and oututs using secific software are offered. Facendo riferimento alla figura che recede, con le sole recisazioni di t = area di OPVP1, di un = +, avente er asse di simmetria l asse, il cui fuoco è coincidente con l origine degli assi e il vertice è V(/,0), si indicano con ρ ( u), sin u, cos u, tan u, cot u, sec u, csc u il raggio vettore e le sei funzioni araboliche riferiti al arametro =1, mentre gli stessi simboli sorassegnati, al ari di OP, PN = y, ON =, VT, AD, OT, OD, indicano risettivamente il raggio vettore e le funzioni chiamate generalizzati in relazione ad un arametro > 1. ( y) qualunque distanza asse Y-direttrice, di A(0,), della arabola Quindi, imostando il sistema tra l equazione di cui sora e quella della retta assante er l origine degli assi y = ( tan u), sulla quale giace il segmento OP che è il raggio vettore generalizzato, si ha: 1 Docente di Matematica e reside a r. (non troo); guidocarolla@libero.it 1

2 = y = ( y) + ( tan u) ( y) = ( ) ; cioè y = ( tan u) ( 1 ± 1+ tan u ) = ; ; ( ) ( tan u) ( ) ( 1± 1+ tan u ) che sostituiti nella seconda equazione danno y 1, =. tan u 1, =, tan u Per quanto detto sora si hanno y 1, ( 1± 1+ tan u ) = sin u =, tan u ( 1± 1+ tan u ) e cos u = 1, =, tan u con se u è nel I e IV quadrante con + se u è nel II e III quadrante. Ora, alicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OPN si ha = ( ) ( y), nella quale sostituendo il valore di ( y ) = ( ) + = ( ) = = ρ( u). OP + OP, ossiamo scrivere Quindi, a seguire, facendo alcune considerazioni, si ossono definire il raggio vettore e le sei funzioni araboliche, tutte funzioni canoniche con =1: OP ρ( u) cos u = = = = 1 = 1 cos u = ρ( u) ; PN y sin u ON cos u = = = y = sin u ; = = = = cos u ; er la similitudine dei triangoli rettangoli ONP e VOT si ha VT : OV = PN : ON, cioè sin u tan u : = sin u : cos u ; tan u =, quindi cos u VT y sin u tan u y = = = = = tan u ; cos u Imostando e risolvendo il sistema delle equazioni delle rette sulle quali giacciono i segmenti y = + y AD e OD, cioè, si hanno le coordinate del unto D y = tan u,, che con le + y + y coordinate di A(0, ) ermettono di avere AD = assaggi dà cos u AD = = cot u =, quindi + y sin u + cos u AD cot u = = = cot u ; + y y + + y + y, che con semlici

3 er la similitudine dei triangoli rettangoli ONP e VOT si ha OT OP OV : ON sec u : cos u = : cos u ; sec u = OT : =, cioè ( ) ( cos u) sec u 1 = = = = sec u ; cos u, quindi infine, utilizzando le coordinate di D di cui sora e quelle dell origine O(0, 0) si uò ottenere la y distanza OD = +, da cui con semlici assaggi si ha + y + y ( ) ( cos u) OD = = csc u =, quindi + y sin + cos u OD csc u 1 = = = csc u. + y Quanto sora esosto ermette di dire: il raggio vettore e le sei funzioni araboliche canonici, relative ad un qualunque argomento in radianti, in gradi sessagesimali o secondo il doio dell area del corrisondente settore arabolico, sono dati dai raorti dei relativi segmenti generalizzati con il arametro che è l ascissa dei unti ( y) della retta direttrice della arabola trigonometrica di equazione = +. Inoltre, si riorta a seguire il software in Qbasic, facilmente traducibile in altro linguaggio di rogrammazione. Come si evince dalla testata del listato, digitando in inut u in radianti e 1, questo ermette di calcolare l area t(u,), il raggio vettore, le funzioni araboliche generalizzati ( > 1 ) ed i raorti delle suddette funzioni con che costituiscono le definizioni del raggio vettore e delle funzioni araboliche canonici ( = 1 ). Infine, la verifica di detti risultati è ermessa con i valori sia ure arossimati calcolati con le formule canoniche. CLS REM G. CAROLLA MARZO 006 "DALLE FUNZIONI PARABOLICHE GENERALIZZATE ALLE DEFINIZIONI DI QUELLE CANONICHE" REM IL PRESENTE LISTATO DI PROGRAMMA con REM le istruzioni che seguono ermette di ottenere t(u,p),cioè il doio REM dell'area del settore arabolico che sottende u, da u in radianti e P>=1. REM Inoltre,verifica le varie definizioni del raggio vettore e delle f.., REM calcola i valori anche delle f.. generalizzate (er un P qualunque). REM INFINE, SI POSSONO COMPARARE I VALORI CALCOLATI DELL'AREA t(u,1), REM DEL RAGGIO VETTORE E DELLE DEFINIZIONI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE CON REM QUELLI ESATTI RIPORTATI IN FONDO ALL'OUTPUT. "IL PROGRAMMA VA IN OVERFLOW E PRESENTA PROBLEMI (ES. PER u=3/4(pigreca)" "(PERCIO' DIGITA ),IN QUANTO (CON ) VI E' SINPu+COSPu=0 AL DENOMINATORE)," "E SOLO QUANDO CAPITA DI DIVIDERE PER ZERO,PERTANTO SI CONSIGLIA PER L'INPUT" "DI DARE LO ZERO IN O IN NOTAZIONE ESPONENZIALE DI INFINITESIMO." "IN OUTPUT I VALORI NULLI, INFINITO E INFINITESIMO SONO IN NOTAZIONE" "ESPONENZIALE, O L'INFINITO E' CON SETTE CIFRE. " 3

4 "************************************************************************" "*SE u E' NEL I O IV QUADRANTE IL PRIMO DEI DUE NUMERI DARA' LA RISPOSTA*" "*ESATTA, SE u E' NEL II O III QUADRANTE SARA' ESATTO IL SECONDO NUMERO.*" "************************************************************************" INPUT "u è angolo del I o IV quadrante? Se sì DIGITA 1, se u è del II o III DIGITA "; V IF V = 1 THEN 10 ELSE INPUT " u="; u INPUT "DIGITA IL VALORE DI P"; P IF u >= 0 AND u < # THEN 0 IF u > AND u <= # THEN 30 R1 = P ^ + ( * P ^ * (1 - SQR(1 + (TAN(u)) ^ )) / ((TAN(u)) ^ )) GOTO 40 0 R1 = P ^ + ( * P ^ * (1 - SQR(1 + (TAN(u)) ^ )) / ((TAN(u)) ^ )) GOTO R1 = P ^ + ( * P ^ * (1 - SQR(1 + (TAN(u)) ^ )) / ((TAN(u)) ^ )) "TAN(u)="; TAN(u); "R1="; R1 40 t = -(SQR(R1) / * (1 + R1 / 3)): "t(u,p)="; "t("; u; ","; P; ")="; t GOTO t = SQR(R1) / * (1 + R1 / 3): "t(u,p)="; "t("; u; ","; P; ")="; t GOTO INPUT " u="; u INPUT "DIGITA IL VALORE DI P"; P IF u >= # AND u < # THEN 65 IF u >= # OR u <= THEN 75 R1 = P ^ + ( * P ^ * (1 + SQR(1 + (TAN(u)) ^ )) / ((TAN(u)) ^ )) GOTO R1 = P ^ + ( * P ^ * (1 + SQR(1 + (TAN(u)) ^ )) / ((TAN(u)) ^ )) GOTO R1 = P ^ + ( * P ^ * (1 + SQR(1 + (TAN(u)) ^ )) / ((TAN(u)) ^ )) "TAN(u)="; TAN(u); "R1="; R1 85 t = -(SQR(R1) / * (1 + R1 / 3)): "t(u,p)="; "t("; u; ","; P; ")="; t GOTO t = SQR(R1) / * (1 + R1 / 3): "t(u,p)="; "t("; u; ","; P; ")="; t GOTO 98 REM sotto + se u II e III quadrante 98 COSP1 = -P * (1 - SQR(1 + (TAN(u)) ^ )) / ((TAN(u)) ^ ) COSP = -P * (1 + SQR(1 + (TAN(u)) ^ )) / ((TAN(u)) ^ ) SINP1 = COSP1 * TAN(u) SINP = COSP * TAN(u) "SINP(u,P)="; SINP1; SINP; "COSP(u,P)="; COSP1; COSP "SINP/P="; SINP1 / P; SINP / P; "COSP/P="; COSP1 / P; COSP / P "SI RIPORTA IL VALORE DI P DIGITATO, CIOE'"; P RO1 = P - COSP1: RO = P - COSP: "RO(u,P)="; "RO("; u; ","; P; ")="; RO1; RO "RO(u,P)/P="; RO1 / P; RO / P; " o anche 1-COSP/P="; 1 - COSP1 / P; 1 - COSP / P TANP1 = P * SINP1 / ( * COSP1): "TANP(u,P)="; TANP1; "TANP/P="; TANP1 / P COTP1 = P * COSP1 * SQR() / (SINP1 + COSP1): "COTP(u,P)="; COTP1; "COTP/P="; COTP1 / P SECP3 = P * (P - COSP1) / ( * COSP1): "SECP(u,P)="; SECP3; "SECP/P="; SECP3 / P 4

5 SECP4 = P * (P - COSP) / ( * COSP): "SECP(u,P)="; SECP4; "SECP/P="; SECP4 / P CSCP3 = P * (P - COSP1) / (SINP1 + COSP1): "CSCP(u,P)="; CSCP3; "CSCP/P="; CSCP3 / P CSCP4 = P * (P - COSP) / (SINP + COSP): "CSCP(u,P)="; CSCP4; "CSCP/P="; CSCP4 / P "PER POTER EFFETTUARE LA COMPARAZIONE CON I VALORI DI CUI SOPRA," "DEI QUALI ALMENO UN VALORE DELLE DEFINIZIONI DEVE ESSERE ESATTO," "SEGUONO L'AREA t(u,1) E I VALORI ESATTI DEL" "RAGGIO VETTORE E DELLE SEI FUNZIONI PARABOLICHE PER P=1:" R = 1 + ( * (1 + SQR(1 + (TAN(u)) ^ )) / ((TAN(u)) ^ )) t = (SQR(R) / * (1 + R / 3)) "t(u,1)="; "t("; u; ",1)="; "+-"; t; "con + II, - III quadrante" R3 = 1 + ( * (1 - SQR(1 + (TAN(u)) ^ )) / ((TAN(u)) ^ )) t3 = SQR(R3) / * (1 + R3 / 3): "t(u,1)="; "t("; u; ",1)="; "+-"; t3; "con + I,- IV quadrante" RO0 = 1 / (1 + COS(u)): "RO(u,1)="; "RO("; u; ")="; RO0 SINP0 = SIN(u) / (1 + COS(u)): "SINP(u,1)="; "SINP("; u; ")="; SINP0 COSP0 = COS(u) / (1 + COS(u)): "COSP(u,1)="; "COSP("; u; ")="; COSP0 TANP0 = TAN(u) / : "TANP(u,1)="; "TANP("; u; ")="; TANP0 COTP0 = SQR() * COS(u) / (SIN(u) + COS(u)): "COTP(u,1)="; "COTP("; u; ")="; COTP0 SECP0 = 1 / ( * COS(u)): "SECP(u,1)="; "SECP("; u; ")="; SECP0 CSCP0 = 1 / (SIN(u) + COS(u)): "CSCP(u,1)="; "CSCP("; u; ")="; CSCP0 END In outut si riortano quattro esemi relativi ad argomenti dei quattro quadranti: 1 1^ esemio er u=45 = π = IL PROGRAMMA VA IN OVERFLOW E PRESENTA PROBLEMI (ES. PER u=3/4(pigreca) (PERCIO' DIGITA ),IN QUANTO (CON ) VI E' SINPu+COSPu=0 AL DENOMINATORE),E SOLO QUANDO CAPITA DI DIVIDERE PER ZERO,PERTANTO SI CONSIGLIA PER L'INPUT DI DARE LO ZERO IN O IN NOTAZIONE ESPONENZIALE DI INFINITESIMO. IN OUTPUT I VALORI NULLI, INFINITO E INFINITESIMO SONO IN NOTAZIONE ESPONENZIALE, O L'INFINITO E' CON SETTE CIFRE. *SE u E' NEL I O IV QUADRANTE IL PRIMO DEI DUE NUMERI DARA' LA RISPOSTA * *ESATTA, SE u E' NEL II O III QUADRANTE SARA' ESATTO IL SECONDO NUMERO. * u è angolo del I o IV quadrante? Se sì DIGITA 1, se u è del II o III DIGITA? 1 u=? DIGITA IL VALORE DI P? 3 t(u,p)=t( , 3 )= SINP(u,P)= COSP(u,P)= SINP/P= COSP/P= SI RIPORTA IL VALORE DI P DIGITATO, CIOE' 3 RO(u,P)=RO( , 3 )= RO(u,P)/P= o anche 1-COSP/P=

6 TANP(u,P)= 1.5 TANP/P=.5 COTP(u,P)=.113 COTP/P= SECP(u,P)=.113 SECP/P= SECP(u,P)=-.113 SECP/P= CSCP(u,P)=.113 CSCP/P= CSCP(u,P)=-.113 CSCP/P= PER POTER EFFETTUARE LA COMPARAZIONE CON I VALORI (DI CUI SOPRA) DEI QUALI ALMENO UN VALORE DELLE DEFINIZIONI DEVE ESSERE ESATTO, SEGUONO L'AREA t(u,1) E I VALORI ESATTI DEL RAGGIO VETTORE E DELLE SEI FUNZIONI PARABOLICHE PER P=1: t(u,1)=t( ,1)= con + II, - III quadrante t(u,1)=t( ,1)= con + I,- IV quadrante RO(u,1)=RO( )= SINP(u,1)=SINP( )= COSP(u,1)=COSP( )= TANP(u,1)=TANP( )=.5 COTP(u,1)=COTP( )= SECP(u,1)=SECP( )= CSCP(u,1)=CSCP( )= ^ esemio er u=150 = π = *SE u E' NEL I O IV QUADRANTE IL PRIMO DEI DUE NUMERI DARA' LA RISPOSTA * *ESATTA, SE u E' NEL II O III QUADRANTE SARA' ESATTO IL SECONDO NUMERO. * u è angolo del I o IV quadrante? Se sì DIGITA 1, se u è del II o III DIGITA? u=? DIGITA IL VALORE DI P? 5 t(u,p)=t( , 5 )= SINP(u,P)= COSP(u,P)= SINP/P= COSP/P= SI RIPORTA IL VALORE DI P DIGITATO, CIOE' 5 RO(u,P)=RO( , 5 )= RO(u,P)/P= o anche 1-COSP/P= TANP(u,P)= TANP/P= COTP(u,P)= COTP/P= SECP(u,P)= SECP/P= SECP(u,P)= SECP/P= CSCP(u,P)= CSCP/P= CSCP(u,P)= CSCP/P= PER POTER EFFETTUARE LA COMPARAZIONE CON I VALORI (DI CUI SOPRA) DEI QUALI ALMENO UN VALORE DELLE DEFINIZIONI DEVE ESSERE ESATTO, SEGUONO L'AREA t(u,1) E I VALORI ESATTI DEL RAGGIO VETTORE E DELLE SEI FUNZIONI PARABOLICHE PER P=1: 6

7 t(u,1)=t( ,1)= con + II, - III quadrante t(u,1)=t( ,1)= con + I,- IV quadrante RO(u,1)=RO( )= SINP(u,1)=SINP( )= COSP(u,1)=COSP( )= TANP(u,1)=TANP( )= COTP(u,1)=COTP( )= SECP(u,1)=SECP( )= CSCP(u,1)=CSCP( )= ^ esemio er u=40 = π = *SE u E' NEL I O IV QUADRANTE IL PRIMO DEI DUE NUMERI DARA' LA RISPOSTA * *ESATTA, SE u E' NEL II O III QUADRANTE SARA' ESATTO IL SECONDO NUMERO. * u è angolo del I o IV quadrante? Se sì DIGITA 1, se u è del II o III DIGITA? u=? DIGITA IL VALORE DI P? TAN(u)= R1= 1 t(u,p)=t( , )= SINP(u,P)= COSP(u,P)= SINP/P= COSP/P= SI RIPORTA IL VALORE DI P DIGITATO, CIOE' RO(u,P)=RO( , )= RO(u,P)/P= o anche 1-COSP/P= TANP(u,P)= TANP/P= COTP(u,P)= COTP/P= SECP(u,P)= SECP/P= 1 SECP(u,P)=- SECP/P=-1 CSCP(u,P)= CSCP/P= CSCP(u,P)= CSCP/P= PER POTER EFFETTUARE LA COMPARAZIONE CON I VALORI (DI CUI SOPRA) DEI QUALI ALMENO UN VALORE DELLE DEFINIZIONI DEVE ESSERE ESATTO, SEGUONO L'AREA t(u,1) E I VALORI ESATTI DEL RAGGIO VETTORE E DELLE SEI FUNZIONI PARABOLICHE PER P=1: t(u,1)=t( ,1)= con + II, - III quadrante t(u,1)=t( ,1)= con + I,- IV quadrante RO(u,1)=RO( )= SINP(u,1)=SINP( )= COSP(u,1)=COSP( )= TANP(u,1)=TANP( )= COTP(u,1)=COTP( )= SECP(u,1)=SECP( )=-1 CSCP(u,1)=CSCP( )=

8 5 3 4^ esemio er u= π = *SE u E' NEL I O IV QUADRANTE IL PRIMO DEI DUE NUMERI DARA' LA RISPOSTA * *ESATTA, SE u E' NEL II O III QUADRANTE SARA' ESATTO IL SECONDO NUMERO. * u è angolo del I o IV quadrante? Se sì DIGITA 1, se u è del II o III DIGITA? 1 u=? DIGITA IL VALORE DI P? 4 TAN(u)= R1= t(u,p)=t( , 4 )= SINP(u,P)= COSP(u,P)= SINP/P= COSP/P= SI RIPORTA IL VALORE DI P DIGITATO, CIOE' 4 RO(u,P)=RO( , 4 )= RO(u,P)/P= o anche 1-COSP/P= TANP(u,P)= TANP/P= COTP(u,P)= COTP/P= SECP(u,P)= SECP/P= 1 SECP(u,P)=-4 SECP/P=-1 CSCP(u,P)= CSCP/P= CSCP(u,P)= CSCP/P=.7305 PER POTER EFFETTUARE LA COMPARAZIONE CON I VALORI (DI CUI SOPRA) DEI QUALI ALMENO UN VALORE DELLE DEFINIZIONI DEVE ESSERE ESATTO, SEGUONO L'AREA t(u,1) E I VALORI ESATTI DEL RAGGIO VETTORE E DELLE SEI FUNZIONI PARABOLICHE PER P=1: t(u,1)=t( ,1)= con + II, - III quadrante t(u,1)=t( ,1)= con + I,- IV quadrante RO(u,1)=RO( )= SINP(u,1)=SINP( )= COSP(u,1)=COSP( )= TANP(u,1)=TANP( )= COTP(u,1)=COTP( )= SECP(u,1)=SECP( )= 1 CSCP(u,1)=CSCP( )=

9 BIBLIOGRAFIA A. AGOSTINI, Le funzioni circolari e le funzioni ierboliche. Trigonometria iana e sferica, in Encicloedia delle Matematiche elementari e comlementari, vol. II. I, Milano 1937 (rist. an. 1957),. 540 sgg.; J. BOOTH, A Memoir on the trigonometry of the arabola, London 1856; M. CUGIANI, in Encicloedia della Scienza e della Tecnica, vol. V, ed. it. Milano 1964, s. v. Funzione ; G. EGIDI, Saggio intorno alle funzioni araboliche., Atti Acc. Nuovi Lincei 47, 1894, ; M. R. SPIEGEL, Funzioni trigonometriche e Funzioni ierboliche, in Manuale di Matematica, ed. it., Milano Carolla G., Intorno alla trigonometria della arabola, lavoro resentato nel Convegno Nazionale di Matematica della Mathesis, Paestum (SA), 1983,.47. Carolla G., Le funzioni araboliche in Atti del Congresso Nazionale Mathesis Il ruolo della Matematica nella società contemoranea, 17/19 ottobre 000, Editrice Rotas, Barletta (BA), 001, , ubblicato anche sul sito nella sezione Arofondimenti: idee interessanti. La II arte Intorno alla trigonometria della arabola è in corso di ubblicazione sul sito nella sez. Arofondimenti: idee interessanti. Carolla G. Una formula trigonometrica di Guido Carolla, ubblicato su sezione matematica:trigonometria, 006. Carolla G. Breve sintesi della trigonometria della arabola, ubblicato su sezione matematica:trigonometria, 006. Da marzo 006 9